未定权益的定价与渐近最优头寸

这意味着≤ (-qn*)普南(-qn*|恩）-pn*< (-qn*)普南(-qn*|恩）- EQn[B]+c,第一个不平等性之所以存在，是因为-qn*对于投资者2来说，以pn价格是最理想的*, 对于每个n.使用关系（5.8）和表示（2.7），我们得到（回忆定义（5.2））0<Pnan(-qn*B+En）qn*-Pnan（En）qn*+ EQn[B]- c=infQ∈~Mn情商-B+Enqn*+安康*（H（Q | P）-H（Qn | P））-Pnan（En）qn*+ EQn[B]- C≤ EQnEnqn*-Pnan（En）qn*- C≤ 2 | | En | | L∞qn*-c=2 | | En | | L∞rnqn*- c、 自从| |恩| |L∞/注册护士→ 0和rn/qn*→ 1/l 因此，c≤ 0，自c>0以来的矛盾。同样，当EQn（0）[B]<EQn（0）[B]时，对于足够大的n，则qn*< 0到一个子序列qn*/注册护士→-l < 0.在本例中，我们使用相同的参数来表明-qn*对于投资者1而言，对于足够大的n而言，这可能不是最佳选择。最后，^p>d的情况与上述分析对称，因此省略了。然而，撤回假设| | Eni | | L∞/注册护士→ 0可以给出一些有趣的例子，其中均衡价格收敛到一个不同于极限市场唯一无套利价格的价格，并出现定理4.3，4.4。下面的命题给出了一系列这样的例子。提议5.4。假设2.2、4.1和4.7成立。对函数pn（p）施加假设3.3，风险规避常数等于1，对相应函数qp施加假设4.5∞（q） 。如果foreach n∈ N和i=1，2，ain≡ 艾兰德埃尼≡ bniB，对于某些ai>0和bni∈ R、 如下陈述：渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价21i。对于每个市场n∈ N、 独特的PEPQ对（pn*, qn*) 由q给出*n=（abn）- abn）/（a+a）和pn*= 情商-荷兰银行[B]，其中1/a:=1/a+1/a和bn:=bn+bn。二、让每个n∈ N、 bn=κrn，对于某些κ∈ （0，δ+/a）和bn=b∈ R、 我们明白了→∞qn*/rn=l > 0和pn*→ ^p<d.证明。

第一项i.的证明基于相关文献的标准参数（例如参见[5]中的定理3.2]）。我们记得平衡量是优化问题（5.5）的解，这要归功于函数q 7的严格凹性→ qpnai（q | Eni）我们对任何q都能得到∈ R和everyn∈ N、 qpna（q | En）+pna(-q | En）≤ bnpna（bn）。然后我们观察到，实际上bnpna（bn）=qn*pna（qn*|En）+pna(-qn*|恩）, 也就是说qn*是指平衡量。均衡价格*等于情商-abn[B]后面紧跟着（5.6）。对于第二项，我们有q*n/rn=（aκrn）- ab）/（a+a）→ aκ/（a+a）>0。自pn以来*是每n的均衡价格，我们有pn*< pn（qn*|嗯，自从qn*是投资者1的最佳位置，价格为pn*. 然后通过使用引理5.1证明中的表示（5.8），我们得到了thatlimn→∞pna（q*n | En）=limn→∞pna（aκrn/（a+a））=p∞（aκ）。还记得吗*= 情商-abn[B]并注意到函数q7的严格凹性→ qpna（q | En）和方程（5.9）给出了pn*n在减少，因此它有一个极限点，因此，我们有limn→∞P*n=^p≤ P∞（aκ）<p∞（0）=d，其中最后一个严格不等式遵循假设4.5。命题5.4表明，在某些情况下，均衡数量增加到单位，同时均衡价格不同于限制性无套利价格。重要的是要指出，即使限制价格不同于d，两个投资者都以均衡价格最优行事。当然，重要的因素是，其中一个投资者被赋予了在债权上的巨大地位，她愿意以一个促使另一个投资者以最佳方式进入大额债权制度的价格出售其部分头寸。

换句话说，只要市场中的一些参与者已经面临与可交易衍生品的收益高度相关的风险，5.4号提案就调整了一些场外衍生品市场的较大交易量和相应的极端价格。这种情况符合近年来观察到的极端交易量和价格，例如在抵押贷款证券市场。备注5.5。命题5.4的证明可以很容易地推广到以下情况：禀赋的形式为Eni=bniB+Eni，命题5.4中的BNIA和Eni的选择是有界的随机禀赋，即| | Eni | L∞/注册护士→ 0.6. 假设3.3的力量在于其在各种模型中的有效性。在本节中，我们将给出四个经过充分研究的市场模型示例。然后，在下一节中，我们将特别关注一个例子，22 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos，以及交易成本。值得注意的是，即使标准对偶结果不再适用，假设3.3的一个版本仍然成立，更重要的是，定理4.3和4.4.6.1的结论也成立。在固定市场中消除风险厌恶。如第3.1.1节所示，对于固定市场，如果风险规避消失（即→ 0）那么假设3.3成立，rn=a-1与p∞(l) = p(l). 此外，由于可接受的交易策略类A是一个锥，它遵循任何qn，即^πan（qn）=（1/an）^π（anqn）。所以，对于qn=lrn=l/an，不仅无差异价格会轻微收敛，而且最优交易策略是明确已知的，即（1/an）^π(l) = rn^π(l) = （qn）/l)^π(l). 请注意，在这种情况下，标准化的最优交易策略通常会收敛，但不一定提供华硕对冲。6.2. 具有高度相关性的基础风险模型。

[12,21,33,38]等中详细讨论了这个例子。这里，对于每n个风险资产，我们有一个根据SNTSNT=u（Yt）dt+σ（Yt）演变的风险资产SNTρndWt+p1-ρnd~Wt,dYt=b（Yt）dt+a（Yt）dWt，其中W和W是两个独立的布朗运动。过滤概率空间是标准的二维增广维纳空间。系数a、b具有适当的规律性，因此Y具有唯一的强解，取R的开放子集E中的值。将λ：=u/σ作为风险的市场价格，并假设σ（Y）>0，Y∈ 对于E上的连续有界函数B，λ在E上有界。如[33，第5.3节]所示，Bn=B=infy∈EB（y）和“Bn=”B=supy∈所有n.集合rn=（1）的EB（y）- ρn）-1.如[38]所示（另见[33]），对于固定风险规避a>0和l ∈ Rl 6=0:pna(lrn）=-A.l日志Ehe-ρnRTλ（Yt）dWt-RTλ（Yt）dt-A.lB（YT）iEhe-ρnRTλ（Yt）dWt-RTλ（Yt）dti.对于l = 0一hasdn=pna（0）=EQn[B（YT）]=Ehe-ρnRTλ（Yt）dWt-RTλ（Yt）dtB（Yt）iEhe-ρnRTλ（Yt）dWt-RTλ（Yt）dti。因此，如果ρn→ 1（高相关性极限）然后rn→ ∞ 安德林↑∞pna(lrn）=p∞(l) = -A.l日志EQhe-A.lB（YT）i; l 6= 0;画↑∞pna（0）=p∞（0）=EQ[B（YT）]，其中Q是ρ=1市场中的唯一鞅测度，其中过滤仅限于FW。此外，使用l\'Hopital的规则可以得到liml→0p∞(l) = 等式[B（YT）]=p∞（0）因此假设3。3满足δ=∞.渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价236.3。交易限制消失的大型市场。下一个例子是[34]中考虑的一般半完整设置的简化版本。这里(Ohm, F、 假设P）支持一系列独立的布朗运动W，W。。。。过滤是FW，W，。。。。有一系列（可能可交易的）资产。。。

动态位置=uidt+iXj=1σijdWjt；i=1,2,3。。。，其中u=（u，u，…）满足感∞i=1（ui）<∞ σ是对称矩阵∑的下三角平方根=∑iji、 j=2,1，。。。，假设正定义，因此对于某些λ>0和所有ξ=（ξ，ξ，…）withP∞i=1（ξi）<∞, 我们有ξ′∑ξ≥ λξ′ξ.索赔（在人寿保险市场中是典型的）以独立的、FWIAdapted索赔Bi:B=P的总和给出∞i=1Bi。为了使B得到充分定义，并便于进行大额索赔分析，我们假设λBii<∞, i=1，2。。。安德普∞i=1logEheλBii< ∞ 总而言之λ∈ R.对于n=1，2。。。我们通过限制第一批资产的交易来构建第四个市场。因此↑ ∞这种说法是渐进可对冲的，尽管对于每个n，市场都是不完整的。如[34]所示，Bn=dn+ess infP[Yn]和‘Bn=dn+ess supP[Yn]，其中dn是pni=1bian和Yn:=P的唯一复制资本∞i=n+1Bi。根据假设3.3，dn→ d=等式[B]，其中Qi是极限完全市场中的唯一鞅测度。辛塞普∞i=1logEheλBii< ∞总而言之λ∈ R、 我们知道limn↑∞E伊恩= 0.进一步假设Yn足够快地收敛到0，从而满足具有缩放rn的LDP→ ∞ 好的速率函数I使得{I=0}={0}。最后，假设对于某些δ>0，|λ|<δ意味着（6.1）lim supn↑∞注册护士∞Xi=nlogEheλrnBii< ∞.例如，如果Bi~ N（0，δi），带p∞i=1δi<∞. 修正风险规避an=a>0。如[34]所示，在l = 我们有limn↑∞pna（0）=d=p∞(0). 此外，对于0|l| < δ/alimn↑∞pna(lrn）=p∞(l) = D-A.lsupy∈R(-l嗯- I（y））。此外，从I（y）=0可以得出<-> y=0，（6.1）和I的下半连续性，它遵循liml→0alsupy∈R(-l嗯- I（y））=0，所以p∞(l) → d=p∞（0）作为l → 因此，假设3.3成立。最后，在[34]中还显示，对于所有q∈ R（2.10）的标准化剩余风险过程^Yna（q）正是Yna，因此不依赖于q.6.4。

违约概率为零的Black-Scholes-Merton模型。该示例取自[25]，其设置与[29]中的设置类似。这里，我们考虑Black-Scholes-Merton模型，除了股票可能在独立泊松过程的第一跳时违约。该索赔是24米切尔·安科罗佩洛斯、斯科特·罗伯逊和康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛斯可违约债券，如果该股票在时间T之前未违约，则支付1。债券持有人希望通过交易Sn来对冲索赔，但需要考虑违约事件，因为在违约发生后，股票停留在0。固定n，让λn>0。对于每个n，假设概率空间支持布朗运动，并且是一个强度为λn的独立泊松过程nn。用nn表示补偿泊松过程，因此Nnt=Nnt- λn（τn）∧ t） 式中τn=inf{t≥ 0:Nn=1}。过滤是由NNA和W生成的，经过增强，以满足通常条件。（单一）风险资产根据SNTSNT-= 1t≤τn（udt+σdWt）-dNnt，=1t≤τn（u+λn）dt+σdWt- dNnt.该索赔是一种可违约债券，如果SNT在T之前违约，则支付1：即B=1τn≤T。这里，Bn=0和¨Bn=1，这是因为我们可以等效地改变默认强度，取任何正值。因此，假设4.1成立，即使d=1，因此d为6∈ 如[25]所示，una（0，q）=-aFn（0；q），其中Fn（·；q）解ODE˙Fn（t；q）-λFn（t；q）-u2σFn（t；q）+minφσφFn（t；q）+λneμσ-φ= 0; T≤ T、 Fn（T；q）=e-aq。很容易看出，上述最小化中的最优^φ满足^φn（t；q）e^φn（t；q）=λn（Fn（t；q））-1eμσ，其中可以证明Fn（t；q）>0。现在，让λn↓ 0（消失默认概率）并设置rn=-对数（λn）。

qn=lrn，你可以证明这一点l < 1/a:limn↑∞pna(lrn=limn↑∞-l阿诺Fn（0；lrn）Fn（0；0）= P∞a(l) = 1.辛塞利姆l→0p∞a(l) = 1=limn↑∞pna（0），我们看到假设3.3是满足的，尽管地图l 7.→ lP∞(l) = l 并不是严格意义上的凹形。7.BLACK-SCHOLES-MERTON模型中的交易成本为零在本节中，我们证明了极限无差异价格的存在，以及由此产生的关于最优位置的陈述，甚至扩展到了有摩擦的模型，其中第2节中使用的标准对偶结果并没有得到充分的发展（见[11]）。因此，这个例子有自己的章节由于声明依赖于n，因此它不能精确地进入第2节的设置。然而，正如对附录A中命题的检查所示，定理4.3、4.4的结果很容易扩展到一系列一致有界的权利要求。渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价25我们考虑了具有比例交易成本的Black-Scholes-Merton模型，如[4,6,10,13,20,23,27,28,35]中所研究的。我们采用[10]的方法，尤其是[4,23]。使用[4]的符号，股票S根据几何布朗运动（7.1）dStSt=udt+σdWt演化；T≤ T.这里，过滤概率空间是标准的一维维纳空间。现在，Fix a time t≤ Tand s>0，并假设St=s。分别用X和Y表示货币市场中美元持有量和与交易策略L、M相关的股票持有量的过程，其中Lt=Mt=0，L表示从货币市场到股票的累积转移（股票股份），而Mr表示从股票到货币市场的累积转移。我们用（L，M）的集合表示，其中L，M是自适应的，非递减的，左连续的，Lt=Mt=0。

存在成比例的交易成本λ∈ （0，1）通过交易。换句话说，对于给定的初始位置（x，y），其中x∈ R是它们的初始资本，y是它们的初始资本∈ R在S中持有的初始股份，相应的过程按照toXτ=XL，M，x，tτ=x演变-ZτtSu（1+λ）dLu+ZτtSu（1）- λ） dMu；T≤ τ ≤ T、 Yτ=YL，M，Y，Tτ=Y+Lτ- Mτ；T≤ τ ≤ T.（7.2）索赔B是S:i.e.B=（ST）上的欧洲看涨期权- K） +，并假设投资者正在考虑出售看涨期权。对于固定风险规避a>0的指数型投资者，无索赔的价值函数由（7.3）ua（x，y；s，t，λ）=supL，M给出∈AtEs，t[Ua（XT+YTST）]。这里，Es，t[·]指给定St=s的时间t条件。呼叫q单位的值函数为（7.4）ua（x，y，q；s，t，λ）=supL，M∈阿特斯，tUa（XT+YTST）- q（圣- K） +）.然后通过平衡方程（7.5）ua（x+qpa（x，y，q；s，t，λ），y，q；s、 t，λ）=ua（x，y；s，t，λ）。备注7.1。因此，pa（x，y，q；s，t，λ）是平均无差别报价，而不是第2节中定义的平均无差别报价。然而，使用第2节和定义（5.7）中关于一般索赔B的论点，买卖价格由paska（q；B）=-pbida（q；-B） 其中pbida（q；B）表示平均投标价格（1/q）pbida（qB）。尽管[4]中的结果在消失交易成本（即λn）的联合限制中说明→ 0）和明确的风险规避（即a=→ ∞), 它们很容易（正如作者所提到的）转化为λn的联合极限的渐近性→ 0和q=qn→ ∞ 对于固定的风险规避a.这种翻译在以下命题中是精确的。26 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos 7.2提案。修正s>0，0≤ T≤ T，x∈ R、 y∈ R、 λ∈ （0,1）和a>0。（ask）无差异价格与x无关，因此写pa=pa（y，q；s，t，λ）。

现在，让λn→ 0并设置rn:=λ-2n。对于l > 0和qn=lrn=lλ-2.我们已经有了一切↑∞λn | yn |=0:limn↑∞pa（yn，qn；s，t，λn）=p∞a(l; s、 t）：=ψ（s，t；√A.l),其中对于b>0，ψ（；b）：（0，∞) ×[0，T]7→ R是非线性black-Scholes偏微分方程ψt+σsψss的唯一连续粘性解1+S（bsψss）= 0; （s，t）∈ (0, ∞) ×（0，T）；ψ（s，T）=（s- K） +；s∈ (0, ∞);林斯↑∞ψ（s，t）s=1；T≤ T在T.（7.6）中均匀分布，这里是S:r7→ (- 1.∞) 满意度（A）=1+S（A）pAS（A）- A.S（0）=0；利马↓-∞S（A）=-1.利马↑∞S（A）/A=1。备注7.3。上述结果允许YNY发生变化，因为直觉上，调用中QNN的位置大小将与股票中qny的初始位置相关联∈ R.注意，对于yn=qny=lyλ-2nwehaveλn|yn |→ 0.为了获得与定理4.3、4.4类似的最佳位置选择结果，首先需要确定限制价格p的范围∞a(l; s、 t）在提案7.2中l 在0到之间变化∞. 换句话说，我们必须考虑小b和大b的ψ（；b）的渐近性↓ 下面的定理7.4证明了ψ（s，t；b）的连续性→ ψ（s，t；0）。但是，对于b=0，（7.6）只是正规的Black-Scholes偏微分方程，它允许一个唯一的（显式的）经典解。因此l ↓ 0时，限制无差异价格收敛于完全市场中的唯一价格，λn=0，给定St=s。定理7.4。设ψ（；b）：（0，∞) ×[0，T]7→ R是非线性Black-Scholes偏微分方程（7.6）的唯一连续粘性解。然后作为b→ 0，我们有一个局部一致的ψ（；b）→ ψ（；0），其中ψ（；0）是线性Black-Scholes偏微分方程的唯一连续解。接下来，我们确定ψ（；b）的极限为b↑ ∞. 在这里，我们的直觉告诉我们，作为股票波动率的函数，随着波动率变大，看涨期权的Black-Scholes价格收敛于初始价格。

事实上，这里也出现了类似的现象↑ ∞, 如下所示：定理7.5。对于固定值>0，0≤ T≤ 这张地图不是B7吗→ ψ（s，t；b）随着（7.7）的增加而增加↑∞ψ（s，t；b）=（s）- K） +t=Ts 0≤ t<t.备注7.6。对下面定理7.4的证明的检查表明，ψ（s，t；b）在b中不断增加。因此，如果qn=lnrnwherelN→ l ≥ 然后无差异价格收敛到ψ（s，t；√A.l).渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价∞a(l; s、 t）在适当的情况下，我们现在考虑交易成本为λn的第n个市场中的最优销售数量问题。为了简化表示，我们假设给定St=s，投资者有机会在第n个市场中以pn的价格出售看涨期权。为了筹集这笔交易的资金，投资者兑现了她在股票中的初始头寸，获得Y（1）-λn）用于出售y股。然后，用x+ys（1-λn）在现金方面，她通过解决问题（7.8）supq>0ua（x+ys（1）来确定出售期权的最佳数量-λn）+qpn，0，q；s、 t，λn）。在无摩擦的情况下，如果在N市场中无套利（见[24]），则最优^qnexistand是唯一的。在考虑交易成本时，我们使用小的和大的价格，而不是确定每个市场中的无套利价格l p的渐近性∞a(l; s、 t）在定理7.4、7.5中获得，以确定可出售期权的合理价格的最大范围。事实上，从上述理论来看l↓0p∞a(l; s、 t）=ψ（s，t；0）；林l↑∞P∞a(l; s、 t）=s。众所周知，ψ（s，t；0）<s。此外，如果要出售期权，交易成本的影响是，要价a）应至少与ψ（s，t；0）一样大，b）不高于p，因为没有人会以该价格购买§。因此，唯一合理的销售价格范围是（ψ（s，t；0），s）。