一种混合蒙特卡罗和偏微分方程方差缩减方法

（E.2）如果k=αρsvξ+pα（α- 1） ξ，因为k，ξ>0，对于所有ω>α，我们有ρsv>-r1-α> -=> αρsvξ+pα（α- 1） ξ<ωρsvξ+pω（ω- 1) ξ.此外，请注意4（k- αρsvξ）α（α- 1） ξ=αρsvξ+pα（α- 1) ξ - kand-limω↓ α+ωρsvξ+pω（ω- 1) ξ - k=T*,和T*从（3.22）。因此，我们可以找到α>α，使得（E.2）适用于所有ω∈ (α, α).最后，如果k>αρsvξ+pα（α- 1） ξ，sincelimω↓ α+4（k）- ωρsvξ）ω（ω- 1） ξ=T*,和T*从（3.22）中，我们可以找到α>α，这样对于所有ω∈ （α，α），k>ωρsvξ+pω（ω）- 1） ξ和T<4（k- ωρsvξ）ω（ω- 1)ξ. （E.3）结论来自引理3.1和（E.2）-（E.3）。区间[1，α）的扩展遵循Jensen不等式，ηω=ηα，ω ∈ [1, α]. 附录F.命题3.6的证明以下辅助结果证明了外国利率几乎肯定是积极的。引理F.1。让κ>（rf）-1并确定停止时间τκ=infT≥ 0:rft≤ κ-1.. （F.1）如果2kfθF>ξF，则为limκ→∞Pτκ≤ T= 0.（F.2）证明。定义函数U:（0，∞) 7.→ R byU（x）=x-α、 α=2ξf2kfθf- ξf. （F.3）根据It^o的公式，我们有EhurfT∧τκi=U射频- 埃兹特∧τκαrfs-(1+α)kfθf- kfrfs- ρsfξfqvsrfsds+EZT∧τκα（1+α）ξfrfs-（1+α）ds- 埃兹特∧τκαξfrfs-（0.5+α）dWfs。（F.4）然而，EZTαξFrfs-（1+2α）s<τκds≤ αξfκ1+2αT<∞,（F.4）右边的随机积分是真鞅。因此，EhUrfT∧τκ我≤ U射频- 埃兹特∧τκA.rfs-(1+α)- Brfs-α- cv0。5秒rfs-(0.5+α)ds，（F.5）式中=8ξF2kfθf- ξf, b=kf2ξf2kfθf- ξf, c=|ρsf | 2ξf2kfθf- ξf. （F.6）利用Fubini定理和（F.5）中的H¨older不等式，我们得到了rfT∧τκ我≤ U射频-ZTa呃rfs-（1+α）s<τκi- b呃rfs-（1+α）s<τκiα1+α- c苏普∈[0，T]Ehv1+αui2（1+α）Ehrfs-（1+α）s<τκi1+2α2（1+α）ds。（F.7）平方根过程的矩是一致有界的（Dereich et al.2012），函数F:[0，∞) 7.→ 定义的byf（x）=ax- bxα1+α- c苏普∈[0，T]Ev1+αu2（1+α）x1+2α2（1+α）（F.8）从下面清楚地被限定。

因此，我们可以找到一个不依赖于κ的常数C，即EHUrfT∧τκ我≤ C.（F.9）因为rf有连续的路径，所以我们有rfτκ=κ-1和U（rfτκ）=κα。因此，利用（F.9）和U为正的事实，我们推断出κPτκ≤ T= 埃胡rfτκτκ≤ Ti=EhUrfT∧τκτκ≤ 钛≤ 埃胡rfT∧τκ我≤ C.（F.10）k→ ∞ 在（F.10）中得出结论。接下来的两个引理给出了原始和离散化的异化率过程的矩界。引理F.2。该过程具有一致有界矩，即监督∈[0，T]rftP< ∞, P≥ 1.（F.11）证据。p有问题吗≥ 1.从（2.1）开始，rft=rf+kfθft- kfZtrfudu- ρsfξfZtqvurfudu+ξfZtqrfudWfu。（F.12）使用2p | ab |≤ |a |+| b |和H¨older不等式，我们推导出rftP≤ 22（p-1)rf+kfθftp+2p-2 |ρsf | pξpfZtvudup+2p-2.2kf+|ρsf |ξfP兹特富杜p+22（p-1） ξpfZtqrfudWfup、 （F.13）固定t∈ [0，T]。利用H¨older不等式，我们得到SUP∈[0，t]rfsP≤ 22（p-1)rf+kfθfTp+2p-2 |ρsf | pξpfTp-1ZTvpudu+2p-2.2kf+|ρsf |ξfpTp-1Ztrfupdu+22（p-1） ξpfsups∈[0，t]ZsqrfudWfup、 （F.14）从Burkholder-Davis-Gundy不等式中，我们知道存在一个常数Cp>0，即E小吃∈[0，t]ZsqrfudWfuP≤ CpE兹特富杜p/2≤Cp+CpTp-1EZtrfupdu.采用（F.14）中的期望和Fubini定理，E小吃∈[0，t]rfsP≤ 22（p-1)rf+kfθfTp+22p-3ξpfCp+2p-2 |ρsf | pξpfTpsupu∈[0，T]Evpu+P-2.2kf+|ρsf |ξfpTp-1+22便士-3ξpfCpTp-1.中兴通讯小吃∈[0，u]rfsP杜。应用Gronwall不等式，我们得到监督∈[0，T]rftP≤2（p-1)rf+kfθfTp+22p-3ξpfCp+2p-2 |ρsf | pξpfTpsupu∈[0，T]Evpu×expnp-2.2kf+|ρsf |ξfpTp+22p-3ξpfCpTpo。（F.15）根据v的矩的有界性得出结论。引理F.3。（2.9）中的过程^rffrom具有一致有界矩，即supδt∈（0，η）E监督∈[0，T]^rftP< ∞, P≥ 1.η > 0. （F.16）证据。解决任何问题≥ 1和η>0。从（2.8）开始，~rft=rf+kfθft- kfZtrfudu- ρsfξfZtqVurfudu+ξfZtqrfudWfu。

（F.17）自^rft以来≤ |根据引理F.2的论点，我们推导出小吃∈[0，t]^rfsP≤ 22（p-1)rf+kfθfTp+22p-3ξpfCp+2p-2 |ρsf | pξpfTpsupu∈[0，T]EVpu+P-2.2kf+|ρsf |ξfpTp-1+22便士-3ξpfCpTp-1.ZtEhrfu皮杜。（F.18）自supu以来∈[0，T]EVpu≤ 苏普∈[0，T]EVpu, V定义如（2.6）所示，rfu≤ 小吃∈[0，u]^rfs，应用Gronwall不等式，我们得到监督∈[0，T]^rftP≤2（p-1)rf+kfθfTp+22p-3ξpfCp+2p-2 |ρsf | pξpfTpsupu∈[0，T]EVpu×expnp-2.2kf+|ρsf |ξfpTp+22p-3ξpfCpTpo。（F.19）结论来自Cozma和Reisinger（2015a）中的命题3.4。接下来，我们使用引理F.3来证明两次连续离散之间的Ldi差的收敛性。引理F.4。^rf和rf之间的Ldi差通过δt收敛到零，即limδt→0supt∈[0，T]呃^rft- rfti=0。（F.20）证据。假设t∈ [tn，tn+1]自|^rft-rft|≤ |■rft-~rftn |从（2.8）中，我们可以将上述绝对差值的平方限定为：^rft- rft≤kfθfδt+0.5 |ρsf |ξfδtVtn+kf+0.5 |ρsf |ξfδt^rftn+ξfq^rftnWft- Wftn≤ 4kfθf（δt）+ρsf|ξf（δt）Vtn+2kf+|ρsf |ξf（δt）^rftn+ 4ξf^rftnWft- Wftn.因此，支持∈[0，T]呃^rft- rft我≤ 4kfθf（δt）+ρsf|ξf（δt）supt∈[0，T]E及物动词+2kf+|ρsf |ξf（δt）sup0≤N≤嗯^rftni+4ξfδt sup0≤N≤氖^rftn. （F.21）使用引理F.3以及Cozma和Reisinger（2015a）中的命题3.4得出结论。下面的引理导出了停止过程的强均方收敛性。引理F.5。设l>vand定义停止时间τl=infT≥ 0:vt≥ Lτ=τκ∧ τl，（F.22）和（F.1）中定义的τκ。然后停止的过程在L中一致收敛，即limδt→0E监督∈[0，T]rft∧τ- ^rft∧τ= 0.（F.23）证据。

从（F.12）和（F.17）开始，自| rft- ^rft|≤ |rft- ~rft |，我们有rft∧τ- ^rft∧τ≤- kfZt∧τrfu- ^rfu杜- kfZt∧τ^rfu- rfudu+ξfZt∧τqrfu-q^rfudWfu+ξfZt∧τq^rfu-qrfu德福- ρsfξfZt∧τ√似曾相识qrfu-q^rfu杜- ρsfξfZt∧τ√似曾相识q^rfu-qrfu杜- ρsfξfZt∧τqrfu√似曾相识-qVu杜. （F.24）固定t∈ [0，T]。将两边平方，利用柯西不等式，然后取期望值，利用杜布鞅不等式和富比尼定理，我们得到小吃∈[0，t]rfs∧τ- ^rfs∧τ≤ 7kfTZtEhrfu- ^rfuu<τidu+7kfTZTEh^rfu- rfuidu+28ξfZtEqrfu-q^rfuu<τdu+28ξfZTEh^rfu- rfuidu+7ρsfξfTZtE似曾相识qrfu-q^rfuu<τdu+7ρsfξfTZTEhrfu似曾相识- 似曾相识idu+7ρsfξfTZTEhvu^rfu- rfuu<τidu。（F.25）另一方面，我们知道| rfu- ^rfu | 1u<τ≤ |rfu∧τ- ^rfu∧τ|和qrfu-q^rfuu<τ≤qrfu∧τ-q^rfu∧τ≤ κrfu∧τ- ^rfu∧τ. （F.26）用（F.26）代入（F.25），我们得到以下不等式：E小吃∈[0，t]rfs∧τ- ^rfs∧τ≤7kfT+28ξfκ+7ρsfξfT lκ中兴通讯小吃∈[0，u]rfs∧τ- ^rfs∧τdu+7KFTSUP∈[0，T]呃^rfu- rfu我+28ξfT+7ρsfξfTl苏普∈[0，T]呃^rfu- rfui+7ρsfξfTsupu∈[0，T]呃rfu伊苏普∈[0，T]呃似曾相识- 似曾相识i、 （F.27）在（F.27）的右边，最后三项收敛到零，这源自引理F.3和F.4，以及Cozma和Reisinger（2015a）中的命题3.5。结论来自Gronwall不等式的简单应用。从引理F.4中，我们知道为了建立rf的强均方收敛性，必须证明^rf的这一点，因为rft- rft≤ 2.rft- ^rft+ 2.^rft- rft, T∈ [0，T]。（F.28）引理F.6。如果2kfθf>ξf，则过程^rf在L中强收敛，即limδt→0supt∈[0，T]呃rft- ^rfti=0。（F.29）证据。

固定κ>（rf）-1，l>v，回忆一下（F.22）中停止时间τ的定义。因为rf和^rf是非负的，所以∈[0，T]呃rft- ^rft我≤ 监督∈[0，T]呃rft- ^rftτ≤ ti+supt∈[0，T]呃rft- ^rftt<τi≤ 监督∈[0，T]呃rftτ≤ Ti+supt∈[0，T]呃^rftτ≤ Ti+supt∈[0，T]呃rft∧τ- ^rft∧τi、 自1τ≤ T≤ 1τκ≤ T+1τl≤应用柯西不等式，我们得到∈[0，T]呃rft- ^rft我≤监督∈[0，T]呃rfti+supt∈[0，T]呃^rft我Pτκ≤ T+监督∈[0，T]呃rfti+supt∈[0，T]呃^rft我Pτl≤ T+ 监督∈[0，T]呃rft∧τ- ^rft∧τi、 （F.30）另一方面，利用马尔可夫不等式，我们得到了一个上界τl≤ T≤ P监督∈[0，T]vt≥ L≤乐监督∈[0，T]vt. （F.31）然而，右边的预期显然受到伯克霍尔德-戴维斯根迪不平等的限制。取极限为δt→ （F.30）中的0，并使用引理F.1到F.3和F.5，因为κ和l可以任意大，从而得出结论。附录G.命题证明3.7注意T∈ [tn，tn+1）和J∈ {2,3,4}，因为V是分段常数，所以ZtqVuδWjuδtdu=n-1Xi=0qVtiWjti+1- Wjtiδtδt+qVtnWjtn+1- Wjtnδt（t- tn）=ZtqVudWju+qVtT- tnδtWjtn+1- Wjt-tn+1- tδtWjt- Wjtn. （G.1）为方便起见，T∈ [tn，tn+1）和J∈ {2,3,4}，我们定义了zjt=t- tnδtWjtn+1- Wjt-tn+1- tδtWjt- Wjtn. （G.2）用（G.1）和（G.2）代入（3.25），我们得到xt=x+Ztrdu- rfu-似曾相识du+ztqvudsu+Xj=2a1jqVtZjt。（G.3）因此，原始和离散化测井过程之间的绝对差异是xt- Xt=Ztrdu- rdu杜-Ztrfu- rfu杜-Zt似曾相识- 似曾相识du+Zt√似曾相识-qVu德瓦苏-Xj=2a1jqVtZjt.

（G.4）求（G.4）的两边的平方，应用柯西-施瓦兹不等式，取所有t的上确界∈ [0，T]，然后对所有黎曼积分使用柯西不等式，得到∈[0，T]xt- Xt≤ 7TZTrdu-rdudu+7TZTrfu- rfudu+TZT似曾相识- 似曾相识du+7支持∈[0，T]Zt√似曾相识-qVu德瓦苏+ 7Xj=2a1jsupt∈[0，T]Vtsupt∈[0，T]铁岭组. （G.5）我们使用了以下事实：∈[0，T]Vt≤ 监督∈[0，T]Vt，V定义如（2.6）所示。以期望为基础，利用Fubini定理、H¨older不等式、Doob鞅不等式和It^o等距，我们导出了监督∈[0，T]xt- Xt≤ 7Tsupt∈[0，T]呃rdt- rdti+7t∈[0，T]呃rft- rfti+Tsupt∈[0，T]呃及物动词- 及物动词i+28 supt∈[0，T]呃及物动词- 及物动词i+7Xj=2a1jE监督∈[0，T]Vt1/2E监督∈[0，T]铁岭组1/2. （G.6）收敛为δt→ （G.6）右侧前四项中的0项来自Cozma和Reisinger（2015a）中的3.6和3.5号提案。接下来，将（2.5）中定义的时间连续辅助方差过程进行积分，得到vt=v+kZtθ - 似曾相识du+ξZtqVudWu。（G.7）然而，V=max{0，~V}≤ || v |并且，利用柯西不等式、富比尼定理和杜布辛质，我们找到了一个上界监督∈[0，T]Vt≤ 3.v+kθT+ 3kTsupt∈[0，T]E及物动词+ 12ξT supt∈[0，T]E及物动词. （G.8）方差δt的FTE离散化二阶矩的一致有界性→ 0源于Cozma和Reisinger（2015a）中的命题3.4。最后，根据（G.2）中的定义，我们将该术语限定在（G.6）中的上一个预期范围内。监督∈[0，T]铁岭组= sup0≤n<Nsuptn≤t<tn+1T- tnδtWjtn+1- Wjtn-Wjt- Wjtn≤ 8 SUP00≤n<Nsuptn≤t<tn+1T- tnδtWjtn+1- Wjtn+Wjt- Wjtn≤ 16 sup0≤n<Nsuptn≤t<tn+1Wjt- Wjtn≤ 16支持∈[0，T]Wjt- Wjδtbt/δtc. （G.9）然而，布朗运动的欧拉连续模的矩收敛到0asδt→ 0（Fischer和Nappo，2009），这是证据的结论。

附录H.固定正数命题3.8的证明 γ等于log（1+) > γ、 明确挫折,γ=十、∈ RY∈ R:|x- y |<γ和| ex- |≥ . （H.1）然而，由于指数函数严格递增∈ B,γ<=> Y∈ （十）- γ、 x+γ）：emin{x，y}e | x-y|- 1.≥  <=> 前任eγ- 1.> .因此，B,γ=a(, γ), +∞, 哪里(, γ） =原木eγ- 1.> 0.（H.2）我们有以下一连串的事件，监督∈[0，T]圣-圣> 监督∈[0，T]xt-Xt≥γ∪监督∈[0，T]xt-Xt< γ、 监督∈[0，T]提取-提取> 监督∈[0，T]xt-Xt≥γ∪T∈ [0，T]：xt∈ B,γ监督∈[0，T]xt-Xt≥γ∪监督∈[0，T]xt>a(, γ). （H.3）就事件发生的概率而言，之前的包含变为：P监督∈[0，T]圣- 圣> ≤ P监督∈[0，T]xt- Xt≥ γ+ P监督∈[0，T]xt>a(, γ). （H.4）对数过程概率收敛是命题3.7和马尔可夫不等式的结果。因此，我们要证明的是，（H.4）右边的第二概率可以任意小。然而，如果我们 > 0，然后改变γ，然后是limγ→0a(, γ) = ∞. 马尔可夫不等式的一个简单应用监督∈[0，T]xt>a(, γ)≤ P监督∈[0，T]| xt |>a(, γ)≤a(, γ） E监督∈[0，T]| xt|. （H.5）另一方面，利用Jensen不等式和Doob鞅不等式，E监督∈[0，T]| xt|≤ |x |+T支持∈[0，T]Erdt+ 托普∈[0，T]Erft+Tsupt∈[0，T]E及物动词+ 2.√托普∈[0，T]E及物动词.然而，右边是有限的，因为平方根过程的矩是有界的，并且来自命题F.2，命题F.2总结了证明。附录I.定理3.9Fix的证明 > 0并定义事件A=n圣- 圣> o、 因为S和S是非负的，所以∈[0，T]呃圣- 圣αi≤ 监督∈[0，T]呃圣- 圣αAci+supt∈[0，T]呃圣- 圣αAi≤ α+supt∈[0，T]ESαtA+ 监督∈[0，T]ESαtA.

（I.1）设α<ω<min{α，α}，并将H¨older不等式应用于（I.1）右手边的两个期望（p，q）=ωα,ωω-α. 因此，支持∈[0，T]呃圣- 圣αi≤ α+监督∈[0，T]ESωtαω+supt∈[0，T]ESωtαω监督∈[0，T]P圣- 圣> 1.-αω.概率S的收敛性是命题3.8的结果。最后，雇佣提案3.2和3.3，然后 足够小的证据就可以得出结论。