退化椭圆型和抛物型方程解的Feynman-Kac公式

在上述定理中，我们讨论了两种情况，它们取决于差异过程（Xt）是否≥0是否可以到达边界部分Γ（更多细节见第3.2节和第4节开头）。在第一种情况下，如果发生（a）、（b）和（c）中的一种情况，X ne将超过Γ，而在第二种情况下，如果发生（d）或（e），X可能达到Γ。因此，为了得到唯一性，我们假设部分边界条件g∈ 情形（1）的Clo c（Γ）和全边界条件g∈ 氯离子(O） 分别为sce nario（2）。下一个结果表明，对于定理2.7中的情形（2），在部分边界条件（1.3）下，当对Γ施加补偿正则性条件时，椭圆边值p问题的唯一性可以得到，且u（X）给出了唯一解**如（2.14）所示。特别是u（X）**与弱解的选择无关。在[7，定义2.2]和[16，备注1.4]之后∈ （0,2），设C1,1，βs，loc（O）∪ Γ）是C1,1（O）的线性子空间∩Clo c（O）∪Γ）由函数组成，Γ，对于任何预紧开子集U O∪ Γ，谢谢∈U||（x）|+kD|（x）k+xβdD~n（x）< ∞,其中，Dа和Dа分别表示а的梯度和海森矩阵。定理2.9。假设定理2.7中的情况（d）或（e）发生。除了定理2.7的假设，让c∈ Clo c（O）∪ Γ），f∈ Clo c（O）∪ Γ）和g∈ Clo c（Γ）在Γ上服从线性增长条件（2.10）。乐土∈ Clo c（O）∪Γ) ∩ C（O）∩ C1,1，βs，loc（O∪ Γ）是椭圆边值问题（1.1）和（1.3）的解，且服从（2.10）onO。那么对于任何x∈ O∪ Γ，u（x）=u（x）**（x） ，对于任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）到（2.7）-（2.8），初始条件（2.9）为t=0，其中u（X）**由（2.14）给出。备注2.10。

在定理2.7和定理2.9中，我们得到了椭圆型边值问题（1.1）在部分/完全边界条件下的唯一Feynman-Kac f公式，特别是与弱解的选择无关。事实上，弱解之间的法律差异（可能定义在不同的概率空间s上）只取决于它们花费在波动性为零的时间（参见[26，第5.5节]、[12]和[13]），即边界部分对于u（X）*如（2.13）所示，随机表示公式仅取决于X在击中Γ之前，以及相应的击中时间τO，这两者对于任何弱解都是唯一的规律(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）表示每个固定的X。因此，u（X）*与弱解的选择无关对于u（X）**如（2.14）所示，Feynman-Kac公式的唯一性与弱解定律中的非唯一性并不矛盾。如果（2.14）中的积分上限为固定T>0，那么（2.14）对于足够大的f和g类的唯一性将导致每个固定X在X定律中的唯一性。然而，（2.14）中的终点时间是边界部分Γ的命中时间λoo。在λO之前，X可以击中并停留在Γ形式的多次时间内，这导致不同的（法律上的）弱解，特别是不同的（法律上的）击中时间λO。因此，费曼-卡克公式（2.14）仍然可以是唯一的，没有弱解的唯一性。接下来，我们证明费曼-卡夫公式（2.13）确实是椭圆边值问题的解。我们首先在O上得到了关于传统r正则性的椭圆边值问题解的存在性定理。定理2.11。

除了定理2.7的假设之外，假设边界部分Γ属于C2类，α类，b，σ，f类∈ C0，α（O），对于某些α∈ (0, 1).（1） 假设定理2.7中的任一情况（a）、（b）或（c）发生。假设g∈ Clo c（Γ）在Γ上服从线性增长条件（2.10）。对于任何x∈ O∪Γ，让我们(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）是（2.7）-（2.8）的弱解，初始条件（2.9）为t=0，设u（X）*（x） 定义如（2.13）所示。然后，u（X）*是（1.1）的解，边界条件（1.3）沿Γ。特别是u（X）*∈ Clo c（O）∪ Γ) ∩ 在O上服从（2.10）的C2，α（O）∪ Γ.（2） 假设定理2.7中的情况（d）或（e）发生。假设g∈ 氯离子(O） 这违反了线性g生长条件（2.10）O.对于任何x∈“哦，让我来(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）是（2.7）-（2.8）的弱解，初始条件（2.9）为t=0，设u（X）*（x） 定义如（2.13）所示。然后，u（X）*是（1.1）的解，边界条件（1.5）沿O.特别是u（X）*∈ Clo c（`O）∩ C2，α（O）在¨O上服从（2.10）。此外，当边界数据g在¨O的适当部分上是H¨older连续时，我们得到了椭圆边值问题解的存在性哦。定理2.12。除了定理2.7的假设外，假设边界部分Γ属于C2类α，系数bσ∈ C0，α（O），和f∈ C0，αloc（O∪Γ），对于某些α∈ (0, 1).（1） 假设定理2.7中的任一情况（a）、（b）或（c）发生。假设g∈ C2，αloc（O∪Γ）在O上服从线性增长条件（2.10）∪ Γ. 对于任何x∈ O∪ Γ，让我们(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）是（2.7）-（2.8）的弱解，初始条件（2.9）att=0，设u（X）*（x） 定义如（2.13）所示。然后，u（X）*是（1.1）的解，边界条件（1.3）沿Γ。

特别是u（X）*∈ C2，αloc（O∪ Γ）哪个服从（2.10）onO∪ Γ.（2） 假设定理2.7中的情况（d）或（e）发生。假设g∈ C2，αloc（O∪Γ) ∪ 氯离子(O） 对于任何x，它都服从O上的线性增长条件（2.10）∈“哦，让我来(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）是（2.7）-（2.8）的弱解，初始条件（2.9）att=0，设u（X）*（x） 定义如（2.13）所示。然后，u（X）*是（1.1）的一个解，其边界条件（1.5）为开哦。特别是u（X）*∈ Clo c（`O）∩ C2，αloc（O∪ Γ）遵守“O”备注2.13中的（2.10）。让你*是（2.13）定义的唯一函数（无论弱解的选择如何）。定理2.7和定理2.11（或定理2.12）暗示，在所有情况下（a）-（e），u*是椭圆边值问题（1.1）在部分边界条件（1.3）或完全边界条件（1.5）下的唯一解，在区域内为C（或C2，α），并连续到（部分或全部）边界。备注2.14。在本文中，我们只考虑方程经典解的随机解释，对于这些解，我们假设f，g上的连续性和H¨oldercontinuous等正则性条件，以及算子A中的系数函数。在加权Sobolev空间中，部分边界条件（1.3）下经典解To（1.1）的存在性将在其他地方研究。对于A是Heston算子的特殊情况，在[6，定理1.18]中证明了这种解的存在性，在[14，定理1.11]和[17]中证明了加权Sobolev和H¨older正则性。我们还参考[17]来介绍有关退化椭圆方程和抛物方程的文献。

在[6]中，研究了具有部分终端/边界条件（1.9）的Heston算子的抛物问题（1.7）f在加权Sobolev空间中解的存在性。2.3任意x的椭圆障碍问题解的Feynman-Kac公式∈“哦，让我来(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）是（2.7）-（2.8）的弱解，初始条件（2.9）为t=0，让Tx，Xbe为所有（Fs）的集合≥0次停车。对于任何θ，θ∈ Tx，X，我们定义θ，θX（X）：=Ex经验-Zθc（Xs）dsψ（Xθ）1{θ>θ}+ 前任经验-Zθc（Xs）dsg（Xθ）1{θ≤θ}+ 前任Zθ∧θexp-中关村（徐）都f（Xs）ds, （2.16）和V（X）*（x） ：=supθ∈Tx，XJτO，θX（X），（2.17）v（X）**（x） ：=supθ∈Tx，XJλO，θX（X）。（2.18）式中，τO=τx，xo和λO=λx，xo分别由（2.13）和d（2.14）定义。然后，我们得到了椭圆障碍问题的以下唯一性结果。与椭圆型边值问题的结果类似，如果扩散不能达到边界部分Γ，则（2.17）提供了部分边界条件下（1.2）的唯一解，而如果扩散可以达到Γ，则（2.17）和（2.18）分别提供了完全和部分边界条件下（1.2）的唯一解（具有不同的正则性）。定理2.15。设b，σ，c和f如定理2.7所示，设ψ∈ C（O）服从线性生长条件（2.10）。（1） 假设定理2.7中的任一情况（a）、（b）或（c）发生。假设ψ∈ Clo c（O）∪Γ），以及∈ cloc（Γ）在Γ上服从（1.4）和（2.10）。乐土∈ Clo c（O）∪ Γ) ∩ C（O）是椭圆障碍问题（1.2）和（1.3）的一个解，使得u和a uobey（2.10）都在O上∈ O∪ Γ，u（x）=v（x）*（x） ，对于任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）到（2.7）-（2.8），初始条件（2.9）为t=0，其中v（X）*由（2.17）决定。（2） 假设定理2.7中的情况（d）或（e）发生。

假设ψ∈ Clo c（\'O），和g∈ 氯离子(O） 它遵守了上面的（1.6）和（2.10）奥勒图∈ Clo c（`O）∩ C（O）是椭圆障碍问题（1.2）和（1.5）的一个解，使得u和a uobey（2.10）都在O上∈\'O，u（x）=v（x）*（x） ，对于任意弱解(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）到（2.7）-（2.8），初始条件（2.9）为t=0，其中v（X）*由（2.17）决定。定理2.16。假设在定理M2.7中出现了（d）或（e）。设b，σ，c和f为定理2.9中的bea。假设ψ∈ Clo c（`O）在O上服从线性生长条件（2.10），g∈ cloc（Γ）在Γ上服从（1.4）和（2.10）。乐土∈ Clo c（O）∪Γ) ∩ C（O）∩ C1,1，βs，loc（O∪ Γ）是椭圆障碍问题（1.2）和（1.3）的解，使得u和a都服从（2.10）。那么，对于任何x∈ O∪ Γ，u（x）=v（x）**（x） ，对于任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）到（2.7）-（2.8），初始条件（2.9）为t=0，其中v（X）**由（2.18）给出。备注2.17。[6，定理1.6]证明了部分边界条件（1.3）下Heston算子椭圆障碍问题（1.2）在加权sobolev空间中解的存在性，并在[14]中证明了SUCH解到边界部分Γ的H¨older连续性。1扩散过程的性质在这一小节中，我们考虑一个一般的d-维度（d≥ 2） 时间齐次SDE系统dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt，X=X.（3.1）在本节中，我们假设系数b=（b，…，bd）和σ=（σij），1≤ 我≤ d、 一,≤ J≤ m、 遵守假设2.2和假设2.3。那么对于任何x∈ 第三，存在一个薄弱的解决方案(Ohm, F，（Ft）t≥0，Px，W，X）到（3.1）（参见[15，定理4.3]）。我们还假设c是一个满足假设2.5的非负函数。引理3.1。

假设有e xi sts p>0，使得lim infkxk→∞c（x）kxk-pkxk+pkb（x）k+kσ（x）k> -∞, （3.2）然后是e xi sts M∈ [0, ∞) 例如zt:=exp-Ztc（Xs）dskXtk+Mc-1e-ct，t≥ 0是关于（Ft）t的上鞅≥在Px下0。证明：对于任何t>0和d M∈ R、 它的公式意味着dzt=exp-Ztc（Xs）ds-c（Xt）kXtk+2dXi=1X（i）tbi（Xt）+kσ（Xt）k！dt- ME-ctdt+exp-Ztc（Xs）dsmXj=1dXi=1X（i）tσij（Xt）！dW（j）t.（3.3）为了证明zt是一个超鞅，由于zt是非负的，并且（3.3）中的随机积分项是一个局部鞅，因此必须用Fatou引理证明漂移项是非正的。事实上，对于（3.2）中给出的p>0，dXi=1X（i）tbi（Xt）+kσ（Xt）k≤ pkXtk+pkb（Xt）k+kσ（Xt）k.By（3.2），我们可以设置：- infx∈研发部c（x）kxk-pkxk+pkb（x）k+kσ（x）k∈ [0, ∞), （3.4）我们得到了-Ztc（Xs）ds-c（Xt）kXtk+2dXi=1X（i）tbi（Xt）+kσ（Xt）k！≤ 经验-Ztc（Xs）ds-c（Xt）kXtk+pkXtk+pkb（Xt）k+kσ（Xt）k≤ 我-ct完成了证明。备注3.2.o当c（x）>c>0F或所有x时，条件（3.2）保持不变∈ Rd和kb（x）k+kσ（x）k≤K（1+kxkβ）表示β∈ (0, 1). 实际上，我们可以选择0<p<cand，然后选择lim infkxk→∞c（x）kxk-pkxk+pkb（x）k+kσ（x）k= ∞.o 当kb（x）k+kσ（x）k≤ K（1+kxk），我们可以要求c>0足够大（取决于K）以满足条件（3.2）。推论3.3。对于Px-a.e.ω∈ Ohm,极限→∞Zt（ω）=Z∞（ω） 存在，（3.5）和（Zt）t∈[0,∞]关于（Ft）t是一个超鞅≥在Px下0。证明：证明来自[26，P问题1.3.16]。作为引理3.1和推论3.3的结果，我们得到了下面的引理，特别是在函数u（X）处暗示th*（x） ，u（x）**（x） ，v（x）*（x） 和v（x）**（x） 分别由（2.13）、（2.14）、（2.17）和（2.18）给出，对于任何x∈\'O和任何弱溶液(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）。引理3.4。

设f、g和ψ是RDF上满足线性增长条件（2.10）的实值Borel可测函数。假设系数函数b、σ和c满足假设2.2、假设2.3、假设2.5和（3.2）。那么，对于任何x∈“哦，有弱溶液吗(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）到（2.7）-（2.8），初始条件（2.9）为t=0，任意θ，θ∈ Tx，X，函数Jθ，θX（X），由（2.16）给出，定义良好且令人满意Jθ，θX（X）≤ C（1+kxk），（3.6），其中C是一个普适正常数，仅取决于（2.10）中的K，假设2中的cas。5，和（3.4）中的M。证明：证明Jθ，θX（X），X∈哦，我们需要证明（2.16）中的第一个积分项满足以下标识：经验-Zθc（Xs）dsg（Xθ）1{θ≤θ}= 前任经验-Zθc（Xs）dsg（Xθ）1{θ≤θ, θ<∞}, （3.7）因为X=（Xs）s≥0不一定在实体中有限制。事实上，对于任何T>0的情况，（3.7）的左侧可以重写为asEx经验-Zθc（Xs）dsg（Xθ）1{θ≤θ}= 前任经验-Zθc（Xs）dsg（Xθ）1{θ≤θ∧T}+ 前任经验-Zθc（Xs）dsg（Xθ）1{T<θ≤θ}.我们将展示上面右边的第二项随着T消失→ ∞, 不管X的随机变量是什么∞所以Z∞在C组中，3.3保持不变。利用g上的线性增长条件（2.10），我们得到了经验-Zθc（Xs）ds|g（Xθ）|1{T<θ≤θ}≤ 前任经验-Zθc（Xs）ds· K（1+kXθK）1{T<θ}≤ 柯-cT+K(前任经验-Zθc（Xs）ds{T<θ}1/2前任经验-Zθc（Xs）dskXθk1/2)≤ 柯-cT+Ke-cT/2前任经验-Zθc（Xs）dskXθk1/2.根据推论3.3和可选抽样定理（参见[26，定理1.3.22]），E（Zθ）=E经验-Zθc（Xs）dskXθk+Mc-1e-cθ≤ kxk+Mc-1.（3.8）因此，我们有经验-Zθc（Xs）ds|g（Xθ）|1{T<θ≤θ}≤ 柯-cT+Ke-cT/2kxk+Mc-1.→ 0，作为T→ ∞, 这正好证明了身份（3.7）。为了获得估计值（3.6），我们首先分析（2.16）中的积分项。

根据线性增长条件（2.10），例如Zθ∧θexp-中关村（徐）都|f（Xs）|ds≤ K ExZ∞经验-中关村（徐）都（1+kXsk）ds≤ KZ∞E-csds+KZ∞E-cs/2前任经验-中关村（徐）都kXsk1/2ds=Kc+KZ∞E-cs/2前任经验-中关村（徐）都kXsk1/2秒。根据引理3.1，我们有Zθ∧θexp-中关村（徐）都|f（Xs）|ds≤ 前任Z∞经验-中关村（徐）都|f（Xs）|ds≤ K“c+Z∞E-cs/2kxk+Mc（1）-E-（政务司司长）1/2秒#≤ Kc-1h1+2kxk+c-1米1/2i≤ 2Kc-1kxk+Kc-1.1+2qc-1米. （3.9）接下来，我们在（2.16）中估计这两个非整数项。我们只提供第一个非整数项的证明，因为这两个项的形式相同。为此，使用g上的线性增长条件（2.10）、恒等式（3.7）和上面类似的参数，我们有经验-Zθc（Xs）ds|g（Xθ）|1{θ≤θ}= 前任经验-Zθc（Xs）ds|g（Xθ）|1{θ≤θ,θ<∞}≤ 前任经验-Zθc（Xs）ds· K（1+kXθK）1{θ<∞}≤ K+K(前任经验-Zθc（Xs）ds1/2前任经验-Zθc（Xs）dskXθk{θ<∞}1/2)≤ K+K前任经验-Zθc（Xs）dskXθk{θ<∞}1/2.因此，通过（3.8），我们可以看到经验-Zθc（Xs）ds|g（Xθ）|1{θ≤θ}≤K+Kkxk+mc-1.1/2≤K1+qc-1M+kxk. （3.10）同样地，利用ψ上的线性增长条件（2.10），我们也得到了经验-Zθc（Xs）ds|ψ（Xθ）|1{θ≥θ}≤ K1+qc-1M+kxk. （3.11）结合（3.9）、（3.10）和d（3.11）完成证明。3.2一维扩散边界分类的初步研究在本小节中，让我们回顾一下一维扩散过程边界分类的一些基本结果（详见[27，第15.6节”）。请注意，我们模型中的最后一个SDE（2.8）独立于第一个d- 1.变量。因此，该子节中的结果可以应用于一维过程X（d）。允许-∞ ≤ l<r≤ ∞. 在本小节中，让（Yt）t≥0是一个一维的差异过程，定义在一个完整的过滤概率空间上(Ohm, F，（Ft）t≥0，P），其中满足度y=y+Ztu（Ys）ds+Ztη（Ys）dWs，t≥ 0，（3.12）其中y∈ （左，右）。

假设μ（·）和η（·）在（l，r）上是连续的，而η（·）>0在（l，r）上是连续的。让Tyzbe第一次击中时间为Y到z，从Y=Y开始，即Tyz:=inf{t≥ 0:Yt=z，Y=Y}。当没有歧义时，将省略上索引y。假设l<a<y<b<r，我们引入以下符号：wa，b（y）：=Py（Tb<Ta），va，b（y）：=Ey（Ta∧ 结核病）。对于任何固定的∈ （l，r），回忆一下量表测量定义的asS[a，b]：=Zbas（y）dy，其中s（y）：=exp-Zyy2u（x）η（x）dx, l<a<b<r，（3.13）速度测量定义为asM[a，b]：=Zbam（y）dy，其中m（y）：=η（y）s（y），l<a<b<r.（3.14）在左端点l，我们将刻度测量和速度测量定义为：s（l，b]：=lima↓lS[a，b]和M（l，b]：=lima↓lM[a，b]。（3.15）就尺度测量和速度测量而言，wa，带va，b表示为：wa，b（y）=S[a，y]S[a，b]，（3.16）和va，b（y）=2wa，b（y）ZbyS[ξ，b]M（dξ）+[1- wa，b（y）]ZyaS[a，ξ]M（dξ）. （3.17）最后，对于任何y∈ （l，r），我们定义∑（l，y）=∑（l）：=ZylS（l，ξ）M（dξ）=ZylM[ξ，y]S（dξ），（3.18）N（l，y）=N（l）：=ZylS[ξ，y]M（dξ）=ZylM（l，ξ）S（dξ）。然而，它们的独立性取决于上述两个元素的独立性。因此，我们可以在不含糊的情况下抑制依赖性，因为在以后的论证中，只有它们的值的一致性才是相关的。下面的引理总结了左边界l的分类，这将有助于证明存在性和唯一性定理。更多详情请参考[27，表15.6.2]。引理3.5。让b∈ （l，r）是任何内部点。