未定权益的定价与渐近最优头寸

接受期望yieldsdn- pna（q）=aqqnhh^Lna（q）iTi，我们记得dn=EQn[B]。如第3.1.2节所述，假设3.3意味着pna（q）→ dand limn↑∞EQnhh^Lna（q）iTi=0，这反过来意味着h^Lna（q）iT和^Lna（q）Tgo都为零的可能性为n→ ∞. 因此，对于固定位置尺寸，我们考虑到（4.13），即-（1/q）^Xna（0）T+B-d在QN概率中变为零，因此，在附加的连续性假设下，索赔是渐近可对冲的。这使得假设3.3和第3.1.2.4.4节中提到的消失对冲误差之间的联系更加精确。关于rn的一个特征。与上一节一样，我们将假设设为2.2、3.3、4.7和4.8倍。利用[30]的结果，我们给出了rnas的一个特征，从某种意义上讲，它正好解释了rnas的解释，即市场完成的速度。回顾（3.5），（4.12）和正规化正交鞅Lna（qn），我们得到dn=pna（qn）+aqnEQnhhLna（qn）iTi。现在，让qn=l对一些人来说|l| < δ（根据推论4.6和（3.7）基本上包括最佳位置的情况）。因此，我们有（4.15）limn↑∞rnEQnhhLna(lrn）iTi=d-P∞(l)A.l.这符合“渐近完全”的情况。最优位置^qn下的归一化套期保值误差≈ lRn近似为（直到一个乘法常数）EQnhhLna(l（rn）iTi。如果市场变得完整，我们预计n→ ∞EQnhh~Lna(lrn）iTi→ 0.它变为0的速度因此变成r-1在这种规模下，我们的价格趋于一致。在第6节和第7节中，我们研究了一些可以显式计算Rn的例子。我们希望有一个明确描述rn特征的抽象公式，因为（4.15）包含rn，在规范化套期保值误差hLna内(lrn）i.注意（4.15）适用于所有人|l| < δ.

因此，人们倾向于将限制视为l → 两边各0，如果可以交换n↑ ∞ 限制l → 0极限，在期望值内通过后一个极限，如果p∞(l) 严格递减且可微l = 0，那么对于n个大的enoughrn≈ -2˙p∞（0）a×EQnhhLna（0）iTi。这里是r的解释-1作为一个市场不完全性因素，它要透明得多。事实上，通过渡边坤田分解-B关于L（Qn；FT）的子空间，通过Snso交易产生的渐近完全市场中的未定权益和最优头寸的定价，B=EQn[B]-ˇLnT-ˇXnT。然后，如[30，第6.1节]所示，我们在L（Qn；FT）limq中有以下限制↓0~Lna（q）T=ˇLT；林克↓0~Xna（q）T-q^Xna（0）T=ˇXnT。换句话说，Lna（0）描述了与B相关的对冲误差，其大小为EQnhhLna（0）iTi∝ R-1n。苏尔-1 NACTS作为市场不完全性因素，随着市场变得完整，我们看到rn→ ∞.这句话的推导当然是启发性的。这一结果的严格证明似乎相当困难，但我们仍然提出了这一论点，因为它为问题提供了更多的直觉。我们选择将这个结果的严格推导和进一步的结果作为未来有趣的工作。4.5. 一般公共设施的最佳位置。定理4.3和4.4中的最佳位置选择结果很容易推广到实线上的一般效用函数。这基本上来自[33]。在本节中，我们将风险规避定义为a>0。将UAR定义为R（即U）上的效用函数类∈ C（R），严格递增和严格凹）满足oU的绝对风险规避在两个正常数之间：即。

对于0<aU</aU:（4.16）aU≤ αu（x）：=-U′（x）U′（x）≤ “aU；十、∈ R.o对于大型负财富，U以a的速率指数衰减：即（4.17）limx↓-∞-xlog(-由（4.16）可知，U在R上从上到下是有界的，因此通过标准化我们假设0=U(∞) = 利克斯↑∞U（x）。从[33，第2.2节]可以看出∈ UAA满足了Inada条件的极限↓-∞U′（x）=∞, 利克斯↑∞U′（x）=0和合理的渐近弹性条件↓-∞xU′（x）/U（x）>1，lim supx↑∞许′（x）/U（x）<1。与（2.2）和（2.3）类似，定义第n个市场中的价值函数，初始资本x和索赔的q单位为unU（x，q），如果q=0，我们写unU（x）。与（2.4）类似，将pnU（x，q）设置为通过公式（4.18）unU（x）确定的（平均，出价）公用事业无差别价格- qpnU（x，q，q）=联合国大学（x）。所以pnU（x，q）对于x，q有很好的定义∈ R我们假设索赔是有界的：即我们执行假设4。7.在假设2.2和4.7下，从[32]可以得出x，q∈ R、 pnU（x，q）定义明确，无套利，q随限制而减少（回忆（4.2））limq↓-∞pn（x，q）=Bn，limq↑∞pn（x，q）=Bn，对于每个n.为了将U的极限价格与指数效用的极限价格联系起来，我们在假设4.9中另外执行了渐近无套利条件，并且回顾一下，使用[33，定理3.3]，它遵循假设2.2，3.3，4.7和4.9，对于所有x∈ R和0<|l| < δ：（4.19）limn↑∞pnU（x，lrn）=p∞(l).16 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS SPILIOPOULOSAsl = 0，因为假设3.3意味着p∞pnU（x，q）的单调性为0<l < δthatp∞(l) = 画↑∞pnU（x，l注册护士）≤ 林恩芬↑∞pnU（x，0）≤ 林尚↑∞pnU（x，0）≤ 画↑∞pnU（x，-lrn）=p∞(-l),所以l ↓ 0我们得到pnU（x，0）→ P∞(0).

现在，对于给定的无套利价格pn∈ 在本文中，我们考虑最优购买问题（4.20）supq∈R（联合国大学（x）- ~pnq，q）。与[24]的结果产生唯一最大化子的指数情况不同，据我们所知，这里没有关于优化器存在/唯一性的已知结果（关于定义在正轴上的效用函数的结果，请参见[36]）。然而，定理4.3和4.4的主要结果仍然成立，如下定理所示。定理4.10。假设2.2、3.3、4.1、4.7和4.9成立。假设 ~pn→ p.让x∈ R固定并回忆δ+，δ-分别从（4.6）、（4.7）开始。然后o对于每个n，存在一个优化器^qn=^qn（x，~pn）到（4.20）。o如果p∞（δ+<p<d）然后对于任何最大化子序列{^qn}：（4.21）0<lim infn↑∞^qnrn<lim supn↑∞^qnrn<δ+.o如果d<p<p∞(δ-) 然后对于任何一个最大化子序列{^qn}：（4.22）0<lim infn↑∞-^qnrn<lim supn↑∞-^qnrn<-δ-.备注4.11。与指数情况一样，（4.21）和（4.22）中存在极限的充分条件是假设4.5.5。关于部分均衡价格数量及其限制行为无差异定价的概念具有主观性，即投资者的无差异价格是其评估不可对冲头寸的一种方式，而是否有一个交易对手来抵消一项交易则是另一个问题。特别是，到目前为止，我们假设一系列价格pn∈Iconverge top，但未提及此类价格是否平衡了不同投资者之间的任何交易。在本节中，我们将讨论这个问题，并证明这样的价格序列确实可能是（两）个投资者之间给定索赔B的均衡价格。为此，我们采用了部分均衡价格量（PEPQ）的概念。

如果股票动态是外生规定的，那么索赔B的均衡价格是指投资者的最优索赔数量加起来等于零的价格，这意味着索赔的市场被清空（部分指的是投资者指定索赔的均衡，而不是股票市场）。本质上，本节的主要动机是在假设3.3下研究当我们的主要最优仓位决策结果可能出现在一个均衡环境中时，是否所有投资者都采取最优行动，以及价格未定权益的定价和渐近完全市场中的最优仓位17pn是给定债权B在第n个市场中的均衡价格。简言之，本节的分析证明，如果投资者的风险敞口（随机捐赠）由rn主导，那么pn→ d、 然而，如果投资者的禀赋像rn一样增长，均衡价格Pn可能会收敛到不同于d的极限，定理4.3、4.4的结果就会出现。后一种情况发生在至少一名投资者已经在B持有大量头寸的情况下，这意味着在某些情况下，大型机制实际上是市场的均衡，更有趣的是，均衡价格收敛到与唯一的限制无套利价格不同的价格。在局部有界半鞅股票市场、有界索赔和指数效用最大化的情况下，PEPQ在[1]中进行了分析。根据第2节的当前设置，我们假设，对于每个投资者，都有一组I投资者，每个I投资者都有一个外部给定的随机捐赠，用Ein表示。

对于给定的有界索赔B，投资者也希望以这样一种方式在自己之间交易B，即以最佳方式（在效用最大化方面）对索赔市场进行交易。为简单起见，我们考虑了两个投资者的存在，尽管我们应该指出，本节的结果可以推广到投资者更多的市场。回想一下，INFORM（4.2）表示B的无套利价格（非空）范围，让ain>0表示投资者i的风险规避系数。在我们给出索赔B的PEPQ的确切定义之前，我们需要介绍在随机捐赠情况下的间接效用和无差异定价的符号。也就是说，对于B中的随机捐赠EI和头寸大小q，以类似于（2.2）的方式定义，投资者i的价值函数为（5.1）unain（x，q | Eni）：=supπn∈阿内Uain（x+xπnT+qB+Ein）; i=1,2。与（2.4）类似，投资者i在第二市场随机捐赠的平均（出价）无差异价格由pnain（q | Ein）表示，并作为（5.2）unain（x）的解给出-qpnain（q|Ein），q|Ein=unain（x|Ein）；i=1,2。请注意，在随机捐赠的存在下，无差异价格对（恒定）初始财富的独立性仍然成立，这意味着我们可以再次假设x=0。接下来，对于给定的pn∈ 在中，考虑投资者的最优购买数量问题，通过确定（与（4.3）相比）：（5.3）^qin（pn）=argmaxq∈R尤宁(-qpn，q|Ein）; i=1,2。如[1]中的命题5.5所示，优化问题（5.3）允许一种类似于相应问题的表示，而不存在随机禀赋（见（B.1））。

也就是说，我们有（5.4）^qin（pn）∈ 阿格明克∈Rqpn-qpnain（q|Ein）.然后将PEPQ定义为一对（pn*, qn*) ∈ 以这样的方式*= ^qn（pn）*) 和-qn*= ^qn（pn）*).18米哈伊尔·阿瑟罗佩洛斯、斯科特·罗伯逊和康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛辛——换句话说，价格为pn*投资者1购买qn是最佳选择*投资者2出售qn*以B为单位，这样市场就清空了。考虑到表示式（5.4），则只需进行简单计算，即可获得每n的PEPQ的以下条件（另见[1]中的命题5.6和推论5.7）：（5.5）qn*= argmaxq∈RQpnan（q | En）+pnan(-q | En）.均衡价格*然后由（5.6）pn给出*= EQn（qn*)[B] =EQn(-qn*)[B] 式中，Qni（q）表示qB+eni和风险规避ain（回忆一下没有随机捐赠的Firstorder条件（4.4））的双优化器。根据[1]中的定理5.8，对于一个不可复制的有界索赔B（即满足假设4.7）a PEPQ（pn*, qn*) ∈ In×R对于每n始终存在∈ N、 qn的独特之处*6=0当且仅当anEn- anEnis不可复制。现在，考虑一下当n↑ ∞ 假设3.3适用于每个序列{ain}n∈N.自然产生的问题是均衡价格序列在哪里收敛，以及在什么条件下出现定理4.3，4.4的制度。作为n↑ ∞, 如果忽略仓位大小并具有非消失风险规避，B仓位的套期保值误差接近零，因此预计均衡价格收敛到价格d。事实证明，如果投资者的捐赠规模由假设3.3中的“市场不完全性”参数Rn控制，情况就是如此。当至少有一种禀赋随n充分快速增长时，均衡价格可能会收敛到不同于d的alimit，这意味着类似于定理4.3、4.4的情况。

在续集中，我们提供了一系列这样的例子，其中一个投资者的捐赠在索赔B中的地位越来越高。在此之前，我们提出了我们应该澄清假设3.3在两个投资者的情况下如何工作的确切论点，i=1，2。假设3.3对函数pnain:r7适用的声明→ In（在（2.4）中定义），表示存在一个序列林N∈带rin的Nof正实数∞ 一个常数δi>0，这样对于所有|l| < δi极限p∞我(l) := 画↑∞普南(lrin）存在，是有限的和liml→0p∞我(l) = d、 请注意，根据pnan（q）=pnan（qan/an）（对每个n都适用）的关系，如果假设函数pnan为3.3倍，那么如果序列{an/an}n∈Nis以零和零为界。为此，我们可以设置rn:=rnan/an（可能是递增的子序列），p∞= P∞δ=δ。为了证明这一部分，我们需要引入（投标）无差异价格的概念，即每一个有界报酬C∈ L∞在风险规避情况下，第n个市场中的an>0，用Pnan（C）表示，定义为以下等式（5.7）的解supπn∈阿内Uan（x+xπnT+C）-Pnan（C））= supπn∈阿内Uan（x+xπnT）; i=1,2.+请注意，Qni（0）不一定与埃尼的存在有关。渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价19注意，在这个符号下，对于所有的q，qpnan（q）=Pnan（qB）∈ R与（2.4）中定义的PNAND。以下引理概括了定理4.3和4.4在随机禀赋存在的情况下的发现，前提是禀赋由相关rn支配。引理5.1。让假设2.2、4.1、4.7保持不变，并对函数pnain:R7施加假设3.3→ 在里面如果i=1，2，Eni∈ L∞, 对于每个n和| | Eni | L∞/林→ 0，那么定理4.3和4.4的陈述也适用于函数pnain（·Eni）：R7→ 在里面证据

鉴于定理4.3的证明，在所施加的假设下，我们首先必须证明函数pnain（·Eni）：R7→ 满足假设A.5。事实上，第一个要点后面是一个简单的测量变化dPni/dP:=cnie-ainEni，对于某些常数Cni，以及在测量Pni下考虑的无差异价格（2.7）的相应变量表示；虽然第二个项目符号后面紧接着是索赔B的有界性。对于第三项和第四项，这足以表明|l| < δi，limn→∞普南(lrin | Eni）=p∞我(l). 为此，我们注意到，在一些随机捐赠条件下，指数效用最大化器的无差异价格可以写成两个无差异价格的差，而不考虑捐赠条件（参见[1]的附录和回忆定义（5.7））：（5.8）qpnain（q | Eni）=Pnain（qB+Eni）-普南（埃尼），Q∈ R、 因此|l| < δipnain(lrin | Eni）=Pnain(l溜冰场+埃尼）- 普南（埃尼）l林≤ 普南(lrin）+2 | | Eni | L∞|l|林→ P∞我(l),其中，限制性论证之后是对函数Pnain和Eni的强加假设。我们也一样(l林（埃尼）≥ 普南(l（里恩）- 2 | |埃尼| | L∞|l|林→ P∞我(l), 它完成了函数q 7的证明→pnain（q|Eni）满足假设A.5。然后我们观察到，功能pnain（·| Eni）：R7也满足命题A.6的要求→ 在，因为在（5.8）之前，它很容易遵循pnain(∞|埃尼）=pnain(∞). 因此，证明的剩余部分遵循与定理4.3、4.4证明相同的论证线。回到PEPQ，我们排除了每个n∈ N通过强加以下假设。假设5.2。每n，埃尼∈ L∞对于i=1、2和anEn- anEnis不可复制。如上所述，这个假设保证了PEPQ（pn）的存在性和唯一性*, qn*)对于每个n和qn*6= 0.

将假设3.3用于两个投资者的无差异价格，我们首先讨论了使均衡价格收敛于d.命题5.3的条件。假设假设2.2、4.1、4.7、5.2成立，并对函数pnan（q）施加假设3.3，对函数qp施加假设4.5∞（q） 。如果我们进一步假设| | Eni | | L∞/注册护士→ 0，对于i=1，2和序列{an/an}n∈Nis远离零，在整体上，部分平衡序列pn*索赔B的索赔额收敛于d.20 MICHAIL Anthropolos、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos。让pn*表示B的均衡价格的任意选择收敛子序列，极限为^p（注意B∈ L∞保证此类子序列的存在），并假设^p 6=d，尤其是^p<d。在假设4.7和5.2下，根据[24]的定理5.1，映射q 7→ qpnain（q | Eni）对于每个i=1，2，以及（5.9）EQni（q）[B]都是严格凹的=qpnain（q | Eni）。现在，由于假设5.2，等式（0）[B]6=EQn（0）[B]成立。因此，首先假设对于某些子序列（仍然标记为n），对于足够大的n，EQn（0）[B]>EQn（0）[B]，然后是qn*> 实际上EQn（0）[B]>pn*> 方程（0）[B]。根据定理4.3和引理5.1，我们得到不等式^p<d意味着qn的另一个子序列的存在*（仍然标记为n）使得limn→∞qn*/rn=l > 0.如果我们证明对于足够大的n，位置-qn*对投资者来说不是最佳选择2。由于^p<d，我们从假设3.3中得出，存在c>0，因此对于任何足够大的n，pn*< EQn[B]- C