退化椭圆型和抛物型方程解的Feynman-Kac公式

差异过程（3.12）的左边界l允许以下分类。（1） 如果S（l，b）<∞ 和M（l，b）<∞ （这意味着∑（l）和N（l）都是有限的，参见[27，引理15.6.3（v）]），在这种情况下，l是一个规则边界；或M（l，b）=∞ 和∑（l）<∞, 在这种情况下，l是一个出口边界，我们有Limy↓lTyl=0 a.s。。（3.20）（2）如果∑（l）=∞ 和S（l，b）<∞ , 在这种情况下，l是一个吸引人的自然边界，然后扩散过程（Y（t））t≥0，从任何内部点y开始∈ 如果S（l，b）=∞ （这意味着∑（l）=∞ , 参见[27，引理15.6.3（i）]，其中casel要么是（非吸引性的）自然（Feller）bou ndary（当N（l）=∞), 或入口边界（当N（l）<∞). 进一步假设这个肢体↑rTyb=∞ 几乎可以肯定∈ （左，右）。然后，扩散过程（Y（t））t≥0，从任何内部点y开始∈ （l，r），永远无法达到左边界l。证明：对于任何y∈ （l，r），定义Tyl+：=利马↓艾尔塔。ThenTyl+=Tyl，对于每个y∈ （左，右）。（3.21）要看到这一点，请∈ （左，右），以及自≤ 泰尔福∈ （l，y），我们有tyl+=lima↓艾尔塔≤ 泰尔。为了证明这个逆不等式，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设Tyl+<∞ （其他方式为Tyl=Tyl+=∞). 通过（Yt）t的采样路径的连续性≥0，钇+=利马↓利马↓la=l，因此为Tyl+≥ 泰尔。（1） 首先假设l是正则边界。对于任何固定的b∈ （l，r），由（3.15），（3.16）和（3.21），limy↓lPy（Tb<Tl）=limy↓利玛↓lPy（Tb<Ta）=limy↓利玛↓lwa，b（y）=limy↓利玛↓lS[a，y]S[a，b]=limy↓lS（l，y]S（l，b]=0。

（3.22）此外，通过[27，引理15.6.3]，S（l，b）<∞ 和M（l，b）<∞ 暗示∑（l）<∞ N（l）<∞.因此，通过（3.17）、（3.21）和（3.22），limy↓莱伊（Tl）∧ 李米↓利玛↓莱伊（助教）∧ 李米↓利玛↓lva，b（y）=limy↓利玛↓L2wa，b（y）ZbyS[ξ，b]M（dξ）+2（1）- wa，b（y））ZyaS[a，ξ]M（dξ）= 2酸橙↓利玛↓lwa，b（y）N（l）+2石灰↓利玛↓l（1）- wa，b（y））∑（l，y）=0。（3.23）注意0=limy↓莱伊（Tl）∧ 肺结核）≥ 酸橙↓莱伊Tl{Tl≤Tb}≥ 与（3.22）一起，我们得出结论，TylConverge在L中为0（因此在概率上也是如此），作为y↓ l、 几乎可以肯定的是，由于Tylis在y中减少，收敛会立即发生。接下来，假设l是一个出口边界。由[27，引理15.6.3]可知，∑（l）<∞ 意味着S（l，b）<∞.因此，（3.22）仍然有效。必须显示出口边界l的（3.23）。如r正则基的情况，因为∑（l）<∞, 我们有利米↓利玛↓l2（1）- wa，b（y））ZyaS[a，ξ]M（dξ）=limy↓利玛↓l（1）- wa，b（y））∑（l，y）=0。这仍然是为了证明这一点↓利玛↓lwa，b（y）ZbyS[ξ，b]M（dξ）=0。注意，0≤ 酸橙↓利玛↓lwa，b（y）ZbyS[ξ，b]M（dξ）=limy↓利玛↓lS[a，y]S[a，b]ZbyS[ξ，b]M（dξ）≤ 酸橙↓利玛↓lS[a，y]M[y，b]=limy↓我们只需要展示一下↓lS（l，y]M[y，b]=0。（3.24）一方面，通过分部积分公式，ZblS（l，ξ]M（dξ）=lima↓lZbaS（l，ξ）d(-M[ξ，b]）=lima↓L-S（l，ξ）M[ξ，b]ba+ZbaM[ξ，b]d（S（l，ξ）= 利马↓lS（l，a]M[a，b]+ZblM[ξ，b]s（ξ）dξ。（3.25）另一方面，通过Fubini的Th-eorem，ZblS（l，ξ]M（dξ）=ZblZζls（ζ）dζm（ξ）dξ=ZblZbζm（ξ）dξs（ζ）dζ=ZblM[ζ，b]s（ζ）dζ。（3.26）因此，（3.24）紧跟在（3.25）和（3.26）之后，这是第（1）部分的证明。（2） 根据[27，引理15.6.2]，如果l吸引，即S（l，b）<∞, 那么∑（l）=∞ <=> Py{Tl<∞} = 0，对于任何y∈ （左，右）。

（3.27）因此，Tyl=∞ 几乎可以肯定的是，不管是什么原因∈ （l，r），完成第（2）部分的证明。（3） 根据[27，引理15.6.1（ii）]，如果S（l，b）=∞, 对于任何l<y<b<r，Py{Tl+<Tb}=0。因此↑rTyb=∞, 我们有{Tl+<∞} = 肢↑对于任何y，rPy{Tl+<Tb}=0∈ （l，r），完成了引理的证明。备注3.6。以上分类可通过下图进行总结。S（l，b）<∞M（l，b）<∞ 正则边界，情形（1）M（l，b）=∞（∑（l）=∞ 自然（伐木）边界，情况（2）∑（l）<∞ 出口边界，情况（1）S（l，b）=∞N（l）<∞ 入口边界（肢体）↑rTyb=∞ a、 美国案例（3）否则，无描述n（l）=∞ 自然（Feller）边界（肢体）↑rTyb=∞ a、 s.情况（3）除此之外，没有对（2.8）中给出的扩散过程X（d）的描述，（l，r）=（0+∞ ) 因此四肢↑∞Tyb=∞ 几乎可以肯定的是∈ (0, ∞) 因为X（d）几乎肯定在任何时间都是有限的。因此，引理3.5.4椭圆边值问题完全涵盖了X（d）在原点的边界行为。在本节中，我们将验证部分/完全边界条件下椭圆边值问题解的Feynman-Kac表示的存在性和唯一性。下文中，我们使用S（d）、M（d）、∑（d）和N（d）来表示（3.13）、（3.14）、（3.18）和（3.19）中引入的量，用于任何由（2.8）驱动的任意固定扩散过程（弱溶液）X（d）。

我们将在以下两种情况下证明定理2.7、定理2.9、定理2.11和定理2.12，基于X（d）的左边界元0的boudary分类。（A） ∑（d）（0）=∞, 在这种情况下，原点要么是自然（Feller）边界，要么是X（d）的entran Ce边界，因此X（d）永远无法从（0，∞).（B） S（d）（0，B）<∞ 和M（d）（0，b）<∞, 在这种情况下，原点是X（d）的规则边界；或M（d）（0，b）=∞ 和∑（d）（0）<∞, 在这种情况下，原点是X（d）的一个出口界ary。在这两种情况下，X（d）可以从内部到达原点（0，∞).第一种情况包括引理3.5中的情况（2）和（3），而第二种情况是引理3.5中的情况（1）。根据备注3.6，这两种情况描述了X（d）在原点的所有可能边界行为。下面的引理显示了上述情况与定理2.7中所述的情况（a）-（e）之间的关系。具体而言，场景（A）包含案例（A）、（b）和（c），而场景（b）包含案例（d）和（e）。引理4.1。考虑由（2.8）驱动的一维扩散过程X（d）。（1） 如果β∈ （0，1），0是X（d）的正则边界。（2） 如果β∈ （1，2），假设bd（0）>0，并且bd在原点是局部连续的（参见（2.15））。

那么，0要么是（非吸引的）自然（Feller）边界，要么是X（d）的入口边界。（3） 如果β=1，假设bd（0）>0，并且bd在原点是局部连续的。（i） 如果2bd（0）>σ（0），0要么是（非吸引的）自然（伐木）边界，要么是X（d）的入口边界。（ii）如果2bd（0）<σ（0），0是X（d）的正则边界。（iii）如果2bd（0）=σ（0），则进一步假设σ在原点附近是常数。那么，0要么是（非吸引的）自然（Feller）边界，要么是X（d）的入口边界。证明：在不丧失一般性的情况下，我们假设y=1和b∈ （0，1）在整个证明过程中。（1） 根据bd和∧σ的连续性（假设2.2），存在常数C>0，因此| bd（y）|≤ C、 ■σ（y）≤ C、 对任何人来说∈ [0, 1].同样，根据假设2.6，σ（y）=加（y）≥ δ、 对任何人来说∈ [0, +∞). （4.1）因此，如果β∈ （0,1），S（d）（0,b]≤ZbexpZy2CΔη-βdηdy=exp2Cδ（1）- β)Zbexp-2Cδ（1）- β） y1-βdy<+∞,M（d）（0，b]≤ZbδyβexpZy2CΔηβdηδexp=dy2Cδ（1）-β)Zbyβexp-2Cy1-βδ(1-β)dy<+∞,这意味着0是X（d）的正则边界。（2） 当β∈ （1，2），在不丧失一般性的前提下，假设∈ （0，κ），其中κ如（2.15）所示。通过（2.15），我们得到了（d）（0，b]=ZbexpZκy2bd（η）ηβ＠σ（η）dη+Zκ2bd（η）ηβ＠σ（η）dηdy=CZbexpZκy2（bd（η）- bd（0））ηβ∧σ（η）dη+Zκy2bd（0）ηβ∧σ（η）dηdy≥ CZbexp-2LδZκyηγ-βdη+2bd（0）CZκyη-βdηdy，其中C:=expRκ2bd（η）ηβ∧σ（η）dη.

我们将讨论以下三种不同值γ的情况，其中γ是（2.15）中给出的H¨older指数。首先，如果γ- β+1>0，S（d）（0，b]≥ Cexp-2Lκγ-β+1δ(γ - β + 1)-2bd（0）κ1-βC（β- 1)Zbexp2Lyγ-β+1δ(γ - β+1）+2bd（0）y1-βC（β- 1)dy≥ Cexp-2Lκγ-β+1δ(γ - β + 1)-2bd（0）κ1-βC（β- 1)Zbexp2bd（0）C（β- 1） y1-βdy=+∞.接下来，如果γ- β+1<0，S（d）（0，b]≥ Cexp2Lκγ-β+1δ(β-γ-1)-2bd（0）κ1-βC（β-1)Zbexp2bd（0）y-γC（β-1)-2Lδ（β-γ-1)γ-β+1dy=+∞,自2BD（0）年以来-γC（β- 1） >2Lδ（β- γ -1） >0，对于足够小的y>0。最后，如果γ- β+1=0，我们还有（d）（0，b]≥ Cκ-2Lδexp-2bd（0）κ1-βC（β- 1)Zby2Lδexp2bd（0）C（β- 1） y1-βdy=+∞.因此，当β∈ （1，2），我们总是有S（d）（0，b）=+∞, wh ich意味着0要么是（非吸引的）自然（Feller）边界，要么是X（d）的入口边界。（3） 最后，我们假设β=1。同样地，根据bd和∧σ（假设2.2）的连续性，对于任何ε，假设bd（0）>0和（4.1）∈0分钟bd（0），~σ（0）, 存在κ∈ （0，κ）（其中κ如（2.15）所示），对于任何0≤ Y≤ κ、 | bd（y）- bd（0）|≤ ε和■σ（y）- ~σ(0)≤ ε. （4.2）在不丧失一般性的情况下，我们可以选择b∈ （0，κ），那么我们有（d）（0，b]=ZbexpZκy2bd（η）ησ（η）dη+Zκ2bd（η）ησ（η）dηdy=CZbexpZκy2（bd（η）- bd（0）ησ（η）dη+Zκy2bd（0）ησ（η）dηdy，式中C:=expnRκ2bd（η）ησ（η）dηo.（i）如果2bd（0）>σ（0），我们可以选择ε>0，这样2bd（0）>σ（0）+ε。通过（2.15）和（4.2），S（d）（0，b]≥ CZbexp-2Lσ（0）- εZκyηγ-1dη经验2bd（0）～σ（0）+εZκyη-1dηdy=Cexp-2Lκγ~σ(0) - ε!γexpκ2bγ+zby~σ(0) - ε!Y-2bd（0）～σ（0）+εdy≥ Cexp-2Lκγ~σ(0) - ε!κ2bd（0）～σ（0）+εZby-2bd（0）~σ（0）+εdy=+∞.因此，0要么是（非吸引的）自然（伐木者）边界，要么是X（d）的入口边界。（ii）如果2bd（0）<σ（0），我们可以选择ε>0，这样2bd（0）<σ（0）- ε.

再次通过（2.15）和（4.2），S（d）（0，b]≤ CZbexp2Lσ（0）- εZκyηγ-1dη经验2bd（0）~σ（0）- εZκyη-1dηdy=Cexp2Lκγ~σ(0) - ε!κ2bd（0）~σ（0）-εZbexp-2Lyγ~σ(0) - ε!Y-2bd（0）~σ（0）-εdy≤ Cexp2Lκγ~σ(0) - ε!κ2bd（0）~σ（0）-εZby-2bd（0）~σ（0）-εdy<+∞.此外，我们还有m（d）（0，b]=Zby)σ（y）exp-Zκy2bd（η）ησ（η）dη-Zκ2bd（η）ησ（η）dηdy≤C-1~σ(0) - εZby-1exp-Zκy2（bd（η）- bd（0））ησ（η）dη-Zκy2bd（0）ησ（η）dηdy≤C-1~σ(0) - εZby-1exp2Lσ（0）- εZκyηγ-1dη经验-2bd（0）～σ（0）+εZκyη-1dηdy=C-1~σ(0) - εexp2Lκγ~σ(0) - ε!κ-2bd（0）～σ（0）+εZby-1exp-2Lyγ~σ(0) - ε!y2bd（0）～σ（0）+εdy≤C-1~σ(0) - εexp2Lκγ~σ(0) - ε!κ-2bd（0）~σ（0）+εZby2bd（0）~σ（0）+ε-1dy<+∞.因此，0是X（d）的正则边界。（iii）如果2bd（0）=σ（0），进一步假设存在κ∈ （0，κ）（当eκ>0在（2.15）中给出）时，使得∧σ（y）≡ ■所有0的σ（0）≤ Y≤ κ. 选择任意一个b∈ 通过（2.15），我们得到了（d）（0，b）=ZbexpZκy2bd（η）ησ（η）dη+Zκ2bd（η）ησ（η）dηdy=CZbexpZκy2（bd（η）- bd（0）ησ（η）dη+Zκy2bd（0）ησ（η）dηdy≥ CZbexp-2L∧σ（0）Zκyηγ-1dη经验Zκyη-1dηdy=Cexp-2Lκγσ（0）κZbexp2Lyγσ（0）Y-1dy≥ Cexp-2Lκγσ（0）κZby-1dy=+∞,其中C:=expRκ2bd（η）ησ（η）dη. 因此，0要么是（非吸引的）自然边界，要么是X（d）的入口边界。证据现已完成。我们现在正在验证椭圆边值问题的存在性和不唯一性定理。注意，当场景（A）发生时，部分边界条件（1.3）沿Γ，且完全边界条件（1.5）沿Γ，解（1.1）的存在唯一性O，当场景（B）发生时，性质相似。

因此，我们定义*O:=Γ，如果场景（A）发生，O、 如果场景（B）发生，（4.3）并将前面提到的边值问题视为O上的u=f，O上的u=g*定理2.7的证明：如果∈ Cloc（O）∪ *O）∩ C（O）是（4.4）的解，满足线性增长条件（2.10），然后在每x上与费曼-卡克公式（2.13）一致∈ O∪ *O、 对于任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）到（2.7）-（2.8），初始条件（2.9）为t=0。根据u的表达式（2.13）*在（4.4）中，我们可以看到u（x）=u（x）*（x） =g（x），对于任何x∈ *因此，我们只需要证明u=u（X）*对于任何弱解，在O上。在下面的证明中，对于任何x∈ O，我们将定义一个任意弱解(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）。让{Ok}k∈Nbe随着α的增加，O的C2，α开放性su B结构域的频率增加（参见[22，定义6.2]）∈ （0,1），这样“好的” O每k∈ N、 及∪K∈对于任何x，NOk=O∈ O、 我们有∈ 当k足够大时。根据It^o公式，对于任何≥ 0，前经验-Zs∧τOkc（Xv）dvUXs∧τOk= u（x）- 前任Zs∧τOkexp-Zvc（Xw）dwu（Xv）dv+ 前任mXj=1Zs∧τOkexp-Zvc（Xw）dwdXi=1Uxi（Xv）σij（Xv）dW（j）v= u（x）- 前任Zs∧τOkexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv, （4.6）由于上述第二和中的随机积分是作为子域Ok的鞅 O和u∈ C（O）。我们首先将（4.6）中的极限取为k→ ∞. 通过增长估计（3.9），我们可以应用支配收敛定理来获得thatlimk→∞前任Zs∧τOkexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv= 前任Zs∧τOexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv. （4.7）对于（4.6）左侧的非整数项，通过O上u的连续性∪ *O和（Xs）s的样本路径的连续性≥0，林克→∞经验-Zs∧τOkc（Xv）dvUXs∧τOk= 经验-Zsc（Xv）dvu（Xs）∧τO），a.s。

.因此，为了表明→∞前任经验-Zs∧τOkc（Xv）dvUXs∧τOk= 前任经验-Zsc（Xv）dvu（Xs）∧τO）, （4.8）我们只需要证明这一点经验-Zs∧τOkc（Xv）dvUXs∧τOk: K∈ N是一组均匀可积的随机变量，对于这些变量，必须获得其二阶矩的一致性。由于b，σ和c满足（3.2），根据线性增长条件（2.10），引理3.1，推论3.3和可选抽样定理（参见[26，定理1.3.22]），我们有经验-2Zs∧τOkc（Xv）dvUXs∧τOk≤ 凯克斯经验-2Zs∧τOkc（Xv）dv1 +Xs∧τOk≤ 2K1+Ex经验-Zs∧τOkc（Xv）dvXs∧τOk≤ 2Kn1+kxk+Mc-1h1- 前任E-c（s）∧τOk）木卫一≤ 2K1+kxk+Mc-1..结合（4.6）-（4.8），我们得到thatEx经验-Zs∧τOc（Xv）dvu（Xs）∧τO）= u（x）- 前任Zs∧τOexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv. （4.9）通过估计（3.9）和优势收敛定理，lims→∞前任Zs∧τOexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv= 前任ZτOexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv. （4.10）仍需考虑（4.9）的左侧。自从你∈ C（O）∪*O） 解决（4.4），我们可以重写这个术语asEx经验-Zs∧τOc（Xv）dvu（Xs）∧τO）= 前任经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）1{τO≤s}+ 前任经验-Zsc（Xv）dvu（Xs）1{τO>s}.使用g和u的线性增长条件（2.10），以及上面类似的论点，我们看到两个随机变量集合都位于前面恒等式的右侧经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）1{τO≤s} ：s≥ 0和经验-Zsc（Xv）dvu（Xs）1{τO>s}:s≥ 0都是一致可积的。很容易看出这一点→∞经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）1{τO≤s} =exp-ZτOc（Xv）dvg（XτO）1{τO<∞}, a、 美国，林→∞经验-Zsc（Xv）dvu（Xs）1{τO>s}=0，a.s。因此，我们有lims→∞前任经验-Zs∧τOc（Xv）dvu（Xs）∧τO）= 前任经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）1{τO<∞}.

（4.11）结合（4.9）-（4.11），我们得到了atEx经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）1{τO<∞}= u（x）- 前任ZτOexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv.与（4.5）一起，我们得到u（x）=u（x）*（x） 对于任何x∈ O∪ *O和任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X），其中u（X）*由（2.13）给出。定理2.9的证明：我们将讨论在场景（B）（包含定理2.7中给出的情况（d）和（e））下，如果∈ Clo c（O）∪ Γ) ∩C（O）∩ C1,1，βs，loc（O∪Γ）是（1.1）的解，部分边界条件（1.3）沿着Γ，它满足线性增长条件（2.10），然后它允许任意x的随机表示（2.14）∈ O∪Γ和任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）到（2.7）-（2.8），初始条件（2.9）为t=0。从（2.14）和边界条件（1.3）中，我们可以看到u（x）=u（x）**（x） =g（x），对于任何x∈ Γ. （4.12）因此，我们只需要证明u=u（X）**对于任何弱解，在O上。在下面的证明中，对于任何x∈ O，我们将定义一个任意弱解(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）。考虑以下英国O的子域增加顺序：=十、∈ O:kxk<k，dist（x，Γ）>k, K∈ N、 每个都有N个在空边界部分Γ∩ 英国。对于任何x∈ O、 我们有x∈ 当UKK很大的时候。为了简单起见，我们将过程（X（d）s）表示为≥0by（Ys）s≥0在下面的证明中。对于任何ε>0，定义（ε）：=Y+ε，X（ε）：=X（1），X（2），Y（ε）T.（4.13），注意到随机积分项是子域Uk上的鞅 O是有边界的，u是有边界的∈ C（O），每k∈ N、 我们有经验-Zs∧λUkc（X（ε）v）dvUX（ε）s∧λUk= u（x）-前任Zs∧λUkexp-Zvc（X（ε）w）dwAεu（X（ε）v）dv,其中Aε表示椭圆微分算子-Aεv（x）：=-v（x）+hb（x）(-ε)) - b（x），Dv（x）i+tra（x）(-ε)) - a（x）Dv（x）, （4.14）其中x(-ε） =（x，…，xd）-1，xd-ε） T。