未定权益的定价与渐近最优头寸

无差别价格不依赖于初始资本，我们用pnan（q）代替pnan（x，q）。根据其定义，pnan（q）由抽象公式pnan（q）=-anqlog乌南（0，q）乌南（0）,（2.6）和总价格qpnan（q）允许变分表示（2.7）qpnan（q）=infQn∈~MnqEQn[B]+an（H（Qn | P）-H（Qn | P））.注意，从（2.7）可以很容易地推断出q∈ R（2.8）pnan（q）=pn（anq）。此外，使用（2.5）和（2.6）我们得到了pnan（q）=-anqlogEhe-安希南（q）T-安克比厄-安^Xnan（0）Ti= -anqlogEQnhe-安奎南（q）i,（2.9）式中（2.10）^Ynan（q）：=q^Xnan（q）T-^Xnan（0）T+qB.^Ynan（q）与[1,31,37]等的标准化剩余风险过程密切相关，可被视为索赔B.3中q单位多头头寸的单位不可平仓部分。将价格和联系限制在大偏差理论公式（2.9）中是我们分析的起点。为了激发结果，我们首先将大偏差原理（LDP）和G"artner-Ellis定理与大偏差联系起来，这两个定理都是为了方便读者而在这里陈述的，参见示例[15]。定义3.1。设我们是一个具有Borel-sigma代数B（S）和(Ohm, F、 P）成为概率空间。我们说一组随机变量{Yn}n∈NfromOhm to S有一个具有良好速率函数I:S的LDP→ [0, ∞] 和缩放rnif rn→ ∞ 和（1）对于每个≥ 0，集Φ（s）={s∈ S:I（S）≤ s} 是s的一个紧子集；特别是，我是半连续的。（2） 对于每一个开放的G S、 林恩↑∞（1/rn）对数（P[Yn∈ G] )≥ -infs∈GI（s）。渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价 S、 林恩↑∞（1/rn）对数（P[Yn∈ F]）≤ -infs∈FI（s）。本文采用S=R定理3.2（G"artner-Ellis）。让{Yn}n∈概率空间上随机变量的集合(Ohm, F、 P）。

让{rn}n∈一个正实数序列，使得limn↑∞rn=∞. 对于每个n，用∧n表示Yn（3.1）∧n（λ）的累积生成函数：=logEheλYni, λ ∈ R.关于∧n，假设如下：（1）对于所有∧∈ R极限∧（λ）：=limn↑∞（1/rn）∧n（rnλ）作为扩展实数存在。（2） D∧，D∧的内部：={λ：λ（λ）<∞}, 是非空的，带有0∈ D∧。（3） 在整个D∧中∧可微且陡峭；i、 e.limλ→D∧|Λ(λ)| = ∞.（4） ∧是下半连续的。然后，随机变量{Yn}n∈n用速度{rn}n使自民党满意∈Nand良率函数I（y）=supλ∈R（λy）- Λ(λ)).为了将定理3.2与（2.9）中的无差异价格联系起来，假设头寸大小q的形式为q=lrnforl ∈ R、 其中{rn}n∈带limn的正实数序列↑∞rn=∞. 在这种情况下，使用（2.9）给出（3.2）pnan(lrn）=-一lrnlogEQnhe-一lrn^Ynan（安lrn）我= -一lrnΓn(-一lrn），其中，与∧nabove类似，我们设置（3.3）Γn（λ）：=logEQnheλ^Ynan(-λ） 我.因此，我们看到了无差异价格的趋同(lrn）类似于G"artner-Ellis假设，即标度累积生成函数（1/rn）为∧n(lrn）收敛。然而，除了概率测度对n的依赖性之外，Γnin（3.3）和∧nin（3.1）之间还有很大的区别：即，（3.3）的随机变量^Ynan（λ）随λ变化，而随机变量Ynof（2.10）则不随λ变化。因此，即使标度无差异价格的收敛意味着与随机变量^Ynan（λ）的LDP有关，我们通常不期望随机变量^Ynan（λ）的LDP，除非它们实际上不依赖于λ。下文第6.3节给出了一个例子。我们现在以类似于G"artner-Ellis定理的形式提出主要假设。假设3.3。

存在一个序列{rn}n∈带limn的Nof正实数↑∞rn=∞ δ>0，这对所有人来说都是如此|l| < δ极限（3.4）p∞(l) := 画↑∞普南(l8米哈伊尔·安克洛佩洛斯、斯科特·罗伯逊和康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普普洛斯已经存在，并且是最后的。特别地，对于（3.5）dn:=pnan（0）=EQn[B]，*极限d:=p∞（0）=limn↑∞存在。此外，p∞(l) 在0处连续，即liml→0p∞(l) =d=p∞(0).3.1. 讨论3.1.1. 假设3.3和风险规避消失。关系式（2.8）允许我们改变风险规避和头寸大小。具体而言，假设3.3的形式为|l| < δ：（3.6）p∞(l) = 画↑∞普南(lrn=limn↑∞pn(l安恩）。从这里可以看出，如果市场是固定的：即如果pn（qn）=p（qn）表示所有n和qn，那么如果→ 0我们可以设置rn:=a-1n→ ∞ 假设3.3成立。的确，p(lanrn）=p(l) =: P∞(l)从[14]可以看出，0的连续性l→0p∞(l) = d=等式[B]。这个例子在下文第6.1节中进行了补充讨论，定理4.3、4.3尽管如此，我们在续集中的重点将主要放在不同市场序列中固定风险规避的情况上。3.1.2. 假设3.3和对冲误差消失。虽然没有明确说明，但对于固定的风险规避≡ a、 假设3.3意味着与B相关的对冲误差正在消失。这源于规模无差异价格pna的趋同(lrn）以及最重要的假设，p∞是0。要了解后一点，请再次考虑当市场固定时，pna（qn）=pa（qn）。

这里，对于大量的索赔B，如[14,32]所示，我们有limn↑∞爸爸(lrn）=infQ∈~MEQ[B]，l > 0EQ[B]，l = 0supQ∈~MEQ[B]，l < 因此，假设3.3中的收敛要求成立，但结果函数p∞在0时不是连续的，因此假设3.3不能在固定市场中成立（或者当存在限制市场但B在该市场中不可复制时）。或者，考虑假设3.3的全部成立时间。首先，（2.7）意味着q 7→ pnan（q）是递减的，q7是递减的→ qpnan（q）是凹的。因此l 7.→ l普南(lrn）也是凹面的|l| < δ、 索伊斯l 7.→ lP∞(l). 尤其是p∞(l) 持续的(-δ、 0）和（0，δ）。因此，另外假设p∞在0（因此在所有(-δ、 δ），我们得到了有用的结果：（3.7）qnrn→ l ∈ (-δ, δ) ==> pnan（qn）→ P∞(l).*关于这种等价性的证明，请参见[14]。渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价实际上取ε>0，因此(l - ε） 注册护士≤ qn≤ (l + ε） RNN足够大。由于pnan（q）在下降：p∞(l+ε） =林↑∞普南((l+ε） rn）≤ 林恩芬↑∞pnan（qn）≤ 林尚↑∞pnan（qn）≤ 画↑∞普南((l-ε） rn）=p∞(l-ε).取ε↓ 0给出结果。特别是，对于所有固定仓位大小q和风险规避a，我们有这个限制↑∞pna（q）=d，这本质上意味着交易策略πn的存在∈ Anwhich符号对冲B。在有界索赔和持续过滤的情况下，该论点在下文第4.3节中进行了扩展。3.1.3. 关于曲面的严格凹性l 7.→ lP∞(l). 尽管l 7.→ lP∞(l) 在假设3.3下是凹的，如下面第4.2节中的示例所示，它不必是严格凹的。然而，在严格凹性的假设下，一些好的结果随之而来：例如，见推论4.6和第5.4节中的平衡结果。

限制规模无差异价格和后果我们现在推断出假设3.3的一些后果，其中第一个是头寸大小q=qn=lrnn是合适的n↑ ∞ , 如果考虑的立场是临时的。在这里，我们遵循[24,33,34]的方法。最佳位置选择。定义（41亿）：=infQ∈~MnEQ[B]，\'Bn:=supQ∈~MnEQ[B]。假设，对于所有n，B不能通过在Sn中交易复制，并用B的无套利价格范围表示：即（4.2）in=（Bn，\'Bn）。对于pn∈ 在最佳位置，^qn=^qn（~pn）被定义为方程（4.3）supq的唯一（见[24]）解∈R乌南(-qpn，q）.如[24]所示，^qnsatis定义了最优性（4.4）~pn=EQ^qn（~pn）[B]的一阶条件，其中Q^qn（~pn）∈■MN是权利要求B中^qn（^pn）单元的双重优化器，因为它实现了数量（2.7）。为了进行渐近分析，我们假设市场和价格之间的一致性（n）为n↑ ∞. 更准确地说：假设4.1。对于Bn，在（4.1）中我们有（4.5）B:=lim supn↑∞Bn<lim infn↑∞\'Bn=：\'B.10米切尔·安克洛佩洛斯、斯科特·罗伯逊和康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛斯备注4.2。让假设3.3保持不变。那么自从Bn≤ dn≤“\'bn对所有n来说，B≤ D≤B（回想假设3.3中给出的DND和d的定义）。假设4.1加强了这一点，也就是说，存在P6=d，因此p对于所有足够大的n都是无套利的。特别是在 ~pn→ §P6=d。现在，假设4.1可能会以两种方式失败。首先，它可能是INI正在崩溃为单体d asn↑ ∞. 在这种情况下，由于pnan（qn），限制价格的收敛是微不足道的→ d表示所有序列{qn}。假设4.1可能失败的第二种方式是，如果市场之间没有一致性，即没有价格P6=d，那么p∈ 信息都很大。

在这里，我们没有优化器（沿着子序列）^qn。在假设4.1下，我们给出了第一个主要结果，即最优位置的增长率至少为l对一些人来说l 6= 0.定理4.3。假设2.1、2.2、3.3和4.1成立。因为 ~pn→ ~p我们有o如果~p<d↑∞^qn（~pn）rn>0.o如果p>d，那么请输入↑∞-^qn（~pn）rn>0。lim-supn的上界问题↑∞|更微妙。首先，我们需要确定pnan的最大范围(lrn）收敛。为此，设置（4.6）δ+：=supk>0:limn↑∞普南(lrn）=p∞(l),  0 < l < K∈ [δ, ∞].(4.7) δ-:= infk<0:limn↑∞普南(lrn）=p∞(l),  0 > l > K∈ [-∞, -δ].如第3.1节所述，pnan（q）在q中减少，因此p∞(l) 正在减少l. 因此，限制（4.8）p∞（δ+）：=liml↓δ-P∞(l); P∞(δ-) := 林l↑δ+p∞(l),存在此外，由于Bn<pnan(lrn）</BN适用于所有人l ∈ R我们有B≤ P∞(δ+) ≤ P∞(δ-) ≤然而，正如下面第4.2节中的例子所示，这些不平等可能都是严格的。特别是，沿着利率区间限制无差别价格的范围可能会偏离无套利价格。有了这个符号，我们现在提供了最佳位置的相应上界。定理4.4。假设2.1、2.2、3.3和4.1成立。定义δ+，δ-分别如（4.6）和（4.7）所示。因为 ~pn→ ~p我们有o如果p∞（δ+）<p<d↑∞^qn（~pn）rn<δ+。渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价11o如果d<p<p∞(δ-) 特林·苏普↑∞-^qn（~pn）rn<-δ-.注意，上面的严格不等式意味着，例如，当δ+=∞我们有lim supn↑∞^qn（~pn）/rn<∞. 最后，让我们讨论一下什么时候真的有收敛性。如图3.1所示l 7.→ lP∞(l) 它是凹的。在这里，我们通过假设来加强这一点：假设4.5。

功能l 7.→ lP∞(l) 在（δ）上是严格凹的-, δ+).然后，我们有以下推论，确保极限^qn/r实际存在：推论4.6。假设2.1、2.2、3.3、4.1和4.5成立。定义δ+，δ-分别如（4.6）和（4.7）所示。进来 ~pn→ p.如果p∞（δ+<p 6=d<p∞(δ-) 德林↑∞^qn（~pn）rn=l ∈ (δ-, δ+) \\{0}.定理4.3、4.4和推论4.6的证明见附录B.4.2。讨论目前，我们指出了与上述结果相关的一些结论和微妙之处。首先，当我们把定理4.3，4.4放在一起时，我们看到如果∈ incoverge top其中p∞（δ+）<p<p∞(δ-), P6=d，然后直到子序列，我们有^qn（~pn）/rn→ l ∈ (δ-, δ+\\{0}，如果l 7.→ lP∞(l) 它是严格凹的。还要注意的是，在（3.7）中，欠优头寸我们也有无差异价格的收敛，即pnan（^qn（~pn））→ P∞(l).第二，假设δ+=∞. 然后，另一个简单的计算显示（回忆（4.5））B<p<liml↑∞P∞(l) ==> 画↑∞^qn（~p）rn=∞,当然，前提是存在这样一个p。这与定理4.4相反。第三，让我们简要地讨论退化情况，其中RNI（选择）使得p∞(l) = 一劳永逸l ∈(δ-, δ+). 在这种情况下，可能会出现一系列不同的现象。为了便于说明，我们考虑以下例子，摘自[34]。在NTH市场中，索赔分解为一个可复制的片段dn（具有复制资本dn）和一个独立于Sn的片段YN。现在，假设~ N（0，γN）在P和fix下风险规避≡ a、 这里，无差异价格ispna（q）=dn-aqlogEE-阿金= dn-aqγn.无套利价格的范围最大：即Bn=-∞,`Bn=∞. 对于pn∈ R通过最小化qpn找到的最佳采购数量-qpna（q）是^qn（~pn）=-~pn- 现在，假设γn→ 0，dn→ D

rn=γ-2n→ ∞, 假设3.3适用于p∞(l) =D- （1/2）al, δ-= -∞ δ+=∞. 请注意lP∞(l) = lD- （1/2）al它是严格凹的。这里是if12 MICHAIL Anthropolos、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS SPILIOPOULOSpn→ ~p∈ R我们有^qn（~pn）rn=-~pn-脱氧核糖核酸→ -~p-爸爸。所以，定理4.3，4.4都成立。现在，改变rn，使rn=γ-1n→ ∞. 那么，假设3.3仍然适用于p∞(l) = d、 δ-= -∞δ+=∞. 然而，在这种情况下，地图lP∞(l) = ld不是严格的凹形。这里，如果pn→ ~p∈ R（由于该属性不依赖于rn，因此仍然是无套利的）我们有^qn（~pn）rn=-~pn- dnaγn.所以，如果p<d，比率为∞, 如果p>d，则比率为-∞ 如果p=d，则根据γn→ 0，~pn→ ~p和dn→ d、 即使在这种情况下行为是退化的，但它与定理4.3或4.4都不矛盾。特别是，定理4.4在这种情况下是真空的，因为p∞(l) = 一劳永逸l.上面的例子与一个众所周知的事实有关，即LDP对于具有两个不同速率{rn}、{r′n}和rn/r′n的同一随机变量序列可能具有大偏差→ 0.然而，以类似于上述限制无差异价格的方式，最终的费率函数可能会提供不同级别的信息。4.3. 关于规范化最优财富过程。对于给定的n，固定风险规避a和头寸大小qn，回顾第2节中的最优财富过程^Xna（qn）。试探性地，如| qn |→ ∞ 人们期望^Xna（qn）以及最优策略^πna（qn）以|qn |的顺序增长。然而，如果我们通过头寸规模将财富过程正常化，那么询问是否发生了某种类型的趋同是合理的。

为此，我们通过（4.9）~Xna（qn）：=qn^Xna（qn）定义了标准化财富过程。请注意，Xna（qn）实际上是一个财富过程，从（可接受的）标准化最优交易策略中获得。我们想强调的是，规范化最优财富过程的收敛性本身就是一个主题，本文不研究它。然而，我们提到了一些有趣且令人振奋的直接结论。让我们回到（2.6），这里重新写为- auna（0）e-aqnpna（qn）=Ehe-qna（~Xna（qn）T+B）i.自-奥娜（0）≤ 1我们立即看到（4.10）Ehe-qna（~Xna（qn）T+B-pna（qn））i=-奥娜（0）≤ 1.通过马尔可夫不等式，我们得到了一个基本估计：Ph ~Xna（qn）T+B- pn（qn）≤ -γi≤ E-qnaγ；γ ∈ R.因此，对于任何qn，我们都看到了这一点↑ ∞ 通过为pna（qn）购买一个单位的B并按照标准化的最优交易策略进行交易而获得的投资组合，在P中提供了0的超级对冲-渐近完全市场中未定权益定价和最优仓位的概率13对于所有γ>0（4.11）limn↑∞PhXna（qn）T+B- pna（qn）≤ -γi=0，实际上，收敛到0的速度是指数级的。这一结果基本上是基于风险规避，在最小假设2.1和2.2下有效。如果我们考虑最佳头寸，那么我们可以说得更多，更准确地描述超级对冲。我们首先调整[30]的设置，并对索赔B和过滤F执行以下假设：假设4.7。B有界：即kBkL∞< ∞.假设4.8。过滤F是连续的。在假设4.7,4.8下，[30]的定理13表示，对于任何qn（4.12）qnB=qnpna（qn）+ah^Lna（qn），它-^Lna（qn）T-^Xna（qn）T+^Xna（0）T，其中^Lna（qn）是与Snunder qn强正交的qn鞅。

除以qnand设置＠Lna（qn）=（1/qn）^Lna（qn）作为归一化正交qn矩阵，我们得到（4.13）~Xna（qn）+B- pna（qn）=aqnhLna（qn）iT-~Lna（qn）T+qn^Xna（0）。接下来，如[30，定理19]所示，supnqnEQnhhLna（qn）iTi< ∞ , 这意味着，在qn Las qn中，Lna（qn）Tgoesto为0→ ∞. 最后，评估（1/qn）^Xna（0）Tas qn→ ∞ 我们施加了以下MildaSympotic无套利条件（见[33，第9页]）：假设4.9。林尚↑∞H（Qn|P）<∞.假设4.9意味着（1/qn）^Xna（0）Tgoes到0的可能性为qn→ ∞. 事实上，使用（2.5）中的Firstorder关系，直接计算表明，对于任何ε，qn>0qn^Xna（0）T≥ ε≤ eH（Qn | P）-aqnε；Qnqn^Xna（0）T≤ -ε≤H（Qn | P）+e-1εaqn+H（Qn | P），紧接着陈述。有了这些准备，现在再考虑一下假设3.3和4.1何时成立，以及位置是否处于最佳状态：即qn=^qn=^qn（^pn），其中 ~pn→~p与p∞（δ+）<p<p∞(δ-), P6=d。那么，从定理4.3，4.4我们有至多个子序列（或者，在推论4.6的假设下，对于所有的子序列），^qn/rn→ l ∈ (δ-, δ+\\{0}和thatpna（^qn）→ P∞(l). 因此，我们得到了Qn概率（4.14）~Xna（^Qn）T+B- P∞(l) -a^qnhLna（^qn）iT→ 0，这意味着超额对冲正好是qn中的a^qnh＠Lna（qn）iT/2-概率极限为n→ ∞. 尽管这个结果很有趣，但人们还是希望在P度量下得到同样的结果。这是真实的14 MICHAIL Anthropolos，SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos，如果度量P与度量Qn相邻，即Qn（An）→ 0意味着P（An）→ 0对于每个可测集序列{An}n∈N、 例如[39]的第6章。经典的Le Cam第一引理（引理6.4 in[39]）为连续性提供了充分和必要的条件。最后，假设qn=q是固定的，回到（4.13）。