交易频率的流动性效应

（2005年）、Rosu（2009年）、Palour（1998年）、Foucault（1999年）、Du&Zhu（2014年））不太适合分析市场退化，这可能是因为这些模型中的代理人追求“一次性”策略（即他们不能选择等待并在以后发布限价单），或者因为基本价格（或其类似物）被限制为鞅。5 It^o过程的边际分布的条件尾根据前面章节的讨论，为了证明本文的主要结果，我们需要研究基本价格p的边际分布的性质（更准确地说，是其增量的分布）。为了证明定理4.1，我们需要证明，随着频率N增加到单位，基本价格和买入或卖出价格之间的差异收敛到零。事实证明，对于这一论点，以及定义2.2要求对所有α都是最优的这一事实，解释了为什么REM 4.2的声明适用于所有α，而不是un-a.e.，α∈~A.目的，有必要表明pC的标准化增量的分布接近标准正态分布。下面的引理总结了这些结果。它相当简单，但技术性很强，因此，其证明附在附录B中。为了表述结果（并便于后续章节中的推导），我们引入了附加符号。为了便于标注，我们去掉了上标对于某些变量（我们只在重要时强调这种依赖性）。对于时间间隔[0，T]上的任何市场模型，都与直径为的均匀划分相关联t=t/N>0，并且有一个基本的价格过程p，我们定义（5.1）ξN=pn- pn-1=~ptn- ■ptn-1，Eαn=~Eαtn，Pαn=~Pαtn，tn=nt、 n=1。

，新界/t、 我们用η表示一个标准正态随机变量（可能在扩展概率空间上），它在每个Pα下独立于fn。引理5.1。假设4.1,4.2,4.3,4.4成立。然后，存在一个函数ε（·）≥ 0，s.t.ε(（t）→ 0，作为T→ 0，以下为所有P的P-a.s∈ R、 全α∈ A、 所有n=1，N，（i）（p）∨ 1)Pαn-1.ξn√t> p- Pαn-1.σtn-1η>p≤ ε(t） ，（二）Eαn-1.ξn√t{ξn/√t> p}- Eαn-1.σtn-1η{σtn-1η>p}≤ ε(t） 。此外，如果我们将（ξn，η，p）替换为(-ξn，-η, -p） 。为了证明定理4.2，我们需要比较条件期望Eαn（pn+1）的速率-p | pn+1>p）消失（随着频率N变为单位）到预期执行价格收敛到基本价格的速率。这需要进行更细致的分析——尤其是，仅仅将（标准化的）基本价格增量的分布与高斯分布接近已经不够了。事实上，我们需要的是对基本价格增量分布的条件尾部的精确统一估计。期望的性质在下面的引理中得到了表述，我们相信，它本身是有价值的。这一结果使我们能够用指数形式近似地估计It^o过程的条件边际分布的尾部。据我们所知，这个结果是新的。建立期望估计值的主要困难在于：（a）我们估计的是有条件的，而不是常规的，尾部的；（b）估计值需要在参数值上保持一致。请注意，即使在扩散过程X的情况下，X的边缘分布尾部的经典高斯型边界也不足以确定所需的估计。

原因是，一般来说，由于参数值较大，从上到下的规则尾的高斯估计具有不同的衰减阶，这使得它们无法对条件尾（两个规则尾的比率）进行预处理。引理5.2。考虑以下随机基础上的连续半鞅（^）Ohm, （^Ft）t∈[0,1]，^P）：Xt=Zt^uudu+Zt^σudBu，t∈ [0,1]，其中B是布朗运动（关于给定的随机基），^u和^σ是逐步可测量的过程，因此上述积分定义良好。假设对于[0,1]中的任何停止时间τ≤ |^στ| ≤ C持有a.s.，其中一些常数C，C>0。然后，存在ε>0，仅取决于（c，c），s.t.，如果^μτ≤ ε、 ^E^s∨τ- ^στ）|Fτ≤ εa.s.，适用于所有s∈ [0,1]和所有停止时间τ，其值在[0,1]中，那么，对于任何c>0，存在c>0，仅依赖于（c，c，ε，c），s.t。以下情况成立：^P（X>X+z |X>X）≤ 总工程师-cz，x、 z≥ 0.证明：在证明过程中，我们将使用简写符号^Eτ和^Pτ来表示条件检验和条件概率w.r.t^Fτ。我们还表示at=Zt^uudu，Gt=Zt^σudBu。对于任何x≥ 0，让我们引入τx=1∧ inf{t∈ [x}:1。然后^P（X>X+z）≤^P（监督）∈[0,1]Xt>x+z）=^E{τx<1}Pτxsups∈[τx，1]（Xs）- x） >z！！注意，在{τx≤ s} ，我们有：Xs- x=As∨τx- Aτx+Gs∨τx- Gτx.此外，过程（Y）s∈[0,1]，其中Ys=As∨τx-Aτx，适用于过滤（^Fτx∨s） ，而过程（Z）是∈[0,1]，其中Zs=Gs∨τx-Gτx是关于它的鞅。接下来，在{τx<1}上，我们有：Pτxsups∈[τx，1]（Xs）- x） z=^Pτxsups∈[0,1]（Ys+Zs）>z！≤^Pτxsups∈[0,1]expcZs-奇兹> 经验cz- C√ε -复写的副本!,我们利用了hZis≤ hXi≤ C、 为了所有的人∈ [0, 1].

使用Novikov条件，很容易检查ms=expcZs-奇兹, s∈ [0，1]是真鞅，因此，我们可以应用Doob的鞅不等式来获得{τx<1}:Pτxsups∈[0,1]expcZs-奇兹> 经验cz- C√ε -复写的副本!≤ 经验-cz+c√ε+cC.收集上述不等式，我们得到（5.2）^P（X>X+z）≤^P（监督）∈[0,1]Xt>x+z）≤ C（ε）e-cz^P（τx<1）=C（ε）e-cz^P（监督）∈[0,1]Xt>x）。下一步是通过X分布的尾部来估计运行最大值的分布尾部。为此，我们按照之前的步骤进行：（5.3）^P（X>X）=^E{τx<1}Pτx（Y+Z>0）,上面定义了Y和Z。注意，在{τx<1}上，^Pτx（Y+Z>0）=^Pτx^στxB- Bτx√1.- τx+√1.- τxZτx^uudu+√1.- τxZ（^σu）∨τx- ^στx）dBxu>0,其中Bxs=Bs∨τxis关于（^Fs）的连续平方可积鞅∨τx）。表示=Zs（^σu）∨τx- ^στx）dBxu，s∈ [0,1]，注意它是关于（^Fs）的平方可积鞅∨τx）。然后，在{τx<1}上（可能没有一组测度零点），我们有：^Eτx√1.- τxR=1.- τx^EτxR≤1.- τxZτx^Eτx（^σu）∨τx- ^στx）du≤ ε.此外，^Eτx√1.- τxZτx^uudu≤ ε.收集上述信息并使用切比雪夫不等式，我们在{τx<1}上得到：^Pτx（Y+Z>0）-^Pτx^στxB- Bτx√1.- τx≤ -ε1/3≤ 2ε1/6.另一方面，由于布朗运动的强马尔可夫性质，在{τx<1}上，我们有，a.s.：^Pτx^στxB- Bτx√1.- τx≤ -ε1/3=^Pξ ≤ -ε1/3σσ=^στx，其中ξ是标准法线。As^στx∈ [c，c]，我们得出结论，上面的右边收敛到1/2，如ε→ 0，一致地覆盖{τx<1}中几乎所有的随机结果。

特别是，对于所有足够小的ε>0，我们有：{τx<1}^Pτx（Y+Z）≤ 0) -^Pτx（Y+Z>0）≤ 1{τx<1}δ（ε）<1，并且，鉴于（5.3），^P（x>x）≥^E{τx<1}Pτx（Y+Z）≤ 0)- δ（ε）^P（τx<1）将上述不等式和（5.3）相加，我们得到^P（x>x）≥ (1 - δ（ε））^P（τx<1）=（1- δ（ε））^P（supt∈[0,1]Xt>x），它与（5.2）一起产生引理的陈述。6定理4.1的证明在本证明的范围内，我们采用（5.1）中介绍的符号，并使用以下约定。注释公约6.1。LOB、买卖价格、预期执行价格和需求都是相对于p来衡量的。也就是说，我们用ν来表示νno（x 7→ x+pn）-1，panto表示pan-pn，pbn表示pbn- pn，λanto表示λan- pn，λbn表示λbn- pn，Dn（p）表示Dn（pn+p）。在此，我们只关心最后一个交易期内发生的事情——时间（N-1） ，其中N=T/t、 因此，我们省略了下标N-1只要上下文清楚。特别是，我们为paN编写了paN和PBP-1和pbN-1，ν表示νN-注意，在LTC平衡中，我们有：pa=paN=paN-1，对于pB和ν具有相似的等式。为了方便起见，我们还删除了上标t在LOB和相关的出价和要价中。最后，我们用A表示给定平衡的支撑。由于Pad和pb在我们的模型中的作用是对称的，我们将只证明pb命题的陈述。

我们将证明，在定理的假设下，存在一个常数C>0，仅取决于假设中的常数C。1和4.2，这样，对于所有足够小的t、 我们有，P-a.s.：（6.1）- C≤ 铅/√t<0首先，我们引入^Aα（p；x），我们称之为简化目标：（6.2）^Aα（p；x）=EαN-1.（p- 十、- ξ） 1{ξ>p}.回想一下，在上一个时间段，在价格水平p下发布限价销售订单的预期相对收益由aα（p；pbN）给出，其中（6.3）aα（p；x）=EαN-1.（p- 十、- ξ） 1{D+N（p-ξ)>ν+((-∞,p） ）}.回想一下，根据符号惯例6.1简化目标类似于α，但它假设没有比代理商发布的订单价格更好的订单。特别地，对于p，^Aα（p；x）=Aα（p；x）≤ pa.附录A中的推论9.1规定，在均衡状态下，P-A.s.，如果该状态（s，α）的代理发布限价销售订单，则他们会以最大化真实目标Aα（P；pb）的价格水平P发布订单。下面的引理表明，对于发布接近要价的限价卖出订单的代理，修改后的目标的价值变得接近真实目标的价值。引理6.1。P-a.s.，要么v+（{pa}）>0，要么我们有：Aα（p；pb）-^Aα（pa；pb）→ 0，作为p↓ pa，在整个α上均匀分布∈~A.证明：如果ν+（{pa}）=0，则ν+在pa处是连续的，且+((-∞, p] )→ 0，作为p↓ 爸爸，那么，我们有Aα（p；pb）-^Aα（pa；pb）=EαN-1.（p- PB- ξ） 1{D+N（p-ξ)>ν+((-∞,p） ）}- EαN-1.（爸爸）- PB- ξ） 1{ξ>pa}≤ |P- 帕|+帕- PB- ξL（PαN）-1） PαN-1.ξ>pa，D+N（p- ξ) ≤ ν+((-∞, p） )因此，有必要证明：（i）帕- PB- ξL（PαN）-1） 由独立于α和（ii）PαN的有限随机变量限定-1.ξN>pa，D+N（p- ξ) ≤ ν+((-∞, p） )→ 0，P-a.s.，作为P↓ pa，在α上均匀分布。

对于（i），我们有：帕- PB- ξL（PαN）-1)≤ |帕- pb |+kξkL（PαN-1)≤ |帕- pb |+2C√t、 其中常数C出现在假设4.1和4.2中。对于（ii），我们注意到{ξN>pa，D+N（p- ξ) ≤ ν+((-∞, p） ）}={ξN>pa，ξ≤ P- D-1Nν+((-∞, p） )},因为DN（·）是严格递减的，DN（0）=0。假设4.6意味着κ-1(ν+((-∞, p） ））≤ D-1N（ν）+((-∞, p） ）<0，其中κ在时间N已知- 1.因此，PαN-1.ξ>pa，D+N（p- ξ) ≤ ν+((-∞, p） )≤ PαN-1.ξ ∈爸爸，p- κ-1(ν+((-∞, p） ））.仍然需要证明的是，P-a.s.，上面的右边收敛到零，在整个α上是一致的。假设它不成立。然后，在正概率P下，存在ε>0和（pk，αk）序列，例如↓ paandPαkN-1.ξ ∈ （爸爸，爸爸）- κ-1(ν+((-∞, pk））]≥ ε.请注意，P-a.s.，度量值系列^uk=PαkN-1.o ξ-1.太紧了。例如，后者是基于这样一个事实，即P-a.s.，ξ的条件二阶矩在所有α上一致有界（这反过来又是随机演算中的标准练习）。因此，普罗霍罗夫定理意味着这些度量的子序列弱收敛于R上的某个度量。接下来，请注意，对于所选子序列中的任何固定k，都存在足够大的k^u爸爸，pk- κ-1(ν+((-∞, pk）））- uk爸爸，pk- κ-1(ν+((-∞, pk）））≤ ε/2.因此，对于子序列中的任何k，我们有^u爸爸，pk- κ-1(ν+((-∞, pk）））≥ ε/2.以上是一个矛盾，作为相应区间（pa，pk）的交点- κ-1(ν+((-∞, 总的来说，k是空的。现在我们准备好证明（6.1）中的上界。引理6.2。在任何非简并LTC平衡中，pb<0<pa，P-a.s。。证明：我们只证明pb<0成立，另一个不等式非常相似。假设pb≥ 正P-概率集上的0Ohm∈ FN-1.我们要证明这会导致矛盾。

首先，推论9。1，在附录A中，意味着，P-A.s.，如果（s，α）状态的代理发布了限价销售订单，那么我们必须有：supp∈RAα（p；pb）≥ 0.此外Ohm, 对于所有α，我们有：^Aα（pa；pb）<0∈在每个PαN下，A，asξ在R中有完全的支撑-1（这反过来又源于σ一致有界远离零的事实）。然后，引理6.1暗示存在FN-1-可测量的\'p≥ 爸，就这样Ohm, 下面的公式适用于a.s.：如果ν+（{pa}）=0，则p>pa，并且在所有情况下，（6.4）aα（p；pb）<0，P∈ [pa，\'p]，α ∈早些时候，代理商在“p”以下发布限价销售订单是次优的。然而，代理商的策略只需要在一组p-度量值为零的情况下是最优的，并且这些集合对于不同的（s，α）可能是不同的。因此，需要做更多的工作来获得所需的矛盾。以B组为例 Ohmx R××A:B={（ω，s，α）|q（s，α）>0，^p（s，α）≤ “p}。该集合相对于FN是可测量的-1.BR××A, 由于^q和^p.Noticethat的可测量性，由于上述讨论和代理人行动的最佳性（参见附录A中的推论9.1），对于任何（s，α）∈ R××A，我们有：P（{ω|）（ω，s，α）∈ B} ）=0，亨森-1ZR×AB（ω，s，α）uN-1（ds，dα）=ZR×AEN-1（1B（ω，s，α）ρN-1（ω，s，α））uN-1（ds，dα）=0，其中ρN-1是氡Nikodym密度uN-1w。r、 t.到确定性度量uN-1（参见假设4.7）。以上暗示，PN-1-a.s.，1B（ω，s，α）ρN-1（ω，s，α）=0，表示uN-1-a.e.（s，α）。还要注意，对于所有（ω，s，α）∈ Ohm×R××A，{p（s，α）≤\'p}^q+（s，α）1Bc=0。根据上述观察结果和平衡定义（参见定义2.4）中的条件（2.4），我们得出以下结论：Ohm, 下面是a.s.：ν+（[pa，\'p]）=0，其中\'p≥ pa，如果ν+（{pa}）=0，那么`p>pa。

这与pa的定义相矛盾（回想一下，由于LOB的非简并性，PAI是P-a.s.定义）。只剩下证明pbin（6.1）的下限了。假设它不成立。也就是说，假设存在一个平衡族，具有任意小的t、 和正P概率FN-1-可测集Ohmt、 这样pb<-C√t onOhmt、 我们将证明，这导致了与pa>0的矛盾。为此，假设代理最大化简化目标函数^Aα，而不是真实目标函数Aα。然后，如果PBI足够负，则所有α的最优价格水平均为负。下面的引理给出了这个问题的精确公式。引理6.3。对于任何足够小的变量，都存在一个常数C>0，s.tt、 存在常数, δ>0，s.t.，P-a.s.，我们有^aα(-δ; 十）≥  + supy≥0^Aα（y；x），对于所有α∈~A和所有x≤ -C√t、 证明：表示“ξ=ξ”/√然后考虑随机函数Aα（p；x）=EαN-1.（p- 十、-ξ）1{ξ>p}.注意^Aα（p；x）=√t\'Aαp/√Tx/√T,因此，我们可以将引理的陈述重新表述如下：对于任何足够小的引理，都存在一个常数C>0，s.tt、 存在常数, δ>0，s.t.，P-a.s.，我们有α(-δ; 十）≥  + supy≥0’Aα（y；x），对于所有α∈~A和所有x≤ -C.注意“Aα”(-δ; 十）-\'Aα（y；x）=-xEαN-1.{-δ<ξ≤y}-EαN-1.ξ1{-δ<ξ≤y}-δEαN-1.{ξ>-δ}-叶αN-1.{ξ>y}在x中是不增加的，因此，这就是α(-δ; 十）- supy≥0′Aα（y；x）。因此，证明上述x=-C.接下来，考虑通过（6.5）Aσ（p；x）=^E定义的确定性函数Aσ（p；x）（p- 十、- ση）1{ση>p},其中η是辅助概率空间（^）上的标准正态随机变量Ohm,^P）。它来自外稃5。1存在一个函数ε（·）≥ 0，s.t.ε(（t）→ 0，作为T→ 0，顺便说一句，我们有α（p；-C）- AσtN-1（p；-C）≤ ε(t） 总之∈~A和所有p∈ R

然后，我们可以选择t足够小，因此ε(t） <, 如果我们能证明存在常数，引理的陈述就会随之而来, δ、 C>0，s.t.，P-a.s.，aσtN-1(-δ; -C）≥ 3. + supy≥0AσtN-1（y；-C） AsσtN-1(ω) ∈ [1/C，C]，P-a.s.，信息技术足以发现, δ、 C>0，s.t.Aσ(-δ; -C）≥ 3. + supy≥0Aσ（y；-C） ,，σ ∈ [1/C，C]。请注意，上述不等式不涉及ω或ξ，它只是确定性函数的一个性质。还请注意Aσ（p；x）=σA（p/σ；x/σ），在（6.5）中有Agiven。然后，如果我们分别用F（x）和F（x）表示标准法线的cdf和pdf，我们得到a（p；x）=（p- x） （1）- F（p））-Z∞ptf（t）dt。一个简单的计算给出了A和Aσ（i）的以下有用性质，对于任意σ>0和任意x<0，函数p7→ σ（p；x）有一个唯一的最大化子pσ（x），特别是，它在p中递增≤ pσ（x）和p中的递减≥ pσ（x）。（ii）功能X 7→ pσ（x）=σp（x/σ）=σ（（1）- F）/F）-1(-x/σ）在x<0时增加，并收敛到-∞, 作为x→ -∞.然后，选择Clarge就足够了(-C/C）<0，确保pσ(-C） <0，对于所有σ∈ [1/C，C]。设置δ=-p(-C/C）/C保证pσ(-C）≤ -δ、 无论如何∈ [1/C，C]。然后，根据上面的性质（i），我们得到，对于所有σ∈ [1/C，C]Aσ(-δ; -C） >Aσ（0；-C） =supy≥0Aσ（y；-C） 。最后，作为一个例子(-δ; -C）- Aσ（0；-C） 是σ的连续函数∈ [1/C，C]，我们可以找到, 这样的话(-δ; -C）≥ 3. + supy≥0Aσ（y；-C） ,，σ ∈ [1/C，C]。回想一下，我们的假设是pb<-C√t坚持一套Ohmtof正P-测量。还记得thatpa>0，P-a.s.，因为引理6.2。