一种混合蒙特卡罗和偏微分方程方差缩减方法

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英文标题：
《A mixed Monte Carlo and PDE variance reduction method for foreign
  exchange options under the Heston-CIR model》
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作者：
Andrei Cozma, Christoph Reisinger
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper, the valuation of European and path-dependent options in foreign exchange (FX) markets is considered when the currency exchange rate evolves according to the Heston model combined with the Cox-Ingersoll-Ross dynamics for the stochastic domestic and foreign short interest rates. The mixed Monte Carlo/PDE method requires that we simulate only the paths of the squared volatility and the two interest rates, while an \"inner\" Black-Scholes-type expectation is evaluated by means of a PDE. This can lead to a substantial variance reduction and complexity improvements under certain circumstances depending on the contract and the model parameters. In this work, we establish the uniform boundedness of moments of the exchange rate process and its approximation, and prove strong convergence in $L^p$ ($p\\geq1$) of the latter. Then, we carry out a variance reduction analysis and obtain accurate approximations for quantities of interest. All theoretical contributions can be extended to multi-factor short rates in a straightforward manner. Finally, we illustrate the efficiency of the method for the four-factor Heston-CIR model through a detailed quantitative assessment.
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中文摘要：
在本文中，当货币汇率按照赫斯顿模型和随机国内外短期利率的Cox-Ingersoll-Ross动力学演化时，考虑外汇市场中欧式期权和路径依赖期权的估值。混合Monte Carlo/PDE方法要求我们只模拟平方波动率和两个利率的路径，而“内部”Black-Scholes型预期通过PDE进行评估。根据合同和模型参数，在某些情况下，这可能会导致显著的方差减少和复杂性提高。在这项工作中，我们建立了汇率过程及其近似的矩的一致有界性，并证明了后者在$L^p$（$p\\geq1$）中的强收敛性。然后，我们进行方差缩减分析，获得感兴趣的数量的精确近似值。所有的理论贡献都可以直接推广到多因素短期利率。最后，我们通过详细的定量评估，说明了该方法对四因素Heston CIR模型的有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_mixed_Monte_Carlo_and_PDE_variance_reduction_method_for_foreign_exchange_optio.pdf (1.46 MB)

2022-5-9 04:10:33 上传

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关键词：偏微分方程 微分方程 蒙特卡罗 蒙特卡 偏微分

Heston CIR模型下外汇期权的混合蒙特卡罗和偏微分方程方差缩减方法Andrei cozma*克里斯托夫·赖辛格*本文研究了在外汇市场上，当货币汇率按照Heston模型结合Cox-Ingersoll-Ross动力学对随机国内外短期利率进行演化时，欧式期权和路径依赖期权的估值问题。混合Monte Carlo/PDE方法要求我们只模拟平方波动率和两个利率的路径，而“内部”Black-Scholes型预期通过PDE进行评估。根据合同和模型参数的不同，在某些情况下，这会导致显著的方差减少和复杂性提高。本文建立了汇率过程及其逼近的矩的一致有界性，并证明了在Lp（p≥ 1） 后者。然后，我们进行方差缩减分析，获得感兴趣的数量的精确近似值。所有的理论贡献都可以直接推广到多因素短期利率。最后，我们通过详细的定量评估，说明了该方法对四因子Heston CIR模型的有效性。关键词：条件蒙特卡罗，混合蒙特卡罗/偏微分方程，随机波动率，随机利率，方差缩减，强收敛。1简介在外汇市场中，随机波动和随机利率的期权定价在过去几年中获得了大量的利息（Grzelak和Oosterlee 2011；Van Haastrechtand Pelsser 2011；Ahlip和Rutkowski 2013），将赫斯顿（1993）的双因素随机波动率模型和舍贝尔-朱（舍贝尔和朱1999）模型推广到货币衍生品。

尽管由于其简单性而具有吸引力，但假设固定利率不适用于长期外汇产品，利率波动的影响甚至可能超过长期外汇利率波动的影响，这一事实已被经验结果证实（Van Haastrecht等人，2009年）。这里，即期汇率定义为每单位外币的本币单位数。*牛津大学数学研究所，牛津，OX2 6GG，UKandrei。cozma@maths.ox.ac.uk，克里斯托夫。reisinger@maths.ox.ac.ukIn本文考虑了Ahlip和Rutkowski（2013）提出并检验的四因素Heston CIR模型，其中波动性和汇率动态相关，而国内外利率是成对独立的，也与汇率和波动性无关。我们的动机来自这样一个事实：方差和利率的平方根（CIR）过程（Cox et al.1985）由于其理想的特性，例如均值回归和非负性，在行业中被广泛使用。在这些关于布朗河独立性的限制性假设下，作者认为该模型是有效的，并推导了欧式看涨期权价格的半解析公式。亨特（Hunter，2005）认识到FXrate和利率之间非零相关性的重要性。然而，任何其他非零相关性都会产生非有效模型，在这种情况下，我们将失去分析的可处理性。因此，我们不得不求助于数值算法，而混合蒙特卡罗/偏微分方程解算器（Loeper and Pironeau 2009）是经典蒙特卡罗和有限差分方法的一个很好的替代方法。

Monte Carlo模拟方法（Glasserman 2003）可以轻松处理路径相关特征，并随维度线性扩展，但通常需要大量模拟才能获得良好的精度。相反，有限差分方法很容易结合早期锻炼的特点，并为低维问题（高达三维）提供快速收敛，但随着维度的增加变得难以处理。这使得Monte Carlo方法对于四因子Heston CIR模型更具吸引力，并且相对缓慢的收敛速度M-0.5在数值模拟中，M提出了找到有效的方差减少技术的问题。混合蒙特卡罗/偏微分方程方法背后的想法是将期权值写入嵌套的条件期望。然后，对于欧式风格的选项，分析评估最里面的预期，或使用有限的差异，并通过模拟评估最外面的预期。最早的相关出版作品属于赫尔和怀特（1987年）。考虑了资产价格与波动率不相关的二维随机波动率模型下的欧式看涨期权，证明了在方差过程积分的条件下，资产价格服从对数正态分布，因此期权价格可以表示为Black-Scholes价格。Willard（1997）将Hull and White（1987）的分析扩展到随机波动和瞬时相关因素下的路径独立期权，并使用“条件价格”的平滑度来计算价格敏感性（希腊人）。作者还采用了准蒙特卡罗（低差异）方法进一步减少价格估计的方差，但不影响离散化偏差。

混合蒙特卡罗/偏微分方程方法发展了这种条件化技术——称为条件蒙特卡罗——并允许将蒙特卡罗和有限差分方法结合使用，对路径相关合同进行估值。在Heston CIR模型下为欧式期权定价时，该方法的实用性很容易识别。以平方波动率和国内外利率的整个路径为条件，汇率的动态由年龄计量布朗运动控制，具有随时间变化的漂移和扩散系数。结合条件期权价格的封闭形式解的存在，该算法通过消除噪声源，将蒙特卡罗模拟中的方差和问题的维数从四个降低到三个。在过去几年中，混合蒙特卡罗/偏微分方程方法一直是一些数值研究的对象，例如Lipp等人（2013年）、Ang（2013年）、McGee（2014年）、Dang等人（2015年），并考虑了对原始想法的各种扩展。例如，Dang等人（2015年）利用方差路径上的利率和条件的赫尔-怀特类型动力学，为欧式期权的条件价格找到封闭形式的解决方案。其中一些参考文献通过启发式参数检验了算法的收敛性，但没有一个考虑到方差和利率过程离散化所产生的误差。据我们所知，混合蒙特卡罗/偏微分方程方法的收敛性尚未确定，甚至随机波动下蒙特卡罗方法的文献也很少。

Higham和Mao（2005）考虑了Heston模型的Euler模拟，并利用Payo ff s.Cozma和Reisinger（2015a）的有界性，证明了停止近似过程的强收敛性，以及欧洲看跌期权和向上和向外看涨期权的强收敛性，他们的离散化方案在离散时间点上与本文所考虑的方案一致，但在连续时间插值中必然有所不同。可以利用早期工作中的一些结果，尽管这里需要更强的模型参数条件，因此这里的结果也可以被视为标准（即非混合）方案的改进。特别是，在Heston模型中，新结果始终保证为零或负相关。然而，主要的概念差异是使用条件漂移的新连续时间插值，这对于推导条件偏微分方程至关重要，并导致不同的技术挑战。此外，对于路径依赖，原始方案和分析都不适用于目前的工作。在本文中，我们展示了欧式期权的收敛性和欧式期权的完全收敛性。我们更喜欢完全截断方案（Lord et al.2010），因为它保留了正性，易于实现，并且在所有Euler方案中，经验发现它产生的偏差最小。FTE计划的一个有趣替代方案是反向Euler Maruyama（BEM）计划（Neuenkirch和Szpruch 2014）。

然而，外国利率动态中的量子修正项将导致收敛分析中的技术挑战。本文的主要贡献如下：我们建立了四维过程及其逼近的矩的一致有界性，并证明了在Lp（p≥ 1） 关于离散化方案。然后，我们推导了计算期权价格的混合蒙特卡罗/偏微分方程估计的收敛性，并讨论了高维模型的可能扩展我们对混合MonteCarlo/PDE方法进行了彻底的理论方差缩减分析，并采用标准MonteCarlo（带有对数欧拉离散化）作为参考方法，指出该分析适用于一般利率动态。特别是，我们研究了基础模型参数的不同值如何影响混合估计量的方差我们进行了一系列数值实验，并证明了混合蒙特卡罗/偏微分方程方法在两种金融衍生品的四因素外汇模型下的收敛性：欧洲看涨期权和向上卖出期权。此外，通过与其他数值格式的比较，我们确定了该方法的有效性，并检验了方差折减因子对参数变化的敏感性。本文的其余部分结构如下。在第2节中，我们介绍了四因素外汇模型，定义了混合模拟方案，并描述了定价算法。在第三节中，我们证明了汇率近似的强收敛性，然后讨论了一些推广。附录中给出了一些技术结果的详细证明。在第4节中，我们对欧式期权的混合蒙特卡罗/偏微分方法进行了方差缩减分析。第5节介绍并讨论了各种数值实验。

最后，第6节总结了结果并概述了未来可能的工作。2.准备工作2。1四因素模型我们考虑的是外汇市场中的一个模型，即即期外汇汇率S、外汇汇率v的方差、国内短期利率Rd和国外短期利率rf。除非另有说明，在本文中，下标和上标“d”和“f”分别表示国内和国外。考虑一个经过过滤的概率空间(Ohm, F、 {Ft}t≥0，Q），并假设基本过程的动力学由以下随机微分方程（SDE）系统在国内风险中性度量Q下控制：dSt=rdt- rftStdt+√vtstdvt=kθ - 及物动词dt+ξ√vtdwdt=kdθd- rdtdt+ξdqrdtdrdrft=kfθf- kfrft- ρsfξfqvtrftdt+ξfqrftdWft，（2.1），其中{Ws，Wv，Wd，Wf}是在具有常数相关矩阵∑的风险中性测度下相关的标准布朗运动（BMs）。我们考虑了四个布朗驱动因素之间的完整相关性结构，这更准确地反映了金融市场的走势，并允许进行更好的校准。然后，我们将{Ws，Wf，Wd，Wv}解耦，并将它们表示为独立布朗运动{W，W，W，W}的线性组合。因此，定义两个向量W=[Ws，Wf，Wd，Wv]和W=[W，W，W，W]T。由于∑是对称的正定义，标准的Cholesky分解产生系数a=（aij）1的上三角矩阵≤i、 j≤4，满足∑=AAT，如下所示。Σ =1ρsfρsdρsvρsf1ρdfρvfρsdρdf1ρvdρsvρvfρvd还有=aaaa0 aaa0 0 aa0 0 1（2.2）这种分解意味着我们可以选择W，这样W=AW。我们可以通过解十个方程组来确定系数矩阵。

假设ρvd6=±1，我们发现：a=ρsv，a=ρvf，a=ρvd，a=1.- ρvd, a=ρsd- ρsvρvd1.- ρvd-,a=ρdf- ρvfρvd1.- ρvd-, a=1.- ρdf- ρvf- ρvd+2ρdfρvfρvd1.- ρvd-,而a和ACA也可能以类似的方式出现。（2.1）中外国利率漂移的quanto修正项来自于从外国风险中性指标向国内风险中性指标的变化（Clark 2011）。或者，我们也可以将（2.1）视为资产价格过程S、利率Rd和股息收益率rf的股票市场模型，在这种情况下，quanto漂移调整项消失。2.2混合模拟模式首先，我们使用Lord等人（2010）的完全截断（FTE）模式对方差和两个利率过程进行离散化。考虑平方根过程dyt=ky（θy- yt）dt+ξy√ytdWyt。（2.3）对于时间间隔[0，T]，考虑均匀网格：δT=T/N，tn=NδT，N∈ {0，1，…，N}。我们引入了时间离散辅助过程&ytn+1=~ytn+ky（θy）- 其中y+=max（0，y）和δWytn=Wytn+1- Wytn，以及时间连续插值yt=~ytn+ky（θy- ~y+tn）（t- tn）+ξyqy+tn怀特- Wytn, T∈ [tn，tn+1），（2.5），如Higham和Mao（2005）所建议。此外，我们定义了非负过程yt=~y+t（2.6）和yt=~y+tn，（2.7）∈ [tn，tn+1）。假设V和Rd分别是方差和国内利率的FTE离散化（如（2.7）所定义）。考虑到国外利率漂移中的quanto修正项的存在，我们同样定义了rft=~rftn+hkfθf- kf■rftn+- ρsfξfqv+tn■rftn+i（t）- tn）+ξfq■rftn+Wft- Wftn, （2.8）以及^rft=■rft+（2.9）andrft=■rftn+, （2.10）无论何时∈ [tn，tn+1]。

接下来，我们定义S，S的连续时间近似值，作为以下SDE的解：dSt=utStdt+aqVtStdWt，（2.11）ut=rdt- rft-1.- A.Vt+Xj=2a1jqVtδWjtδt，其中δWjt=Wjtn+1-Wjtn，T∈ [tn，tn+1），因此是分段常数。为了方便起见，我们介绍了实际的和近似的对数过程，x=logs和x=logs。对Wj，j=2,3,4, i、 例如，在完全了解方差和利率路径的情况下，S像几何布朗运动一样演化，具有随时间变化的漂移和扩散系数。它遵循了^o的公式，即st=SexpZTrdu- rfu-似曾相识du+Xj=2a1jZTqVuδWjuδtdu+aZTqVudWu.然而，我们知道右边随机积分的条件概率定律是一个正态随机变量的条件概率定律，即ZTQVUDULAW=sZTVudu·Z，其中Z~ N（0，1），所以我们可以认为STA是Z的函数。因此，我们可以表示itasSTlaw=SexpR- Q-σT+σ√T Z, （2.12）其中r=TZTrdudu=NN-1Xi=0rdti，σ=aTZTVudu=aNN-1Xi=0Vti，q=TZTrfudu+1- a2TZTVudu-TXj=2a1jZTqVuδWjuδtdu=NN-1Xi=0rfti+1- a2NN-1Xi=0Vti-TXj=2a1jN-1Xi=0qVtiδWjti。以…的轨迹为条件Wj，j=2,3,4, （2.12）具有与最终定价相同的规律，最终定价演化为几何布朗运动，利率r、连续股息收益率q和波动率σ均为常数。