未定权益的定价与渐近最优头寸

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英文标题：
《The pricing of contingent claims and optimal positions in asymptotically
  complete markets》
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作者：
Michail Anthropelos, Scott Robertson, Konstantinos Spiliopoulos
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We study utility indifference prices and optimal purchasing quantities for a contingent claim, in an incomplete semi-martingale market, in the presence of vanishing hedging errors and/or risk aversion. Assuming that the average indifference price converges to a well defined limit, we prove that optimally taken positions become large in absolute value at a specific rate. We draw motivation from and make connections to Large Deviations theory, and in particular, the celebrated G\\\"{a}rtner-Ellis theorem. We analyze a series of well studied examples where this limiting behavior occurs, such as fixed markets with vanishing risk aversion, the basis risk model with high correlation, models of large markets with vanishing trading restrictions and the Black-Scholes-Merton model with either vanishing default probabilities or vanishing transaction costs. Lastly, we show that the large claim regime could naturally arise in partial equilibrium models.
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中文摘要：
我们研究了在不完全半鞅市场中，在套期保值误差和/或风险规避消失的情况下，未定权益的效用无差异价格和最优购买量。假设平均无差异价格收敛到一个定义明确的极限，我们证明了最优仓位在特定速率下绝对值变大。我们从大偏差理论中汲取动力并与之联系，尤其是，著名的G\\{a}埃利斯定理。我们分析了一系列研究充分的例子，其中出现了这种限制行为，例如风险厌恶消失的固定市场、高度相关的基本风险模型、交易限制消失的大型市场模型以及违约概率或交易成本消失的Black-Scholes-Merton模型。最后，我们证明了在部分均衡模型中，大索赔制度是自然产生的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> The_pricing_of_contingent_claims_and_optimal_positions_in_asymptotically_complet.pdf (486.81 KB)

2022-5-9 05:29:52 上传

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关键词：Indifference Mathematical Quantitative Konstantinos Differential

有代表性完全市场中未定权益和最优头寸的定价Chail Anthopelos、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos摘要。我们研究了在不完全半鞅市场中，在套期保值误差和/或风险规避消失的情况下，未定权益的效用无差异价格和最优购买量。假设平均无差异价格收敛到一个定义良好的极限，我们证明了最优无差异价格在特定速率下绝对值变大。我们从大偏差理论，特别是著名的G"artner-Ellis定理中汲取动机并将其联系起来。我们分析了一系列研究充分的例子，其中出现了这种限制行为，例如风险厌恶消失的固定市场、具有高度相关性的基本风险模型、交易限制消失的大型市场模型，以及违约概率消失或交易成本消失的Black-Scholes-Merton模型。最后，我们证明了在部分均衡模型中，大索赔制度是自然产生的。1.导言本文的目的是研究一般不完全半鞅市场中，在边际误差为零的假设下，效用无差异价格与或有权益最优头寸之间的关系。特别是，对于指数效用投资者，我们希望验证一个启发式谚语，即当购买最优数量时，一个人会获得微妙的关系头寸大小×风险厌恶×不完全性参数≈ 常数这里，不完整性参数表示与索赔相关的对冲误差。综上所述，我们看到，随着市场变得完整（或者，至少当所讨论的特定债权变得具有象征性的可对冲性时），最优头寸规模往往会变得更大。

事实上，随着风险规避情绪在固定市场中消失，最优仓位规模也可能变得更大，我们的分析足够稳健，足以涵盖这两种情况。研究这种情况的财务动机是，确实有人在担任大职位。例如，场外衍生品市场目前有超过700万亿的名义未偿债务（见[7]）。其他例子包括抵押贷款支持证券、人寿保险合同和死亡衍生品。这些产品不是完全可复制的，对它们的定位意味着不可规避的风险。因此，日期：2018年9月25日。关键词和短语。无差异定价、不完全市场、效用函数、大仓位。比雷埃夫斯大学研究中心部分支持M.Anthropelos。美国国家科学基金会（NSF）在DMS-1651180和DMS-1613159的资助下对S.Robertson进行了部分资助。K.Spiliopoulos部分得到了NSF的支持，资助号为DMS-1312124，并在NSF职业奖DMS-1550918.2 MICHAIL Anthropolos、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos对文章进行修订期间，在不完全市场中基于效用的分析框架内研究这种情况是很自然的。此外，头寸大小与套期保值误差有关的观察结果可以理解如下。在一个完整的市场中，对于一个给定的索赔，只有一个公平的价格d。因此，如果一个人能够以P6=d的价格购买索赔，那么最好采取固定的立场。当然，在现实中，一个人无法确定自己的立场，完整的市场是一种理想的情况。然而，这些考虑表明，如果对冲误差或风险规避很小，大额头寸可能是内生的。

我们还提到，这是[12,21]的基本风险模型中无差异价格近似值的根本动机，我们在本文中重新讨论了这一点。至少从[22]开始，公用事业无差别定价已经引起了很多关注，有关详细概述，请参见示例[9]。最近，在[8,33,34]中研究了大仓位的无差异定价。在[34]中，作者考虑了一个特定的半完全市场序列，该序列以n为索引，成为完整的n→ ∞ 并且，假设非交易资产的不可边缘化部分根据大偏差原则（LDP）消失，结果表明，最优购买量在精确的大偏差标度下变大。为了帮助激发我们的成果，让我们简要地概述一下主要想法。让n∈ N并考虑一个半鞅市场，该市场具有可用于投资Sn的风险资产，以及一个拥有非交易连续性索赔B的投资者。该投资者具有指数效用，风险规避an>0，其中，除资产外，我们允许风险规避随N变化，因此Uan（x）=-（1/an）e-安克斯∈ R.设An为允许交易策略集，Xπn=（πn·Sn）为所得财富过程，对于某些πn∈ 一投资者通过在SNB中交易初始资本x和q单位所能达到的最佳效用为：isunan（x，q）=supπn∈阿内Uan（x+xπnT+qB）; unan（x）=unan（x，0）。然后，通过平衡方程unan（x，q）确定平均投标效用无差异价格pnan（x，q）-qpnan（x，q，q）=unan（x）。众所周知，pnandoes不依赖于x，而写pnan（q）的形式为pnan（q）=-anqlogEQnhe-安奎南（q）i,其中Qnis是市场中的最小熵测度，而^Ynan（q）与拥有B的q个单位的归一化剩余风险（参见[1,31]等）有关。

因此，Pnanc可以被视为标度累积生成函数∧n（q）/q的“广义”版本，其中∧n（q）：=logEeqYn对于大偏差理论中的随机变量序列{Yn}（经典手稿见[15]）。以著名的G"artner-Ellis定理为线索，该定理根据λ7的假设推导出{Yn}尾部概率的LDP→ （1/rn）∧n（λrn）收敛到一个充分正则函数→ ∞, 我们自然会问，从假设中可以推断出什么结论：l 7.→ 普南(lrn）收敛到一个合理的极限l ∈ R和rn→ ∞. 具体地说，我们假设（见假设3.3）存在一个序列{rn}或有权益的定价和在具有rn的正数的渐近完全市场中的最优头寸→ ∞ δ>0，这样对于所有|l| < δ极限（1.1）p∞(l) = 画↑∞普南(lrn），存在，是有限的，并且在l = 0.价格p∞（0）因此是忽略仓位大小的限制价格，当市场渐近完全时，代表限制完全市场中唯一的无套利价格：见第4.3节。作为第一个结果，我们证明（见定理4.3、4.4），大型最优位置以与rn成比例的速率内生出现。具体而言，对于在预先限制市场中无套利的任何价格pn，最佳仓位大小（如[24]中所定义）^qn=^qn（Kpn）是这样的：对于足够大的n |^qn |≈ l对一些人来说l ∈ (0, ∞),前提是pn→ ~p 6=p∞(0). 也就是说，我们有| qn |→ ∞ 以rn的速度。第二，在第5节中，我们展示了在何种条件下，大额索赔制度可能会出现在均衡环境中，特别关注于证明这样一个假设的合理性，即在渐近条件下，一个人可以以P6=p的价格购买索赔∞(0).

如果股票市场价格是外生给定的，那么索赔的均衡价格就是投资者的最优数量加起来等于零的价格，这意味着索赔的市场被清空。如果每n存在这样的（部分）均衡价格∈ N、 人们很自然地会问，这个序列在哪里收敛，以及价格是否促使投资者进入大额索赔制度。在这里，我们表明，如果投资者的随机禀赋由rn支配，那么均衡价格收敛到p∞(0); 独特的无套利价格限制。然而，如果投资者的禀赋随着利率的增长而增长，均衡价格可能会收敛到一个极限P6=p∞（0）从而形成了Theorem4的大额索赔制度。3，4.4发生。当一个投资者已经持有B的大量头寸，并产生一系列的例子，其中大额索赔制度实际上是市场的均衡时，就会发生这种情况。这一结果有助于解释场外衍生品市场中观察到的巨大交易量以及经常出现的相应极端价格（例如，参见[2,7]）。第三，我们通过大量不同的例子说明（1.1）中的价格收敛是成立的，因此是渐近完全市场或固定市场中投资者风险规避消失的自然特征。此外，在所有这些例子中，我们明确地确定了最优位置增长的速度rnat。准确地说，我们在以下情况下验证了这些说法：（a）第6.1节固定市场中的风险规避消失，（b）第6.2节中的高相关性基础风险模型，（c）第6.3节中的交易限制消失的大型市场，（d）第6.4节中的违约概率消失的Black-Scholes-Merton模型，（e）第7节Black-Scholes-Merton模型中的消失交易成本。第7节中交易成本消失的例子可能值得更多讨论。

第一个有趣的点是，我们的理论将无摩擦市场和有摩擦的市场统一起来，比如交易成本。特别是，关于无摩擦市场最优头寸的陈述不仅延续了下来，而且在这两种情况下，主要结果都是附录A中给出的相同一般性陈述的自然结果。第二个有趣的点是，我们的分析揭示了risk4 MICHAIL Anthropolos、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulosaversation之间的自然关系，最佳仓位大小^qn和交易成本的比例λnis和^qnλn≈ 常数除了固定风险规避的结论外，该关系还表明rn=λ-2n，即^qnλn→ l ∈ (0, ∞), 它还证明了极限渐近区域的适当性，之前没有进行过论证；例如，如[4,23]所述。尽管我们在本文中关注的是具有指数效用的投资者，但对于大型负财富，我们的结果在效用函数类中也是真实的，见第4.5节。在这种情况下，最佳位置不一定是唯一的。然而，我们证明了优化器确实存在，并且在无差异价格收敛速度为rn的假设下，对于指数效用，每个优化器将收敛到±∞ 以极快的速度。在引言的最后，我们讨论了本文结果的适用性和有用性。首先，我们的分析在完全市场和不完全市场之间架起了一座桥梁。完整的市场，在那里计算通常是容易处理和明确的，显然是现实的理想化。然而，当涉及到确定最优交易策略和为未定权益定价时，它们更现实的不完全对应物通常很难处理。

为了将这两种情况联系起来，我们很自然地会考虑远离完整市场的小扰动。在固定投资者偏好的情况下，本文正是针对这种情况，我们表明，随着扰动消失，大型投资者可能会通过最优交易内生产生。其次，我们的工作还充当了风险规避者和风险中性投资者之间的桥梁。例如，人们通常认为做市商是风险中性的，这当然只是大致正确的。然而，我们的分析表明，随着做市商接近风险中性，他们将被诱导同时持有大量头寸和提供价格，以便其他买家大量进入市场。第三，第5节的均衡结果表明，只有一个人进入大额索赔制度，其他人才能通过最佳行动进入该制度。因此，我们的结果也可用于研究和证明衍生市场中出现大型参与者的合理性，即参与者立即持有大量头寸，而不是逐渐增加其头寸规模。第四，我们的工作有助于在存在小的不可预见风险（例如保险业）的情况下，当头寸规模很大时，正确定价索赔。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们详细描述了模型和最优投资问题。在第3节中，我们提出了关于规模无差异收敛的主要假设，并得出了大偏差理论的动机和联系。在第4节中，我们描述了规模无差异价格收敛假设的主要后果。也就是说，我们陈述了关于最优位置的定理，并讨论了它们的结果。

此外，我们还讨论了最优财富过程的限制行为，并证明了速度Rn表征市场接近完成速度的解释是正确的。此外，我们还证明了关于最优性位置的一般结果适用于效用函数类中的所有效用函数，这些效用函数对于大的负性财富是指数衰减的。第5节包含关于部分平衡模型及其极限行为的结果。第6节包含满足我们假设的无摩擦市场的激励示例。第7节包含交易成本为零的示例。附录A、B和C包含了大部分证据。渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价52。模型，最优投资问题和无差异价格我们fix a horizon T>0，概率空间(Ohm, F、 P）过滤F=（英尺）0≤T≤T、 假设满足通常的条件。此外，我们假设F=F且利率为零，因此无风险资产等同于1。为了n∈ N我们用Snan Rdn值的局部有界半鞅表示，它代表可用于投资的风险资产。在续篇中，我们考虑了或有索赔B中的估值和最佳头寸∈ L(Ohm, F、 P）假设满足：假设2.1。EeλB< ∞ 总而言之λ∈ R.由于资产随n变化，等价局部鞅测度的类也随n变化。我们用mn表示测度Qn族~ P在F上，使得Snis是Qnlocalmartingale。召回两个概率度量<< νu相对于ν的相对熵由H（u|ν）=Eν[（du/dν）log（du/dν）]给出。为了排除每个市场的套利行为，我们做出了以下标准假设，如[14,18]所示，以及其他许多假设：假设2.2。

对于每个n，~Mn:={Qn∈ Mn:H（Qn|P）<∞} 6= .我们考虑一个风险厌恶度为an>0的指数效用投资者，其中，除了资产，我们还允许风险厌恶度随n变化。因此，投资者具有效用函数（2.1）Uan（x）=-阿内-安克斯；十、∈ R.如果交易策略π是可预测的、不可捕捉的，并且如果随机积分Xπn:=（πn·Sn）是所有Qn的Qn可置换的，则交易策略π是可容许的∈~Mn。NTH市场的可接受交易策略集表示为。对于初始资本x和位置q∈ R在权利要求B中，我们定义（2.2）unan（x，q）：=supπn∈阿内Uan（x+xπnT+qB）,当初始资本x和q单位为B时，投资者可以通过交易SNN获得最佳效用。当q=0时，投资者不拥有索赔，我们用（2.3）unan（x）：=supπn表示价值函数∈阿内Uan（x+xπnT）.B的初始资本x和q单位的平均（投标）效用无差异价格pnan（x，q）通过平衡方程（2.4）unan（x）确定-qpnan（x，q，q）=unan（x）。现在，我们总结了在当前设置和假设下，关于指数效用的效用最大化问题的一些众所周知的结果。有关这些事实的证据，请参见[14,18,19,26,30,32]。因为unan（x，q）=e-anxunan（0，q）我们在不损失一般性的情况下考虑x=0。没有B的值函数unan（0）是通过可容许策略^πnan（0）得到的。写出^Xnan（0）：=X^πnan（0）6 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos作为最优财富过程。此外，用Qn表示∈~mn存在最小熵测度。然后Qnand^Xnan（0）由公式（2.5）dQndP关联FT=e-安南（0）特河-an^Xnan（0）Ti。以类似的方式，对于某些可容许的交易策略^πnan（q），我们也得到了B的q单位unan（0，q）的值函数，并将^Xnan（q）：=X^πnan（q）作为所得财富过程。