未定权益的定价与渐近最优头寸

有了这个动机，我们就有了：定理7.7。让我们pn∈ （ψ（s，t；0），s）对于每一个n，带pn→ ~p其中~p∈ （ψ（s，t；0），s）。设λn→ 对于每个n，存在一个最大化子^qn>0到（7.8）。另外，对于任何序列{^qn}n∈Nof最大化者：（7.9）lim infn↑∞^qnrn>0；林尚↑∞^qnrn<∞.因此，直到子序列，^qn/rn→ l 因此对于任何序列{yn}n∈确保λn | yn |→ 0:limn↑∞pa（yn，^qn；s，t，λn）=p∞a(l; s、 t）=ψ（s，t；√A.l).附录A.技术支持结果以下命题提供了主要的技术工具，以证明在无摩擦和交易成本情况下的最佳位置选择结果。为了与交易成本案例无缝结合，将结果分为多头和空头头寸。§从技术上讲：没有人会以p（1+λn）或以上的价格购买股票，因为购买股票而不交易会更可取。使其保持为λn↓ 0，我们需要pn≤ p、 我们的结果适用于pn<p.28的米切尔·安克洛佩洛斯、斯科特·罗伯逊和康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛萨。1.多头仓位。假设：假设A.1。{pn}是定义在（0，∞) 因此，对于每n，Pn是不增加且连续的存在一个γ>0，使得lim supn↑∞谱仪半定量分析≤γq | pn（q）|=C（γ）<∞.o 存在rn→ ∞ δ>0，使得0<l < 我们有limn↑∞pn(lrn）=p∞(l).o 和p∞+（0）：=liml↓0p∞(l) 和pn(∞) := 林克↑∞pn（q）我们有lim supn↑∞pn(∞) < P∞+(0).要找到收敛的最大上界，设置δ+：=supk>0 | limn↑∞pn(lrn）=p∞(l),  0≤ l < K∈ [δ, ∞].（A.1）注意，对于0l < δ+我们有pn(∞) ≤ pn(lrn）所以lim supn↑∞pn(∞) ≤ P∞(l) ≤ P∞+(0). 因此，假设a.1中第四点的充分条件是p∞(l) < P∞+（0）对于某些人l < δ+.在假设A.1下，我们得到了正头寸大小的以下结果：命题A.2。让假设A.1保持不变。

让我们pn→ §p.o如果是lim supn↑∞pn(∞) < ~p<p∞+（0）然后对于足够大的n，优化问题（A.2）infq>0（qpn）- qpn（q）），允许极小值^qn>0如果林超恩↑∞pn(∞) < ~p<p∞+（0）那么对于任何极小元序列{^qn}：（A.3）0<lim infn↑∞^qnrn.o如果加上liml↑δ+p∞(l) < ~p<p∞+（0）然后对于任何极小元序列{^qn}：（A.4）lim supn↑∞^qnrn<δ+。命题A.2的证明。首先考虑（A.2）中的最小化问题。自pn→ 有一些ε>0和Nε，因此N≥ Nε意味着lim supn↑∞pn(∞) + ε<~pn<p∞+(0) - ε. 接下来，选择l > 0足够小，因此pn<p∞(l) - ε/2. 通过扩大Nε，我们知道N≥ Nεpn(∞) ≤林尚↑∞pn(∞) + ε/2和p∞(l) < pn(lrn）+ε/4，因此（A.5）pn(∞) + ε/2 ≤ ~pn≤ pn(l注册护士）-ε/4.对于固定n，请注意limq↑∞（~pn）- pn（q））=pn- pn(∞) ≥ ε/2. 因此，如果{qmn}m∈如果是（a.2）的最小序列，那么{qmn}是有界的，因此有一个累积点^qn。我们现在证明了^qn6=0，它与qpn（q）的连续性相结合，证明了^qn>0是一个极小值。为了证明^qn6=0，我们使用了一个矛盾论点。注意，假设A.1中的γ：lim infq↓0（qpn- qpn（q））=-lim s upq↓0qpn（q）≥ -谱仪半定量分析≤γq | pn（q）|。渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价对于给定的ε，通过扩大Nε，我们可以假设对于N≥ Nεlim infq↓0（qpn- qpn（q））≥ -林世平↑∞谱仪半定量分析≤γq | pn（q）|-ε = -C（γ）- ε.但是，为了l 来自（A.5）：（A.6）lrnpn- lrnpn(l注册护士）≤ -lrnε/4。结合最后两个显示，我们得到所选的n，我们有-lrnε/4≥ -C（γ）- ε.然而，通过可能增大Nε，以及→ ∞, 我们总是可以把事情安排好-lrnε/4<-C（γ）- ε. 这导致了一个矛盾，证明了^qn6=0。现在，让{qn}是一个极小值序列。我们首先声明，lim infn↑∞^qn>0。事实上，假设有一个子序列（仍然标记为n），那么limn↑∞^qn=0。

然后我们有，使用假设A.1的γ，thatlim infn↑∞（^qn)pn- ^qnpn（^qn））=-林尚↑∞^qnpn（^qn）≥ -林尚↑∞谱仪半定量分析≤γq | pn（q）|=-C（γ）。但是，这直接违反了（A.6）中^qin的最低限度。因此，有一些K>0，所以^qn≥ K代表足够大的n。现在，假设lim infn↑∞^qn/rn=0，取一个子序列，使limn↑∞^qn/rn=0。对于所有的0<c<δ+我们看到pn- crn（pn）≥^qncrn（~pn）- pn（^qn））。（A.7）作为n↑ ∞我们知道这一点-pn（crn）→ ~p-P∞（c） ，^qn/（crn）→ 0和pn→ p.回想一下lim infn↑∞^qn≥K和假设A.1中的γ。注意，如果K>γ，那么pn（K）≤ pn（γ）=γγpn（γ）≤γsupq≤γq | pn（q）|，而如果K≤ γthenpn（K）=KKpn（K）≤Ksupq≤γq | pn（q）|。把这些放在一起会让你大吃一惊↑∞pn（^qn）≤γ ∧克里姆苏普↑∞谱仪半定量分析≤γq | pn（q）|=C（γ）γ∧因此，取n↑ ∞ 在（A.7）中给出了▄p≥ P∞（c） 。拿c↓ 0表示p≥ P∞+（0）矛盾。因此，（A.3）成立。接下来，假设lim supn↑∞^qn/rn≥ δ+取一个子序列，使limn↑∞^qn/rn=k≥ δ+.对于每个c<δ+我们有^qn/rn≥ c，因此对于任何K>0，^qn≥ K代表足够大的n。因此，我们有（A.8）Kpn- Kpn（K）≥ ^qn（~pn）- pn（^qn））≥ ^qn（~pn）- pn（crn））.30米凯尔·阿瑟罗佩洛斯、斯科特·罗伯逊和康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛斯，Kpn/^qn→ 0.此外，对于任何0<c′<δ+：lim infn↑∞pn（K）^qn≥ 林恩芬↑∞pn（c′rn）^qn=0。因此，除以^qnin（A.8）并取n↑ ∞ 收益率0≥ ~p- P∞（c） 。拿c↑ δ+给出了p≤极限↑δ+p∞（c） ，这是一个矛盾。因此，（A.4）成立。A.2。空头头寸。我们只是陈述q<0的结果，因为证明是完全相同的。首先，我们假设：假设A.3。

{pn}是定义在(- ∞ , 0）使得每n，Pn不增加且连续存在一个γ<0，使得lim supn↑∞谱仪半定量分析≥γq | pn（q）|=C（γ）<∞.o 存在rn→ ∞ δ>0，这样- δ < l < 我们有limn↑∞pn(lrn）=p∞(l).o 和p∞-（0）：=liml↑0p∞(l) 和pn(-∞) := 林克↓-∞pn（q）我们有p∞-（0）<lim infn↑∞pn(-∞).要找到收敛的最小下界，请设置δ-:= infk<0 | limn↑∞pn(lrn）=p∞(l), 0≥ l > K≤∈ [-∞, δ-].（A.9）和以前一样，我们对任何δ-< l < 0即p∞-(0) ≤ P∞(l) ≤ 林恩芬↑∞pn(-∞) 因此，上述第四点的充分条件是∞-（0）<p∞(l) 有些时候-< l < 0.主要结果如下：命题A.4。让假设A.3保持不变。让我们pn→ ■p.o如果p∞-（0）<p<lim infn↑∞pn(-∞) 然后对于足够大的n，优化问题（A.10）infq<0（qpn）- qpn（q）），允许一个极小值^qn<0如果p∞-（0）<p<lim infn↑∞pn(-∞) 然后对于任何极小值序列{^qn}：（A.11）0<lim infn↑∞-^qnrn.o如果另外p∞-（0）<p<liml↓δ-P∞(l) 然后对于任何极小元序列{^qn}：（A.12）lim supn↑∞-^qnrn<-δ-.A.3。多头和空头头寸。现在，我们将上一节的长结果和短结果合并为一个结果，用于证明第4节的无摩擦结果。这里，我们假设A.5。{pn}n∈Nis是R上的一系列函数，因此对于每n，pn是非递增且连续的存在一个γ>0，使得lim supn↑∞sup | q|≤γq | pn（q）|=C（γ）<∞.o 存在rn→ ∞ δ>0，这样|l| < 我们有pn(l注册护士）→ P∞(l).渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价31oliml→0p∞(l) = P∞(0).提案A.6。假设A.5保持并定义δ+，δ-如第（9）和（A）款所述。让我们pn→ ~p.o假设lim supn↑∞pn(∞) < P∞(0).

如果林超恩↑∞pn(∞) < ~p<p∞（0）那么对于nL足够大的优化问题infq，任何一个极小值∈R（qp- qpn（q））为正。此外，对于任何极小元序列{^qn}n∈我们有0<lim infn↑∞^qn/rn。如果加上liml↑δ+p∞(l) < ~p<p∞（0）然后对于任何极小值序列{^qn}n∈我们有那份晚餐↑∞^qn/rn<δ+.o假设p∞（0）<lim infn↑∞pn(-∞). 如果p∞（0）<p<lim infn↑∞pn(-∞) 然后，对于足够大的问题，任何最小化的优化问题infq∈R（qpn- qpn（q））为负。此外，对于任何极小元序列{^qn}n∈我们有0<lim infn↑∞-^qn/rn。如果另外p∞（0）<p<liml↓δ-P∞(l) 那么对于任何极小值序列{^qn}，我们都有thatlim supn↑∞-^qn/rn<-δ-.命题A.6的证明。我们将为lim supn证明结果↑∞pn(∞) < ~p<p∞（0）和liml↑∞P∞(l) <~p<p∞（0）分别；另一个案件的证据完全相同。首先，因为pn（0）对每个n都有很好的定义，所以我们有0××pn- 0×pn（0）=0。此外，对于ε>0，使lim supn↑∞pn(∞) + ε<p<p∞(0) -ε对于q<0和n，我们有足够大的qp- qpn（q）≥ qp- qpn（0）≥ -qε/2>0，但是，从（A.6）我们可以看到l > 0所以lrnpn- lrnpn(lrn）<0。因此，在q>0的情况下最小化是必要的，因此命题A.2给出了（0，∞), 以及上述极小化子的共感行为^qn/rng，完成了结果。附录B.第4.1节的证明定理4.3和4.4的证明基于我们在附录a中证明的更一般的结果。因此，作为定理4.3和4.4证明的前提，我们首先证明函数pn（q）：=pnan（q）满足上述假设a.5。引理。假设2.1、2.2、3.3和4.1成立。然后，pn（q）：=pnan（q）满足假设A.5。引理B.1的证明。

如第3.1节所示，pnan（q）在q和map q 7中都在减小→ qpnan（q）是一个概念明确的概念，适用于所有q∈ 因此，pnan（q）是连续的(-∞, 0）和（0，∞) 分别地但是，众所周知，0处的连续性也遵循limq→0pnan（q）=EQn[B]=pnan（0）=dn。因此，假设A.5中的要点一成立。关于第二点，让γ>0。If0<q≤ 那么对于任何0<l < δ+和n足够大，因此rn≥ l/γ：pnan（q）≤ pnan（0）=dn=EQn[B]；普南（q）≥ 普南(l32米切尔·安克索佩洛斯、斯科特·罗伯逊和康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛西夫-γ ≤ 对于任何δ，q<0-< l′< 0和n，所以rn≥ -l′/γ：pnan（q）≥ pnan（0）=dnEQn[B]；普南（q）≤ 普南(l′rn）。原名：林超恩↑∞sup | q|≤γq | pnan（q）|≤ γmax|d |，| p∞(l)|, |P∞(l′)|= C（γ）和子弹头2保持。第三点和第四点是假设3.3，完成了结果。定理4.3的证明。对于pn∈ 在本文中，最优位置^qn（^pn）是问题（4.3）的唯一解。使用Uanin（2.1）和pnanin（2.6）的显式公式，该优化问题相当于发现（B.1）^qn（~pn）∈ 阿格明克∈Rqpn- qpnan（q）.一旦满足必要的假设pn（q）=pnan（q），定理的结果将遵循命题A.6。根据引理B.1，假设A.5成立。现在，让我们∈ In.~pn→ ~p，其中~p和~p<d.自pn起(∞) ≤ ■Pn和d=p∞我们有晚餐↑∞pn(∞) = 林尚↑∞Bn≤ 画↑∞~pn=~p<d=p∞(0).因此，定理的结论来自命题A.6。同样地，我们来看看pn∈ In.~pn→ §p，其中自pn起(-∞) ≥ ■Pn和d=p∞（0）我们有信息↑∞pn(-∞) = 林恩芬↑∞十亿≥ 画↑∞~pn=~p>d=p∞(0).因此，定理的结论也遵循命题A.6，从而得出结论。定理4.4的证明。

在定理4.3的证明中，只要证明在pn（q）=pnan（q）和（B.1）中给出的最佳位置^qn（~pn）中满足了命题A.6的必要假设就足够了。同样，根据Emma B.1，我们假设A.5成立。现在，让我们∈ In.~pn→ ~p，其中~p和∞（δ+）<p<d.自pn起(∞) ≤ ■Pn和d=p∞我们有晚餐↑∞pn(∞) = 林尚↑∞Bn≤ 画↑∞~pn=~p<d=p∞(0).因此，定理的结论来自命题A.6。同样地，我们来看看pn∈ In.~pn→ ~p其中~pand p∞(δ-) > ~p>d.自pn起(-∞) ≥ ■Pn和d=p∞（0）我们有信息↑∞pn(-∞) = 林恩芬↑∞十亿≥ 画↑∞~pn=~p>d=p∞(0).因此，定理的结论也遵循命题A.6，从而得出结论。推论4.6的证明。例如，设为pn→ ~p∈ （p∞（δ+，d）使0<l= 林恩芬↑∞^qn（~p）rn≤ 林尚↑∞^qn（~pn）rn=\'l < δ+.渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价为^qn^qn（~pn），并假设某些子序列（仍标记为n）为^qn/rn→ l ∈ [l,l]. 让τ∈ [l,l]. 通过^qn^qnpn的最优性- ^qnpnan（^qn）≤ τrn~pn- τrnpnan（τrn）。除以rn，让n↑ ∞ 使用假设3.3和（3.7）得到l~p-lP∞(l) ≤ τp-τp∞(τ).因为这适用于所有τ∈ [l,l], 我们明白了l~p-lP∞(l) ≤ infτ∈[ l,l]（τp）- τp∞(τ)) .因此，我们看到^qn/r的唯一可能极限点是l~p- lP∞(l) 结束[l,l].但是，在严格的凹度假设下lP∞(l) 任何极小值都是唯一的，因此结果如下。定理4.10的证明。我们开始证明第一个要点，也就是说，我们证明了（4.20）中的最优购买量问题存在最大化者。

为此，我们使用以下基本结果（见[17，命题2.47]）：∈ 当使用αU时，它为Uafrom（2.1）保留的“αUof（4.16）”为≡ a thatU（x）=F（UaU（x））；F（t）=U（U）-1aU（t））=U-奥洛格(-aUt）;U\'aU（x）=^F（U（x））；^F（t）=UKaU（U-1（t））=-“奥伊-“奥乌-1（t），其中F，^F是凹的并且是递增的。因此，根据Jensen不等式，对于任意一组随机变量sz:^F-1.苏普兹∈ZE[U¨aU（Z）]≤ 苏普兹∈ZE[U（Z）]≤ F苏普兹∈泽UaU（Z）,^F在哪里-1（s）=U(-（1/aU）对数(-“aUs”）正在严格增加。因此，美国-“奥洛格-“aUun”aU（x）-qpn，q）≤ 联合国大学（x）-qpn，q）≤ U-奥洛格-奥乌纳（x）- qpn，q）.因为对于a>0的任何一个，una（x- ~pnq，q）=e-a（x）-~pnq）una（0，q），我们从（2.6）中得到-“奥洛格(-\'aUun\'au（0））+x- <<pnq+qpn>>aU（q）≤ 联合国大学（x）- ■pnq，q）≤ U-奥洛格(-奥努纳（0））+x- ■pnq+qpnaU（q）.（B.2）现在，让我们∈ In=（Bn，\'Bn）。作为limq↑∞pnaU（q）=Bn，limq↓-∞pnaU（q）=Bnwe havelim | q|↑∞q（pnaU（q）- ~pn）=-∞,34 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos，因此来自（B.2）和limx中的第二个不等式↓-∞U（x）=-∞ （来源于（4.17）WeActainLimq↑∞联合国大学（x）- ~pnq，q）=-∞, 林克↓-∞联合国大学（x）- ~pnq，q）=-∞.作为U（x）- ■pnq-|q | kBkL∞) ≤ 联合国大学（x）- ■pnq，q）≤ 0，任意最大化序列{qnm}m∈n必须有边界并有一个累积点^qn。现在，联合国大学（x）- ■pnq，q）允许变分表示（见[32]）（B.3）unU（x- ~pnq，q）=infQn∈~Mn，y>0y（x- ~pnq）+yqEQn[B]+E“VydQndPFT！#！，式中（B.4）V（y）：=supx∈R（U（x）- xy）。因此，我们看到q 7→ 联合国大学（x）- ~pnq，q）是凹的，因此在R上是连续的，而^qnis确实是一个最大化子。我们下一个节目是p∞（δ+）<p<d和In ~pn→ §p（4.21）中所包含的（4.22）中关于否定位置的相应证明被省略，因为它是完全相同的）。我们首先声称，对于足够大的n，任何最大化者^q都是正的。

的确，自从→ d其中dn=EQn[B]=pna（0）（对于任何a>0）和p<d，pn→ ~p我们可以找到足够大的n，以便~pn<dn。因此，对于q<0，我们有（因为对于任何a>0，pna（q）在q中减小）qpnau（q）-qpn≤ q（dn）- ~pn）≤ 0.鉴于（B.2），这意味着q≤ 0表示（B.5）联合国大学（x）- ■pnq，q）≤ U-奥洛格-奥努纳（0）+ 十、.现在，让我们l > 是这样吗l\'aU/a<δ+。在q=l我们有(l注册护士）- ~pn=pna（`aU）l/（阿恩）- ~pn→ P∞（‘aU’l/（a）- ~p.~p<p∞（0）和p∞在0处连续，我们可以找到一个l 足够小，因此上述数量对于n大来说严格为正。因此，从（B.2）我们可以看到- ~pnlrn，l注册护士）≥ U-“奥洛格(-\'aUun\'au（0））+x- ~pnlrn+lrnpn“aU(lrn）.作为n↑ ∞ 考虑到假设4.9，上面的右手边收敛到0，而（B.5）的右手边在某些常数C的U（C+x）<0的范围内。因此，对于足够大的n，最大值可以是非正的。现在，让{^qn}n∈Nbe一系列（正）最大化器。我们用矛盾证明了（4.21）中的下界；i、 e.假设lim infn↑∞^qn/rn=0，取一个序列（仍然标记为n），其中^qn/rn→ 0.让0<l < δ+aU/a，并假设^qn/rn≤ l. 由于^qnw是一个优化器，我们从（B.2）中得到-“奥洛格(-\'aUun\'aU（0））+x- ~pnlrn+lrnpn“aU(l注册护士）≤ -奥洛格(-奥努纳（0））+x- ~pn^qn+^qnpnaU（^qn）。渐近完全市场中未定权益的定价与最优头寸lrn>0-l罗格(-\'aUun\'aU（0））+xl注册护士-~pn+pn\'aU(l注册护士）≤ -l纳乌洛格(-奥努纳（0））+xlrn+^qnl注册护士pnaU（^qn）- ~pn.对于任何a>0，-（1/a）≤ una（0）=-（1/a）e-H（Qn | P）。此外，从（2.7）开始，它适用于任何a，b>0的pna（q）=pnb（aq/b）。因此，根据假设3.3和4.9p∞“aUlA.- ~p≤ 林恩芬↑∞^qnl注册护士pnau（^qn）- ~pn= 0，其中自^qn/rn之后的最后一个等式→ 0，~pn→ ~p和| pnaU（q）|≤ kBkL∞. 拿l ↓ 0表示p≥ P∞（0）矛盾。

因此，lim infn↑∞^qn/rn>0。为了获得（4.21）中的上限，我们首先声明（B.6）pnU（x，^qn）≥ ~pn。假设（B.6）（4.21）中的上界如下：的确，假设lim supn↑∞^qn/rn=k≥ δ+取一个子序列（仍然标记为n），使^qn/rn→ k、 让0<l < δ+使^qn/rn≥ l 为了拉吉诺。由于pnU（x，q）在q中减少，（B.6）意味着pn≤ pnU（x，lrn）。拿n↑ ∞ 给出p≤ P∞(l)然后服用l ↑ δ+给出p≤ P∞(δ+). 但是，这是一个矛盾，因此（4.21）成立。为了证明（B.6），回到（B.3）。写出ZQ，n:=dQn/dP | FT.从（B.3）开始，对于（B.7）联合国大学（x）的任何y>0，它如下- ■pnq，q）- 联合国大学（x）y+~pnq≤ qEQn[B]+y超高压（yZQ，n）i+xy-联合国大学（x）.考虑问题（B.8）infy>0y超高压（yZQ，n）i+xy-联合国大学（x）.根据[33，引理A.4]地图y 7→ EV（yZQ，n）可与导数E微分ZQ，nV′（yZQ，n）.因此，我们看到上面这张图的导数是yEhyZQ，nV′（yZQ，n）- V（yZQ，n）i+unU（x）=yE“ZyZQ，nτV′（τ）dτ#+unU（x）！，其中最后一个等式是自（d/dτ）（τV′（τ）之后的等式- V（τ））=τV′（τ）和自U∈ Ualislimτ↓0τV′（τ）=limτ↓0V（τ）=0。自从你∈ 假设4.9意味着unU（x）<0，V的严格凸性产生唯一的yQ，解（B.8），并且满足一阶条件-unU（x）=E“ZyQ，nZQ，nτV′（τ）dτ#。简单的计算表明τV′（τ）=1/αU（I（τ）），其中I（τ）=（U′）-1(τ). 自从你∈ 我们看到ZQ，n= 1给出“aUyQ，n”≤ -联合国大学（x）≤北卡罗来纳州奥伊克市36号米切尔·安克索佩洛斯、斯科特·罗伯逊和康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛索等-奥努（x）≤ yQ，n≤ -欧努（x）。用这个yQ，nin（B.7）givesunU（x- ■pnq，q）- 联合国大学（x）yQ，n+~pnq≤ qEQn[B]+yQ，n超高压（yQ，nZQ，n）i+xy-联合国大学（x）= qEQn[B]+infy>0y超高压（yZQ，n）i+xy-联合国大学（x）.我们已经证明了一个^qn>0的存在，它使联合国大学（x）最大化- ~pnq，q），并表明对于足够大的un（x- ^qn，^qn）>联合国大学（x）。