未定权益的定价与渐近最优头寸

因此，对于这个^qnw，我们使用yQ的不等式，n-联合国大学（x）（联合国大学（x）- ~pn^qn，^qn）-联合国大学（x））+~pn^qn≤ ^qnEQn[B]+infy>0y超高压（yZQ，n）i+xy-联合国大学（x）,或者，因为这个不等式对任何Qn都有效∈~MnthatunU（x）- ~pn^qn，^qn）-联合国大学（x）-\'aUunU（x）~pn^qn≤ -欧努（x）infQn∈~Mn^qnEQn[B]+infy>0y超高压（yZQ，n）i+xy-联合国大学（x）= -\'aUunU（x）^qnpnU（x，^qn），其中最后一个等式来自[32，命题7.1]。因此，我们得到了unU（x）的界（B.9）≤ 联合国大学（x）- ~pn^qn，^qn）≤ 联合国大学（x）-\'aUunU（x）^qn（pnU（x，^qn）- ：/pn）。由于unU（x）<0，^qn>0意味着（B.6），完成了结果。附录C.第7节的证明我们从一个引理开始，显示无差异价格如何与初始头寸和风险规避成比例。这是一个简单的结果，因为Atis是一个圆锥体：即对于每个c>0，（L，M）∈ 在<=>（cL，厘米）∈ 在自始至终，我们假设x，y∈ R、 0≤ T≤ T，s>0，a>0和λ∈ （0,1）（分别为λn∈ (0, 1)).引理C.1。对于（7.5）和q>0的paas：（C.1）pa（qx，qy，q；s，t，λ）=pqa（x，y，1；s，t，λ）。引理C.1的证明。对于（L，M）∈ 如（7.2）所示，注意- A.四十、 M，qx，tT+YL，M，qy，tT- q（圣- （K）+= -质量保证XL/q，M/q，x，tT+YL/q，M/q，x，tT-（圣- （K）+.（C.2）作为一个圆锥体：inf（L，M）∈艾茨-qtt+qm，XL-q（圣-K） +）i=inf（L，M）∈艾茨-qa（XL，M，x，tT+YL，M，y，tT-（圣-K） +）i.通过移除（ST- K） +根据上述计算，我们从（7.3）和（7.4）中获得：（C.3）ua（qx，qy，q；s，t，λ）=qqa（x，y，1；s，t，λ）；ua（qx，qy；s，t，λ）=qqa（x，y；s，t，λ）。参见[4，第2.1节]中的注释。渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价∈ R表示uqa（x+x′，y，1；s，t，λ）=e-qax′uqa（x，y，1；s，t，λ）。为了使符号更清晰，设置p=pa（qx，qy，q；s，t，λ）和p′=pqa（x，y，1；s，t，λ），使（C.1）变成p=p′。

使用上述事实suqa（x，y；s，t，λ）=qua（qx，qy；s，t，λ）=qua（qx+qp，qy，q；s，t，λ）=qua（qx+qp′+q（p- p′），qy，q；s、 t，λ）；=uqa（x+p′+（p- p′），y，1；s、 t，λ）；=E-qa（p-p′）uqa（x+p′，y，1；s，t，λ）；=E-qa（p-p′）uqa（x，y；s，t，λ）。因此，p=p′。如[4，第374-375页]所述，对于ε>0的定义ε（x，y，s，t；λ）：=1+εu1/ε（x，y，1；s，t，λ）；vε，f（x，y，s，t；λ）：=1+εu1/ε（x，y；s，t，λ）。（C.4）接下来，定义ε（x，y，s，t；λ）：=x+sy+εlog（1-vε（x，y，s，t；λ））；=x+sy+ε对数-εu1/ε（x，y，1；s，t，λ）,zε，f（x，y，s，t；λ）：=x+sy+εlog1.-vε，f（x，y，s，t；λ）;= x+sy+ε对数-εu1/ε（x，y；s，t，λ）.（C.5）注意，通过定义x+py- zε和x+py- zε，表示λ交易成本市场中有索赔和无索赔的相应确定性等价物。此外：引理C.2。zε，zε，ffrom（C.5）与x无关，因此写zε（y，s，t；λ），zε，f（y，s，t；λ）。此外：ψ（s，t；0）-εu2σ（T）- （t）≤ zε（y，s，t；λ）≤ s（1+λ| y）- 1|);-εu2σ（T）- （t）≤ zε，f（y，s，t；λ）≤ λs | y |，（C.6），其中u是（7.1）中s的漂移，ψ（s，t；0）是无摩擦模型中的Black-Scholes价格。接下来，对于固定的（y，s，t）和ε，都是zε，zε，票价以λ为单位增加。最后，对于固定的（y，s，t）和λ，zε和zε，票价在（0，∞).38 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos证明引理C.2。zε，zε，独立于x的票价，以及（C.6）都符合[4，命题2.1]。接下来，利用（C.4）和（7.2）中vε的定义，我们得到了zε（y，s，t；λ）- sy=inf（长，米）∈Atεlog是的-ε(-RTtSτ（1+λ）dLτ+RTtSτ（1+λ）dMτ+yST+ST（LT-MT）-（圣-K） +）我= inf（L，M）∈Atεlog是的-ε(-RTtSτdLτ+RTtSτdMτ+yST+ST（LT-MT）-（圣-K） +）eλεRTtSτ（dLτ+dMτ）i.因此很明显，zε（y，s，t；λ）在λ中增加。由于zεf也适用于相同的公式，所以不存在（ST- K） +项zε，f（y，s，t；λ）也在λ中增加。

此外，zε（y，s，t；λ），zε，f（y，s，t；λ）在ε中递减，这是由Holder不等式得出的。最后，请注意，映射γ7→ inf（L，M）∈艾茨-γ(-RTtSτ（1+λ）dLτ+RTtSτ（1+λ）dMτ+yST+ST（LT-MT）-（圣-K） 在上，i+是凸的，∞) （同样，当- K） +术语不存在）。实际上，取0<γ<γ和0<λ<1。设置γλ=λγ+（1- λ） γ和let（L，M），（L，M）∈ 在从z 7开始→ E-zis凸与（L，M）=λγλ（L，M）+（1）- λ） γλ（L，M）∈ 在凸性之后，首先最小化（L，M），然后最小化（L，M）。由于凸函数在其有效域的内部是连续的，并且由于zε，zε，由（C.6）确定，我们看到zε（y，s，t；λ），zε，f（y，s，t；λ）在ε上是连续的，∞).命题7.2的证明。在q=（εa）处使用引理C.1-1活动水疗中心xεa，yεa，εa；s、 t；λ= p1/ε（x，y，1；s，t，λ），所以vεx+paxεa，yεa，εa；s、 t；λ, y、 p，t；u= vε，f（x，y，s，t；λ）。因此，使用（C.4），（C.5）可以得到，因为引理C.2表示zε，zε，与大写字母x，thatpa无关xεa，yεa，εa；s、 t，λ= zεx+paxεγ，yεγ，εa；s、 t；λ, y、 s，t；λ- zε，f（x，y，s，t；λ）=zε（y，s，t；λ）- zε，f（y，s，t；λ）。因此，pai独立于x。定理的结论现在很容易得出：即让rn=λ-2随机设置qn=l注册护士。让我来∈ R.取εn=λn/（a）l) = （qna）-1那么qn=（εna）-1和λn=√εn√A.l. 是否有pa（yn，qn；s，t；λn）=paynλn/lεna，εna；s、 t，√εn√A.l= zεnynλnl, s、 t；√εn√A.l- zεn，fynλnl, s、 t；√εn√A.l.渐近完全市场中未定权益和最优仓位的定价现在，根据[4，定理3.1]我们得到了任意y∈ R那（C.7）林↑∞zεny、 s，t；√εn√A.l= ψ（s，t；√A.l); 画↑∞zεn，fy、 s，t；√εn√A.l= 0.此外，如[4，第389页]zεnynλnl, s、 t；√εn√A.l- zεn（0，s，t；√εn√A.l)≤ λnsλn|yn|l,同样的不等式也适用于zεn，f。

因此，如果limn↑∞λn | yn |=0我们看到↑∞pa（yn，qn；s，t；λn）=ψ（p，t；√A.l),这是理想的结果。定理7.4的证明。收敛性的证明遵循[3]的弱粘性极限，另见[16]第七章。让我们定义ψ*（s，t）=lim supρ↓0lim supb↓0supψ（^s，^t；b）：|s- ^s |+|t-^t |<ρ,和ψ*（s，t）=lim infρ↓0lim infb↓0infψ（^s，^t；b）：|s- ^s |+|t-^t |<ρ.第一步：ψ*（s，t）是线性Black-Scholes方程的粘性子解。设w（s，t）为光滑测试函数，并假设（s，t）∈ (0, ∞)×[0，T]是差ψ的严格局部极大值*（s，t）- [0]上的w（s，t），∞) ×[0，T]使得ψ*（s，t）=w（s，t）。我们可以，也将这样做，假设wss（s，t）6=0。我们验证了ψ*是一个粘性次溶液，通过证明如果t<t-wt（s，t）-sσwss（s，t）≤ 0，而如果t=t，则前面的不等式成立或ψ成立*（s，T）≤ （s）- K） +。假设t<t或t=t和ψ*（s，T）>（s- K） +。考虑一个例子↓ 0和局部最大化器（sn、tn）∈ (0, ∞) 函数（s，T）7的×[0，T]→ ψ（s，t；bn）-w（s，t），使得（sn，tn）→ （s，t），ψ（sn，tn；bn）→ Ψ*和ψ（sn，tn；bn）- w（锡，锡）→ 0.此类序列和最大化子的存在性如[3]所示。注意，对于足够大的n，我们有tn<T。事实上，如果t<t，那么对于足够大的n，tn<t之后是收敛tn→ t、 假设t=t和ψ*（s，T）>（s- K） +并设tn=T。

我们计算ψ*（s，t）=limn→∞ψ（sn，T；bn）=（s）- K） +。但是，既然我们假设ψ*（s，T）>（s-K） +我们得到了一个矛盾，这意味着对于所有足够大的n，tn<t。40 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS SPILIOPOULOSLet我们现在设置kn=ψ（sn，tn；bn）-w（sn，tn）并定义运算符b[ψ]=σsψss（s，t）1+Sbsψss（s，t）.由于ψ（；bn）是（7.6）的连续粘度解，且函数a 7→ A（1+S（A））是递增函数，我们得到如下0≥ -重量（sn，tn）-Gbn[w（sn，tn）+kn]。现在开始→ ∞ 利用事实lN→ 0，（锡，锡）→ （s，t），千牛→ 0和S（0）=0，我们得到-wt（s，t）-σswss（s，t）≤ 0，完成ψ的粘度亚溶解性证明*.第2步：ψ*（s，t）是线性Black-Scholes方程的粘性上解。如果这一步的证明与上一步的证明几乎相同，则证明无效。设w（s，t）为光滑测试函数，并假设（s，t）∈ (0, ∞) ×[0，T]是差ψ的严格全局极小值*（s，t）-[0]上的w（s，t），∞) ×[0，T]使得ψ*（s，t）=w（s，t）。我们可以，也将这样做，假设wss（s，t）6=0。我们验证了ψ*是粘性上解，通过证明如果t<t-wt（s，t）-sσwss（s，t）≥ 如果t=t，那么通过构造我们得到了上解性质ψ*（s，T）≥ （s）- K） +。我们需要显示粘度特性。考虑一个序列bn↓ 0和局部极小值（sn、tn）∈ (0, ∞) 函数（s，T）7的×[0，T]→ ψ（s，t；bn）-w（s，t），使得（sn，tn）→ （s，t），ψ（sn，tn；bn）→ Ψ*和ψ（sn，tn；bn）- w（锡，锡）→ 0.这种序列和极小值的存在性如[3]所示。

注意，就像在粘性亚溶液中一样，对于足够大的n，我们有tn<T。由于ψ（；bn）是粘度为（7.6）的溶液，且函数a 7→ A（1+S（A））是递增函数，我们得到如下0≤ -重量（sn，tn）-Gbn[w（sn，tn）+kn]。现在开始→ ∞ 利用事实lN→ 0，（锡，锡）→ （s，t），千牛→ 0和S（0）=0，我们得到-wt（s，t）-σswss（s，t）≥ 0，完成了ψ的粘性上解性质的证明*.第3步：将估计值放在一起，或有权益的定价和渐近完全市场中的最优头寸，通过构造，我们得到了ψ*≤ Ψ*. 然后是[4]中定理3.1的证明中的比较论证，或相当于见第七节。[16]中的8给出了相反的不等式，即ψ*≥ Ψ*. 因此我们得到了ψ*= Ψ*函数ψ=ψ*= Ψ*是方程ψt+σsψss=0的解；ψ（T，s）=（s）- K） +。经典论点，例如[16]中的定理7.1，则意味着等式ψ*= Ψ*表示局部一致收敛ψl→ ψasl → 这就完成了定理的证明。定理7.5的证明。从λ=b的引理C.2√因此zε（y，s，t；b√ε） 因为[4，定理3.1]暗示了limε→0zε（y，s，t；b）√ε） =ψ（s，t；b），因此ψ（s，t；b）在b中增加。至于（7.7）中的渐近性，通过构造ψ（s，t；b）=（s- K） +对于p>0，b>0。因此，我们只考虑当t<t时。在这里，我们从7.2号提案中回忆起，利马↑∞S（A）/A=1。此外，如[4]所示，S（A）>0表示A>0。因此，让γ>0，并选择一个γ，使S（A）≥ (1 - γ） A换A≥ γ。现在，让ψ：（0，∞) ×[0，T]是带ψss的光滑函数≥ 0

WriteH[ψ]：=ψt+σsψss1+S（bsψss）.我们有以下基本估计，因为ψss≥ 0和7→ A（1+S（A））在增加：H[ψ]≥ ψt+1sψss≥Aγbσsψss1 + (1 - γ） bsψss= ψt+1sψss≥γb1-γσbsψss+2（1）-γ） b-σ8b（1）- γ)!≥ ψt-σ8b（1）- γ)+1 -γσbsψss+2（1）-γ） b- 1sψss<Aγb1- γσbsψss+2（1）- γ） b≥ ψt-σ8b（1）- γ)+1 -γσbsψss+2（1）-γ） b-1.- γσAγb+2（1- γ） b= ψt-σKγ2b+1-γσbsψss+2（1）-γ） b式中kγ：=4（1）- γ)+ (1 -γ)Aγ+2（1）- γ).总而言之，我们有ψ光滑的ψss≥ 0表示（C.8）H[ψ]≥ ψt-σKγ2b+1- γσbsψss+2（1）- γ） b.现在，设C>0，并用φ（s，t；C）表示当利率为0且资产波动率为C时，具有行使K，到期日为t的看涨期权在（s，t）的Black-Scholes价格∈ 考虑函数ψ（s，t）=φ（s，t；C）- M（T）- t） .42 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos显然，ψ是光滑的，根据φ（s，t；C）的显式公式，可以得出ψss≥ 0.然后我们从（C.8）（写φCto表示对C的依赖）得到thatH[ψ]≥ φCt+M-σKγ2a+（1）- γ)σbsφCss+2（1）- γ） b;= -CsφCss+M-σKγ2b+（1）- γ)σbsφCss+2（1）- γ） b.二次型（1/2）（1）- γ） σbx+（1/2）（σ- C） x的下界为-(σ- C） （1）- γ） σb.将其插入上述（sφc表示x的作用）yieldsH[ψ]≥ -(σ- C） 8（1）- γ） σb+M-σKγ2b+σ8（1-γ） b.显然，设置m=（σ- C） 8（1）- γ） σb+σKγ2b-σ8(1 - γ） b=C8（1-γ） σb-C4（1）-γ） b+σKγ2b，（C.9）产生H[ψ]≥ 因此，通过[4，定理3.1，第395-396页]中所示的比较论证，可以得出ψ（s，t；b）≥ ψ（s，t）。为了联系其中的结果，setz*（s，t）=ψ（s，t）=φ（s，t；C）-M（T）- t） )；Z*（s，t）=ψ（s，t；b），注意z*是一个（经典）子解；Z*是一种连续粘度的超级溶液；林斯↑∞Z*（s，t）/s=1，lims↑∞Z*（s，t）/s=1在0中均匀分布≤ T≤ T还有那个z*（0，t）=-M（a）（T）- （t）≤ Z*（0，t）=0表示任何t≤ 如果C>√2σ. 因此，[4]中的论点。

395-396]通过。到目前为止，C>0的选择是任意的。然后考虑当C=b1/4时。这是b→ ∞thatC=C（b）→ ∞,M=M（b）=8（1）- γ） σb-4(1 -γ） b3/2+σKγ2b→ 因此，从比较原理来看，LIM infb↑∞ψ（s，t；b）≥ lim infb↑∞φ（s，t；C（b））- M（b）（T）- t） =s，其中，最后一个等式源自众所周知的事实，即随着波动性接近实际值，Black-Scholes模型中的看涨期权价格收敛于初始股价。这就完成了证明，因为[4，命题2.1，定理3.1]中显示了ψ（s，t；b）≤ s代表所有b>0。渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价是定理7.7的证明。我们验证了命题A.2成立，得到了预期的结果。作为朝着这个方向迈出的第一步，我们以一种更容易处理的形式重写了相关的优化问题。对于pn∈ （ψ（s，t；0），s）回忆（7.8）中的最优销售数量问题：maxq>0ua（x+ys（1）-λn）+qpn，0，q；s、 t；λn）。有)x=x+ys（1- λn）考虑到（C.3）和（C.4），（C.5），对于q>0:ua（~x+q~pn，0，q；s，t；λn）=avqa~xq+~pn，0，s，t；λn- 1.= -ae-A.~x+q ~pn-qzqa（0，s，t；λn）,（C.10），因此有必要考虑优化问题（C.11）supq>0qpn- qzqa（0，s，t；λn）= - infq>0q(-~pn）- Q-zqa（0，s，t；λn）.极大子^qn>0的存在性以及^qn/rnin（7.9）作为λn的渐近行为→ 一旦证明必要的假设成立，0将遵循命题A.2。这里是mapq 7→ pn（q）=-zqa（0，s，t；λn）。我们首先考虑假设A.1。至于要点一，注意引理C.2，Pn是连续的，在（0，∞ ).

关于第二点，（C.6）给出-qs（1+λn）≤ qpn（q）≤ -qψ（s，t；0）+u2aσ（t- t） ，因此对于任何γ>0μm的supn↑∞谱仪半定量分析≤γq | pn（q）|≤ γmaxψ（s，t；0）+u2aσ（t）- t） γs:= C（γ）<∞,验证第二点。关于第三点，从（C.7）开始，其中εn=λn/（a）l), qn=lrnandrn=λ-2它适用于所有人l > 0该pn(l注册护士）→ -ψ（s，t；√A.l) = P∞(l). 因此，如果δ=δ+=∞. 最后，关于第四点，因为定理7.5表明l↑∞ψ（s，t；√A.l) =-林l↑∞P∞(l) = -s和s>ψ（s，t；0）=-P∞+（0），要点四成立（见充分条件假设A.1）。因此，假设A.1成立。最后，如上所述，对于p∈ （ψ（s，t；0），s）我们有-s=liml↑∞P∞(l) < -~p<p∞+（0）=liml↓0(-ψ（s，t；√A.l)) = -ψ（s，t；0）。因此，命题A.2的结果将通过，完成证明。44 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos[1]M.ANTHROPELOS和G.ZITKOVI\'C，关于不完全市场中的代理协议和部分均衡定价，数学。《金融》，20（2010），第411-446页。[2] G.A.ATKESON、L.A.EISFELDT和P-O.WEILL，场外衍生品市场。国家经济研究局，2013年。[3] G.BARLES和B.PERTHAME，《hamilton-jacobi-Bellman方程的控制和消失粘性解中的出口时间问题》，暹罗控制与优化杂志，26（1988），第1113-1148页。[4] G.BARLES和H.M.SONER，具有交易成本的期权定价和非线性Black-Scholes方程，FinanceStoch。，2（1998），第369-397页。[5] P.BARRIEU和N.EL KAROUI，Inf《风险度量和最优风险转移的卷积》，金融斯托赫出版社。，9（2005），第269-298页。[6] M.BICHUCH，《具有交易成本的有限时间最优投资的渐近分析》，暹罗J.金融数学。，3（2012），pp。

433–458.[7] 国际清算银行，按风险类别和工具划分的场外衍生品未偿金额，国际清算银行（BIS），2014年。http://www.bis.org/about/index.htm.[8] B.BOUCHARD，R.ELIE和L.MOREAU，《基于效用的定价和渐进风险分散的说明》，数学和金融经济学，6（2012），第59-74页。[9] R.CARMONA，《无差别定价》，普林斯顿金融工程系列，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，2009年。理论与应用。[10] G.M.CONSTANTINIDES，《有交易成本的资本市场均衡》，《政治经济学杂志》（1986年），第842-862页。[11] C.CZICHOWSKY和W.SCHACHERMAYER，《交易成本下投资组合优化的对偶理论》，工作论文，（2014年）。[12] M.DAVIS，《不完全市场中的期权定价》，衍生证券数学（1997）。[13] M.H.A.DAVIS、V.G.PANAS和T.ZARIPHOPOULOU，《带交易成本的欧式期权定价》，暹罗J.ControlOptim。，31（1993），第470-493页。[14] F.DELBAEN、P.GRANDITS、T.RHEINL"ANDER、D.SAMPERI、M.SCHWEIZER和C.STRICKER，指数享乐和熵惩罚，数学。《金融》，第12期（2002年），第99-123页。[15] A.DEMBO和O.ZEITOUNI，《大偏差技术与应用》，第38卷《数学应用》（纽约），斯普林格·维拉格，纽约，第二版，1998年。[16] W.FLEMING和M.SONER，《受控马尔可夫过程和粘性解》，随机建模和应用概率第25卷，纽约斯普林格，第二版，2006年。[17] H.F"OLLMER和A.SCHIED，《随机金融》，德格鲁伊特数学研究第27卷，沃尔特·德格鲁伊特公司，柏林，扩展版，2004年。离散时间导论。[18] M.FRITTELLI，《最小熵鞅测度与不完全市场中的估值问题》，数学。《金融》，第10期（2000年），第39-52页。[19] P.GRANDITS和T。