一种混合蒙特卡罗和偏微分方程方差缩减方法

表5中的数据表明，标准偏差率的近似值（5.4）相当准确，尤其是对于两个利率之间的强负相关而言。表5：不同相关性的经验和理论标准偏差比率。ρsd-0.25-0.20-0.15-0.10-0.05 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25ρ*df0。80 1.00 0.75 0.50 0.25 0 -0.25-0.50-0.75-1-0.80Γdev4。501 5.301 5.305 5.224 5.073 5.010 4.850 4.867 4.554 4.467 3.788u3.714 4.472 4.472 4.472 4.472 4.472 4.472 4.472 4.472 4.472 4.472 3.714通过仔细检查图2中的数据，我们推断∈ [-0.25,0.25]，ρ的方差降低幅度最大*（5.6）中定义了DFA。因此，我们得出结论，u表现出Γdev的定性行为，因此（5.4）提供了标准偏差率的良好近似值。事实上，我们的观察结果表明，u起着较低的作用。只要ρvd和ρvf接近于零，我们就可以将这些结果推广到布朗河和河流之间的完全相关结构，如前所示。图2：当ρsv=-0.10，ρsf=-0.20和ρvd=ρvf=0。假设汇率动态独立于利率动态，即ρsd=ρsf=0，并确定最佳相关性ρ*SV为给定波动率ξ的最大标准偏差率对应的值。然后，图3中的数据表明，当相关性的绝对值很小时，方差减少的程度最高。事实上，我们注意到两件事。首先，当波动率降低时，最佳相关性接近于零，即limξ→0ρ*sv=0，这是备注4.3中的预期值。

第二，标准偏差率ρ*SV随着波动性的降低而增加。实际上，ξd，f 1（见表2），因此这两种利率对混合蒙特卡罗/PDEestimator的方差几乎没有影响。因此，由于ρ*Sv接近于零，方差主要来自（2.12）中定义的σ。另一方面，ξ的值越小，σ的方差越小，混合估计量的方差也越小，从而导致标准偏差率越高。当增加均值回复速度k或长期方差θ时，我们观察到类似的行为。k值越大，σ的方差越小，因为平方波动率具有均值回复特性，这确保了过程快速返回长期平均值。另一方面，θ值越大，波动性越大，这导致标准蒙特卡罗估计量的方差增加，因为SDE中驱动汇率过程的差异项越大。我们在分析结束时指出，ρsda和ρsfclose的值在一定程度上会产生类似的结果。然而，当两个相关性的绝对值不小时，σ以及由此产生的k、ξ和θ对混合估计量方差的影响减小。图3中的最大值在ρsv=0和ξ=0.05附近达到，其中标准图3：4000次模拟和10个时间步的标准偏差率，当ρsd=ρsf=0时，根据相关性ρsv和波动率ξ绘制。偏差率为Γdev=23。因此，与标准蒙特卡罗方法相同的精度水平需要529倍的模拟。接下来，我们检查不同地点和期限的方差减少。

图4中的数据表明，除非期权远远超出资金范围且到期日很小，否则变化的Sand T对标准偏差率几乎没有影响，标准偏差率约为2。用标准蒙特卡罗方法计算期权价格意味着积分支付函数，这在执行时是不可微分的，而用混合蒙特卡罗/概率密度方法我们积分平滑条件价格。由于正收益的概率随着沙粒T的减少而降低，因此用前者准确估计它需要更多的模拟。因此，标准蒙特卡罗方法的相对标准误差会随着资金的使用或接近到期日而增加，采用混合算法的好处也变得显而易见。例如，对于一个3个月的通话，其现货价格为75%的罢工，我们观察到的方差折减系数为5275。此外，图4表明，当期权远远超出资金范围时，在（4.29）中得出的标准偏差率近似值不成立。例如，wecompute a=0.7893，这给出了理论标准偏差比u=1.629。当ns=105且T=0.5时，这接近估计值Γdev=1.832。然而，当ns=85和T=0.1时，我们观察到更高的标准偏差比Γdev=19.863。假设国内外短期利率动态相互独立，也独立于汇率及其波动的动态，设ρsv=-0.10，和以前一样。此外，假设其他模型参数，以及黑点、走向和成熟度，采用本节开头列出的值。

使用Monte-Carlo模拟法，当Igun=1000时，取RmSv=1.4，按标准时间步进行模拟，取RmSv=1.4，取RmSv=1.4，按标准时间步进行模拟-0.60.比因子完全相关的估计值高出约0.14%，即Θ*= 12.11968. 一方面，从分析可操作性的角度来看，这些因素的假定独立性是至关重要的（Ahlip和Rutkowski，2013），但可能会导致相当不同的期权价格。另一方面，一个完整的相关性结构会导致aricher模型，并更好地拟合观察到的市场数据。最后，我们测试了混合方法的准确性，并使用Ahlip和Rutkowski（2013）的半解析定价公式来确定真实的期权价格，Θ=12.13603，因此相对误差约为0。0015%，这证实了混合蒙特卡罗/偏微分方程估计是正确的。5.2追加卖出期权设定现货、走向、障碍和到期日为：S=100、K=105、B=110和T=0.25，并考虑持续监控追加卖出期权。我们将首先使用混合蒙特卡罗/偏微分方程方法评估合同。因此，对于方差和利率路径的特定实现，我们计算条件期权价格，即u（t，x）=Ehe-RTtrduduK- 装货单+马克斯特≤U≤TSu<BGf、d、vT、St=xi。（5.7）我们知道，u满足以下初始边值问题：tu+utxxu+aVtxxxu- rdtu=0，0<x<B，t<t（5.8）u（t，B）=0，T≤ Tu（T，x）=（K）- x） +,，0≤ x<B.我们从初始条件开始，在一个矩形区域上，用t向后求解偏微分方程∈ [0，T]和x∈ [0.7S，B]在具有N+1个时间节点和L+1个空间节点的均匀网格上离散。

我们选择了空间计算域的这个特定下边界，以减少空间节点的数量，同时确保由于我们选择域而产生的截断误差可以忽略不计。我们使用无中心差分格式来近似空间导数，并使用线性边界条件（Tavella和Randall 2000）说明xxu=0，在下限，期权深藏在货币中，价格在x中可以被视为线性。为了方便起见，我们使用了用于离散平方波动率和利率的时间网格。障碍期权价格的最终估计是在大量布朗运动W、W和W的离散轨迹上的蒙特卡罗平均值。或者，我们可以使用Fatone等人（2008）的微扰公式来近似条件期权价格，然后使用简单的蒙特卡罗平均值来估计外部预期。因此，我们称这种数值格式为混合蒙特卡罗/珀特方法。Fatone et al.（2008）通过级数展开，用时间相关参数近似Black-Scholes模型中的向上卖出期权价格，并为前三项提供了明确的公式，其中涉及一些基本和非基本的超越函数。

然而，我们将只关注零阶近似，因为使用一阶校正项会导致计算时间增加百倍，并且与混合蒙特卡罗/偏微分方程方法相比，该方法的性能较差。分别使用M=4×10模拟和N=200时间步来最小化采样和离散误差，我们得到了一个零阶近似值：Θ=5.7700。由于期权定价问题的封闭式解决方案不可用，我们需要找到准确的参考估计值*以计算数值方法的不同误差。因此，我们使用混合蒙特卡罗/PDEalgorithm和Crank-Nicolson方案，M=4×10模拟，N=200时间步，L=20空间步，以发现：Θ*= 5.7631. 因此，混合蒙特卡罗/Pert方法的近似误差为：Θ- Θ*= 0.0069，即约0.1%。在图5中，我们报告了使用参考估计Θ计算的时间离散化误差*– 其精度将在下文讨论——或Θ，以及大量模拟和空间步长，即M=4×10和L=20。对于标准蒙特卡罗和混合蒙特卡罗/Pert方法，时间离散化误差定义为偏差，而对于混合蒙特卡罗/PDE算法，由于我们选择了有限差分网格，它包含有限差分（FD）时间离散化误差。此后，术语“离散化误差”代表时间离散化误差。另一方面，标准蒙特卡罗仅在离散时间监控屏障的穿越。这会导致监控错误，包括在离散化错误中。

此外，由于期权的淘汰特性，真实价格小于蒙特卡罗估计值，这解释了图5中显示的强正偏差。图5中的数据表明标准蒙特卡罗和a10的平方根收敛-310-210-110010-410-310-210-1100时间步长误差混合MC/PDE离散化误差蒙特卡罗离散化误差混合MC/Pert离散化误差参考线斜率为0.5参考线斜率为1.0图5：混合蒙特卡罗/PDE、混合蒙特卡罗/Pert和标准蒙特卡罗方法的时间离散化误差与时间步长的对数图。混合算法的一阶收敛性。另一方面，我们可以使用布朗桥技术（参见Glasserman 2003）来改进第一种方法并恢复Firstorder收敛。事实上，图5中的（红色）蒙特卡罗曲线几乎与（绿色）混合蒙特卡罗/珀特曲线和布朗桥校正一致。例如，我们计算了N=8个时间步的离散化偏差为0.0075，适用于带布朗桥的Monte Carlo和混合Monte Carlo/Pert。在图6中，我们报告了使用Θ计算的空间离散化误差*以及大量模拟和时间步长，即M=4×10和N=200。当罢工线位于两个相邻节点之间的中间时，数据表明存在二阶收敛和局部最小离散化误差，这种技术称为网格移位（Tavella和Randall 2000）。

因此，考虑到时间离散误差（T-Err）的一阶收敛性和有限差分空间离散误差（S-Err）的二阶收敛性，采用混合蒙特卡罗/PDE方法，并使用外推，我们得到了参考估计的近似均方根误差（RMSE）：T-Err≈ 5.76×10-4.S-Err≈ 10.80×10-4、科技发展署≈ 2.09×10-4.=> RMSE≈ 1.67×10-3.这相当于实际期权价格的0.03%左右的RMSE，表明参考估计值Θ*= 5.7631精确到小数点后两位。接下来，我们比较了三种数值方法在给定精度水平下的计算时间，特别是当RMSE最多为期权价格的0.30%时。首先，使用上面确定的经验收敛率和外推法，我们需要M=2.5×10模拟和N=800时间步，因此使用标准蒙特卡罗方法的CPU时间为61.2秒。其次，我们使用混合蒙特卡罗/PDE10010110达到了这一精度水平-310-210-1空间阶跃误差混合MC/PDE空间-离散化误差斜率为2.0的参考线图6：混合蒙特卡罗/PDE方法的绝对空间离散化误差与空间步长的对数图。当M=12000、N=10和L=12时，在2秒内使用该方法。第三，我们需要使用混合蒙特卡罗/Pert方法，采用零级近似，M=12000，n=10，需要3.1秒。因此，当追加和卖出期权价格估计不需要太精确时，例如，当精度的小数点后一位足够时，这两种混合算法在CPU时间和效率方面是可比的，并且比标准蒙特卡罗算法快得多。然而，更高的精度要求混合蒙特卡罗/珀特近似中至少有一阶校正项，这使得它非常耗时。

因此，我们得出结论，混合蒙特卡罗/偏微分方程方法是三种方案中更好的。我们在上文中提到，带布朗桥的蒙特卡罗恢复了观测到的离散化误差的一阶收敛性和混合蒙特卡罗/Pert方法的偏差水平。混合蒙特卡罗/偏微分方程方法的时间离散误差约为1.6倍，包括FD时间离散误差。对于小数点后两位的精度，我们定义了100个时间步长和20个空间步长，因此空间和时间离散化误差约为0.02%。然后，对于混合蒙特卡罗/PDE方法，通过40000次模拟获得载体期权价格估计所需的时间为26秒，对于带布朗桥的蒙特卡罗方法，所需时间为2.1秒（对于标准蒙特卡罗方法，为1.4秒）。因此，后者的计算成本降低了92%。总之，由于标准偏差的平方根收敛性，Γdevn需要高于4.5，以使混合蒙特卡罗/偏微分方程方法优于蒙特卡罗布朗桥方法。正如在欧洲看涨期权的情况下，方差减少对汇率和平方效用或利率之间的相关性变化最为敏感。图7展示了与图1相似的特征。特别是，最高的图7：400个模拟、10个时间步和4个空间步的标准偏差率，在后两者相等时，根据相关系数ρsv、ρsda和ρsf绘制。当ρsv≈ 0.05和ρsd≈ ρsf≈ 0，在这种情况下Γdev=40。根据之前的观察，这相当于混合算法的计算效率降低了80倍。

仔细检查图7中的数据表明，对应于Γdev>4.5的点集（ρsv，ρsd）大致可以用以下不等式来描述：ρsv- 0.05+ 1.6ρsd<4.2-2，（5.9）即椭圆的内部，这是一组参数，其中方差减少的好处超过了在这种情况下求解条件偏微分方程的额外复杂性。通过混合方法实现的方差减少导致计算节省（样本数量），节省的因素大致与所需的精度无关。相反，有限差分法的更高精度只能通过更多的网格点来实现。因此，为了获得足够高的精度，混合方法似乎永远无法战胜标准的蒙特卡罗方法。对于小误差，混合方法的渐进复杂性增益要求PDE可以用独立于所需精度的恒定作用力来求解（对于给定统计误差，这种作用力将被减少的样本数所抵消）。最近为随机偏微分方程开发的多级蒙特卡罗方法（Giles和Reisinger 2012）正是为了实现这一目标而设计的，它通过将主要样本数集中在最粗糙的网格上，同时在路径数为零的细网格上计算修正来实现。在当前背景下的应用和数值分析是进一步研究的主题。6结论第5节中进行的数值实验表明，根据合同和模型参数，在某些情况下，混合方法优于标准蒙特卡罗方法和有限差分方法。当条件期权价格的闭式解可用时，我们通常会看到在精度和计算时间方面都有相当大的改进。