交易频率的流动性效应

然而，均衡的存在并不是当前工作的主要重点：本文建立的存在性结果仅限于第3节，该节在aspeci fic Gaussian随机游动模型中构建了LTC均衡（本文扩展版的第8节给出了一个更一般的存在性结果，Gayduk&Nadtochiy（2015））。本研究的核心是观察到，药剂可能会达到平衡，其中LOB的一侧变空（如第3节的示例所示）。我们称这种LOB和相关的平衡为退化。定义2.7。我们说，如果ν+n（R）>0且ν-n（R）>0，对于所有n=0，N-1，P-a.s。。直观地说，LOB的简并性是指LOB的一方以正概率从市场上消失的情况：即ν+n（R）或ν-n（R）变为零。显然，当本应提供流动性的代理选择发布市场订单（即消耗流动性）或等待（均不提供流动性）时，就会发生这种情况。这种退化可以被解释为内生流动性危机——这种危机主要是由代理人之间的相互作用引起的，不能由任何基本经济原因（例如，双方对资产的外部需求可能仍然很高）来解释。从乐观的角度来看，我们假设当一个平衡点可用时，代理选择一个非退化平衡点。然而，如果不存在非退化均衡，则内生流动性危机可能以正概率发生。

本文的主要目的之一是深入了解内生流动性危机的发生及其与交易频率的关系。3示例：高斯随机游走模型在本节中，我们考虑外部需求D的特定市场模型，以构建非退化LTC均衡。更重要的是，利用这个模型，我们说明了交易频率对流动性的影响。目前的例子，虽然非常简单，但使我们能够确定随着交易频率的增加，代理人（以及LOB）的最优策略中的重要变化。特别是，我们展示了高交易频率可能会不成比例地放大逆向选择效应，并可能导致流动性危机。请注意，在目前的情况下，逆向选择现象不是任何事前信息不对称的结果，而是由交换机制（即限制指令的性质）造成的，这类似于Goettler等人（2005年），Foucault（1999年）中记录的现象。在本文的其余部分，我们表明，本节的结论并不是由于本节中对模型的特殊选择，事实上，它坚持一个更一般的设置。在完全随机的基础上(Ohm,~F=（~Ft）t∈[0，T]，P），我们考虑一个连续时间过程P：（3.1）~pt=P+αT+σWt，P∈ R、 t∈ [0，T]，其中α∈ R和σ>0是常数，W是布朗运动。我们还考虑了一个任意的渐进可测随机场（~Dt（p）），s.t.，p-a.s.，函数~Dt（·）-对于任何0，Ds（·）在0处严格递减并消失≤ s<t≤ T最后，我们介绍了经验分布过程（μut），其值在S的有限西格玛加性度量空间中。

我们将时间间隔[0，T]划分为大小为N的子间隔t=t/N.离散时间模型是通过离散连续时间oneFn=~Fn得到的t、 pn=~pnt、 Dn（p）=（Dn）T-~D（n）-1)t） （p- pn），un=~unt、 在本节中，为了简单起见，我们假设代理的信念集是一个单态：a={α}和Pα=P。我们还假设（至少从代理的角度来看）市场上总是存在一些长短代理：un（（0，∞) ×A），un((-∞, 0）×A）>0，P-A.s.，对于所有n.显然，n代表交易频率，连续时间模型代表“限制模型”，代理人将其作为基准，以便在不同交易频率的市场中做出一致的预测。我们假设基准模型是固定的，N允许变化。在本节的剩余部分中，我们提出了一种在上述离散时间模型中构造非退化LTC平衡的方法。我们证明了当α=0时，该方法对任何（N，σ）都是成功的。然而，对于α6=0，我们在数值上证明，当N变大时，该方法失败。我们确切地说明了拟议建设失败的原因，为这一现象提供了经济解释。此外，我们分析了接近于非退化均衡不存在的时刻的市场，并证明此时代理人的行为遵循内生流动性危机的典型模式。鉴于命题2.1，为了构建非退化LTC均衡，我们需要找到一个控制（^p，^q，^r）和预期执行价格（^λa，^λb），s.t。库存s的代理的价值函数由VN（s）=s+^λan给出- s-λbn，它是通过策略（^p，^q，^r）实现的。此外，我们需要找到一个非退化LOBν，s.t.（2.4）、（2.5）和（2.9）保持。

我们的安萨兹如下=hanδpan，hbnδpbn, pan=^pan+pn，pbn=^pbn+pn，-∞ < ^pbn，^pan<∞,^pn（s）=pan{s>0}+pbn{s<0}，^qn（s）=s，^rn（s）=0，λan=^λan+pn，λbn=^λbn+pn，其中δ是狄拉克测度，（^pa，^pb，^λa，^b）是确定性过程，han=R∞sun（ds）>0，hbn=R-∞|s|un（ds）>0。有了这样的安萨兹，条件（2.4）、（2.5）会自动满足。因此，我们只需要选择有限的确定性过程（^pa，^pb，^λa，^λb）s.t.：^paN=^paN-1，^pbN=^pbN-1（使平衡点LTC）和相关的（^p，^q，0）形成最优控制，产生值函数Vn（s）=s+λan-s-λbn。附录A包含描述此类族（pa、pb、λA、λb）的必要和充分条件。特别是，我们从推论9.1和9.2中得出（^paN）-1，^pbN-1，^λaN-1，λbN-1） 在单周期情况下组建合适的家庭[N]- 1，N]，如果他们解决了以下系统：（3.2）^paN-1.∈ arg maxp∈重新（p- ^pbN-1.- ξ） 1{ξ>p}, ^pbN-1<0，^pbN-1.∈ arg maxp∈重新（^paN）-1.- p+ξ）1{ξ<p}, ^paN-1> 0，^λaN-1=^pbN-1+ αt+E（^paN）-1.- ^pbN-1.- ξ） 1{ξ>^paN-1},λbN-1=^paN-1+ αT- E（^paN）-1.- ^pbN-1+ξ）1{ξ<^pbN-1},^pbN-1.≤^λaN-1，λbN-1.≤ ^paN-1，^paN-1.≥ ^pbN-1+ |α|t、 为了确保离散时间模型的正则条件概率的存在，我们可以，例如，假设由标准Borel空间中具有值的随机元素生成ftisg。式中ξ=pN~ N（α）t、 σt） 。让我们来评论一下（3.2）中等式的经济意义。前两行中的预期代表在所选价格水平p+pN的时间N执行限价订单的相对预期收益-1.与在时间N时将存货标记为市场价格相比，以书的另一面可用的最佳价格：即pbN=^pbN-1+ξ+pN-1或盘=^盘-1+ξ+pN-1.

请注意，当且仅当时间N的基本价格高于或低于所选的限价指令时，才会执行限价指令：即ifpN-1+ξ>p+pN-1或pN-1+ξ<p+pN-1.很明显，只有当相对预期利润为非负时，代理人发布限额订单才是最佳选择，当且仅当^pbN-1<0<^paN-1.（3.2）中的第三行和第四行代表代理人在时间N的预期执行价格- 1，假设他们使用（^paN）给出的控制-1，^pbN-1). 每一个右边都是两个组成部分的总和：发布限价订单的相对预期利润和时间N时按市价计价的预期价值，相对topN测量-1.让我们分析（3.2）最后一行中的不等式。如果投标价格在时间N- 1超过长期代理（即^pbN）的预期执行价格-1+pN-1> ^λaN-1+pN-1，那么每一个拥有正库存的代理都倾向于在时间N提交市场订单，而不是限价订单-1，这会导致LOB的ask端退化。同样，我们建立了λbN-1.≤ ^paN-1.最后，如果α>0且^paN-1<^pbN-1+ αt、 代理人可以在时间N使用市场指令购买资产- 1.以^paN的价格-1+pN-1，并在时间N以预期价格^pbN出售-1+pN-1+ α^paN-1+pN-1（α<0时，反向策略有效）。这一策略可以被扩展以产生有限的预期利润，因此，被（3.2）最后一行中的最后一个不平等排除在外。我们通过解（3.2）的前两行给出的定点问题，并验证所需不等式成立，从而构造（3.2）的解。我们在MatLab中实现了这个计算，结果可以显示为图1中图形的最右点。从数值解中，我们可以看到如果足够小，条件就足够了-1.≤^λaN-1和λbN-1.≤ ^paN-1感到满意（参见。

图1的右侧部分）。此外，对于α≥ 我们有^paN-1.- ^pbN-1.- ξ|ξ>^paN-1.= ^paN-1.- ^pbN-1.- Eξ|ξ>^paN-1.≤ ^paN-1.- ^pbN-1.- αt、 这就产生了（3.2）中的最后一个不等式。α<0的情况也被类似地处理。注意，^λaN=^pbN=^pbN-1和^paN-1=^paN=^λbN。因此，我们构建的单周期均衡满足：（3.3）^pbn≤λan，λbn≤ ^pan，^λan+1<0，^λbn+1>0，对于n=n- 1.如果（3.3）中的前两个不平等中的一个失败，代理人会选择提交市场订单，而不是限制订单，这会导致LOB退化——它的一面消失。如果最后两个不等式中的一个失效，在任何价格水平下执行限价令都会为账簿一侧的代理人产生负的相对预期收益（由（3.2）第一行或第二行中的预期给出）。因此，所有此类代理停止发布任何限价订单已成为当务之急，LOB也随之退化。后者被解释为逆向选择效应。例如，如果（3.3）中的第三个不等式失败，那么，每个做多代理都相信，无论她的限价单发布的价格是多少，如果在下一个时间段执行，她在下一时间步的预期执行价格将高于执行限价单的价格。因此，发布限价单是次优选择。在一段时间内[N]- 1，N]，通过选择足够小的t、 我们可以确保（3.3）中的不等式得到满足。然而，事实证明，当我们递归地构建一个均衡时，我们可能会遇到（3.3）中的一个不等式失败的时间步，这意味着在给定的时间段内（至少使用所提出的方法）无法构建非退化LTC均衡。

要了解这一点，请考虑（^pa，^λa）的递归方程（选择这些方程是为了满足附录a中推论9.1的条件，给出了ouransatz）：（3.4）^pan∈ arg maxp∈重新P-^λan+1- ξ{ξ>p},^λan=^λan+1+αt+E^pan-^λan+1- ξ{ξ>^pan）}< 0时，限价订单的执行在所选的ansatz中很简单，因为书的每一边（即多头或短头）的代理以相同的价格发布订单。事实上，严格证明任何（α，σ）系统都存在唯一的解决方案并不困难，只要t足够小了。为了简洁起见，我们省略了这个结果。这很容易直观地解释，因为（3.2）的前两行中的最佳目标值的形式为C√t+αO(t） 。对于（^pb，^λb）也是如此。利用高斯分布的性质，很容易看出，如果^λan+1<0，则^pan>0。类似的结论适用于（^λb，^pb）。因此，如果λak<0<λbk，对于k=n+1，N、 我们的方法允许我们在时间间隔[N，N]上构造一个非退化LTC均衡，^pb<0<^pa。如果代理是市场中性的，这种构造总是成功的：即α=0。实际上，在这种情况下，假设^λan+1<0<^λbn+1，我们有^pbn<0<^pan和^λan+1+E^pan-^λan+1- ξ{ξ>^pan）}+= E^λan+1{ξ>^pan）}+ E（^pan）- ξ） 1{ξ>^pan）}< 因此，λan<0，同样，我们推断λbn>0。通过归纳，我们得到了任意（N，σ）的非简并LTC平衡[0，N]，只要α=0。推论4.1表明→ ∞, 过程（λa，λb）收敛到零，这意味着预期执行价格收敛到基本价格。后者被解释为高频交易制度下的市场效率：任何市场参与者都希望以基本价格购买或出售资产。

图2的左侧显示，如果α=0，买入价和卖出价也会收敛到基本价。这可以解释为增加交易频率的积极流动性效应。然而，如果α6=0，情况就完全不同了。例如，假设α>0。然后，（3.4）的第二行表示^λ至少增加αt在（向后）递归的每一步。回想一下，步骤数是N=T/t、 因此，λa≥λaN+αT。如果|λaN |很小（如果N很大，通常就是这种情况），那么我们可以得到^λaN+1≥ 0，在某个时间n，这违反了（3.3）中的第三个不等式，或者，等价地，意味着（3.4）第一行中的目标对于所有p都是严格负的。后者意味着，对于具有正库存的代理来说，下达限额订单是次优的，并且所提出的方法无法在区间[n，n]中产生非退化的LTC均衡。图1显示了这种情况确实发生了。图1和图2还表明，对于给定的（有限）频率N，如果|α|足够小，仍然可以构造非简并平衡。然而，对于任何|α| 6=0，无论它多么小，都存在足够大的N，s.t。非退化平衡不存在（至少在所提出的方法定义的类别内）。如图2所示。重要的是提供一种经济解释，解释为什么会发生这种退化。仔细检查图1可以发现，大约在^λabe为非负时，要价^paexplode。这意味着想要出售资产的代理人只愿意以非常高的价格出售资产。还请注意，该价格比基本价格的预期变化大几个数量级（由图1左侧的黑色虚线表示）。

因此，这样的行为不能由基本原则的行为来证明。事实上，这正是所谓的内生流动性危机。那么，是什么导致了这种流动性危机呢？重申市场退化有两个潜在原因：代理人可以选择提交市场订单（如果^pbn>^λanor^pan<^λbn），或者他们可以选择等待，什么也不做（如果^λan+1）≥ 0或λbn+1≤ 0). 图1的右侧显示，简并度是由第二种情况引起的。这意味着，对内生流动性危机的天真解释是错误的，这种解释的依据是，在一个看涨的市场中，那些需要购买资产的人会提交市场订单，抹去账面卖方的流动性。相反，如果书中卖方的代理人有相同的信念，他们会提高要价，这样想购买资产的代理人就不能再提交市场购买订单。事实上，要价的上涨可能与基本价格（即信号）的预期变化不成比例，这就是导致内生流动性危机的原因。由此产生的买卖价格变化的大小不仅取决于信号，还取决于交易频率，这表明了增加交易频率的负面流动性效应：由于代理人偏离市场中立性，市场变得脆弱。反过来，后者的解释是，更高的交易频率加剧了逆向选择效应。要了解这一点，请考虑，例如，一家代理试图出售资产的一部分。增加交易频率会增加该代理的预期执行价值，使其更接近基本价格：这相当于^λA接近零（从下面开始）。假设代理以p的价格发布限价销售订单。

如果该订单在下一个时段执行，则代理收到p，但为了实现这一点，下一时间步的基本价格pn+1必须高于p。另一方面，代理在下一时间步的预期执行价格为pn+1+^λan+1。因此，鉴于其限额指令的执行，预期相对利润为En（p- pn+1-^λan+1 | pn+1>p）。后一种表达不能为正，除非^λan+1<0和|λan+1 |足够大。因此，如果|λan+1 |相对于En（pn+1）很小- p | pn+1>p），代理商不愿意在价格水平p下发布限价订单。因此，p需要足够大，以确保En（pn+1- p |pn+1>p）小于|710λan+1 |（在本节的高斯模型中，后一种期望随着p的消失而消失）→ ∞) – p需要增加的程度决定了逆向选择的效果。结果表明，如果代理是市场中性的（即α=0），随着频率N的增加，数量En（pn+1- p | pn+1>p），对于任何固定的p，以与|λan+1 |相同的速率收敛到零，因此，上述逆向选择效应不会被放大。相反，如果代理不是市场中性的，则^λan+1在某个足够高（但有限）的频率下返回零，而En（pn+1- p | pn+1>p）对于任何有限的p都是严格正的，这会产生“有限”的逆向选择效应并导致市场退化。当然，到目前为止，这些结论是基于一个非常具体的例子和一种构建均衡的特殊方法得出的。下一节显示，它们在任何基本价格由It^o过程给出的模型（可能具有异质性信念）中仍然有效。值得一提的是，Goettler等人（2005年）也出现了类似的逆向选择效应，福柯（1999年）将其称为“赢家诅咒”。