退化椭圆型和抛物型方程解的Feynman-Kac公式

由于u是（1.1）的解，我们可以重写前面的等式asEx经验-Zs∧λUkc（X（ε）v）dvUX（ε）s∧λUk= u（x）- 前任Zs∧λUkexp-Zvc（X（ε）w）dwf（X（ε）v）dv- 前任Zs∧λUkexp-Zvc（X（ε）w）dw（Aε- A）u（X（ε）v）dv. （4.15）我们首先将（4.15）中的极限取为ε↓ 0（对于固定k≥ 1和t≥ 0). 利用假设2.5，证明了O的紧子集上f，u和c的连续性∪ Γ，以及优势收敛定理，我们有limε↓0Ex经验-Zs∧λUkc（X（ε）v）dvUX（ε）s∧λUk= 前任经验-Zs∧λUkc（Xv）dvUXs∧λUk, （4.16）limε↓0ExZs∧λUkexp-Zvc（X（ε）w）dwf（X（ε）v）dv= 前任Zs∧λUkexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv. （4.17）为了估计（4.15）右边的最后一个积分项，我们假设在不损失一般性的情况下，ε<1/2k，对于任何固定的k≥ 1.对于任何v∈ [0，s∧ λUk]，（Aε-A）u（X（ε）v）≤b（十五）-b（X（ε）v）Du（X（ε）v）+trYβva（Xv）-Y（ε）vβ~a（X（ε）v）Du（X（ε）v）≤b（十五）- b（X（ε）v）kDukC（`U2k）+trY（ε）vβ§a（Xv）-~a（X（ε）v）Du（X（ε）v）+trYβv-Y（ε）vβ~a（Xv）Du（X（ε）v）≤b（十五）- b（X（ε）v）kDukC（`U2k）+§a（Xv）- ~a（X（ε）v）xβdDuC（`U2k）+Yβv-Y（ε）vβDu（X（ε）v）kakC（\'U2k），（4.18），其中k·kC（\'U2k）表示“U2k”上的统一范数。Sin ce b和a一致连续且有界于U2k，在（4.18）右侧的前两项收敛为0，为ε↓ 0

对于（4.18）中的最后一个术语，请注意Yβv-Y（ε）vβDu（X（ε）v）≤ ε-β/2Y（ε）vβ- YβvxβdDuC（`U2k）{Y（ε）v≥√ε}+ 2βxβdDuC（`U2k）{Y（ε）v<√ε}≤ βmaxn（k+ε）β-1, ε(β-1） /2oε1-β/2xβdDuC（`U2k）+2βxβdDuC（`U2k）{Y（ε）v<√ε} =βmaxn（k+ε）β-1ε1-β/2,√εoxβdDuC（`U2k）+2βxβdDuC（`U2k）{Y（ε）v<√ε} ，（4.19）在等式中的第二个等式中，我们使用凸度或凹度，dep以β结尾∈ （0，2），函数p（x）=xβ[√ε、 k+ε]：（x+ε）β- xβ≤ p′(√ε)ε = βε(β-1)/2· ε, β ∈ （0,1]，（x+ε）β- xβ≤ p′（k+ε）ε=β（k+ε）β-1· ε, β ∈ [1, 2].结合（4.18）-（4.19），使用假设∈ C1,1，βs，loc（O∪ Γ）以及limε↓0{Y（ε）v<√ε} =0，a.s.，我们通过优势收敛定理得到thatlimε↓0ExZs∧λUkexp-Zvc（X（ε）w）dw（Aε- A）u（X（ε）v）dv= 因此，通过组合（4.15），（4.16），（4.17）和（4.20），我们得到了经验-Zs∧λUkc（Xv）dvUXs∧λUk= u（x）-前任Zs∧λUkexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv. （4.21）作为k→ ∞ 和s→ ∞, 显然我们有∧ λUk→ λO，a.s。（4.22）通过与定理2.7的证明相同的论证，我们可以将（4.21）中的极限取为k→ ∞和s→ ∞, 为了得到它，对于任何x∈ O、 前任经验-ZλOc（X（ε）v）dvg（XλO）1{λO<∞}= u（x）- 前任ZλOexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv.与（4.12）一起，我们证明了u=u（X）**在O上∪ Γ，其中u（X）**由（2.14）给出。接下来，我们在O的适当部分证明了当边界条件g是H¨older连续时（4.4）解的存在性。定理2.12的证明：对于每个x∈ O∪*O、 让(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）是（2.7）-（2.8）的任何弱解，初始条件（2.9）为t=0，设u（X）*（x） b定义如（2.13）所示。

必须证明，u（X）*是（4.4）的一个解，使得u（X）*∈ Clo c（O）∪*O）∩C2，αloc（O∪Γ）安杜（X）*满足线性增长条件（2.10）。事实上，u（X）*满足引理3.4的线性增长条件（2.10），每xθ=τx，XO，θ=0，ψ=0∈ O∪*O.仍需证明u（X）*∈ Clo c（O）∪*O）∩C2，αloc（O∪Γ）和u（X）*是（4.4）的解决方案。在下面的文章中，在不丧失一般性的情况下，我们将定义一个经过过滤的概率空间(Ohm, F，（Fs）s≥对于每个初始数据x，我们将弱解（x（x），W）乘以（2.7）-（2.9）∈ O∪*t=0时为O。的确，如果(Ohm, F，（Fs）s≥0，P，X，W）是初始数据X对（2.7）-（2.9）的弱解∈ O∪*O、 然后(Ohm, F，（Fs）s≥0，P，X+y-x、 W）同一概率空间上的Awak解是否具有不同的初始数据y∈ O∪*O.我们仍将使用px和Exto表示不同初始数据的概率和期望，其中弱解x的参数x以及所有停止时间w将被忽略。我们还将省略u的上标X*所有的停车时间都很简单。证明分为以下两个步骤。步骤1（u）*∈ C2，αloc（O∪Γ），以及*是（4.4）的解决方案我们首先注意到*= g onΓ直接从（2.13）开始。让（Dk）k∈Nbe是O的C2，α子域的增加序列（参见[22，定义6.2]），例如∈NDk=O andO∩ (-k、 k）d-1×（1/k，k） Dk O∩(-2k，2k）d-1×（1/2k，2k），k∈ 注意，在每个域Dk上，微分算子-A是一致椭圆的，有界且系数为C0，α（`Dk）。此外，根据我们的假设，我们有f∈ C0，α（`Dk）和g∈ C2，α（\'Dk）。因此，[22，定理6.13]暗示椭圆边值问题on=A，dku=gDk（4.23）在英国推出了独特的解决方案∈ C（`Dk）∩C2，α（Dk）。

此外，通过关于一致椭圆偏微分方程解的随机表示的经典理论（参见[21，定理6.5.1]，[26，命题5.7.2]和[30，定理9.1.1，推论9.1.2]），UK承认了关于‘Dk:的唯一随机表示，对于任何x∈英国Dk（x）=Ex经验-ZτDkc（Xs）dsg（XτDk）1{τDk<∞}+ 前任ZτOkexp-Zsc（Xv）dvf（Xs）ds.这里，我们注意到，对于每一个x∈“-Dk，在[0，τxDk]时间段内的任何弱解都有唯一的规律（备注2.10）。此外，根据引理3.4，对于所有k，UK服从线性增长条件（2.10）∈ N.从那时起，每x∈ O（x）∈ 对于足够大的（τxDk）k∈Nis是一个不断增加的停止时间序列，收敛到τxOP-a.s.，如k→ ∞, 使用假设g∈ Clo c（O）∪ *O） ，X的样本路径的连续性，（uk）k上的线性增长条件（2.10）∈与引理3.4相比，我们可以使用定理2.7证明中使用的相同参数来获得→∞英国（x）=u*（x） ，对于任何x∈ 哦。修正x（0）∈ O，设B:=B（x（0），r）是一个以x（0）为中心，半径为r的欧几里德球，比如B O.设置B1/2:=B（x（0），r/2）。自（英国）k∈Nobeys的林耳生长条件（2.10），与引理证明3.4中的相同论点表明（英国）k∈Nis一致有界于“B”。根据内部Schauder估计（参见[22，推论6.3]），序列（英国）k∈NHA一致有界C2，α（`B1/2）范数。嵌入C2，α（\'B1/2）的紧性→ C2，γ（`B1/2），对于任何0≤ γ<α表明，在传递到子序列后，（uk）k∈n在C2，γ（`B1/2）到u中聚集*∈ C2，γ（\'B1/2），一个dhence A u*= f位于B1/2。由于该子序列具有统一的有界C2、α（\'B1/2）范数，并且它在C（\'B1/2）中收敛到u*, 我们得到了u*∈ C2，α（\'B1/2）。自x（0）∈ O是任意的，我们的结论是*是（4.4）和u的解决方案*∈ C2，α（O）。下一步，我们将任何z∈ Γ并选择足够小的r>0，使得B（z，r）∩ Γ= .

SetD:=B（z，r）∩ O和D′：=B（z，r/2）∩ O.从（Dk）k的施工中∈N、 我们可以找到k∈ N足够大以至于 Dk，为了所有人≥ k、 自从f∈ C0，α（`D）和g∈ C2，α（\'D），由[22，推论6.7]和UkkkC2，α（\'D\'）这一事实，我们得到了kukkC2，α（\'D\'）≤ CkukkC（\'D）+KKKC2，α（\'D）+KKKC0，α（\'D）, K≥ k、 （4.24）其中C>0是一个常数，仅取决于a的系数以及域D和D′。将（4.24）与（uk）k的C（`D）范数的统一界结合起来∈N、 由线性增长条件（2.10）和引理3.4中的类似论证得出，C2，α（\'D\'）的嵌入的完备性→ C2，γ（\'D\'），其中0≤ γ<α，意味着存在（uk）k的子序列∈n将str收敛到gly到u*在C2中，γ（\'D\'）。特别是，这个子序列在C（\'D\'）中收敛到u*, 因此你*∈ C2，α（\'D\'）。结合以上两种情况，我们得出结论：*∈ C2，αloc（O∪Γ). 步骤2（u）*在场景（B）中，假设x（0）=（x（0），x（0）d-1, 0) ∈Γ. 对于任意x=（x，…，xd）∈ O、 设θx:=inf{s≥ 0:Xs∈ H、 X=X}，Txd:=infns≥ 0:X（d）s=0，X（d）=xdo。显然我们有τxO≤ θx≤ Txd，P- a、 s。（4.25）它来自（3.20）和（4.25）thatlimx→x（0）θx=limx→x（0）τxO=0在（x，…，xd）中均匀分布-1) ∈ 研发部-1，P- a、 s。。（4.26）因此，根据支配收敛定理，limx→x（0）ExZτOexp-Zsc（Xv）dvf（Xs）ds= 0.（4.27）接下来，我们需要展示→x（0）Ex经验-ZτOc（Xs）dsg（XτO）1{τO<∞}= g（x（0））。（4.28）注意经验-ZτOc（Xs）dsg（XτO）1{τO<∞}- g（x（0））=Ex经验-ZτOc（Xs）dsg（XτO）-g（x（0））{τO<∞}+g（x（0））1.-前任经验-ZτOc（Xs）ds{τO<∞},根据假设2.5，（4.26）和支配收敛定理limx→x（0）Ex经验-ZτOc（Xs）ds{τO<∞}= 1、（4.29）我们只需要展示一下→x（0）Ex经验-ZτOc（Xs）dsg（XτO）- g（x（0））{τO<∞}= 0.固定ε>0。

根据g的连续性，我们可以选择δ1，ε>0，这样g（x）- g（x（0））≤ ε, 十、∈ B（x（0），δ1，ε）∩ O.（4.30）对于δ1，ε>0，根据问题5.3.15中的[26，等式（5.3.18]），存在C>0，取决于x（0）和δ1，ε>0，因此对于任何≥ 0，谢谢∈B（x（0），δ1，ε）∩OExsup0≤五、≤s | Xv- x|≤ C√s、 这意味着，通过选择足够小的sε>0，对于任何s∈ （0，sε），supx∈B（x（0），δ1，ε）∩OPxsup0≤五、≤s | Xv-x|≥ δ1,ε/2≤2C√sδ1，ε≤ ε. （4.31）此外，将（3.20）应用于X（d）（δ2，ε），我们可以选择δ2，ε>0非常小，这样pTδ2，ε>s≤ ε、 对于任何人来说∈ （0，sε]（4.32）设Δε：=min{δ1，ε/2，δ2，ε}，对于任何s∈ （0，sε）和任意x∈ B（x（0），Δε）∩ O、 前任经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）- g（x（0））{τO<∞}= 前任经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）- g（x（0））{τO≤s、 supv∈[0，s]|Xv-x |<δ1，ε/2}+ 前任经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）- g（x（0））{τO≤s、 supv∈[0，s]|Xv-x|≥δ1,ε/2}+ 前任经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）- g（x（0））{τO∈（s），∞)}. （4.33）乘（4.30），对于任何x∈ B（x（0），Δε）∩ O、 前任经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）- g（x（0））{τO≤s、 supv∈[0，s]|Xv-x |<δ1，ε/2}≤ ε. （4.34）为了估计（4.33）右边的第二项和第三项，我们首先注意到，根据g上的线性增长条件（2.10），引理3.1，推论3.3和可选抽样定理（参见[26，定理1.3.22]），对于任何x∈ B（x（0），Δε）∩ O、 前任经验-ZτOc（Xv）dv|g（XτO）|≤ 2K1+Ex经验-ZτOc（Xv）dvkXτOk≤ 2K1+kxk+Mc-1.1.- 前任E-cτO≤ C:=supx∈B（x（0），δ）∩O2K1+kxk+Mc-1..通过柯西-施瓦兹不等式和（4.31），f或任何s∈ （0，sε）和任意x∈ B（x（0），Δε）∩ O、 前任经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）- g（x（0））{τO≤s、 supv∈[0，s]|Xv-x|≥δ1,ε/2}≤前任经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）-g（x（0））1/2Pxsupv∈[0，s]|Xv-x|≥δ1,ε!1/2≤ 2pCε。（4.35）类似地，对于任何x，使用（4.25）和（4.32）∈ B（x（0），Δε）∩ 哦，还有其他的吗∈ （0，sε），Ex经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）- g（x（0））{τO∈（s），∞)}≤前任经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）- g（x（0））1/2Px（τO>s）1/2≤ 2pCε。

（4.36）最后，通过组合（4.33）-（4.36），对于任何x∈ B（x（0），Δε）∩ O、 我们得到那个经验-ZτOc（Xs）dsg（XτO）- g（x（0））{τO<∞}≤ ε+4pCε，与（4.27）-（4.29）一起，表明*在x（0）处是连续的。自x（0）∈“Γ是任意的，我们的结论是*在Γ上是连续的，这就完成了定理的证明。现在我们证明了（4.4）的解的存在性，当边界数据g仅在O的边界的合适部分上连续时。定理2.11的证明：对于每个x∈ O∪*O、 让(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）是（2.7）-（2.8）的任何弱溶液，初始条件（2.9）为t=0。我们需要显示th，u（X）*, 由（2.13）给出，是（4.4）的一个解，即u（X）*∈ Clo c（O）∪*O）∩C2，α（O）和u（X）*满足线性增长条件（2.10）。同样，对于每个x∈ O∪ *O、 我们定义了一个任意弱解（x（x），W），初始数据为x，定义在一个过滤概率空间上(Ohm, F，（Fs）s≥0，P），以及相应的概率和期望。此外，我们将省略u的上标X*为了简单起见，还提供了所有的停止时间。自从g∈ 氯离子(*O） ，在哪里*O是一个闭集，我们可以用[20，Thoerem 3.1.2]来扩展g-tord，使得它的扩展（再次用g表示）属于Clo-c（Rd）。这个定理的证明与定理2.12相似。步骤1（u）*∈ C2，α（O）和u*是（4.4）的一种解决方案该论证与定理2.12的第1步相同，不包括验证u的部分*∈ C2+α（\'D\'）在末端。步骤2（u）*∈ Clo c（O）∪ *O） ）对于场景（B），我们可以使用与定理2.12的证明步骤2相同的参数来验证u*在“Γ”上是连续的。这仍然需要证明美国*这两种情况下都是连续的。也就是说，对于任何x（0）∈ Γ，limx→x（0）u*（x） =g（x（0））。从定理2.12证明的第2步中的论点来看，必须显示limx→对于任意x（0），x（0）τxO=0的概率（相对于P）∈ Γ.

现在fix任意x（0）∈ Γ，让（Dk）k∈Nbe是O的C2，α子域的递增序列，如在Th eorem 2.12的证明中。然后，[22，定理6.13]意味着下面的椭圆边值问题Dk上的u=0，Dk上的u=1DKK是一个独特的解决方案vk∈ C（`Dk）∩C2，α（Dk），它还允许对任意x的‘Dk（参见[21，定理6.5.1]，[26，命题5.7.2]和[30，定理9.1.1，推论9.1.2]）的唯一随机表示∈\'Dk，vk（x）=Ex经验-ZτDkc（Xs）ds.德菲涅夫*（x） =前经验-ZτOc（Xs）ds, 十、∈类似于定理2.12的证明，利用X的样本路径的连续性以及引理3.4，我们→∞vk（x）=v*（x） ，对于任何x∈ O.根据定理2.12，v*这是解决问题的办法O上的u=0，O上的u=1*O、 和v*∈ C2，α（O）∩ Γ). 因此我们有limx→x（0）v*（x） =v*（x（0））=1，这意味着limx→根据假设2.5，x（0）τxO=0。5椭圆障碍问题本节包含定理2.15和2.16的证明。通过引理3.5，我们将证明场景（A）和（B）中的两个定理，如第3节开头所述。此外，与（4.4）类似，（1.2）的解的唯一性是沿着Γ的部分Dirichlet边界条件，当原点是自然（Feller）边界或X（d）的入口边界，且沿着全Dirichlet边界条件时O、 当原点是X（d）的规则边界或存在边界时，它们在自然e中是相似的。为了方便起见，我们将它们视为min{A u- f、 u- ψ} =O，g=0*O、 （5.1）在哪里*O由（4.3）给出。定理2.15的证明：我们需要证明∈ Clo c（O）∪ *O）∩ C（O）是（5.1）的一个解，它满足线性增长条件（2.10），然后它允许每x的随机表示（2.17）∈ O∪ *O、 对于任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）到（2.7）-（2.8），初始条件（2.9）为t=0。

从（2.16）和（2.17）中，我们可以看到u（x）=v（x）*（x） =g（x），对于任何x∈ *O.（5.2）仍需证明u=v*关于O，我们按照以下两个步骤组织。同样，我们将为每个x定义一个任意的弱解∈ O∪ *O、 将省略v的上标X*.步骤1（u）≥ 五、*让（好）好∈Nbe是O的C2，α子域的增加序列，位于Th eorem 2.7的顶部。对于任何x∈ O、 x∈ 当k足够大时。自从你∈ C（O），根据I^O’s公式，对于任何停止时间θ∈ 德克萨斯州、X州和s州≥ 0，前经验-Zs∧θ∧τOkc（Xv）dvUXs∧θ∧τOk= u（x）- 前任Zs∧θ∧τOkexp-Zvc（Xw）dwu（Xv）dv.通过拆分左侧，并使用u≥ ψ和A u≥ f on O，前面的恒等式givesu（x）≥ 前任经验-Zs∧θc（Xv）dvψ（Xs）∧θ） 1{θ<τOk}+ 前任经验-Zs∧τOkc（Xv）dvUXs∧τOk{θ≥τOk}+ 前任Zs∧θ∧τOkexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv. （5.3）在定理2.7的证明中，随机变量的集合经验-Zs∧θc（Xv）dvψ（Xs）∧θ） 1{θ<τOk}:k∈ N和经验-Zs∧τOkc（Xv）dvUXs∧τOk{θ≥τOk}:k∈ N是一致可积的，因为u和ψ满足线性增长条件（2.10）。通过O上u和ψ的连续性∪ *O、 我们也有Limk→∞经验-Zs∧θc（Xv）dvψ（Xs）∧θ） 1{θ<τOk}=exp-Zs∧θc（Xv）dvψ（Xs）∧θ） 1{θ<τO}，Px- a、 美国林克→∞经验-Zs∧τOkc（Xv）dvUXs∧τOk{θ≥τOk}=exp-Zs∧τOc（Xv）dvu（Xs）∧τO）1{θ≥τO}，Px- a、 s。因此，通过[4，定理4.5.4]，增长估计（3.9）和支配收敛定理，我们可以将（5.3）中的极限作为k→ ∞, 并获得thatu（x）≥ 前任经验-Zs∧θc（Xv）dvψ（Xs）∧θ） 1{θ<τO}+ 前任经验-Zs∧τOc（Xv）dvu（Xs）∧τO）1{θ≥τO}+ 前任Zs∧θ∧τOexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv. （5.4）下一步，我们将使用s→ ∞ 在（5.4）中。在定理2.7的证明中再次使用类似的参数，ran dom变量的集合经验-Zs∧θc（Xv）dvψ（Xs）∧θ） 1{θ<τO}:s≥ 0和经验-Zs∧τOc（Xv）dvu（Xs）∧τO）1{θ≥τO}:s≥ 0都是一致可积的，因为u和ψ满足线性增长条件（2.10）。

此外，通过O上u和ψ的连续性∪*O、 林斯→∞经验-Zs∧θc（Xv）dvψ（Xs）∧θ） 1{θ<τO}=exp-Zθc（Xv）dvψ（Xθ）1{θ<τO}，Px- a、 美国，林→∞经验-Zs∧τOc（Xv）dvu（Xs）∧τO）1{τO≤θ<∞}= 经验-ZτOc（Xv）dvu（XτO）1{θ≥τO}，Px-a、 s。因此，通过[4，定理4.5.4]、边界条件（1.3）、恒等式（3.7）、增长估计（3.9）和支配收敛定理，我们可以将（5.4）中的极限作为s→ ∞,并得到thatu（x）≥ 前任经验-Zθc（Xv）dvψ（Xθ）1{θ<τO}+ 前任经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）1{θ≥τO，τO<∞}+ 前任Zθ∧τOexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv= 前任经验-Zθc（Xv）dvψ（Xθ）1{θ<τO}+ 前任经验-ZτOc（Xv）dvg（XτO）1{θ≥τO}+ 前任Zθ∧τOexp-Zvc（Xw）dwf（Xv）dv,对于任何θ∈ Tx、x和x∈ O、 这就产生了u≥ 五、*关于O.第2步（u）≤ 五、*关于O）延拓区域c:={x∈ O:u（x）>ψ（x）}（5.5）是由u和ψ的连续性决定的一个开集。我们表示∧τt，x，x:=inf{s≥ t:Xs/∈ C，Xt=x}，（5.6）并且当t=0时，为了简洁起见，写入)τ=)τt，x，xf。■τt，x，Xis确实是相对于（Fs）s的停止时间≥t、 自（Xs）s≥这是连续的，O是开放的。使用与步骤1中相同的参数，用θ替换为τ，并且由于u（XSτ）=ψ（XSτ）和连续区域C上的A u=f，我们得到u（X）=Ex经验-Z~τc（Xs）dsψ（X碜τ）1{ττ<τO}+ 前任经验-ZτOc（Xs）dsg（XτO）1{≥τO}+ 前任Z~τ∧τOexp-Zsc（Xv）dvf（Xs）ds,对于任何x∈ O、 这意味着≤ 五、*关于O.证据现已完成。定理2.16的证明：我们需要证明在场景（B）下∈ Clo c（O）∪Γ) ∩C（O）∩C1,1，βs，loc（O∪Γ）是部分边界条件（1.3）下（1.2）的解，满足线性增长条件（2.10），然后它允许任意x的随机表示（2.18）∈ O∪ Γ和任何弱解(Ohm, F，（Fs）s≥0，Px，W，X）到（2.7）-（2.8），初始条件（2.9）为t=0。我们将再次省略v的上标X**, 当我们为每一个x求一个任意弱解时∈ O∪Γ.