退化椭圆型和抛物型方程解的Feynman-Kac公式

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英文标题：
《Feynman-Kac Formulas for Solutions to Degenerate Elliptic and Parabolic
  Boundary-Value and Obstacle Problems with Dirichlet Boundary Conditions》
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作者：
Paul M.N. Feehan, Ruoting Gong and Jian Song
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We prove Feynman-Kac formulas for solutions to elliptic and parabolic boundary value and obstacle problems associated with a general Markov diffusion process. Our diffusion model covers several popular stochastic volatility models, such as the Heston model, the CEV model and the SABR model, which are widely used as asset pricing models in mathematical finance. The generator of this Markov process with killing is a second-order, degenerate, elliptic partial differential operator, where the degeneracy in the operator symbol is proportional to the $2\\alpha$-power of the distance to the boundary of the half-plane, with $\\alpha\\in(0,1]$. Our stochastic representation formulas provide the unique solutions to the elliptic boundary value and obstacle problems, when we seek solutions which are suitably smooth up to the boundary portion $\\Gamma_{0}$ contained in the boundary of the upper half-plane. In the case when the full Dirichlet condition is given, our stochastic representation formulas provide the unique solutions which are not guaranteed to be any more than continuous up to the boundary portion $\\Gamma_{0}$.
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中文摘要：
我们证明了与一般马尔可夫扩散过程有关的椭圆型和抛物型边值问题及障碍问题解的费曼-卡克公式。我们的扩散模型涵盖了几种流行的随机波动率模型，如Heston模型、CEV模型和SABR模型，它们在数学金融中被广泛用作资产定价模型。带killing的马尔可夫过程的生成元是一个二阶退化椭圆偏微分算子，其中算子符号中的简并度与到半平面边界的距离的$2α$-幂成正比，在$\\alpha\\in（0,1]$中，我们的随机表示公式提供了椭圆边值问题和障碍问题的唯一解，当我们寻求适当平滑到边界部分$\\Gamma_{0}$包含在上半平面的边界中。在完全Dirichlet条件给定的情况下，我们的随机表示公式提供了唯一的解，这些解不保证在边界部分$\\Gamma_{0}上是连续的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Feynman-Kac_Formulas_for_Solutions_to_Degenerate_Elliptic_and_Parabolic_Boundary.pdf (519.52 KB)

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关键词：Feynman Man Mathematical Presentation Differential

具有Dirichlet边界条件的退化椭圆型和抛物型边值问题解的Feynman-Kac公式*若婷·龚+宋健摘要我们证明了与一般马尔可夫扩散过程相关的椭圆和抛物边值问题和障碍问题解的费曼-卡克公式。我们的差异模型涵盖了几种流行的随机波动率模型，如赫斯顿模型、CEV模型和SABR模型，它们被广泛用作数学金融中的资产定价模型。这个带killing的马尔可夫过程的生成元是一个二阶退化椭圆偏微分算子，其中算子符号中的简并度与半平面边界距离的2α幂成正比，其中α∈ （0，1）.我们的随机表示公式提供了椭圆边值问题和障碍物问题的唯一解，当我们寻求上半平面边界中包含的边界部分Γ的适当光滑的解时。在全Dirichlet条件成立的情况下，我们的随机表示公式提供了非guara的唯一解直到边界部分Γ的距离超过连续距离。AMS 2000科目分类：初级60J60；中学60H30，35J70，35R45。关键词和短语：退化椭圆和抛物微分算子，退化微分过程，费曼-卡克公式，数学金融e1简介费曼-卡克公式，由马克·卡克[25]发现，他在图中受到理查德·费曼博士[18]的启发，在随机微分方程（SDE）和抛物偏微分方程（PDE）之间建立联系。它提供了一种通过模拟随机过程的随机路径来解决某些问题的方法。

相反，一类重要的随机过程的期望值可以通过确定性方法计算。Feynman-Kac公式已经为严格椭圆（在Gilbarg和Trudinger[22，第31页]orKaratzas和Shreve[26，定义5.7.1]的意义上）建立了良好的马尔科夫产生器A（参见[21]，[3]，[26]和[30]）。然而，当A是退化椭圆，即只有非负有限特征形式，且其系数是无界的时，文献是相当不完整的。其中一项工作是Feehan和Pop[16]，它获得了与二维Heston随机波动过程相关的椭圆和抛物线边值及障碍问题解的Feynman-Kac公式。一类带边界的退化椭圆（抛物）偏微分方程*罗格斯大学数学系，新泽西州皮斯卡塔韦新泽西州S泰特大学，邮编：08854-8019。feehan@math.rutgers.edu+伊利诺伊理工学院应用数学系，芝加哥，伊利诺伊州60616，美国。rgong2@iit.edu香港大学数学系，中国香港薄扶林。txjsong@hku.hk[32]和[21]以及最近的[10]、[11]、[2]和[34]对费曼-卡克公式进行了探讨。[16]对上述参考文献中的结果进行了全面的调查，作者将其结果与之前的结果进行了详细的比较。在本文中，我们将[16]的结果推广到A是一个具有可能无界系数的一般椭圆微分算子的情况：A u（x）：=-tra（x）Du（x）-hb（x），Dv（x）i+c（x）v（x），u∈ C（O），x∈ O、 其中，O是开放上半空间H:=Rd的可能无界、连通且开放的子集-1× (0, ∞) （d）≥ 2).

在温和的条件下（见第2节），我们证明了O（1.1）上椭圆边值问题u=f和椭圆障碍问题Min{A u）解的随机表示公式- f、 u- ψ} O上分别为0，（1.2），受Γ上部分Dirichlet边界条件u=g的约束。（1.3）这里，Γ=O∩H是边界的一部分，哦，其中的一个在H，f:O中→ R是一个源函数，g:Γ→ R规定了沿Γ和ψ：O的Dirichlet边界条件∪Γ→ R是一个与g相容的障碍函数，其意义是ψ≤ Γ上的g（1.4），而A是O上的椭圆微分算子，它沿O的内部Γ退化H∩而且可能有无限的能力。通过本文，我们要求Γ是非空的，否则，A是非退化的，标准结果适用（参见[21]、[3]、[26]和[30]）。然而，沿Γ不一定规定额外的边界条件。相反，我们将看到，当我们寻求适当平滑到边界部分Γ的解时，我们的s-tochastic表示公式提供了（1.1）或（1.2）以及（1.3）的唯一解，当解位于某些加权H–older空间（通过与[8]的类比）时，这一性质得到了保证，或者将边界条件（1.3）替换为完整的Dirichlet条件u=g onO、 （1.5）其中g：O→ R、 在这种情况下，不能保证解在完全边界上是连续的O、 和ψ：\'O→ 现在，要求R与ψ中的g相容≤ 继续O.（1.6）此外，我们还证明了抛物型终端/边值问题解的随机表示公式-在Q（1.7）和抛物线障碍物问题上，ut+A u=f{-ut+A u- f、 u- ψ} Q=0，（1.8），受dQ上部分终端/边界条件U=g的约束。

（1.9）在这里，我们定义Q:=（0，T）×O，其中T∈ (0, ∞), 和dQ:=（0，T）×Γ∪ {T}×（O）∪Γ），并假设给定一个源函数f:Q→ R、 边界数据函数g:dQ→ R、 和一个障碍函数ψ：Q∪ dQ→ R在ψ的意义上与g相容≤ dQ.（1.10）上的g，就像在椭圆情况下一样，我们要么考虑适当光滑到（0，T）×Γ的解，但沿（0，T）×Γ不施加显式的有界条件，要么用dQ（1.11）上的完整Dirichlet条件U=g替换（1.9）中的边界条件，其中dQ:=（0，T）×O∪ {T}×\'O是Q的全抛物线边界，在这种情况下，解不能保证在dQ和ψ：Q上是连续的∪dQ→ 在ψ的意义下，R与g相容≤ g ondQ.（1.12）本文介绍的费曼-卡克公式的主要应用是在数学金融领域。椭圆障碍问题（1.2）和（1.3）的解u（f=0）可以解释为永久美式期权的值函数，其支付函数由障碍函数ψ给出，抛物线障碍问题（1.8）和（1.9）的解u（f=0），可被视为有限到期美式期权的价值函数，其支付函数由终端条件函数h=g（T，·）：O给出→ R、 它与障碍函数ψ在T×O上相交。f=0的抛物线终端/边界值问题（1.7）和（1.9）的解u可以解释为值函数f或欧式期权，其支付函数由上述函数h给出。本文的结构如下。第二节给出了本文的主要结果，建立了部分/完全边界条件下椭圆型边值问题和障碍问题唯一解的Feynman-Kac公式。

第3节包含退化扩散过程的一些基本估计和边界分类。第4节和第5节分别给出了第2节关于椭圆边界值和障碍问题的主要结果。最后，第6节建立了部分/全部终端/边界条件下抛物线/边值和障碍问题唯一解的Feynman-Kac公式。感谢：作者感谢k Daniel Ocone和Camelia Pop的建设性和深刻的评论，这些评论对提高手稿的质量做出了重大贡献。2主要结果2。1基本设置T S+（d） Rd×dbe：正有限对称矩阵的集合。设A为v（x）：=-tra（x）Dv（x）- hb（x），Dv（x）i+c（x）v（x），v∈ C（O），x∈ O、 （2.1）其中ob:O→ RDI是一个连续向量场，其中b（x）=（b（x），屋宇署-1（x），bd（xd））T，x∈ O、 （2.2）如果最后一个组件bd仅取决于xd；oc:O→ [0, ∞) 是一个非负连续函数a:哦→ S+（d）是一个连续的矩阵值函数，因此a（x）=xβda（x），x∈ O、 （2.3）对于一些连续的a:O→ S+（d）和β∈ （0，2）。若要连接运算符-A通过对h的扩散过程，我们将A（和A）、b和c的定义扩展到半空间。自始至终，a（和＠a）、b和c将表示连续延伸，使得（2.2）和（2.3）保持正确。让我∈ N、 让Md×mbe代表d×mmatrics的集合。假设存在连续矩阵值函数∑：H→ Md×mandσ（x）：=xβ/2dσ（x），x∈H、 （2.4）使得a（x）=σ（x）σT（x）和a（x）=σ（x）σT（x），x∈H、 （2.5）和＠σdj（x）：=ρj＠σ（xd），x∈ H、 j=1，m、 （2.6）当ρj>0时，j=1，m、 Pmj=1ρj=1和∑：H→ 连续的。

接线员-由（2.1）-（2.6）定义的是满足S DEs:dX（i，t）S=bi（X（t）S）ds的扩散过程的最小发生器，其杀伤率为c+X（d，t）sβ/2mXj=1σij（Xts）dW（j，t）s, i=1，D- 1.s≥ t、 （2.7）dX（d，t）s=bd（Xd，ts）ds+X（d，t）sβ/2~σX（d，t）smXj=1ρjdW（j，t）s, s≥ t、 （2.8）根据初始条件X（t）t=（X（1，t）t，X（d，t）t=X=（X，…，xd）t∈H、 （2.9）我们将使用符号Pt、X和Et、XT分别表示与初始状态（2.9）相对应的概率和期望。此外，当t=0时，我们将省略su pers cr ipt t。备注2.1。这里考虑的扩散模型（2.7）-（2.9）涵盖了几种流行的随机波动率模型，例如Heston模型[24]、CEV模型[5]和SABR模型[23]，它们在数学金融中被广泛用作资产定价模型。它还涵盖了由杜菲、菲利波维奇和舍尔迈耶[9]引入的持续扩散过程的简单版本（另见[19]）。在本文中，我们做出以下标准假设。假设2.2。（系数的连续性）函数b、σ（以及因此产生的σ）和c在H上是连续的。假设2.3。（线性增长条件）b和σ满足以下线性增长条件：假设u是H上的任何向量值或矩阵值函数，则存在K>0，这样ku（x）K≤ K（1+kxk），x∈H、 （2.10）其中k·k表示向量或矩阵的欧氏范数。假设2.4。功能BDSATIESBD（xd）≥ 当xd=0时为0。假设2.5。（一致正性）Borel可测函数c:Rd→ R是严格正的，而且存在c>0，因此c（x）≥ c、 对于任何x∈ 假设2.6。（均匀椭圆度）函数a在h中是均匀椭圆的（参见[22，第3章]和[26，定义5.7.1]）。

也就是说，存在一个普遍的正常数δ>0，这样dxi=1dXk=1aik（x）ξiξk≥ δkξk，对于任意x∈H、 ξ∈ Rd.假设2.2和假设2.3确保≥ 0和x∈H、 有一种解决方案(Ohm, F，（Fs）s≥t、 Pt，x，W（t），x（t））到（2.7）-（2.8），初始条件为（2.9）（参见[15，定理3.3]），其中o(Ohm, F，P）是概率空间，和（Fs）s≥这是F的子σ域满足通常条件的过滤W（t）=（W（t）s）s≥这是关于（Fs）s的m维布朗运动≥t、 X（t）=（X（t）s）s≥这是一个连续的（Fs）s≥t-适应Rd值p过程对于每一个i=1，d、 j=1，m和s≥ t、 PZstbi（X（t）u）+ σij（X（t）u）杜<∞= 1;o （2.7）-（2.9）的完整版本适用于Pt，x-a.e。。关于弱溶液的定义，参见[26，定义5.3.1]，[31，定义IX.1.2和IX.1.5]和[33，第115页]。请注意，我们的SDE系统中没有弱解定律的唯一性。事实上，当β∈ （0,1），最后一个SDE（2.8）可能没有弱解，该弱解在定律中是唯一的（参见[26，示例5.2.15，定理5.5.4和注释5.5.6]）。此外，假设2.4确保任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥t、 Pt，x，W（t），x（t））在上半空间（参见[15，命题3.1]）中的残余物中开始，即x（t）t=x∈H=> Pt，xX（t）s∈H= 1.对于任何≥ t、 让你 H是一个开集，对于任何x∈ U和t≥ 0，让我(Ohm, F，（Fs）s≥t、 Pt，x，W（t），x（t））是（2.7）-（2.8）在初始条件（2.9）下的弱解。定义τt，x，XU=infns≥ t:X（t）s/∈ U、 X（t）t=xo，（2.11）λt，X，XU=infns≥ t:X（t）s/∈ U∪U∩ H, X（t）t=xo。（2.12）很明显，τt，x，XU=λt，x，XUifU∩H=. 根据边界分类引理（见下面的引理3.5），当∑（d）（0）=∞. 实际上，当∑（d）（0）=∞, X（t）永远无法从O的内部到达边界部分Γ。

此外，τt，x，XUandλt，x，xuan都是关于（Fs）s的最佳时间≥t、 自（Fs）s≥假设满足通常条件（参见[30，第117页]）。在续集中，当初始条件（t，x）从上下文中清晰可见时，我们将省略前面定义中的上标。此外，当t=0时，我们将省略前面定义中的上标tin。在接下来的两小节中，我们将介绍解决椭圆边值和障碍问题的费曼-卡夫公式。证据分别推迟到第4节和第5节。抛物型终端/边值问题和障碍物问题也可以得到类似的结果，并将在第6.2.2节Feynman-Kac公式中给出任意x的椭圆边值问题的解∈\'O和任何弱溶液(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）到（2.7）-（2.8），初始条件（2.9）为t=0，letu（X）*（x） ：=Ex经验-ZτOc（Xs）dsg（XτO）1{τO<∞}+前任ZτOexp-中关村（徐）都f（Xs）ds, （2.13）u（X）**（x） ：=Ex经验-ZλOc（Xs）dsg（XλO）1{λO<∞}+前任ZλOexp-中关村（徐）都f（Xs）ds. （2.14）对于任何整数k≥ 0，设Ck（O）为函数的向量空间，其k阶导数在O上连续，且Ck（\'O）为函数的Banach空间，其k阶导数在O上一致连续且有界（参见[1，§1.25和§1.26]）。对于任意整数k≥ 0和α∈ （0，1），设Ck，α（O）为Ck（O）的子空间，由k阶导数在O上局部α-H¨older连续的函数组成（参见[22，pp.52]），并设Ck，α（¨O）为k（¨O）的子空间，由k阶导数在O上一致α-H¨older连续的函数组成（参见[22，pp.52]或[1，§1.27]）。

如果T（O是一个相对开放的集合，让Cklo c（O∪T）分别为Ck，αloc（O∪T）表示u的函数空间，使得对于任何预紧的开集u O∪T，u∈ Ck（U）（分别为∈ Ck，α（U））。我们的第一个结果表明，（2.13）是唯一解（假设存在），它位于域O附近，并且连续到域的适当部分O、 对于部分边界条件（1.3）或完全边界条件（1.5）的椭圆边值问题（1.1）。特别是u（X）*与弱解的选择无关。定理2.7。设b，σ和c满足（3.2），设f∈ C（O）服从O上的线性增长条件（2.10）。此外，假设bd（0）>0，并且bd在理论上是局部连续的，即存在xi sts常数γ∈ （0,1），L>0和κ∈ （0,1），使得| bd（xd）- bd（0）|≤ L | xd |γ，对于任何xd∈ [-κ, κ]. （2.15）（1）假设出现以下三种情况之一，（a）β∈ （1,2]；（b）β=1，和2bd（0）>σ（0）；（c） β=1，2bd（0）=σ（0），且σ在原点附近是常数。假设g∈ cloc（Γ）在Γ上服从（2.10）。乐土∈ Clo c（O）∪ Γ) ∩ C（O）是椭圆边值问题（1.1）和（1.3）的解，且服从（2.10）onO。那么对于任何x∈ O∪Γ，u（x）=u（x）*（x） ，对于任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）到（2.7）-（2.8），初始条件（2.9）为t=0，其中u（X）*由（2.13）决定。（2） 假设出现以下两种情况之一，（d）β∈ (0, 1);（e） β=1，2bd（0）<σ（0）。假设g∈ 氯离子(O） 遵守（2.10）的规定奥勒图∈ Clo c（`O）∩ C（O）是椭圆边值问题（1.1）和（1.5）的解，在O上服从（2.10）。然后对于任意x∈\'O，u（x）=u（x）*（x） ，对于任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）到（2.7）-（2.8），初始条件（2.9）为t=0，其中u（X）*由（2.13）决定。备注2.8。