交易频率的流动性效应

然后，引理6.1和6.3暗示存在FN-1-可测量的\'p≥ pa，s.t.，接通Ohmt、 我们有a.s.：如果ν+（{pa}）=0，那么`p>pa，并且在所有情况下，aα（p；pb）<supp∈RAα（p；pb），P∈ [pa，\'p]，α ∈~A.直觉上很明显，以上述价格水平p发布限价销售订单对代理商来说一定是次优的。然而，上述不等式本身并不产生矛盾，因为代理的策略仅在一组P-概率为零的情况下是最优的，并且这些集合对于不同的状态（s，α）可能是不同的。为了与pa的定义相矛盾，我们只需重复引理6.2证明的最后一部分（遵循等式（6.4））。这确保了（6.1）保持并完成了定理的证明。7定理4.2的证明在该证明的范围内，我们采用（5.1）中介绍的符号，并使用符号约定6.1（即我们测量LOB、预期执行价格和需求，相对于p，但保持相同变量的名称）。假设定理的陈述不成立：即存在α∈~A，使得~pis在Pα下不是阿马丁格尔。然后就有了∈ [0，T），s.T.，有正概率Pα，我们有EαspT6=~ps。在不丧失一般性的情况下，我们假设存在一个常数δ>0和一个集合Ohm∈ Fs，在所有随机结果中具有正概率Pα（因此P），s.tOhm, 我们有（7.1）~Eαs（~pT）- §ps）≥ δ（负值的情况类似）。接下来，我们定义一个任意并考虑关联的非退化LTC平衡。引理7.1。存在一个确定性函数ε（·）≥ 0，s.t.ε(（t）→ 0，作为T→ 0，对于任何足够小的t>0，存在n=0，N- 3和Ohm∈ Fn，s.t.Pαn(Ohm) > 0，以下内容将继续OhmPαn+2Eαn+3pN- pn+3≤ δ/2≤ ε(t） 。证据：证据来自假设4.5。考虑t=t=s和t=tn+2。

那么，假设4.5意味着Pαs~Eαtn+2ZTsμαudu-~EαsZTsμαudu≥ ε(t） !！≤ ε(t） 在Ohm, a、 s。。还请注意Eαs（~pT- ~ps）=~EαsTZsμαudu。然后，假设ε(t） 如果足够小，并回顾（7.1），我们得到＠Pαs＠Eαtn+2ZTsμαudu≤ 3δ/4!≤ ε(t） ，在Ohm. 因此，存在一个集合Ohm∈ 财政司司长 Ftn，s.t.~Pαtn(Ohm) > 0和∧Eαtn+2ZTsμαudu≥ 3δ/4，开Ohm. 接下来，我们选择t=s，t=tn+2，t=tn+3，并使用假设4.5，以获得Pαtn+2~Eαtn+3ZTsμαudu-~Eαtn+2ZTsμαudu≥ ε(t） !！≤ ε(t） ，在Ohm, a、 s。。ε假设(t） 如果足够小，利用最后两个不等式，我们得到Pαtn+2Eαtn+3ZTsμαudu≤ δ/2!≤ ε(t） 。最后，根据假设4.2，以及t很小，我们可以用上述等式中的ttn+3μαudu替换μαudu，用δ/4替换δ/2。这就完成了引理的证明。使用状态为（1，α）的代理等待到最后时刻n=n的策略，我们得出结论，过程（λan（α）+pn）必须是Pα下的上鞅。更准确地说，由于最优策略的定义，我们有P-a.s.λan+2（α）≥ Eαn+2λaN（α）+Eαn+2Eαn+3（pN- pn+3）+ξn+3.回想一下λaN（α）=pbNand，由于定理4.1（更准确地说，它来自定理的证明），对于所有足够小的变量，都存在一个常数C>0，s.tt>0，以下为P-a.s。-C√T≤ pbN<0<paN≤ C√t、 因此，我们有P-a.s.（7.2）λan+2（α）≥ -C√t+Eαn+2Eαn+3（pN- pn+3）+ Eαn+2ξn+3。根据假设4.2，我们有，P-a.s.Eαn+2ξn+3≤ CTEαn+3（pN- pn+3）≤ CT，因此λan+2（α）≥ -C√t+CT+Ct、 此外，利用引理7.1，我们得出结论，对于任何足够小的t、 存在n=0，N- 2和Ohm∈ Fn，s.t。

Pαn(Ohm) > 0和pαn+2Eαn+3pN- pn+3≤ δ/2≤ ε(t） ，在Ohm.使用（7.2）并假设t足够小，我们得到λan+2（α）≥ δ/4，开Ohm.接下来，附录A中的推论9.1意味着P-A.s.，pbn+1≥ Eαn+1λan+2（α）+ξn+2ξn+2<pbn+1.因此Ohm, 我们得到了（7.3）pbn+1- Eαn+1ξn+2ξn+2<pbn+1≥ δ/4.下面的引理表明，对于任意数p，基本价格增量的条件期望Eαn+1（ξn+2 |ξn+2<p）随着时间间隔的大小消失而接近p。这个结果来自引理5.2。引理7.2。对于所有足够小的物体，都存在一个常数C>0，s.tt>0，对于任何t∈ [0，T- t] ，以下为P-a.s.支持≤0P-~Eαt~pt+T- ~pt~pt+T- ~pt<p≤ C√t、 证明t：修正t>0，考虑ps的演化，对于s∈ [t，t+t] ，在Pαt~ps下- ~pt=Zstμαudu+ZstσudWαu，其中Wα是Pα下的布朗运动。通过√t、 我们得到了（~ps）- ~pt）/√t=X（s）-（t）/t、 Xs=Zs^uudu+Zs^σud^Wu，s∈ [0,1]，带^us=√tαt+st、 ^σs=σt+st、 ^Ws=√TWαt+sT- Wαt, s∈ [0, 1].请注意，上述过程适用于新的过滤^F，其中^Fs=~Ft+st、 在Pαt下，P-a.s.是关于F的布朗运动。接下来，根据假设4.1和4.4，对于任何足够小的t>0，P-a.s.的动力学(-Xs），在Pαt下，满足引理5.2的所有假设。因此，我们得到了Pαt（X<-十、- z）≤ 总工程师-zPαt（X<-x） ,，x、 z≥ 最后，我们注意到≤0P-~Eαt~pt+T- ~pt~pt+T- ~pt<p=√晚餐≤0P-~Eαt十、X<p=√晚餐≤0P-R∞-px dPαt（X<-x） ~Pαt（x<P）=√晚餐≤0R∞~Pαt（X<P- z） dz~Pαt（X<P）≤ C√t、 这就完成了引理的证明。使用（7.3）和引理7.2，我们得出结论，对于所有足够小的t、 我们有：pbn+1>0Ohm, P-a.s。。

此外，附录A中的推论9.1意味着∈~A，以下为P-A.s.λan+1（α）≥ pbn+1。接下来，由于符号的轻微滥用（在命题4.1的证明中引入了类似的符号），我们考虑了代理人以卖出价pan^aα（pan；λan+1）=Eαn发布限价销售订单的简化目标平锅- λan+1- ξn+1 |ξn+1>pan.上述估计意味着Ohm, 我们有，P-a.s.（7.4）^aα（pan；λan+1）≤ panαE- ξn+1 |ξn+1>pan）- Eαnpbn+1Ohm|ξn+1>pan< 0, α ∈~A.为了获得上述最后一个不等式，我们回顾：Ohm∈ Fnand，P-a.s.，1OhmPn(Ohm \\ Ohm) = 0，pbn+1>0开Ohm, 对于所有α，Pαn（ξn+1>pan）>0∈~A.接下来，重复引理6.1的证明（并使用λan+1绝对有界的事实，如推论4.1所示），我们得出结论，P-A.s.，要么v+n（{pan}）>0，要么Aα（p；λan+1）-^Aα（pan；λan+1）→ 0，作为p↓ pa，在整个α上均匀分布∈~A，这里我们引入真正的目标，Aα（p；λan+1）=EαnP- λan+1- ξn+1{D+n+1（p-ξn+1）>ν+n((-∞,p） ）}.这种趋同以及（7.4）意味着存在一个Fn可测量的“p”≥ 平移，这样，在Ohm, 以下是P-a.s.：如果ν+n（{pan}）=0，那么`P>pan，并且在所有情况下，aα（P；λan+1）<0，P∈ [pan，\'p]，α ∈~A.最后，我们重复引理6.2证明的最后一部分（遵循等式（6.4）），以获得与pan定义的矛盾，并完成定理的证明。

最后一个论点还表明如果规模足够小，代理商发布限价销售订单就变得不太理想，因为这一行动的预期相对收益变为负值，导致市场退化。8总结和未来工作在本文中，我们提出了一个新的市场微观结构建模框架，该框架不要求存在指定的做市商，LOB是内生的，是多个战略参与者（又名代理）之间平衡的结果。该框架基于连续玩家游戏。它非常接近拍卖式交易所的机制，因此，特别是，它可以用来分析交易所规则变化的流动性影响。我们使用提出的框架来研究高交易频率的流动性效应。特别是，我们展示了高交易频率的双重性质。一方面，在没有关于资产的看涨或看跌信号的情况下，更高的交易频率提高了市场的效率。另一方面，在足够高的交易频率下，即使是非常小的交易信号也可能放大逆向选择效应，在LOB中产生不成比例的大变化，这被解释为内生流动性危机。本文提出了许多有待进一步研究的问题。请注意，我们的主要结果是定性的：它们展示了LOB的一般行为，作为交易频率的函数，但不立即允许进行计算。建立定量结果也很有趣。特别是，我们希望在一个比第3节中使用的模型更现实、更具体的模型中构建一个平衡。

这种模型将考虑到异质性信念，并将规定代理人用于形成其信念的特定信息来源（即相关市场因素）。这类模型可以根据市场数据进行校准，并用于研究相关市场参数变化对LOB的影响。最后，为了更好地捕捉交易频率不受限制的市场现状，开发拟议框架的连续时间版本是很有意思的。所有这些问题都是我们的后续论文Gayduk&Nadtochiy（2016）的主题。9附录A这一部分包含了关于代理在拟定游戏中的价值函数表示的一些有用的技术结果。注意，（2.1）和（2.2）意味着，如果ν是可容许的，那么对于任何（α，m，p，q，r），我们有，p-a.s。J（p，q，r）（m，s，α，ν）- J（p，q，r）（m，s，α，ν）≤ |s- s | Eαm | paN |∨ |pbN |，s、 s∈ r这意味着每个J（p，q，r）（m，·α，ν）和Vνm（·α）在p下都有一个连续的修改。因此，只要ν是可容许的，我们就将一个代理的值函数定义为（2.3）左侧的前述连续修改。引理9.1。假设一个可容许LOBν存在一个最优控制。假设对于任何α∈ A、 （2.3）中定义的关联值函数Vνn（·α）相对于Fn是可测量的 B（R）。然后，它满足以下动态规划原则对于n=n和all（s，α）∈ S、 我们有，P-a.S.（9.1）VνN（S，α）=S+pbN- s-平移o适用于所有n=n- 1.

，0和全部（s，α）∈ S、 我们有vνn（S，α）=essupp，q，r{rn=0}EαnVνn+1（s，α）+qnpn+Vνn+1（s）- qn，α）-Vνn+1（s，α）·(9.2) ·{qn≥0，D+n+1（pn）>ν+n((-∞,pn）}+1{qn<0，D-n+1（pn）>ν-n（（请注意，∞))}+1{rn=1}q+npbn- Q-npan+EαnVνn+1（s- qn，α）,在P下取本质上确界，在所有容许控制（P，q，r）上。证明：最重要的一步是证明，对于所有n=0。N- 1和（s，α）∈ S、 （9.3）Vνn（S，α）=essupp，q，rEαnVνn+1Sn，s，（p，q，r）n+1，α- gνn（pn，qn，rn，Dn+1）,在P下取本质上确界，在所有容许控制（P，q，r）和gνn（pn，qn，rn，Dn+1）上=pn{rn=0}+pan{rn=1，qn<0}+pbn{rn=1，qn>0}Sn，s，（p，q，r）n+1不依赖于s。假设J（p，q，r）（n，·α，ν）是目标函数的连续修正。注意，尽管我≤ K≤ n、 我们有，P-a.s.EαkJ（P，q，r）n、 Sm，s，（p，q，r）n，α，ν= J（p，q，r）k、 Sm，s，（p，q，r）k，α，ν+ Eαkn-1Xj=kgνj（pj，qj，rj，Dj+1）注意，对于任何（p，q，r）我们有，p-a.s.：j（p，q，r）（m，s，α，ν）≤ Vνm（s，α），对于所有s∈ 让我们证明（9.3）的左手边小于右手边vνm（S，α）=essupp，q，rJ（p，q，r）m、 Sm，s，（p，q，r）m，α，ν= essupp，q，rEαmJ（p，q，r）m+1，Sm，s，（p，q，r）m+1，α，ν- gνm（pm、qm、rm、Dm+1）≤ essupp，q，rEαmVνm+1Sm，s，（p，q，r）m+1，α- gνm（pm、qm、rm、Dm+1）接下来，我们证明（9.3）的右手边比左手边小。

对于任何（p，q，r），我们有，p-a.s.EαmVνm+1Sm，s，（p，q，r）m+1，α- gνm（pm、qm、rm、Dm+1）= Eαm^，^m+1，Sm，s，（p，q，r）m+1，α，ν- gνm（pm、qm、rm、Dm+1）= J（~p，~q，~r）（m，s，α，ν）≤ Vνm（s，α），其中（~pn，~qn，~rn）与（^pn，^qn，^rn）重合，表示n≥ 当n=m时，它们等于（pm，qm，rm）。通过将状态过程的动力学（2.1）插入（9.3）中，可以很容易地完成证明。以下推论为值函数和最优控制提供了更明确的递归公式。特别是，它指出，一个代理在任何时候的值函数在s中保持线性，在正半线和负半线（可能有不同的斜率）。推论9.1。假设一个可容许的LOBν有一个最优控制（^p，^q，^r）。然后，对于任何（s，α）∈ S、 以下为所有n=0的P-a.S，N-11.Vνn（s，α）=s+λan（α）- s-λbn（α），具有一些适应过程λa（α）和λb（α），使得λaN（α）=pbandλbn（α）=paN；2.潘≥ Eαnλan+1（α）和pbn≤ Eαnλbn+1（α）;3.如果有的话∈ R、 PαnD+n+1（p）>v+n((-∞, p） )> 0，那么≤ Eαnλbn+1（α）|D+n+1（p）>ν+n((-∞, p） );4.如果有的话∈ R、 PαnD-n+1（p）>ν-n（（p，∞))> 0，那么≥ Eαnλan+1（α）|D-n+1（p）>ν-n（（p，∞));5.对于所有大于0的s，oλan（α）=maxpbn，Eαnλan+1（α）+晚餐∈REαnP- λan+1（α）{D+n+1（p）>v+n((-∞,p） ）}+,o 如果^qn（s，α）6=0且^rn（s，α）=0，则λan（α）=Eαnλan+1（α）+supp∈REαnP- λan+1（α）{D+n+1（p）>v+n((-∞,p） ）},p=^pn（s，α）达到上述上确界，如果^qn（s，α）=0和^rn（s，α）=0，那么λan（α）=Eαnλan+1（α），如果^rn（s，α）=1，那么λan（α）=pbn；6.

对于所有小于0的s，oλbn（α）=minpan，Eαnλbn+1（α）-晚餐∈REαnλbn+1（α）- P{D-n（p）>ν-N-1（（p，∞))}+,o 如果^qn（s，α）6=0且^rn（s，α）=0，则λbn（α）=Eαnλbn+1（α）- 晚餐∈REαnλbn+1（α）- P{D-n（p）>ν-N-1（（p，∞))},p=pn（s，α）达到上述上确界，如果^qn（s，α）=0和^rn（s，α）=0，那么λbn（α）=Eαnλbn+1（α），如果^rn（s，α）=1，那么λbn（α）=pan。证明：让我们将值函数的分段线性形式插入（9.2）Vνn（s，α）=essupp，q，r{rn=0}s+Eαnλan+1（α）- s-Eαnλbn+1（α）+Eαnqnpn+（s）- qn）+λan+1（α）- （s）- qn）-λbn+1（α）- s+λan+1（α）+s-λbn+1（α）·{qn≥0，D+n+1（pn）>ν+n((-∞,pn）}+1{qn<0，D-n+1（pn）>ν-n（（请注意，∞))}+1{r=1}q+npbn- Q-npan+（s）- qn）+Eαnλan+1（α）- （s）- qn）-Eαnλbn+1（α）首先，请注意，必须考虑所有随机变量（pn、qn、rn）的本质上确界。此外，本质上确界可以被所有确定性（pn，qn，rn）上的上确界所取代∈ R×{0，1}。为了了解后者，有必要假设最优策略（正概率）无法达到上确界，并通过标准的可测量选择论证（参见Aliprantis&Border（2006）中的推论18.27和定理18.26）构建一个优越的策略，这导致了矛盾。很容易看出，对于任何固定的（pn，s，rn），上述函数在qn中是分段线性的，斜率在qn=0和qn=s处变化。因此，对于一个单位，可容许性约束在这里不会造成任何困难，因为在（pn，qn，rn）没有达到上确界的情况下，它们可以得到改进，以便（pn，qn）增加不超过固定常数。若要存在最大值，此函数的斜率必须在qn处为非负→ -∞, 在qn处为非阳性→ ∞.这必须适用于任何（pn、rn、s），以确保代理人的价值函数是有限的：否则，代理人可以扩大其职位，任意增加价值函数。

考虑rn=1，我们得到了推论的条件2。rn=0的情况产生条件3和4。还要注意，上述函数的最大值总是在qn=0或qn=s时达到。考虑到所有可能的情况：rn=0，1，qn=0，s，s=0，s>0和s<0–我们得到了λana和λbn的递推公式（即推论的条件5和条件6）。此外，当最优qn值为0和s时，很容易看到值函数ins的分段线性结构向后传播，因此，推论的条件1成立。相反的陈述也很有用。推论9.2。考虑一个容许LOBν和容许控制（^p，^q，^r），使得^qn（s，α）∈ {0，s}。假设，对于任何α∈ A和任意n=0，N、 存在一个渐进可测的随机函数vν·（·，α），因此，对于任何∈ R、 P-a.s.（^P，^q，^R，Vν）满足推论9.1的条件1-6。然后，（^p，^q，^r）是LOBν的最优控制。证明：有必要在推论9.1的证明中还原论点，并记住，^q总是可以选择等于0或s，而不会影响最优性。10.引理5.1附录B。下面的引理表明，在条件形式下，标准化价格增量接近高斯。引理10.1。假设4.1,4.2,4.3,4.4成立。然后，存在一个确定性函数(·) ≥ 0，诸如此类(（t）→ 0，作为T→ 0，P-a.s.，对于所有α∈ 所有n=1，N，我们有αN-1.ξn/√T- σtn-1（Wαtn）- Wαtn-1)/√T≤ (t） 。证明：注意：ξn/√T- σtn-1（Wαtn）- Wαtn-1)/√t=√ttnRtn-1-α-sds+√ttnRtn-1（σs）- σtn-1） 然后，使用假设4.2，4.4和It^o等距，我们得到了引理的陈述。下一个引理根据Lnorm和随机变量的某些函数的期望值的接近性来连接邻近性。