一种混合蒙特卡罗和偏微分方程方差缩减方法

如果不是这样，混合算法将以增加计算时间为代价提供更高的精度，并且它执行经典方案的参数值集是有限的。本文进行的分析不仅限于四维HestonCIR模型，而且可以推广到更高维的问题。例如，我们可以考虑多因素短期利率，如Dang等人（2015年）所述，具有CIR动态和期限结构，在这种情况下，收敛和方差缩减分析适用于证明的一些轻微修改。随机波动率解释了波动率的聚集性、增量依赖性、长期微笑和倾斜，但在隐含波动率中会产生不现实的短期模式。因此，为了改善短期内隐含波动率的行为，可以将原始模型扩展为Cozma和Reisinger（2015a）中的随机局部波动率模型，该模型可以很容易地用于障碍期权定价，而无需额外的计算功能，或者在即期外汇汇率中添加一个独立的跳跃成分，在这种情况下，分析公式可能适用于欧式期权的条件价格。例如，当跳跃大小的分布为正态（Merton 1976）或双指数（Kou 2002）时，就是这种情况。然而，仍然存在一些尚未解决的问题，如离散化方案的强收敛速度，或是一个具有观察到的二阶收敛的有限差分方案，以便及时为障碍期权定价。此外，研究套期保值参数也是相关的，我们打算在未来的研究中继续研究所有这些主题。利益声明作者报告没有利益冲突。只有作者对论文的内容和写作负责。

Andrei Cozma的研究由EPSRC资助，感谢您的支持。参考Sahlip，R.和Rutkowski，M.（2013）。Hestonstochastic波动率模型和CIR利率下的外汇期权定价。定量金融，13（6）：955-966。Ait-Sahalia，Y.和Kimmel，R.（2007年）。随机波动率模型的最大似然估计。《金融经济学杂志》，83:413–452。阿明，H.H.N.（2012）。校准不同的利率模型，以获得良好的收益率曲线。德尔夫特理工大学硕士论文。Andersen，L.和Piterberg，V.（2007年）。随机波动模型中的矩爆炸。《金融与随机》，11（1）：29-50。Ang，X.X.（2013）。PDE/Monte Carlo混合方法是在高维系统下定价的有效方法。牛津大学硕士论文。Brigo，D.和Mercurio，F.（2006年）。利率模型：理论与实践。德国柏林斯普林伯格。克拉克，I.J.（2011）。外汇期权定价：从业者指南。约翰·威利父子公司。1985年和1985年，罗斯·艾尔索尔斯。利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2）：385-407。Cozma，A.和Reisinger，C.（2015a）。具有CIR利率的Heston随机局部波动模型的Euler离散格式的收敛性。工作文件，arXiv:1501.06084v3[q-fin.CP]。Cozma，A.和Reisinger，C.（2015b）。Cox-Ingersoll-Ross过程Euler离散格式的指数可积性。工作文件，arXiv:1601.00919[q-fin.CP]。Dang，D.-M.，Jackson，K.R.，和Mohammadi，M.（2015）。用于高维金融模型的蒙特卡罗方法的降维和方差。应用数学金融学。Dereich，S.，Neuenkirch，A.，和Szpruch，L.（2012）。Cox-Ingersoll-Ross过程强近似的Euler型方法。

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引理3.1Let{Gyt，0的证明≤ T≤ T}是WYT生成的自然过滤，并使用缩写符号Eyt·= E· |吉特. 如果我们假设∈ [tn，tn+1]在Gytn条件下，我们得到Θt= 经验λZtnYudu+uZtnqYuδWyuδtdu经验λ+t- tn2δtu（t）- tn）Ytn.在注意到下面的身份后，supx∈[0,1]λx+ux= 1.> 0，我们推断 ≤0表示EytnΘt≤ 艾顿Θtn和 > 0表示EytnΘt≤ Eytn公司Θtn+1.此外，由于Y是分段常数，ZtnqYuδWyuδtdu=ZtnqYudWyu，0≤ N≤ N.从今往后，我们遵循Cozma和Reisinger（2015b）中命题3.6的论点。附录B.命题3.2的证明我们发现定义一个新的随机过程很方便≡ Stexp兹特富杜= 性爱Ztrdu-似曾相识du+Zt√武德苏. （B.1）自≤ 书信电报，T∈ [0，T]，必须证明T of e上的上确界的唯一性Lωt= SωE经验ωztrdu-ωZtvudu+ωXj=1a1jZt√武德居. （B.2）让Gd，vt，0≤ T≤ T是布朗驱动因子WandW产生的自然过滤，即在时间T之前观察到的过程RDV和RDV产生的过滤，以及Gvt，0≤ T≤ T是W生成的过滤。在σ-代数Gd，vt上调节（B.2）右侧的期望，并考虑到Wand是独立的，我们可以使用矩母函数（MGF）计算内部期望：E经验ωaZt√vudWu+ωaZt√武德武Gd，vt= E经验ωaZt√武德武Gd，vtE经验ωaZt√武德武Gd，vt= 经验ωa+aZtvudu. （B.3）用（B.3）引线替换回（B.2）Lωt= SωE经验ωztrdu+ωa+a-ωZtvudu+ωXj=3a1jZt√武德居.接下来，我们利用H¨older不等式，其中p，q>1，q=p/（p）- 1） ，以迫使termrtudu超出期望值，然后将第二个期望值条件化为σ-代数Lωt≤ SωE经验pωztrdu体育课经验Qωa+a+qa-ωZtvudu+qωaZt√武德武Q

（B.4）剩下要做的就是证明（B.4）右侧的两个期望值的上确界t是有限的。然而，Cozma和Reisinger（2015b）中的命题3.2提供了以下充分条件：≥p2pωξd，（B.5）以及≥ qωρsvξ（B.6）和ωξaq+2ωρsvξk+ωξa+a- ωξQ- K≤ 0，（B.7）表示所有T>0。（3.7）中的第一个假设确保q（α）>1，因此q（α）>1。这意味着q（α）/（q（α）-1) > 1. 由于（3.7）中的第二个假设，我们可以发现p>1，因此kd2ξd>αp>αq（α）q（α）- 1.=> kd>p2pαξd.（B.8）下面x中的二次方程有不同符号的根，正根q（α）：αξax+2αρsvξk+αξa+a- αξ十、- k=0。然而，H–older配对满足p=q/（q）- 1） ，所以q<q（α）≤ q（α）。因此，q位于二次曲线的两个根之间，这意味着αξaq+2αρsvξk+αξa+a- αξQ- k<0。（B.9）从（3.6）开始，如果ρsv>0，q<q（α）≤kαρsvξ=> k>qαρsvξ（B.10），当相关系数为非正时，这显然成立。考虑下面的三个连续映射，当ω=α时，它们是严格正的，ω 7→ K- qωρsvξ；ω 7→ 杜兰特-p2pωξd；ω 7→ K- ωξaq-2ωρsvξk+ωξa+a- ωξq、 然后我们可以找到α>α，使得这三个函数在[α，α]上都是正的。因此，我们已经证明了条件（B.5）-（B.7）是满足的，结论如下。区间[1，α）的扩展直接来自Jensen不等式。在a=0的特殊情况下，即ρsd=ρsvρvd，参数是相同的，在条件（B.7）中只出现差异，即2ωρsvξk+ωξ1.- ρsv- ωξQ- K≤ 从今以后，我们可以很容易地证明，只要ask>αρsvξ+pα（α），命题3.2在这种情况下仍然成立- 1） ξ，kd2ξd>αmax1，kk- αρsvξ，k（k- αρsvξ）- α(α - 1)ξ.附录C。

命题3.3的证明为了方便起见，定义了一个新的随机过程L byLt≡ Stexp兹特富杜= 性爱Ztrdu-似曾相识du+aZtqVudWu+Xj=2a1jZtqVuδWjuδtdu. （C.1）作为St≤ 书信电报，T∈ [0，T]，必须证明T和δT上的上确界的唯一性Lωt= SωE经验ωztrdu-ωZtVudu+ωaZtqVudWu+ωXj=2a1jZtqVuδWjuδtdu. （C.2）将右侧的期望值调整为Gd、VT，并记住：⊥⊥W、 我们可以将内部期望分为两部分，我们使用MGFs进行计算。首先，E经验ωaZtqVudWuGd，vT= 经验ωaZtVudu. （C.3）第二，让t∈ [tn，tn+1）。由于V是分段常数，而Whas是独立增量，E经验ωaZtqVuδWuδtduGd，vT= E经验ωaZtnqVudWu+ωat- tnδtZtn+1tnqVudWuGd，vT= 经验ωaZtnVudu经验ωa（t）- tn）（δt）Ztn+1tnVudu≤ 经验ωaZtVudu. （C.4）用（C.3）和（C.4）替换回（C.2）导致上界ELωt≤ SωE经验ωztrdu+ωXj=3a1jZtqVuδWjuδtdu+ωa+a-ωZtVudu. （C.5）接下来，我们利用H¨older不等式对（p，q），其中p，q>1，q=p/（p）-1） ，迫使TermrTudu超出预期。然后，我们将第二个期望条件设置在σ-代数gv上，并按照（C.4）中的步骤到达atELωt≤ SωE经验pωztrdu体育课经验qωaZtqVuδWuδtdu+qωa+a+qa-ωZtVuduq、 （C.6）我们剩下要做的就是证明（C.6）右边两个期望值的上确界t和δt是有限的。然而，我们可以很容易地从引理3.1推导出以下有效条件：≥pωTξd，k≥ qωρsvξ+Tξ，（C.7）其中 = Qω(ω - 1） +ω（q）- 1)a+a. （C.8）注意，我们在（C.8）中使用了dpj=1a1j=1。另一方面，（3.10）中的第一个假设确保q（α）>1。这反过来意味着q（α）/（q（α）-1) > 1. 由于（3.10）中的第二个假设，我们可以找到p>1，这样2kdtξd>αp>αq（α）q（α）- 1.=> kd>pαTξd。

（C.9）下面x中的二次方程有不同符号的根，正根q（α）：Tαξa+ax+αρsvξ+Tαξa+a-Tαξ十、- k=0。然而，H–older配对满足p=q/（q）- 1） 因此q<q（α）。因此，q位于二次曲线的两个根之间，这意味着tαξa+aq+αρsvξ+Tαξa+a-TαξQ- k<0。（C.10）重新排列上述不等式中的项，我们得到k>qαρsvξ+Tξqα(α - 1） +α（q）- 1)a+a. （C.11）从（C.9）和（C.11）中，利用一个类似于命题3.2证明中所用的连续性论证，我们推导出（C.7）中的两个条件在一个区间[α，α]上保持，对于某些α>α，这就结束了证明，ω ∈ [1, α]. 如果A和A同时为零，即ρsv=ρsd=0，我们可以很容易地证明命题3.3在ask>α（α）的情况下仍然成立- 1） Tξ，kdTξd>2αk4k- α(α - 1） Tξ。附录D.命题3.4的证明我们严格遵循命题3.2的论点，并以σ-代数gvtinstead为条件来推导它Rωt≤ SωE经验ω1.- ρsv-ωZtvudu+ωρsvZt√武德武. （D.1）首先，假设α=1，T≥ 0.如果k<ρsvξ，则↓ 1+ν（ω）对数ωρsvξ-k+ν（ω）ωρsvξ-K- ν(ω)= ∞.因此，通过一个连续性参数，我们可以找到α>1，这样对于所有ω∈ （1，α），k<ωρsvξ-pω（ω）- 1） ξ和T<ν（ω）对数ωρsvξ-k+ν（ω）ωρsvξ-K- ν(ω). （D.2）如果k=ρsvξ，则ρsv∈ （0,1]和limω↓ 1+^ν(ω)π- 阿尔克坦ωρsvξ-k^ν（ω）= limω↓ 1+^ν（ω）弧tanpω- (ω - 1） ρsv√ω - 1ρsv！=∞.此外，请注意，对于所有ω>1，ωρsvξ-pω（ω）- 1) ξ ≤ ωk-pω（ω）- 1） k<k。因此，我们可以找到α>1，这样对于所有ω∈ （1，α），ωρsvξ-pω（ω）- 1） ξ<k<ωρsvξ+pω（ω- 1） ξ（D.3）和t<^ν（ω）π- 阿尔克坦ωρsvξ-k^ν（ω）. （D.4）如果k>ρsvξ，那么我们可以找到α>1，这样对于所有ω∈ （1，α），k>ωρsvξ+pω（ω）- 1) ξ.

（D.5）结论来自Cozma和Reisinger（2015b）以及（D.2）-（D.5）中的命题3.2。接下来，假设α>1，T<T*, 和T*定义见（3.16）-（3.19）。如果k<αρsvξ-pα（α- 1） ξ，通过连续性参数，我们可以找到α>α，这样对于所有ω∈ （α，α），k<ωρsvξ-pω（ω）- 1） ξ和T<ν（ω）对数ωρsvξ-k+ν（ω）ωρsvξ-K- ν(ω). （D.6）如果k=αρsvξ-pα（α- 1） ξ，然后ρsv∈ （0,1]对于所有ω>α，ω- α<pω（ω）- 1) -pα（α- 1) => ωρsvξ-pω（ω）- 1） ξ<αρsvξ-pα（α- 1) ξ.此外，注意limω↓ α+^ν(ω)π- 阿尔克坦ωρsvξ-k^ν（ω）= limω↓ α+^ν（ω）arctan^ν（ω）αρsvξ-K=αρsvξ-k、 因此，我们可以找到α>α，这样对于所有ω∈ （α，α），ωρsvξ-pω（ω）- 1） ξ<k<ωρsvξ+pω（ω- 1） ξ（D.7）和t<^ν（ω）π- 阿尔克坦ωρsvξ-k^ν（ω）. （D.8）如果αρsvξ-pα（α- 1） ξ<k<αρsvξ+pα（α- 1） ξ，我们可以清楚地找到α>α，这样（D.7）和（D.8）都适用于所有ω∈ (α, α). 如果k=αρsvξ+pα（α- 1） ξ，那么对于所有ω>α- ω） ρsv<pω（ω）- 1) -pα（α- 1) => αρsvξ+pα（α- 1） ξ<ωρsvξ+pω（ω- 1) ξ.此外，注意limω↓ α+^ν(ω)π- 阿尔克坦ωρsvξ-k^ν（ω）= limω↓ α+2π^ν(ω)= ∞.因此，我们可以找到α>α，使得（D.7）和（D.8）都适用于所有ω∈ (α, α). 最后，如果k>αρsvξ+pα（α- 1） ξ，那么我们可以找到α>α，这样对于所有ω∈ （α，α），k>ωρsvξ+pω（ω）- 1) ξ. （D.9）结论来自Cozma和Reisinger（2015b）以及（D.6）-（D.9）中的命题3.2。区间[1，α）的扩展遵循Jensen不等式。附录E.命题3.5的证明我们严格遵循命题3.3的论点，并以σ-代数gvtinstead为条件来推导命题ERωt≤ SωE经验ω1.- ρsv-ωZtVudu+ωρsvZtqVuδWuδtdu. （E.1）假设T<T*, 和T*从（3.21）到（3.22）。如果k<αρsvξ+pα（α- 1） ξ，然后通过连续性参数，我们可以找到α>α，这样对于所有ω∈ （α，α），k<ωρsvξ+pω（ω）- 1） ξ和T<ωρsvξ+pω（ω- 1) ξ - K