一种混合蒙特卡罗和偏微分方程方差缩减方法

那么，带payoff f（ST）的欧式期权在t=0时的无套利价格是风险中性度量下的贴现预期，可以使用混合蒙特卡罗/PDE方法BYU=Ehe进行近似-RTrduduf（ST）i=EHE-rTf（ST）Gf，d，vTii，（2.13）在哪里Gf，d，vt，0≤ T≤ T是由独立的布朗运动产生的自然过滤W、 W，W, i、 由过程v、rd、RFA生成，直到时间T。（2.13）中的第二个等式来自条件期望的“塔属性”。除非另有说明，否则所有预期均在Q下。假设近似条件期权价格为（2.13）中的内部预期，这在分析上适用于欧洲合同，Ehe-rTf（ST）Gf，d，vTi=e-rTZ∞-∞FST（z）φ（z）dz，其中φ和Φ分别为标准标准标准PDF和CDF。一些流行金融工具的条件价格如下所示，欧洲选项：ψSe-qTΦ（ψd）- ψKe-rTΦ（ψd）现金或无现金期权：e-rTΦ（ψd）资产或无资产选项：Se-qTΦ（ψd），（2.14），其中ψ=1表示调用，ψ=-1表示put，其中d1,2=对数（S/K）+R- q±σ/2Tσ√T.（2.15）近似期权价格，即（2.13）中的外部预期，由大量离散的期权轨迹上的蒙特卡罗平均值估计W、 W，W.还有许多其他的衍生工具可以为条件价格提供封闭形式的解决方案，比如幂选项、选择器选项或正向启动选项。然而，对于大多数路径依赖型衍生品，我们需要使用不同的方法来计算条件价格，在这种情况下，我们将依赖有限的差异方法（见第5节）。在本节结束时，我们将讨论条件反射的选择。

对于欧式期权定价，只有在考虑所有三个因素的情况下，才能得到内部预期的分析公式，这将导致问题的维数减少1。赫斯顿CIR模型的高维性使其成为自然选择。对于路径依赖型期权定价，由于外汇汇率漂移中的quanto修正项，v和Rf是耦合的，因此我们不能仅以Rf为条件。此外，短期利率导致的Monte Carlo估计量方差通常远低于瞬时平方波动率导致的方差。因此，我们可以交替地在RDE上设置条件，并求解内部期望的三维偏微分方程。一方面，与模拟v和R时相比，我们可以用更少的蒙特卡罗样本路径达到相同的精度水平。另一方面，蒙特卡罗方法的计算效率随维数线性增长，有限差分方法的计算效率随维数呈指数增长。因此，我们认为，对这三个因素进行条件反射更有效。然而，如果汇率和外国利率动态是独立的，则quanto修正项消失。在这种情况下，以两种短期利率为条件将是一个有趣的选择。3收敛性分析尽管在金融数学中，在估计收益预期时，弱收敛性非常重要，但复杂的路径依赖导数可能需要强收敛性，并且在多级蒙特卡罗方法中起着关键作用（Giles 2008）。在本节中，我们证明了（2.11）中定义的近似方案的强收敛性。

因此，我们首先检查平方根过程及其离散化的指数可积性，然后检查高于交换率过程及其近似值的阶矩的完整性。设y为（2.3）中定义的平方根过程，y为（2.7）中的分段常数fteimplant。这两个过程的泛函的指数可积性已经在Cozma和Reisinger（2015b）的命题3.2和3.6中讨论过。然而，我们需要调整我们的近似方案（2.11）的第二个结果，以建立收敛性。引理3.1。设λ，u∈ R被给予， ≡ λ+u，并定义随机过程Θt≡ 经验λZtYudu+uZtqYuδWyuδtdu, T∈ [0，T]。（3.1）如果 ≤ 0和T≥ 0，否则，如果 > 0和T≤ T*, 然后存在η>0这样的supδt∈（0，η）支持∈[0，T]EΘt< ∞, （3.2）其中T*具体如下：1。如果是基佬≤ ξy（u）+√0.5),T*=ξy（u）+√2.) - 肯塔基州（3.3）2。如果ky>ξy（u+√0.5),T*=2（肯塔基州）- ξy）ξy. （3.4）证据。见附录A。3.1矩边界对于许多随机波动率模型，阶数高于1的矩可以在有限时间内爆炸（Andersen and Piterberg 2007）。这在实践中可能会导致重大问题，例如，在计算支付函数具有超线性增长的期权的无套利价格时。对于一些具有超线性增长漂移或扩散系数的SDE的EulerMaruyama近似，也可以观察到同样的麻烦行为，其中矩在有限时间内发散（Hutzenthaler和Jentzen，2015）。接下来，我们证明了汇率过程及其近似矩的有界性。在这一点上，我们假设ρvd6=±1，并且ais非零，即ρsd6=ρsvρvd。提议3.2。对于α≥ 1.确定两个数量Q（α）≡2αξaQ2αρsvξk+αξ（a+a）- αξ+ 4αaξk-2αρsvξk+αξ（a+a）- αξ, （3.5）q（α）≡ q（α）1ρsv≤ 0+分钟q（α），kαρsvξρsv>0。

（3.6）如果模型参数满足以下条件，k>αρsvξ+pα（α- 1） ξ和kd2ξd>αq（α）q（α）- 1，（3.7）则存在α>α，因此对于所有ω∈ [1，α），支持∈[0，T]ESωt< ∞. （3.8）证据。见附录B。接下来，假设a和aare不同时为零，即ρsv+ρsd6=0。提议3.3。对于α≥ 1.定义（α）≡Qαρsvξ+Tαξ（a+a）/4- Tαξ/4+ Tαξ（a+a）k-αρsvξ+Tαξ（a+a）/4- Tαξ/4Tαξ（a+a）。（3.9）如果模型参数满足以下条件，k>αρsvξ+α（α- 1） Tξ和2kdtξd>αq（α）q（α）- 1，（3.10）则存在α>α，因此对于所有ω∈ [1，α），我们可以找到ηω>0，从而得到supδt∈（0，ηω）supt∈[0，T]ESωt< ∞. （3.11）证据。见附录C。由于最受欢迎的外汇和股权合同在外汇和资产价格方面最多呈线性增长，且其估值需要在风险中性度量下计算预期贴现收益，因此研究贴现下时刻的一致性非常有用。让我们用贴现汇率过程，Rt=Sexp-Ztrfu+vudu+Zt√武德苏, （3.12）设R为其连续时间近似值，Rt=Sexp-Ztrfu+Vudu+aZtqVudWu+Xj=2a1jZtqVuδWjuδtdu. （3.13）提案3.4。让α≥ 1.如果T<T*, 存在α>α，因此对于所有ω∈ [1，α），支持∈[0，T]ERωt< ∞. （3.14）如果α>1且T≥ T*, 那么RαT= ∞. （3.15）如果α=1，则T*= ∞, 如果α>1，则T*具体如下：1。如果k<αρsvξ-pα（α- 1） ξ，T*=ν（α）对数αρsvξ-k+ν（α）αρsvξ-K- ν(α), （3.16）式中，ν（α）=p（αρsvξ）-（k）- α(α - 1)ξ.2. 如果k=αρsvξ-pα（α- 1） ξ，T*=αρsvξ-k、 （3.17）3。如果αρsvξ-pα（α- 1） ξ<k<αρsvξ+pα（α- 1） ξ，T*=^ν(α)π- 阿尔克坦αρsvξ-k^ν（α）, （3.18）式中^ν（α）=pα（α）- 1)ξ- （αρsvξ）-k） .4。如果k≥ αρsvξ+pα（α- 1） ξ，T*= ∞. （3.19）证据。见附录D。当国内和国外利率不变时，命题3.4检验赫斯顿模型中的矩有界性。

它是Andersenand Piterberg（2007）中命题3.1的扩展，从α>1阶矩的界扩展到ω阶矩的界∈ [α，α），对于某些α>α≥ 1.我们利用这个结果证明了离散化贴现即期汇率过程的强收敛性。提案3.5。让α≥ 1.如果T<T*, 存在α>α和ηω>0，因此对于所有ω∈ [1，α），supδt∈（0，ηω）supt∈[0，T]ERωt< ∞, （3.20）其中T*具体如下：1。如果k<αρsvξ+pα（α- 1） ξ，T*=αρsvξ+pα（α- 1) ξ - k、 （3.21）2。如果k≥ αρsvξ+pα（α- 1） ξ，T*=∞ , 如果α=14（k- αρsvξ）α（α- 1） ξ，如果α>1。（3.22）证据。见附录E。据我们所知，Heston模型及其扩展的离散化方案矩的有界性直到最近才被确定（Cozmaan和Reisinger 2015a）——Kloeden和Neuenkirch（2012）也提到了这一事实——命题3.5只是第二个解决这一问题的命题。对于赫斯顿模型，命题3。5可以被视为对Cozma和Reisinger（2015a）中命题3.9的改进，这是因为临界时间的条件更加尖锐。3.2四维系统离散方差和国内利率过程的强均方收敛性在Cozma和Reisinger（2015a）的命题3.5中建立。首先，我们证明了外国利率的一个等价结果。提议3.6。如果2kfθf>ξf，则过程rf在L中强收敛，即limδt→0supt∈[0，T]呃rft- rfti=0。（3.23）证据。见附录F。

从证明中可以清楚地看出，Feller条件2kfθf>ξf（确保过程Rf不会达到零）允许我们控制原始过程和离散过程之间绝对差异的潜在增长，该差异来自漂移中的次线性校正项。其次，我们考虑（2.11）中过程的对数，并检验其收敛性。对数过程x及其近似值x的公式如下所示。xt=x+Ztrdu- rfu-似曾相识du+Zt√vudWsu，（3.24）Xt=x+Ztrdu- rfu-似曾相识du+aZtqVudWu+Xj=2a1jZtqVuδWjuδtdu。（3.25）提案3.7。如果2kfθf>ξf，则对数过程在L中一致收敛，即limδt→0E监督∈[0，T]xt- Xt= 0.（3.26）证据。见附录G。第三，我们证明了离散化即期汇率过程的收敛性。提案3.8。如果2kfθf>ξf，则过程S在概率上一致收敛，即limδt→0P监督∈[0，T]圣- 圣> = 0,  > 0.（3.27）证据。见附录H。定理3.9。让α≥ 1并假设满足以下条件：k>αρsvξ+maxpα（α- 1)ξ,α(α - 1） Tξ,kd2ξd>αq（α）q（α）- 1,2kdTξd>αq（α）q（α）- 1和2kfθf>ξf.（3.28），则过程在Lα中强收敛，即limδt→0supt∈[0，T]呃圣- 圣αi=0。（3.29）证据。见附录一。由于典型外汇或股票合约的收益在汇率或资产价格中最多呈线性增长，我们只需要知道贴现过程的强收敛性，就可以将时间离散化误差的收敛性推到零。对于所有α，下面的定理可以相对容易地推广到Lα情况≥ 1.当注意到关键时间T*（3.16）-（3.19）中的值总是大于（3.21）-（3.22）中的值。定理3.10。

如果2kfθf>ξfand T<T*, 然后贴现过程在L中强收敛，即limδt→0supt∈[0，T]呃Rt- Rti=0，（3.30），其中T*如下所示：T*=ρsvξ-k、 如果k<ρsvξ∞ , 如果k≥ ρsvξ。（3.31）证据。贴现过程的概率收敛是命题3.8的结果，即国内利率为零。其余的证明严格遵循定理3.9的论证，并使用命题3.4和3.5。我们可以将收敛性分析从四维Heston CIR模型扩展到具有CIR动力学和项结构的多因子短期利率，在这种情况下，命题3。4到3.8，因此定理3.10仍然成立，尽管证明稍作修改。条件k≥ ρsvξ也被称为良好相关性机制（Jacquier和Martini2011），在外汇和股票市场上几乎总是令人满意的。这是因为平均回归速度k通常大于波动率ξ的波动率，这一事实在表1中清楚地说明了。即使事实并非如此，潜在过程和方差之间的负相关性（通常是在股票市场中的情况（所谓的杠杆效应））或这种相关性的小绝对值（通常是在外汇市场中的情况）将确保该条件的有效性。此外，Feller条件2kfθf>ξfinTable 1：校准的Heston参数。第2栏：2004年1月2日至2005年9月27日的美元/欧元市场数据（Jessen and Poulsen 2013）。第3栏：2006年8月22日的欧元/美元市场数据（Elices和Gim\'enez 2013）。第4栏：1990年1月2日至2003年9月30日期间的标准普尔500指数，使用波动率数据（Ait-Sahalia和Kimmel2007）。第5栏：对于1990年1月2日至2011年12月30日期间的标准普尔500指数，使用指数上的两个货币期权（Hurn et al。

2014).参数Jessen&Poulsen Elices&Gimienez Ait-Sahalia&Kimmel Hurn等人k 2.2200 1.1000 5.1300 1.9775θ0.0120 0 0.0097 0.0436 0.0376ξ0.1830 0 0.1400 0.5200 0.4568ρsv0。0634 0.1400 -0.7540-0.7591（3.28）的外国利率在实践中普遍令人满意，表2清楚地说明了这一事实。对于随机波动率，我们不需要Feller条件，这在实践中并不总是给出的。表2：校准的Cox-Ingersoll-Ross参数。第2栏：1964年1月至1998年12月之间的3个月美国国债收益率（Driffell等人，2003年）。第3栏：1982年10月至2011年4月之间的美国国债收益率（埃里斯曼2011）。第4栏：2000年1月17日欧元ATM上限波动曲线（Brigo and Mercurio 2006）。第5栏：2008年1月1日至2008年10月6日之间的欧元隔夜指数平均值（La Aff'ers 2009）。第6栏：使用2001年1月1日至2011年9月期间欧元的历史数据（Amin 2012）。参数Driffill等人Erismann Brigo&Mercurio La Aff\'ers Aminkd，f0。0684 0.1104 0.3945 0.2820 0.1990θd，f0。0161 0.0509 0.2713 0.0411 0.0497ξd，f0。0177 0.0498 0.0545 0.0058 0.03543.3期权价格我们在本节结束时简要研究了计算外汇期权价格的混合蒙特卡罗/PDE估值器的收敛性。确定S:U=Ehe上期权的公平价格-RTrdtdtf（S）i，（3.32）及其在（2.11）下的近似值：U=Ehe-RTrdtdtf（S）i，（3.33），其中支付函数f可能取决于过程的整个路径，本节中的所有预期均在国内风险中性测度Q下。以下理论与四因素外汇模型下时间离散化误差收敛为零有关，可以直接扩展到多因素CIR短期利率。该证明采用命题3.4、3.5和3.8以及定理3.10。

然而，一旦上述结果成立，我们在此省略它，因为它与Cozma和Reisinger（2015a）中定理2.1的证明相似。定理3.11。假设2kfθf>ξf，则以下两种说法成立：（i）对（3.33）中定义的欧式看跌期权、向上看涨期权和任何障碍看跌期权的近似值收敛为δt→ 0.（ii）如果T<T*, 和T*从（3.31）中，对（3.33）中定义的欧式看涨期权、亚式看涨期权、向下和向内/向外看涨期权以及向上和向内看涨期权的近似值收敛为δt→ 0.对于欧洲合同，我们可以分析评估条件期权价格，即（2.13）中的最内层预期。因此，考虑方差和利率离散路径的M模拟，对于1≤ J≤ M、 设ωjdenote为第j个样本。然后mmxj=1he-RTrdtdtf（ST）Gf，d，vT，ω=ωji=MMXj=1Ehe-RTrdt（j）dtf（ST（j））Gf，d，vTi（3.34）是t=0时欧式期权价格的混合蒙特卡罗/偏微分方程估计量。全局错误可以分为两部分：错误=Ehe-RTrdtdtf（ST）i-MMXj=1Ehe-RTrdtdtf（ST）Gf，d，vT，ω=ωji=Ehe-RTrdtdtf（ST）i- Ehe-RTrdtdtf（ST）i+呵呵-RTrdtdtf（ST）Gf，d，vTii-MMXj=1Ehe-RTrdtdtf（ST）Gf，d，vT，ω=ωji.第一项是时间离散误差，第二项是统计误差。对于欧式看跌期权和看涨期权，前者的收敛性在定理3.11中推导出来，这个结果可以很容易地推广到其他金融衍生品，如二元期权。

后者收敛到零是根据中心极限定理（见Glasserman 2003），注意到方差的以下上界VarEhe-RTrdtdtf（ST）Gf，d，vTi≤ EEhe-RTrdtdtf（ST）Gf，d，vTi≤ Ehe-2RTRDTF（ST）i.假设f最多有多项式增长，我们可以利用命题3.3来推导在某些条件下模型参数方差的完整性。特别是，iff是Lipschitz，命题3.5给出了α=2的更精确的充分条件。对于路径依赖型合同，封闭形式的解决方案很少可用，我们依赖有限差来计算条件期权价格。条件是方差和利率路径的j-th实现，让uf，d，vjt、 圣和“uf，d，vj”t、 圣路易斯；P、 L分别采用P时间步长和L空间步长的均匀网格时，条件偏微分方程和相关有限差分格式的解。可以看出，条件偏微分方程有一个唯一的解（见Evans 1998中的7.1.2节），即条件期权价格（见Shreve 2004中的定理7.3.1）。然后，mmxj=1’uf，d，vj0，S；P、 L（3.35）是t=0时期权价格的混合蒙特卡罗/偏微分方程估计量。全局错误可以分为三部分：错误=Ehe-RTrdtdtf（S）i-MMXj=1’uf，d，vj0，S；P、 L=Ehe-RTrdtdtf（S）i- Ehe-RTrdtdtf（S）i+呵呵-RTrdtdtf（S）Gf，d，vTii-MMXj=1Ehe-RTrdtdtf（S）Gf，d，vT，ω=ωji+MMXj=1uf，d，vj0，S- \'uf，d，vj0，S；P、 L.第一项是时间离散误差，第二项是统计误差，第三项是有限差（FD）离散误差。第一项收敛到零是在定理3.11中针对亚式和障碍期权推导的，第二项收敛到零是中心极限定理的结果（见上述讨论）。