一种混合蒙特卡罗和偏微分方程方差缩减方法

然而，第三项的收敛性，即有限差异方案的收敛性，取决于合同和所采用的特定方案。4方差缩减分析在本节中，我们使用四因素外汇模型下的混合蒙特卡罗/偏微分方程方法对欧洲期权估值进行方差缩减分析。然而，该理论自然延伸到一般利率动态。我们使用标准蒙特卡洛法和对数欧拉离散法作为参考方法，定义X和S分别为（3.24）中定义的X和（2.1）中定义的S的时间连续近似值。那么^Xt=^Xtn+rdtn- rftn-VtnT- tn+qVtnWst，（4.1）其中Wst=Wst- 永远不要∈ [tn，tn+1）。积分（4.1）导致^St=SexpZtrdu- rfu-似曾相识du+ztqvudsu. （4.2）与标准Euler格式相比，我们更喜欢对数Euler格式，因为它保留了正性。此外，如果过程v、rd、rf是常数，那么第一个方案是精确的。还记得St=Sexp吗Ztrdu- rfu-似曾相识du+aZtqVudWu+Xj=2a1jZtqVuδWjuδtdu.因为V是分段常数，我们推导出^Stn=Stn，0≤ N≤ N.我们要估计的数量是带支付函数f的欧式期权的公平价格，即Θ=Ehe-RTrdtdtf（ST）i.（4.3）则相应的标准和混合蒙特卡罗估计量为ΘstdMC=MMXj=1e-RTrdt（j）dtf（^ST（j）），（4.4）ΘmixMC=MMXj=1he-RTrdt（j）dtf（ST（j））Gf，d，vTi。（4.5）De fi neVarstdMC=VarΘstdMC=MVarE-RTrdtdtf（^ST）（4.6）andVarmixMC=VarΘmixMC=MVarEhe-RTrdtdtf（ST）Gf，d，vTi. （4.7）让方差折减系数（如Dang et al.2015）和标准差比率Γvar=VarstdMCVarmixMCandΓdev=pΓvar.（4.8）为方便起见，我们还定义了贴现系数，D=e-RTRDTDANDD=e-RTrdtdt。备注4.1。

来自条件期望的“塔属性”，因为^ST=ST，EΘstdMC= EDf（^ST）= EDf（ST）= EEDf（ST）| Gf，d，vT= EΘmixMC.因此，标准和混合蒙特卡罗估计具有相同的离散偏差，即偏差ΘstdMC= 偏见ΘmixMC. （4.9）备注4.2。根据总方差定律，我们知道VaRDf（ST）= 变量EDf（ST）| Gf，d，vT+ E变量Df（ST）| Gf，d，vT. （4.10）然而，由于^ST=STand方差是非负的，我们从（4.6）-（4.7）中推断，标准蒙特卡罗估计量的方差大于或等于混合估计量的方差，即VarstdMC≥ 瓦米克斯。（4.11）假设一个非平凡的支付函数f，当且仅当（4.10）右侧的第二期望为零，即当且仅当STis Gf、d、vT可测量时，（4.11）中出现等式。由于∑=a，经过一些简单的计算，我们找到了一个等价条件：a=0<=> 1.- ρvd- ρvf- ρdf+2ρvdρvfρdf=ρsv1.- ρdf+ ρsd1.- ρvf+ ρsf1.- ρvd+ 2ρsvρsdρvfρdf- ρvd+ 2ρsvρsfρvdρdf- ρvf+ 2ρsdρsfρvdρvf- ρdf.特别是，如果方差和两个利率是成对独立的，那么a=0<=> ρsv+ρsd+ρsf=1。因此，除了这种情况，条件反射和蒙特卡罗的结合总是减少估计的方差。然而，这是意料之中的，因为我们消除了模拟布朗运动产生的额外噪声。请注意，对于任何2≤ J≤ 4.使用It^o等距，我们得到了ZTqVtdWjt= EZTVtdt. （4.12）此外，利用柯西不等式和霍尔德不等式，富比尼定理，以及Cozma和Reisinger（2015a）中的备注3.2和命题3.4和3.5，可以很容易地证明Limδt→0EhRTVtdtiVarRTVtdt=埃夫特提瓦尔RTvtdt. （4.13）根据Dufresne（2001），我们可以明确计算积分平方根过程的前两个矩。

因此，我们发现ZTvtdt= θT+vk-θk+e-kTθk-vk（4.14）安德瓦尔ZTvtdt=ξkθT+vk-5θ2k+2e-kTθk+θT- 及物动词+ E-2kTθ2k-vk<ξk1+e-kTEZTvtdt+ξkθ2ke-kT4+2kT- E-kT- 3ekT<ξk1+e-kTEZTvtdt. （4.15）结合（4.12）-（4.15），我们推导出，对于δt的足够小的值RTpVtdWjt变量RTVtdt>kξ（1+e）-kT）>k2ξ。（4.16）表1和表2中的数据表明，利率对混合蒙特卡罗估计量的方差几乎没有影响，而且k ξ在外汇和股票市场。因此，（4.16）左侧的随机积分——在（2.12）中定义的股息收益率qd的一部分——对混合估计量的总体方差的贡献远大于（2.12）中定义的波动率平方σ。因此，当q中除第一项外的所有项都消失时，即当a=1且a=a=a=0时，我们预计混合估计量的最小方差将达到。实际上，CIR模型中的利率波动非常小，即ξd，f 1，一个可以在表2中观察到的事实。此外，Hestonmodel中的波动性——根据外汇市场数据进行校准——也很小，即ξ 1，显著小于平均回归率，即ξ k、 表1清楚地说明了一个事实。因此，方差平方根模型中的偏差项主导了差异项。因此，我们在随后的分析中假设方差和利率的“几乎确定性”动态。设γ、γ和γfbe为v、rd和rf的FTE离散化，对应于ξ=ξd=ξf=0，即当波动性参数的波动性等于零时。然后是ZTRDTDT≈ZTγdtdtt，ZTrftdt≈ZTγftdt，ZTVtdt≈ZTγtdt，ztqvtdwt≈ZTpγtdWst。备注4.4。假设wsv独立于布朗运动Wv，wd和Wf，即a=1和a=a=a=0。

利用（4.7）以及上述关于方差和国内外利率动态的假设，VarmixMC=MVarE-RTrdtdtEf（ST）| Gf，d，vT≈我-2RTγDTVarEf（圣）= 另一方面，由于^ST=ST，我们从（4.6）中知道varstdmc=MVarE-RTrdtdtf（ST）≈我-2RTγDTVarf（圣）.假设非平凡的支付以及非零平方波动率v，由于混合估计量的方差接近于零，这将导致显著的方差减少。备注4.5。设f为欧洲看涨期权支付，并假设方差和利率的动态“几乎是确定性的”（即，与平均回归速度相比，它们自身的波动参数很小）。然后我们可以近似计算出的报酬如下：P=e-RTrdtdt性爱ZTrdt- rft-及物动词dt+ZTqVtdWst- K+≈ E-RTγdtdtt性爱ZTγdt- γft-γtdt+ZTpγtdWst- K+. （4.17）现在，假设a>0。为方便起见，定义数量%=q1- a、 ~σ=sZTγtdt，~D=e-RTγdtdtdt，F=SexpZTγdt- γftdt, （4.18）以及asa=%p1- %b=log（F/K）+（0.5++）~σp1- %~σ. （4.19）我们使用（4.17）和（2.14）中的条件期权价格公式，并区分混合蒙特卡罗估值器相对于（4.18）中定义的参数%的方差，使用长时间的分部积分进行查找，%VarmixMC≈MDF%σe%σeΦ（aZ+b）, （4.20）式中Φ为标准正常CDF和Z~ N（0，1）。请注意，如果a<1，即如果%>0，则（4.20）的右侧严格为正值。这意味着混合估计器的方差随着a的增加而减小，当a=1时达到其最小值。事实上，我们从备注4.4中知道varmixmc（a=1）≈ 0.（4.21）此外，EΦ（aZ+b）= ΦB√1+a- 2TB√1+a，√1+2a, （4.22）其中Owen的T函数（Owen 1980）isT（β，θ）=φ（β）Zθφ（βx）1+xdx，其中T（β，1）=Φ（β）-Φ（β），（4.23）和φ是标准的普通PDF。

注意B√1+a=＠σlogFK |{z}≡β++ %~σ|{z}≡β（%）和√1+2a=s1- %1+%|{z}≡θ(%). （4.24）根据表1中的数据，θ 1等等 1.因此，对于低到期日T，我们有∑ 1.从备注4.2中，使用（4.21），我们知道标准蒙特卡罗估计量的方差是通过将（4.20）积分到[0,1]上得到的。因此，Γvar≈RνΦβ+ β(ν)- 2Tβ+ β(ν), θ(ν)dνR%νΦβ+ β(ν)- 2Tβ+ β(ν), θ(ν)dν。（4.25）根据（4.23）和（4.24），我们推断ν ∈ [0, 1],Φβ+ 0.5~σ≤ Φβ+ β(ν)- 2Tβ+ β(ν), θ(ν)≤ Φβ+ 1.5~σ. （4.26）因此β+ 0.5~σΦβ+ 1.5~σ·%≤ Γvar≤Φβ+ 1.5~σΦβ+ 0.5~σ·%. （4.27）（4.27）中的不等式是近似的，因为方差折减系数是由近似量从上到下限定的。假设∑ 1，（4.27）变为Φβ%≤ Γvar≤Φβ%. （4.28）此外，如果我们还假设期权在资金中的深度，那么β相对较大（例如β）≥ 1） 和sopΦ（β）≈ 1.因此，我们得出结论：Γdev≈1.- A.-, a> 0。（4.29）然而，我们从备注4.2中得知，当a=0时，标准偏差率为1。因此，（4.27）–（4.29）适用于a的所有值。有趣的是，金钱案例中的深度也是可以将支付视为平滑的，这也解释了图4。请注意，备注4.5与备注4.2–4.4.5数值结果一致。在本节中，我们通过与两种衍生工具（欧式看涨期权和向上输出期权）的替代数值方案进行比较，来测试混合蒙特卡罗/PDE方法的效率。对于前者，我们使用一个分析公式（2.14）来计算条件期权价格和基准，该公式采用对数欧拉离散化的标准蒙特卡罗方法，并在一个简单的相关结构下，使用Ahlip and Rutkowski（2013）的半分析公式。对于后者，我们使用有限差分或Fatone等人的微扰公式。

（2008）的条件期权价格，以及蒙特卡罗——有或没有布朗桥——作为参考方法。首先，我们展示了混合蒙特卡罗/偏微分方程方法的收敛性和实证收敛速度。然后，我们研究方差缩减因子（4.8）对模型参数变化的敏感性，并将数值结果与第4节中的分析联系起来。我们的数值实现平台是MATLAB 2012a。进行所有数值测试的机器配置为：Intel（R）Core（TM）i3 CPU、M370、2.40 GHz、内存（RAM）：8.00 GB、运行Windows 7 Professional的64位操作系统。在本节中，我们将以下值分配给基础模型参数作为基本情况，并单独或联合改变选择：v=0.0275，rd=0.0524，rf=0.0291，k=1.70，kd=0.20，kf=0.32，θ=0.0232，θd=0.0475，θf=0.0248，ξ=0.1500，ξd=0.0352，ξf=0.0317，ρsv=-0.10，ρsd=-0.15，ρsf=-0.15，ρvd=0.12，ρvf=0.05，ρdf=0.25。这些值与FXmarkets的经验观察结果一致，并且接近表1和表2中的校准值。此外，相关系数ρsd、ρsf和ρdf的值来自皮特堡（2006）。5.1欧洲看涨期权设定现货、行权和到期日be:S=105、K=100和T=1.5。另一方面，外汇期权报价是以固定增量和固定到期时间的波动率为基础的，而不是以罢工为基础的。然而，与报价波动率相对应的履约价格可以通过转换公式轻松恢复（Ahlip和Rutkowski，2013年）。回想一下，Θfrom（4.3）是真正的期权价格，而ΘstdMCfrom（4.4）和ΘmixMCfrom（4.5）分别是标准和混合蒙特卡罗估值器。

在表3中，我们报告了常见的离散化偏差，即时间离散化误差，这与备注4.1中的两个指标相同，以及两个标准误差，即样本均值的两个标准偏差，我们用StDev表示，并使用10000个样本进行估计。然而，根据Ahlip和Rutkowski（2013），在完全相关结构下，欧洲期权价格的封闭式解决方案不可用。因此，我们需要找到一个准确的参考估计值*为了评估偏差。我们采用M=2×10模拟和N=200时间步的混合算法来发现：Θ*= 12.11968. 然后，使用参考估计值Θ估计特定时间步数的偏差*, 其精度如下所述，以及大量模拟，即M=2×10。在64000次模拟和8个时间步长的情况下，标准蒙特卡罗方法和混合蒙特卡罗方法分别需要0.25秒和0.22秒的时间来获得通话价格估计。因此，后者的计算成本降低了12%。然而，这是意料之中的，因为我们只模拟了四个基本过程中的三个。表3：欧洲看涨期权的模拟结果。时间步长离散化偏差模拟StDev（stdMC）StDev（mixMC）1 0.37231 1000 0.50348 0.093422 0.08039 4000 0.24126 0.041944 0.01775 16000 0.12042 0.020238 0.00444 64000 0.06071 0.0099416 0.00160 256000 0.02932 0.0048730.00073 1024000 0.01507 0.00262表3中的数据表明，即使只使用了几个时间步长，偏差也很小。这种现象可以解释为Feller条件满足，即2kθ>ξ，2kdθd>ξ，2kfθf>ξf，因此方差和利率过程的离散化很少达到零。

表3中的模拟结果证实了统计误差的平方根收敛性和离散化误差的一阶收敛性。然后，使用外推，我们获得参考估计的近似均方根误差（RMSE）：偏差（Θ*) ≈ 1.168×10-4、科技发展署（Θ*) ≈ 0.593×10-4.=> RMSE（Θ*) ≈ 1.310×10-4.这相当于实际期权价格的0.001%左右的RMSE，表明参考估计值Θ*= 12.11968精确到小数点后三位。此外，标准偏差降低了83%，也就是说，混合法的标准偏差大约降低了六倍。然而，在模型参数的可能值范围内，方差减少并不一致，并且对汇率与平方波动率或利率之间的相关性变化最为敏感，即ρsv、ρsda和ρsf、均值回复速度k和波动率ξ的波动率。数值ρvd=0.12，ρvf=0.05，ρdf=0.25和ρsv，ρsd，ρsf∈ [-0.5,0.5]导致有效（即正定义）相关矩阵。图1中的数据表明，当相关性ρsv、ρsda和ρsf的绝对值较小时，或者更准确地说，当ρsv≈ -0.05和ρsd≈ ρsf≈ 0，在这种情况下，标准偏差减少了20倍。

因此，混合估计器的最佳性能与Ws与布朗运动Wv、Wd和Wf的独立性一致，这一观察结果与备注4.3和4.4一致。此外，我们从图1中推断，除了较低的计算成本外，混合蒙特卡罗/PDE方法在精度方面优于标准蒙特卡罗方法。图1：标准偏差率Γdevfrom（4.8），有4000个模拟和10个时间步，在后两者相等时，根据相关系数ρsv、ρsda和ρsf绘制。所有ρsv，ρsd，ρsf的racy∈ [-0.5,0.5]，并且方差折减系数随着汇率和平方波动率或利率之间相关性的绝对值的增加而减小，这两个事实在备注4.2中得到了确认。假设ρsd=ρsf，因为ρvd≈ ρvf≈ 0，我们可以≈s1- ρsv-1+ρdfρsd=r1- ρsv-ρsd。（5.1）然而，Γdev≈1.- A.-≈ρsv+1.6ρsd-（5.2）摘自备注4.5。结合以上对最大方差折减因子位置的观察，我们推断，对于某些u，对应于Γdev=u的点集（ρsv，ρsd）≥ 1，近似为椭圆，方程为：uρsv+0.05+ 1.6μρsd=1。（5.3）这证实了图1中的等值线显示为椭圆形，表4中也说明了这一事实，其中相关对（ρsv，ρsd）的选择使得u=2.812。沿等高线的估计标准偏差率为3.148±0.239，接近理论值u。

这证明了我们的近似和数值结果的准确性。接下来，我们假设布朗驱动因素之间存在部分相关结构，使得平方波动率动态与国内外利率无关。表4：不同相关性的估计标准偏差率。ρsv-0.40-0.40-0.30-0.30 0.20 0.20 0.30 0.30ρsd-0.05 0.05 -0.20 0.20 -0.20 0.20-0.05 0.05Γdev3。288 3.088 3.387 2.910 2.951 3.127 2.952 3.055动力学，即ρvd=ρvf=0。使用备注4.5，并从（2.2）中明确计算AeDev≈ρsv+1- ρdfρsd+ρsf- 2ρsdρsfρdf-. （5.4）之前，我们固定了ρdf，并分析了当后两者相等时，ρsv、ρsda和ρsf的方差减少。现在，我们选择ρsv，并将重点放在变化ρdfonΓdev的影响上。为此，可以很容易地证明ρsd+ρsf- 2ρsdρsfρdf1- ρdf≥ 最大值ρsd，ρsf. （5.5）假设ρsda和ρsf不同时为零，当ρdf=ρ时，（5.5）中的等式成立*df≡ρsfρsd |ρsd|≥|ρsf |+ρsdρsf |ρsd |<|ρsf |。（5.6）代入（5.4）后，我们发现理论标准偏差比u。当ρsv=-0.10，ρsf=-0.20，ρsd∈ [-0.25,0.25]和ρdf∈ [-0.85, 0.85]. 请注意，这些相关值保证了对称的正有限相关矩阵。因此，当ρ*df超出允许值的区间，我们用ρdf=±0.85来估计Γd。