交易频率的流动性效应

然而，后一篇论文并没有研究这一现象的本质，而是关注其他问题。在关于双重拍卖的文献中（参见杜和朱（2014）、瓦亚诺斯（1999）），当拍卖参与者选择在给定拍卖中减少交易活动时，会产生类似的效果，因为他们预计未来会有更多的交易机会。在本例中，后者类似于代理商选择放弃限价订单而等待。4.主要结果在这一节中，我们推广了前面的结论，使它们适用于一般模型和任何平衡。和前面一样，我们从“限制”连续时间模型开始。考虑终端时间范围T>0和完全随机基(Ohm,~F=（~Ft）t∈[0，T]，P），上面有布朗运动W。我们将适应过程定义为（4.1）~pt=p+ZtσsdWs，p∈ R、 其中σ是一个渐进可测的局部平方可积过程。假设4.1。存在一个常数C>1，因此，1/C≤ σt≤ C、 尽管如此，t∈ [0，T]，P-a.s。。考虑一组Borel信念a和相关的测度{Pα}α族∈怡安(Ohm,对于P，FT）是绝对连续的。那么，对于任何α∈ A、 我们有pt=p+Aαt+ZtσsdWαs，p∈ R、 Pα-a.s。，T∈ [0，T]，其中Wα是Pα下的布朗运动，aα是有限变化过程。我们假设Aα是绝对连续的：即，对于任何α∈ A、 存在一个局部可积过程μα，使得Aαt=Ztμαsds，Pα-A.s。，T∈ [0，T]。假设4.2。对于任何α∈ A、 这个过程是P-A.s。

右连续，存在一个常数C>0，这样|μαt |≤ C、 尽管如此，t∈ [0，T]，P-a.s。。因此，我们可以重写p的动力学，在每个pα下，如下所示：pα-a.s.，以下适用于allt∈ [0，T]（4.2）~pt=p+Ztμαsds+ZtσsdWαs，p∈ R.此外，我们在一组Pα-测度零点上修改了上述随机积分，使得（4.2）适用于所有（t，ω）。在接下来的内容中，我们通常需要同时分析各种（t，α）的punder Pα的未来动力学，条件是Ft。这就是为什么我们需要下面的联合规则性假设。为了确保离散时间模型的正则条件概率的存在，我们可以，例如，假设由标准Borel空间中具有值的随机元素生成ftisg。假设4.3。存在规则条件概率n~Pαt=Pα的修正·|~Ftot∈[0，T]，α∈A、 以满足与P有关的塔楼属性（如第2.1节所述）。假设4.3满足，例如，如果Pα~ P、 无论如何∈ A、 或者如果集合A是可数的。在本文的其余部分，Pαt指假设4.3中出现的家族成员。所有的条件期望值Eα皮重都是在这样的Pαt下得出的。本节的主要结果要求对σ和|α进行额外的连续性假设。以下假设可以被视为σ的L-连续性的一个更强版本。假设4.4。存在一个函数ε（·）≥ 0，使得ε(（t）→ 0，作为T→ 0和，P-a.s.～PαtEα（σs）∨τ- στ）| Fτ≤ ε(（t）= 1.所有t∈ [0，T- t] 都是s∈ [t，t+t] ，所有停车时间t≤ τ ≤ s、 所有这些∈ A.例如，如果σ是一个有界漂移和扩散系数的It^o过程，则满足上述假设。接下来，我们陈述一个关于漂移的连续性假设，它可以被解释为鞅Eαtμαs概率的一致右连续性。假设4.5。

对于任何α∈ A和任何t∈ [0，T），存在一个确定性函数ε（·）≥ 0，使得ε(（t）→ 0，作为T→ 0和Pα-a.s.～PαtZTt~Eαtμαs-~Eαtμαsds≥ ε(t） !！≤ ε(t） 坚持到底≤ T≤ T≤ t+T≤ T请注意，假设4.3、4.4和4.5并不十分标准。因此，在下文中，我们描述了一个更为具体（尽管仍然相当普遍）的基于扩散的框架，其中假设4.1–4.5简化为扩散系数的标准规则性条件，并且易于验证。为此，考虑一个模型，其中|αt=¨α（t，Yt），σt=¨σ（t，Yt），在P下，过程Y是一个扩散，取RddYt=Γ（t，Yt）dt+∑（t，Yt）d′Bt中的值，其中Γ：[0，t]×Rd→ Rd，∑=（∑i，j）是[0，T]×Rd上的一个映射，其值在d×m矩阵空间中，`B是P（在原始随机基上）下的m维布朗运动。我们假设Γ和∑具有足够的正则性，从而得出Y是强马尔可夫过程的结论。请注意，假设4.1和4.2推导出了函数¨α和¨σ的上界和下界。如果我们假设Pα~ P、 无论如何∈ A.让我们进一步假设每个测量的Radon Nikodym导数为Girsanovform:dPαdP=exp-Ztkγα（s，Ys）kds+Ztγα（s，Ys）d′Bs,一个Rd值函数γα，对于每个α∈ A.假设Γ、γα和∑的所有条目都被一个常数（一致地覆盖在α上）绝对限定∈ A） 。此外，假设“σ”是全局Lipschitz，我们很容易验证假设4.4。为了验证假设4.5，我们假设由A（t，y）：=∑（t，y）∑t（t，y）生成的二次型是有界的，在所有（t，y）上是一致的，并且Γ、γα和∑的项是连续可微的，具有绝对有界导数（一致地在α上）∈ A） 。

然后，费曼·卡福尔穆拉暗示，对于任何≤ s、 αt=us的偏微分方程tus，α+dXi=1Γα，iyius，α+dXi，j=1Ai，jyiyjus，α=0，（t，y）∈ （0，s）×Rd，us，α（s，y）=′uα（s，y），和Γα=Γ+γα。假设，对于每个∈ [0，T]，函数¨μα（s，·）在绝对有界导数下连续可微，在所有（s，α）上一致。然后，上述偏微分方程基本解导数的标准高斯估计（参见Friedman（1964）中的定理9.4.2）意味着yius，α是绝对有界的，在所有（s，α）上是一致的。然后是It^o公式和It^o等距屈服，对于所有t≤ 看台≥ t:~Eαt~Eαtμαs-~Eαtμαs=mXj=1Zt∧stEαtdXi=1α（v，Yv）∑i，j（v，Yv）！dv≤ C（t）∧ s- t） ，常数C>0。上述估计和Jensen不等式暗示了假设4.5的陈述，并完成了基于扩散的环境的描述。如第3节所述，我们还考虑了一个逐步可测量的随机场D，s.t.P-a.s.函数Dt（·）-对于任何0，Ds（·）严格递减并在零处消失≤ s<t≤ T.我们假设需求曲线，~Dt（·）-~Ds（·），不能“太夸张”。假设4.6。对于任何0，都存在ε>0，s.t≤ T- ε ≤ s<t≤ T，存在一个Fs B（R）-可测随机函数κs（·），s.t.，P-a.s.，κs（·）严格递减且~Dt（p）-~Ds（p）≥ |κs（p）|，对于所有p∈ R.最后，我们介绍了经验分布过程（μt），在S上的有限西格玛加和测量空间中的值。下一个假设是，每个μt由一个确定性测量控制。假设4.7。无论如何∈ [0，T]，存在一个有限的西格玛加性度量单位uT（S，B（S）），S.T.，P-a.S.，μT是绝对连续的w.r.T.uT。我们将时间间隔[0，T]划分为N个大小的子间隔t=t/N。

离散时间模型是通过离散连续时间oneFn=~Fn得到的t、 pn=~pnt、 Dn（p）=（Dn）T-~D（n）-1)t） （p- pn），un=~unt、 在我们对上述主要假设进行评论之前，让我们先来评论一下。从技术角度来看，这些假设很重要，然而，其中一些假设有经济解释，可以对随后的结果提供（部分）直观的解释。特别是，假设4.1确保基本价格保持“嘈杂”，这意味着如果没有其他订单发布，代理人可以通过发布接近p现值的限价单来快速执行限价单。结合假设4.6，后者意味着，当频率N较高时，代理人有很多机会以接近基本价格的价格执行其限价指令（至少，如果没有其他订单发布得太接近基本价格）。直觉上，这意味着代理的执行值应该随着频率的增加而提高。假设4.5确保，如果管理层有一个关于基本价格方向的信号，那么这个信号是持续的——也就是说，它在适当的意义上是连续的。当交易频率N较大时，这种持续性意味着代理人有大量机会利用信号，这意味着她并不急于立即执行订单。下面给出的这项工作的主要结果及其证明证实了这些启发性结论确实是正确的。如前几节所述，我们的主要目标是分析增加交易频率对流动性的影响。因此，我们定义了一个极限连续时间模型，并考虑了一系列离散时间模型，从上述极限模型中获得，用于N→ ∞.

这可以解释为在允许不同交易频率的各种交易中，观察相同的代理人群体，每个人都有一个固定的未来需求连续时间模型。我们从以下定理开始，该定理表明，如果给定序列中的每个市场模型都允许非退化均衡，那么，随着交易频率的增加，终端买入价和卖出价会收敛到基本价格。定理4.1。假设4.1,4.2,4.3,4.4,4.6,4.7成立。考虑一个给定时间间隔[0，T]的均匀划分族，其直径为{t=t/N>0}和相关的离散时间模型族，并用p0表示相关的基本价格过程，t、 假设每个这样的模型都允许一个非退化LTC均衡，并用pb表示相关的买入价和卖出价，坦帕，分别地。然后，存在一个确定性函数ε（·），s.t.ε(（t）→ 0，作为T→ 0，对于所有足够小的t>0时，以下保持SP-a.s.：帕tN- p0，tN+PBtN- p0，tN≤ ε(t） 上述定理有一个有用的推论，可以解释为：如果市场不会随着频率的增加而退化，那么这样的增加会提高市场效率。在这里，我们理解“提高效率”，即每个代理人的预期执行价格（即，代理人预期在游戏结束时收到或支付的每股价格）收敛于基本价格。推论4.1。在定理4.1的假设下，用A表示每个平衡点的支撑按λa计算的相关预期执行价格，tandλb，t、 然后，存在一个确定性函数ε（·），使得ε(（t）→ 0，作为T→ 0，P-a.s.，supn=0，。。。，N、 α∈~ATλa，总氮（α）- p0，tn+λb，总氮（α）- p0，tn≤ ε(t） ，对于所有足够小的t>0。证明：表示Eαn=~EαnT

根据附录A中的推论9.1和LTC平衡的定义λA，tN（α）=pb，tn和λb，tN（α）=pa，tN.从推论9.1（或者更一般地说，从值函数的定义）也可以得出λa，t（α）是一个上鞅，λb，t（α）是Pα下的一个子鞅。因此，我们有：λa，总氮（α）≥ Eαnpb，tn和λb，总氮（α）≤ Eαnpa，另一方面，注意我们必须有：λa，总氮（α）≤ Eαnpa，tn和λb，总氮（α）≥ Eαnpb，例如，假设λa，tn（α）>Eαnpa，关于这次活动Ohm正Pα概率。考虑一个处于状态（0，α）的代理，他遵循状态（1，α）代理的最佳策略，从时间n开始，直到事件发生Ohm（否则，她什么也不做）。不难看出，这一战略的目标价值Ohmλa，总氮（α）- Eαnpa，tN> 0，这与推论9.1相矛盾。第二个不等式也有类似的表现。因此，我们得出结论，对于anyn=0，N-1，都是λa，n（α）和λb，n（α）属于αnpb区间，tN，Eαnpa，tNi反过来收敛到零，如下所示：T→ 0，因为在命题4的证明中获得了确定性界。1.定理4.1和推论4.1的结果可以被视为一个更普遍观察的特例：随着摩擦变小，市场变得更有效。在目前的情况下，有限的交易频率被视为摩擦，而市场效率是通过买入价和卖出价之间或预期执行价之间的差异来衡量的。根据摩擦类型的选择，可在文献中找到更多类似结果的实例。例如，随着内幕人士的消失，Glosten&Milgrom（1985）和Kyle（1985）的市场变得有效。类似地，随着交易频率的增加和私人信号的消失，市场在杜朱（2014）中变得有效。

Brunnermeier&Pedersen（2005）中也提到，如果不限制代理商库存的规模，市场将变得有效。以上结果证明了高交易频率的积极作用。然而，它们基于这样一个假设，即市场不会随着频率的增加而退化。在第3节中，我们看到，只有当代理人是市场中立的（即α=0），市场才不会退化。如果违反了这一条件，且频率N足够高，则市场不承认任何非退化均衡（即，不存在安全机制，流动性危机永远不会发生）。事实证明，这个结论在本文考虑的一般情况下仍然成立。定理4.2。假设4.1,4.2,4.3,4.4,4.5,4.6,4.7成立。考虑一组给定时间间隔[0，T]的均匀分区，其直径为{t=t/N>0}，包含任意小的t、 以及离散时间模型的相关家族。假设每一个这样的模型都允许一个非简并的LTC平衡，具有相同的支持度a。那么，对于所有α∈~A，我们有：~pis，Pα下的鞅。上述定理表明，如果交易频率N足够大，即使信号α非常小（但非零），市场也会退化。因此，正如第3节末尾所讨论的，这种退化不能归因于任何根本原因，我们称之为内生流动性危机。让我们为定理4.2的陈述成立的原因提供一个直观的（启发性的）论证。首先，假设所有多头经纪人（即持有正库存的经纪人）都看好资产（即持有正漂移）。

然后，与第3节类似，更高的交易频率放大了逆向选择效应，迫使做多机构从市场中撤出流动性（即，他们更愿意无所事事，等待更高的基本价格水平）。请注意，在当前设置中，代理可能有不同的信念，LOB可能有复杂的形状和动力学，并且预期的执行价格不再具有确定性。所有这些都使得我们很难简单地描述高频如何放大逆向选择。尽管如此，对该案例的一般分析仍然基于第3节末尾讨论的想法：它与Eαn的速度有关t（pn+1-p | pn+1>p）消失（随着频率的增加），相对于预期执行价格接近基本价格的速度。因此，为了避免市场退化，必须有非零数量的市场中性或看跌的多头经纪人。随着交易频率的增加，这些代理将在较低的级别发布限价订单。接下来，假设存在看涨因素（多头、空头或零库存）。然后，在足够高的交易频率下，代理人对资产单股多头头寸的预期价值将超过市场中性和看跌多头代理人公布的ASK价格。在这种情况下，看涨的经纪人更愿意以公布的要价购买更多股票，以便以后出售。由于代理人规模较小，且其目标是线性的，看涨代理人可以扩大其策略，以产生有限的预期利润。这与最优的定义相矛盾，并意味着均衡不存在。

因此，所有经纪人都必须是市场中性的或看跌的。运用对称论证，我们得出结论，所有代理人都必须是市场中立的。第7节给出了上述论点的严格公式，构成定理4.2的证明。值得一提的是，Glosten&Milgrom（1985）中也记录了LOB的可能退化，并将其称为“市场关闭”。后一篇论文中使用的设置非常不同：它分析了报价驱动的交易（即，与指定做市商的交易），并假设存在具有高级信息的内部人。然而，在目前的情况下，我们有可能与LOB简并度相平行。也就是说，Glosten&Milgrom（1985）中的退化发生在内部人数量增加时，这意味着内部人交易产生的信号变得足够大。后者类似于当前环境下基本价格的马丁尼性偏差。然而，Glosten&Milgrom（1985）内部人员数量的增加也意味着摩擦的增加（因为内部人员可以被解释为Glosten&Milgrom（1985）中的摩擦）。另一方面，定理4.2指出，当摩擦足够小时，就会出现市场退化。也许，内部人员数量的双重作用不允许对Glosten&Milgrom（1985）的市场关闭进行详细分析。市场微观结构的许多其他模型（参见Goettler等人。