退化椭圆型和抛物型方程解的Feynman-Kac公式

从（2.16）和（2.18）中，我们可以看到u（x）=v**（x） =g（x），对于任何x∈ Γ. （5.7）仍需显示u=v**关于O，正如定理2.15的证明一样，我们将证明分为以下两个步骤。步骤1（u）≥ 五、**关于O）设ε>0，设（Uk）k∈定理2.9证明中Oas增子域的集合。对于任何x∈ O、 x∈ 当k足够大时。根据It^o公式，对于任何≥ 0和θ∈ Tx，X，u（X）=Ex经验-Zs∧θ∧λUkc（X（ε）v）dvUX（ε）s∧θ∧λUk+前任Zs∧θ∧λUkexp-Zvc（Xw）dwAεu（X（ε）v）dv,其中X（ε）由（4.13）定义，Aε由（4.14）定义。通过（4.14）和使用u≥ fon O，前面的身份givesu（x）≥ 前任经验-Zs∧θ∧λUkc（X（ε）v）dvUX（ε）s∧θ∧λUk+ 前任Zs∧θ∧λUkexp-Zvc（X（ε）w）dwf（X（ε）v）dv+ 前任Zs∧θ∧λUkexp-Zvc（X（ε）w）dw（Aε- A）u（X（ε）v）dv. （5.8）在不丧失一般性的情况下，我们假设ε<1/k，对于任何固定的大k∈ N.通过O的紧子集上的连续性off和u∪Γ，以及支配收敛定理，我们看到（4.16）和（4.17）成立。另外，由于残差项（Aε- A）u符合估计值（4.18），（4.20）在本案中也适用。因此，通过取ε↓ 0英寸（5.8），u（x）≥前任经验-Zs∧θ∧λUkc（Xv）dvUXs∧θ∧λUk+前任Zs∧θ∧λUkexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv. （5.9）最后，应用定理2.7证明中使用的相同论点，并使用（4.22），我们可以取k→ ∞ 和s→ ∞ 在前面的不等式中，求出u（x）≥ 前任经验-Zθ∧λOc（Xv）dvu（Xθ）∧λO）+ 前任Zθ∧λOexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv≥ 前任经验-Zθc（Xv）dvψ（Xθ）1{θ<λO}+ 前任经验-ZλOc（Xv）dvg（XλO）1{θ≥λO，λO<∞}+ 前任Zθ∧λOexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv= 前任经验-Zθc（Xv）dvψ（Xθ）1{θ<λO}+ 前任经验-ZλOc（Xv）dvg（XλO）1{θ≥λO}+ 前任Zθ∧λOexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv, （5.10）对于任何θ∈ Tx、x和x∈ O、 在第二个不平等中，我们使用了≥ ψon O∪Γ，从（1.2）开始，然后是u和ψ到Γ的连续性，在第三个等式中，我们使用了恒等式（3.7）。

由此得出结论，美国≥ 五、**关于O.第2步（u）≤ 五、**在O）上，我们在前面的步骤中选择θ=～τ，其中～τ由（5.6）定义，t=0。通过定义（5.5）中给出的连续区域C和障碍问题（1.2），不等式（5.8）、（5.9）和（5.10）保持相等。因此，我们得出以下结论：≤ 五、**在O上，完成了p屋顶。6抛物型终端/边值问题和障碍物问题在这一部分，我们将推导部分/完全边界条件下抛物型终端/边值问题（1.7）和障碍物问题（1.8）解的Feynman-Kac公式。回想一下Q=（0，T）×O，当∈ (0, ∞) 是固定的，其中O是上半空间H=Rd的一个（可能是无界的）连通的开放子集-1× (0, ∞) 使Γ=O∩ H 6=. 我们将需要对假设2.3进行以下类似操作：假设6.1。（线性增长条件）如果u是[0]子集上的向量值或矩阵值函数，∞) 存在一个单周期常数K>0，如ku（t，x）K≤ K（1+kxk）（6.1）在其域上。设C（Q）表示Q上连续函数的向量空间，而C（Q）表示Q上一致连续且有界的函数的banach空间。假设Du和Du分别表示函数u在Q上相对于空间变量的梯度和Hessian矩阵。设C（Q）表示函数u的向量空间，使得，u，ut和Du在Q上是连续的，而C（Q）表示函数u的Banach空间，使得，u，ut和Du一致连续且有界于Q。最后，设C（Q）表示函数u的向量空间，使得，u，ut，Du在Q上是连续的，而C（Q）表示函数u的Banach空间，使得，u，ut，Du和Du是一致连续的，并且是连续的。

如果T$Q是一个相对开放的集合，让Clo c（Q∪ T）表示函数u的向量空间，使得对于任何预紧开子空间 Q∪ T，u∈ C（V）。对于任何（t，x）∈ Q、 让(Ohm, F，（Fs）s≥t、 Pt，x，W（t），x（t））是（2.7）（2.8）的任意弱解，初始条件为（2.9）（回想一下，假设2.2和假设2.3保证了这种解的存在）。我们定义（X）*（t，x）=Et，x经验-ZτO∧Ttc（Xs）dsg（τO）∧ T、 XτO∧（T）+ Et，xZτO∧Ttexp-Zstc（Xv）dvf（s，Xs）ds, （6.2）u（X）**（t，x）=Et，x经验-ZλO∧Ttc（Xs）dsg（λO）∧ T、 XλO∧（T）+ Et，xZλO∧Ttexp-Xv（zsdv）f（s，Xs）ds, （6.3）式中，τO=τt，x，xo和λO=λt，x，xo分别定义为（2.11）和（2.12）。让Tx、Xt、T为所有（Fs）的集合∈[t，t]-停止时间取[t，t]中的值。对于任何θ，θ∈ Tx，Xt，T，定义θ，θX（T，X）：=Et，XZθ∧θtexp-Zstc（Xv）dvf（s，Xs）ds+Et，x经验-Zθtc（Xs）dsg（θ，Xθ）1{θ≤θ}+ Et，x经验-Zθtc（Xs）dsψ（θ，Xθ）1{θ>θ}, （6.4）andv（X）*（t，x）：=supθ∈Tx，Xt，TJτO∧T、 θX（T，X），（6.5）v（X）**（t，x）：=supθ∈Tx，Xt，TJλO∧T、 θX（T，X）。（6.6）在上面，以及在续集中，我们省略了概率Pt，x和期望值Et，x中所有随机变量的上标t和x。作为抛物线情况下引理3.4的模拟，我们对functionjθ，θx有以下估计。特别是函数u（x）*, u（X）**, v（X）*和v（X）**, 分别由（6.2）、（6.3）、（6.5）和（6.6）给出，定义良好，满足线性增长条件（6.1）。这个证明类似于引理3.4，因此被省略。引理6.2。修正T>0。设f，g和ψ是[0，T]×rdl上满足线性增长条件（6.1）的实值可测函数。假设系数函数b、σ和c满足（3.2）。

然后，对于任何（t，x）∈Q、 有弱解吗(Ohm, F，（Fs）s≥t、 Pt，x，W（t），x（t））到（2.7）-（2.8），初始条件为（2.9），以及任何θ，θ∈ Tx，Xt，T，函数Jθ，θX，由（6.4）给出，满足Jθ，θX（t，X）≤ C（1+kxk），（6.7），其中C i是一个普适正常数，仅取决于（6.1）中的K、假设2.5中的cas和（3.4）中的M。在续集中，我们将用引理3.5证明场景（A）和（B）中的抛物终端/边值和障碍问题的唯一性和存在性定理，这在第4节的开头已经说明。定义d*问：=dQ，如果场景（A）发生s，dQ，如果场景（B）发生，（6.8），并将前面提到的终端/边界值问题视为-ut+A u=f in Q，u=g ond*Q.（6.9）6.1抛物型终端/边值问题的Feynman-Kac公式我们首先建立了部分终端/边界条件（1.9）或完全终端/边界条件（1.11）的抛物型终端/边值问题（1.7）解的Feynman-Kac公式的唯一性。定理6.3。假设b，σ和c满足（3.2），b和σ服从线性增长条件（2.10），f∈ C（Q）在Q上服从线性增长条件（6.1），（1）假设定理2.7中的（a）、（b）或（C）出现。A给我那个g∈ Clo c（dQ）在dQ上服从（6.1）∈ cloc（Q）∪ dQ）∩ C（Q）是抛物型终端/边值问题（1.7）和（1.9）的一个解，它在Q上是（6.1）。然后，对于任何（t，x）∈ Q∪ dQ，u（t，x）=u（x）*（t，x），对于任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥t、 Pt，x，W（t），x（t））到（2.7）-（2.8），初始条件为（2.9），其中u（x）*由（6.2）给出。（2） 假设定理2.7中的情况（d）或（e）发生。假设g∈ Clo c（dQ）在dQ上是（6.1）。

乐土∈ cloc（Q）∪ dQ）∩ C（Q）是抛物型终端/边值问题（1.7）和（1.11）的一个解，它在Q上是（6.1）。然后，对于任何（t，x）∈ Q∪ dQ，u（t，x）=u（x）*（t，x），对于任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥t、 Pt，x，W（t），x（t））到（2.7）-（2.8），初始条件为（2.9），其中u（x）*由（6.2）给出。证据：我们需要证明如果你∈ cloc（Q）∪d*Q）∩C（Q）是（6.9）的解，它满足线性增长条件（6.1），然后它允许任意（t，x）的随机表示（6.2）∈ Q∪d*Q、 和任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥t、 在初始条件（2.9）下，Pt，x，W（t），x（t）到（2.7）-（2.8）。从u（X）的表达式*而u在（6.9）中的边界条件，很容易看出u（t，x）=u（x）*d上的（t，x）=g（t，x）*对于任何弱解。仍然需要证明u=u（X）*关于任意弱解的Q。这个证明与定理2.7相似，我们只是在这里略述一下。让（好的）k∈Nbe是O的C2，α开放子域的递增序列，如Theorem2的p屋顶。7，带α∈ （0,1），这样“好的” 每个k∈ N、 及∪K∈NOk=O.对于任何（t，x）∈ Q、 我们定义任意弱解(Ohm, F，（Fs）s≥t、 Pt，x，W（t），x（t））到（2.7）-（2.8），初始条件为（2.9），显然是（t，x）∈ 好的，足够大了。根据它的公式，Et，x经验-ZT∧τOktc（Xs）dsUτOk∧T、 XT∧τOk= u（t，x）- Et，xZT∧τOktexp-Zstc（Xv）dvf（s，Xs）ds. 我们需要把（6.10）中的极限取为k→ ∞.

通过增长估计（3.9）的一个分解版本（引理3.4中的条件可能比f弱得多，或者由于[26，问题5.3.15]的原因，停止时间以T为界），我们可以应用支配收敛定理来获得thatlimk→∞Et，xZT∧τOktexp-Zstc（Xv）dvf（s，Xs）ds= Et，xZT∧τOtexp-Zstc（Xv）dvf（s，Xs）ds.对于（6.10）左侧的非整数项，通过u和样本路径sof（Xs）s的连续性≥t、 我们首先是哈维利姆→∞经验-ZT∧τOktc（Xs）dsUT∧τ好，XT∧τOk= 经验-ZT∧τOtc（Xs）dsu（T）∧τO，XT∧τO），a.s。根据[4，定理4.5.4]，为了证明相应期望的收敛性，我们只需要证明经验-ZT∧τOktc（Xs）dsUT∧ τ好，XT∧τOk: K∈ N是一致可积随机变量的集合。要做到这一点，必须证明它们的第二阶矩是均匀有界的，这是从[26，问题3.15]和u上的线性增长条件（6.1）得出的。证明现在已经完成。设C1,1，βs，loc（（0，T）×（O）∪（0，T）×（O）的子空间∪Γ))∩cloc（（0，T）×O∪Γ））由函数Γ组成，使得，f或任何预紧开子集V [0，T]×（O）∪ Γ，sup（t，x）∈五、||（t，x）|+kD|（t，x）k+xβdD~n（t，x）< ∞.然后我们得到了以下替代唯一性结果。定理6.4。假设定理2.7中的情况（d）或（e）发生。设b，σ和c如6.3所示，设c∈ Clo c（O）∪Γ). 假设f，g∈ Clo c（dQ）在dQ上服从线性增长条件（6.1）∈ cloc（Q）∪ dQ）∩ C（Q）∩ C1,1，βs，loc（（0，T）×（O）∪Γ）是抛物型终端/边值问题（1.7）和（1.11）的解，在Q上服从（6.1）。

然后，对于任何（t，x）∈ Q∪ dQ，我们有u（t，x）=u（x）**（t，x），对于任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥t、 Pt，x，W（t），x（t））到（2.7）-（2.8），初始条件为（2.9），其中u（x）**是吉文比（6.3）。证明：对于ε>0，根据It^o公式，我们得到了x经验-Zt∧λUkc（X（ε）s）dsUT∧ λUk，X（ε）t∧λUk= u（t，x）- Et，xZt∧λUkexp-Zsc（X（ε）v）dvAεu（s，X（ε）s）ds,其中Uk、Aε和X（ε）的定义与定理2.9的证明相同。现在，p屋顶与定理2.9的论点相同。与椭圆型情形类似，我们得到了关于抛物型终端/边值问题解的存在性的两个结果，分别是连续和H¨older连续终端/边界数据。定理6.5。除了定理6.3的假设之外，假设Γ属于C2，α，thatb，σ类∈ C0，α（O），和f∈ C0，α（Q），对于某些α∈ (0, 1).（1） 假设定理2.7中的任一情况（a）、（b）或（c）发生。A给我那个g∈ Clo c（dQ）在dQ上服从（6.1）。对于任何（t，x）∈ Q∪ dQ，让我们(Ohm, F，（Fs）s≥t、 在初始条件（2.9）下，Pt，x，W（t），x（t）是（2.7）-（2.8）的绝对解，并设u（x）*定义如（6.2）所示。然后，u（X）*是（1.7）的解，终端/边界条件（1.9）沿dQ.特别是u（X）*∈ cloc（Q）∪ dQ）∩ C2，α（Q），它在Q上服从（6.1）∪ dQ.（2）假设定理2.7中的情况（d）或（e）发生。假设g∈ Clo c（dQ）在dQ上是（6.1），对于任何（t，x）∈ Q∪ dQ，让我们(Ohm, F，（Fs）s≥t、 Pt，x，W（t），x（t））是（2.7）-（2.8）在初始条件（2.9）下的弱解，并设u（x）*定义如（6.2）所示。然后，u（X）*是（1.7）的解，终端/边界条件（1.11）沿dQ.特别是u（X）*∈ cloc（Q）∪ dQ）∩ C2，α（Q），它在Q上服从（6.1）∪ dQ.证明：该证明类似于定理2.11的证明，我们将仅概述一下。

为了简单起见，我们将省略u的上标X*因为，对于每个（t，x）∈ Q∪ d*Q、 我们给出了任意弱解(Ohm, F，（Fs）s≥t、 Pt，x，W（t），x（t））。从（6.3）的表达式来看，显然我们有*= g ond*Q.通过[20，定理3.1.2]，我们可以扩展g∈ cloc（d）*Q） 到[0，T]×Rd上的一个函数（再次调用），使其扩展属于Clo c（[0，T]×Rd）。让（好的）k∈Nbe定理2.7中O的C2，α开s子域的递增序列∈ （0,1），这样“好的” O每k∈ N、 及∪K∈NOk=O，设Qk:=（0，T）×每k∈ N.在Qk上，根据[20，定理3.4.9]，终端/边值问题-在Qk中，u=g在（（0，T）×上好的）∪{T}×\'好的,在英国有独特的解决方案∈ C（`Qk）∩ C2，α（Qk），根据[21，定理6.5.2]，它允许随机表示：对于任意（t，x）∈ （（0，T）×）好的）∪{T}×\'好的,英国（t，x）=东部，x经验-ZτOk∧Ttc（Xs）dsGτOk∧ T、 XτOk∧T+ Et，xZτOk∧Ttexp-Zstc（Xv）dvf（s，Xs）ds.这里，我们注意到，对于（2.7）-（2.8）的任何弱解，具有相同的初始数据（t，x）∈ Q、 在τt，x，XO上有唯一的规律。因为τOk→ τOa。s、 ，作为k→ ∞, 使用与第6.3节相同的论点，我们可以证明上述方程右侧的收敛性。因此→ ∞, 英国向美国靠拢*在Q中有针对性地使用抛物型方程的内部Schauder估计[29，练习10.4.2]，并使用与定理2.12证明的第一步相同的论证，我们可以得到*∈C2，α（Q）。为了获得u的连续性*直到边界d*Q、 我们可以在定理2.12证明的第二步中使用相同的论点。定理6.6。除了定理6.3的假设，假设b，σ∈ C0，α（O）和thatf∈ C0，αloc（Q∪ dQ），对于某些α∈ (0, 1).（1） 假设定理2.7中的任一情况（a）、（b）或（c）发生。

假设边界部分Γ属于C2类，α，且g∈ C2，αloc（Q∪dQ）在Q上服从线性增长条件（6.1）∪dQ，以及-gt+ag=f在{T}×Γ上。（6.11）对于任何（t，x）∈ Q∪ dQ，让我们(Ohm, F，（Fs）s≥t、 Pt，x，W（t），x（t））是（2.7）（2.8）在初始条件（2.9）下的弱解，且设u（x）*定义如（6.2）所示。然后，u（X）*沿dQ的终端/边界条件（1.9）的（1.7）的isa解，特别是u（X）*∈ C2，αloc（Q∪ dQ）在Q上服从（6.1）∪ dQ.（2）假设定理2.7中的情况（d）或（e）发生。假设边界C2类的Ois，α，和g∈ C2，αloc（Q∪ dQ）∩ cloc（Q）∪ dQ）在Q上服从线性增长条件（6.1）∪ dQ，以及-{T}×上的gt+ag=fO.（6.12）对于任何（t，x）∈ Q∪ dQ，让我们(Ohm, F，（Fs）s≥t、 Pt，x，W（t），x（t））在初始条件（2.9）下是（2.7）-（2.8）的弱解，并设u（x）*定义如（6.2）所示。然后，u（X）*是具有终端/边界条件（1.9）的（1.7）的解。特别是u（X）*∈ C2，αloc（Q∪ dQ）Q上的whichobeys（6.1）∪ dQ.证明：对于这种抛物线情况，我们可以使用与定理2.12的p屋顶相同的策略。唯一不同的是，当我们证明*∈ C2，α（Q）（或u）*∈ C2，α（d）*Q） ）你在哪里*当我们通过与定理6.5的证明类似的极限论证获得解时，我们对抛物方程使用内部Schauderistimate[29，练习10.4.2]（或边界Schauder估计[16，命题a.1]），而不是椭圆情况下的[22，推论6.3]（或[22，推论6.7]）。备注6.7。与定理2.12关于具有H¨older连续终端/边界条件的椭圆终端/边值问题解的存在性不同，抛物线情况需要相容性条件（6.11）和（6.12）（参见。

[29，第10.4节]）.6.2抛物线障碍物问题的费曼-卡克公式在最后一小节中，我们简要研究了抛物线障碍物问题（1.8）的费曼-卡克公式，以及部分/全部终端/边界条件。与椭圆情况类似，这两种情况（见第4节）取决于过程X是否达到Γ，可以合并为一个障碍问题闵{-ut+A u- f、 u- ψ} =0 in Q，u=g ond*Q、 在哪里*Q在（6.8）中定义。下面两个定理的证明分别与定理2.15和定理2.16的证明相似，因此省略。定理6.8。设f，b，σ和c如定理6.3所示，设ψ∈ C（Q）这是线性生长条件（6.1）。（1） 假设定理2.7中的任一情况（a）、（b）或（c）发生。假设ψ∈ cloc（Q）∪dQ），以及∈ Clo c（dQ）在dQ上服从（1.10）和（6.1）∈ cloc（Q）∪ dQ）∩ C（Q）是抛物线障碍问题（1.8）和（1.9）的解，使得u和a uobey（6.1）都在Q上。然后，对于任何（t，x）∈ Q∪ dQ，u（t，x）=v（x）*（t，x），对于任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥t、 Pt，x，W（t），x（t））到（2.7）-（2.8），初始条件为（2.9），其中v（x）*由（6.5）给出。（2） 假设在定理M2.7中出现了（d）或（e）。假设ψ∈ cloc（Q）∪ dQ），以及∈ Clo c（dQ）在dQ上服从（1.12）和（6.1）∈ cloc（Q）∪ dQ）∩ C（Q）是椭圆障碍问题（1.8）和（1.11）的解，使得u和a uobey（6.1）都在Q上。然后，对于任何（t，x）∈ Q∪ dQ，u（t，x）=v（x）*（t，x），对于任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥t、 Pt，x，W（t），x（t））至（2.7）-（2.8），初始条件为（2.9），其中v（x）*由（6.5）给出。定理6.9。假设定理2.7中的情况（d）或（e）发生。设f，b，σ和c为定理6.4。