交易频率的流动性效应

我们解释了该集团代理人持有的股份。让我们解释一下这个概念如何与相关有限玩家游戏中的实际库存水平（即代理人持有的实际股份数量）相关。为此，考虑M个代理的集合，其状态由其（实际）清单和信念（s，α）给出，当前状态为{（~si=si/M，αi）}。将代理的“单位质量”定义为M。在这个有限的玩家集合中，任何状态（Ms，α）下代理的质量（相对于单位质量M测量）精确为u（{（s，α）}），其总库存为Msu（{（s，α）}）。然后，sharesper代理的数量被定义为这些代理持有的总库存除以其质量，它等于M s。选择s=~si，我们得出结论，在Fite player集合中，代理在状态（~si，αi）下持有的每个代理的股份数量由M~si=si给出，这与我们在连续体playergame中对si的解释一致。当库存水平{si}很小时（参见本文扩展版的第2.3小节，Gayduk&Nadtochiy（2015）），由于参数α不随时间变化，代理的状态过程，表示（Sn）是一个经过调整的右值过程，代表她的库存。每个代理的控制由三个适应过程（p，q，r）=（pn，qn，rn）N组成-1n=0on(Ohm, F） ，其值在R×{0,1}中。

第一个坐标pn表示在时间n下的限价单的位置，而qn表示限价单的大小（以每个代理人的股份为单位，与购买订单对应的负值）。最后一个坐标rn显示代理提交的是市场订单（如果rn=1）还是限额订单（如果rn=0）。假设一个代理发布了一个价格水平为pn的限价销售订单。如果以该价格水平购买资产的需求，即D+n+1（pn），超过在时间n时发布在pn以下的所有限价卖出指令的金额，则（且仅在该时间）代理行的限价卖出指令被执行。代理商的市场订单总是按照提交订单时的出价或要价执行。我们将内部市场订单（即代理人提交的订单）解释为代理人在给定时间内加入外部投资者的决定。综上所述，我们得到了从初始库存开始的agent状态过程的以下动力学∈ R在时间m=0时，N- 1:S（p，q，r）m（m，S，ν）=S，S（p，q，r）n+1（m，S，ν）=S（p，q，r）n+1（m，S，ν）- S（p，q，r）n（m，S，ν）=-qn{rn=1}（2.1）- 1{rn=0}q+n{D+n+1（pn）>v+n((-∞,pn}- Q-n{D-n+1（pn）>ν-n（（请注意，∞))}, n=m，N-1.注意，尽管Pα不会随时间而改变，但根据收到的新信息，代理人认为未来需求的条件分布会发生动态变化。注：在任何给定的时间，每个代理只允许在单一价格水平下限价订单。然而，这并不意味着失去最佳性。事实上，使用附录A中导出的动态规划原理，我们可以通过归纳法证明，在均衡状态下，代理人不会从同时发布多个限价单中获益。

如Schmeidler（1973）所示，这是一个典型的连续玩家游戏。上述动态代表了对代理执行情况的乐观看法。特别是，它们意味着，一旦需求到达，相同价格水平的所有限价订单将全部执行：即，每个代理都认为，在给定价格水平的所有订单中，她的限价订单将首先执行。此外，所有代理的市场订单都是按照买入价和卖出价执行的：即，每个代理都认为，当需求曲线与LOB相对时，其市场订单将在给定时间段结束时首先执行。这些假设可以部分地由代理人的订单非常小这一事实来证明：qnis以每个代理人的份额来衡量，单个代理人的质量为零。然而，如果非零数量的代理人以相同的价格水平提交限价指令，或同时提交执行限价指令，则上述状态动态可能违反市场清算条件：执行的市场指令的总规模（以股票和美元计）可能与执行的限价指令的总规模不一致（至少在代理人看来）。然而，如果在任何时候，以相同价格水平发布限价订单或发布市场订单的代理数量为零，则该问题将得到解决。换句话说，（ν，p，q，r）满足，p-a.s.：作为对r的度量（即，它没有原子），而rn=0。这种平衡在本文扩展版Gayduk&Nadtochiy（2015）的第8节中进行了阐述。

连续玩家游戏的一般定义及其与有限玩家游戏的联系可以在Carmona（2013）和其中的参考文献中找到（另见本文扩展版的第2.3小节，Gayduk&Nadtochiy（2015））。本文提出的建模框架与经济学文献中的双重拍卖模型密切相关（参见杜和朱（2014），瓦亚诺斯（1999））。主要区别在于拍卖的非标准设计。也就是说，在提议的设置中，拍卖参与者可以选择不同的交易方式，即市场或限价指令，这会在参与者之间产生事后信息不对称：在观察需求曲线之前提交限价指令，而使用有关LOB的完整信息提交市场指令。这种差异并非巧合——事实上，它对于现实地描述与每种订单类型相关的风险至关重要，并且是本文确定的结果的核心。下一小节将对信息结构进行更详细的讨论。2.2平衡从初始状态（s，α）开始的试剂目标函数∈ S、 在任何时候m=0，N、 使用控制（p，q，r），由Fm可测量的随机变量（2.2）J（p，q，r）（m，s，α，ν）=Eαm给出S（p，q，r）N（m，S，ν）+pbN-S（p，q，r）N（m，S，ν）-平锅-N-1Xn=mpn{rn=0}+pan{rn=1，qn<0}+pbn{rn=1，qn>0}S（p，q，r）n+1（m，S，ν）#，其中我们假设0·∞ = 0.在上述表达式中，我们假设，在最终时间n=n时，每个代理人都被迫以当时的出价或要价平仓。或者，你可以将其视为在最后一次外部市场订单执行后立即对剩余库存进行营销。定义2.1。对于给定的LOBν，整数m=0。

N-1和状态（s，α）∈ S、 如果（2.2）中预期内的表达式的正部分在pα下有明确的预期，则适应过程的三元组（p，q，r）是可容许的控制。对于给定的LOBν、初始条件（m，s，α）和F×B（s）自适应随机场（p，q，r）的三元组，通过pn=pn将后者与随机过程（p，q，r）区分开来（只要不会引起混淆）S（p，q，r）n（m，S，ν），α, qn=qnS（p，q，r）n（m，S，ν），α, rn=rnS（p，q，r）n（m，S，ν），α,状态动力学（2.1），对于n=m，N.这个系统递归地确定（p，q，r）和S（p，q，r）。定义2.2。对于给定的LOBν，我们称渐进可测随机场（p，q，r）的三重态为非最优控制，如果对于任何m=0，N和任意（s，α）∈ S、 我们有：o（p，q，r）是可容许的，oJ（p，q，r）（m，S，α，ν）≥ J（p，q，r）（m，s，α，ν），p-a.s.，对于任何容许控制（p，q，r）。在上文中，我们对连续玩家博弈做出了标准的简化假设：每个代理都太小，以至于当她改变控制时，都无法影响累积控制的经验分布（用ν表示）（参见Carmona（2013））。还要注意的是，我们对最优控制的定义意味着它是时间一致的：在未来的任何步骤中，使用相同的终端标准重新评估最优，必须得出相同的最优策略。接下来，我们讨论拟议博弈中的均衡概念。首先，我们注意到，如果pbNor PANNE变得有限，库存为正或负的代理商可能面临的目标价值为“-∞”, 对于他们使用的任何控制。在这种情况下，它们的最优控制可能会以任意方式选择，从而导致不切实际的平衡。为了避免这种情况，我们对ν施加额外的正则性条件。定义2.3。给定的LOBν是可容许的，如果对于任何m=0。

N-1和任意α∈ A、 我们有，P-A.s.：Eαm | paN |∨ |pbN |<∞.让我们考虑固定（m，s，α，ν）的代理的（随机）值函数：（2.3）Vνm（s，α）=essupp，q，rJ（p，q，r）（m，s，α，ν），其中本质上确界在p下，在所有容许控制（p，q，r）上，J（p，q，r）由（2.2）给出。附录A显示，对于任何可容许的ν，Vνm（·α）在P下有一个连续的修正，我们称之为具有α信念的代理的值函数。利用动态规划原理，附录A提供了一个明确的递归方程组，用于描述最优策略和值函数。具体而言，附录A的结果（参见推论9.1）得出以下命题。提议2.1。假设对于一个可容许的LOBν，存在一个最优控制（^p，^q，^r）。然后，对于任何（s，α）∈ S、 以下为所有n=0的P-a.S，N- 1:Vνn（s，α）=s+λan（α）- s-λbn（α），具有一些适应过程λa（α）和λb（α），使得λaN（α）=pbandλbn（α）=paN。λa（α）和λb（α）的值可以解释为信念为α的代理人的预期执行价格，他们分别是资产的多头和空头。定义2.4。考虑经验分布过程u=（un）Nn=0和市场模型，如第2.1节所述。我们说，如果存在aBorel集合a，则给定的LOB过程ν和控制（p，q，r）形成一个平衡 A、 称为平衡点的支撑，例如：1。unR×A\\~A= 0，P-a.s.，所有n，2。ν是可容许的，且（p，q，r）是在状态空间＠S=r×＠A，3上的ν的最优控制。对于任何n=0，N- 1，我们有，P-a.s.，（2.4）ν+n((-∞, x] ）=Z~S{pn（S，α）≤x、 rn（s，α）=0}q+n（s，α）un（ds，dα），十、∈ R、 （2.5）ν-n((-∞, x] ）=Z~S{pn（S，α）≤x、 rn（s，α）=0}q-n（s，α）un（ds，dα），十、∈ R.备注2.2。

从命题2.1可以看出，在均衡状态下，初始库存为零的代理什么也不做是最优的。因此，在平衡状态下，往返策略是不可能的。考虑到均衡中的往返策略，例如，可以引入| q |或代理总库存的上限（如Brunnermeier&Pedersen（2005）中所做的）。然而，我们不认为这样的修改会改变市场流动性作为交易频率函数的定性行为，这是本文的主要重点。请注意，由于P下的最优控制要求时间一致，上述定义实际上定义了一个子博弈完美均衡。还值得一提的是，定义2.4定义了部分平衡，因为经验分布过程是外生的。更传统的纳什均衡需要由初始分布和状态过程的值来确定u：（2.6）un=uo（s，α）7→S（p，q，r）n（0，S，ν），α-1，必须保持P-a.s.，对于所有n=0，N、 除定义2.4中的其他条件外，通过（2.1）定义S（p，q，r）N（0，S，ν）。尽管如此，我们选择在定义均衡时不强制执行条件（2.6），以允许新的代理进入游戏，这实际上相当于外源性建模。如果假设没有新代理人进入市场，则必须执行定点条件（2.6）。还要注意，我们对需求曲线Dn（·）的解释意味着它由外部（即外部投资者）和内部（即由于代理人）市场订单组成。因此，考虑平衡点的额外一致性条件可能是合理的。

该条件的一部分是确保非零数量的代理人仅在基本价格高于要价（即，仅在实际执行市场买单时）时提交市场买单，同样，非零数量的代理人仅在基本价格低于买价时提交市场卖单。我们假设代理人的市场订单以最高优先级进入需求曲线：例如，他们的市场购买订单以与基本价格密切相关但低于基本价格的价格水平进入需求曲线，以确保他们是第一批被执行的订单。因此，上述一致性条件的另一部分是确保基本价格左侧或右侧的需求曲线的绝对值足够大，足以解释所有内部市场订单。从数学上讲，这种一致性条件可以表示为：（2.7）dbn:=un（{（s，α）：qn（s，α）<0，rn（s，α）=1}）>0=> pn+1>平移，跛行↑pn+1D+n+1（p）≥ dbn，（2.8）dan:=un（{（s，α）：qn（s，α）>0，rn（s，α）=1}）>0=> pn+1<pbn，跛行↓pn+1D-n+1（p）≥ 丹。如果代理从未在均衡状态下提交市场订单，上述条件将变得多余。本文扩展版的第8节Gayduk&Nadtochiy（2015）展示了如何构建满足条件（2.6）且代理人从不提交市场订单的均衡（因此，（2.7）和（2.8）也是如此）。然而，需要强调的是，当前工作的主要结果（参见第4节）为所有平衡提供了必要的条件：对于满足条件（2.6）、（2.7）、（2.8）的平衡，以及不满足条件的平衡。备注2.3。让我们来评论一下游戏的信息结构。在当前设置中，所有代理都观察到过滤F给出的相同信息。

我们考虑了一个开环纳什均衡，在该均衡中，主体的策略被视为一个适应的随机过程（而不是其他参与者的状态和控制的函数），并相应地选择了最优性的定义。此外，由于u适用于F，每个代理都有关于其他代理的当前和过去状态及其信念的完整信息。然而，由于代理使用不同的（主观）度量{Pα}，他们对u未来值的看法可能不同。当然，假设代理没有关于彼此当前状态的完整信息会更现实，但这会使问题变得更加复杂。在目前的情况下，经纪人还拥有关于基本价格当前位置的完整信息。在我们的后续论文Gayduk&Nadtochiy（2016）中，我们放松了这一假设，这使我们能够为个体代理人的“局部”行为开发一个更现实的模型。然而，对于本文分析的问题，这种放松似乎不是必要的。由于所有代理使用相同的信息，本文属于试图在不存在信息不对称的情况下解释微观结构现象的文献链（参见Goettler等人（2005）、Rosu（2009）、Palour（1998）、Foucault（1999））。然而，值得一提的是，提交市场指令和限价指令的市场参与者之间存在信息不对称。这种不对称性并不是由于任何一个代理都可以获得先验的优越信息。相反，它源于限额指令的本质，其设计是“被动的”（参见第2.1小节最后一段的讨论）。inGoettler等人（2005年）也进行了类似的观察。接下来，我们需要在平衡的概念中添加另一个条件。

请注意，方程式（2.4）-（2.5）应作为定点约束，使人们能够获得最佳控制（p、q、r）以及LOBν。然而，这些方程只适用于n=0，N- 1：事实上，代理不需要选择他们的控制时间n=n，因为游戏结束了，他们的剩余库存被标记为买入价和卖出价。然而，最终的买入价和卖出价是由LOBνN决定的，而LOBνN又可以任意选择。为了避免这种二元性，我们对本文研究的平衡施加了额外的约束。首先，我们介绍基本价格的概念。定义2.5。假设P-a.s.，对于任何n=1，N、 存在唯一的PNDNpn= 0.然后，调整过程（pn）Nn=1被称为基本价格过程。无论何时，只要援引基本价格的概念，我们都假定它是明确的。背后的直觉很清楚：这是一个即时需求平衡的价格水平。然而，重要的是要强调，我们不认为资产可以在基本价格水平上交易。相反，pis是当前需求曲线的一个特征，而所有实际交易都在交易所进行，与当前LOB相对。我们设置的这一方面不同于文献中的许多其他方法。定义2.6。假设基本价格定义明确，并表示ξN=pN- pN-1.然后，如果（2.9）νN=νN，则LOBν的非平衡在终端交叉（LTC）处是线性的-1.o （x 7→ x+ξN）-1，P-a.s.上述定义假设终端LOBν是从νN中获得的-1通过简单的转换，转换的大小等于基本价格的增量。这种定义将终端的LOB与需求过程联系起来，排除了许多非自然的平衡。特别是，非平衡的存在问题变得非常重要。