法律不变的风险度量和信息分歧

设E表示收敛序列的（完全可分）度量空间，其值为[-M、 M]被赋予上确界度量，并通过u定义E上的u=∞Yn=1Po 十、-1n。设fn（x）=xndnote坐标映射，设f（x）=limn→∞对于x=（x，x，…）∈ E.那么f和fn是一致有界且连续的，其中fn→ 按结构逐点计算。自从o F-1n=Po 十、-1nanduo F-1=Po 十、-1，我们有ρ（Xn）=ρu（fn）→ ρu（f）=ρ（X）。(4 => 5） 显然我们有α（ν|u）≥ supf∈Cb（E）Zf dν- ρu（f）.为了显示反向不平等性，fix>0，并发现f∈ B（E）使得α（ν|u）≤ +Zf dν- ρu（f）。求一个带fn的连续函数的下界序列fn→ 然后，利用（3）和有界收敛定理，我们得到α（ν|u）≤ +limn→∞Zfndν- ρu（fn）≤ +supf∈Cb（E）Zf dν- ρu（f）.(4 => 3） 显而易见。(3 => 2） 让我们→ P（E）和f中的u∈ Cb（E）。设λ表示[0,1]上的Leb e sgue测度，并设qnand qdenote对应于un的分位数函数o F-1和uo F-1，使uno F-1= λ o Q-1nanduo F-1= λ o Q-1.然后qnare与qn一致本质有界→ qλ-a.s.和定律不变性场ρun（f）=ρλ（qn）→ ρλ（q）=ρu（f）。(4 => 1） 现在我们知道（4）意味着bo-th（5）和（2），因此我们可以写出α（ν|u）=supf∈Cb（E）Zf dν- ρu（f）.自映射（u，ν）7以来→Rf dν-ρu（f）由（2）联合连续，α作为连续函数的上半连续。正如之前所宣布的，潜在的intere st还有一些额外的连续性属性，尽管我们不会在续集中使用这些属性。请注意，引理2.10并不遵循以下命题2.15，因为σ（P（E），B（E））的Borelσ场通常严格大于弱收敛拓扑的Borelσ场。提案2.15。假设ρ是一个具有诱导散度α的律不变风险测度。

如果P（E）被赋予拓扑σ（P（E），B（E）），那么mapu7→ ρu（f）对于每个f是连续的∈ 对于P（E）×P（E）上的积拓扑，B（E）和α（·|·）是下半连续的。证据首先，fix f∈ B（E）与| f |≤ M代表M>0。注意ρu（f）=ρuoF-1（id），其中id表示地图上的身份[-M、 M]。我们在引理2.14中看到([-M、 M]） 男7→ ρm（f）是连续的，具有弱收敛性。检查u7很容易→ u o F-1是从（p（E），σ（p（E），B（E））到p的连续ma p([-M、 这证明了第一种说法。根据定义（2.4），α（ν|u）是（ν，u）的连续函数的上确界，这证明了第二种说法。丹尼尔·拉克尔。接受一致性和超加性是韦伯[35]首次观察到的，定律不变的风险度量自然会在任何（好的）过滤概率空间上产生动态风险度量。我们将使用相同的结构：定义ρaga inbyρ（Po 十、-1） =ρ（X），这得益于定律不变性。使用我们之前的符号，请注意∧ρ（m）=ρm（id），其中id表示R上的身份映射。然后，我们可以定义任何σ-场G F英寸Ohm还有任何X∈ L∞,ρ（X | G）：=ρ（P（X）∈ · | G） ）。请注意，给定G的X的正则条件定律是因为Ohm 这是标准的。引理2.14确保ρ（X | G）是一个G-可测量的随机变量，唯一定义为a.s.等式。类似地，对于随机变量Y，写出ρ（X | Y）：=ρ（X |σ（Y））。注意，如果Y是G-可测量的，那么对于任何随机变量X，ρ（X+Y | G）=ρ（X | G）+Y，a.s.。如果X和Y是独立的，那么检查ρ（f（X，Y）| X）=ρ（f（X，Y））| X=X是很简单的。我们几乎准备好定义我们研究的时间一致性类型。定义3.1。

如果ρ（X），我们说一个定律不变的风险度量ρ是可接受一致的≤ ρ（ρ（X | G）），对于所有子σ场G F和所有X∈ L∞. 如果不等式被逆转，我们说ρ是一致的。如果接受和拒绝一致，那么Wesayρ是时间一致的。备注3.2。一旦采用归纳法，这种定义看起来更像是公文包中出现的定义（见[1]）。让（Ft）t≥0表示任何过滤Ohm, 与英国《金融时报》合作 F表示所有t.实际上，（ρ（·Ft））t≥0是[1]意义上的动态风险度量。如果ρ与X一致∈ L∞, 然后直接检查ρ（X | Fs）≤ ρ（ρ（X | Ft）|Fs）a.s.为0≤ s≤ t、 3.1。超加性和s h ift凸性。让我们给某些类似于经典相对熵链式法则的发散不等式命名。从今往后，我们需要假设我们的分歧是简单的，如定义2.9所示。就以下超加性定义而言，该假设主要是为了确保发散eα（·|·）是可联合测量的，因此积分是有意义的。随后，主要定理3.5的一个技术点将在很大程度上取决于是否简化了发散，但定理3.5是否适用于更一般性的问题仍有待解决。定义3.3。如果α（ν（dx）Kνx（dy）|u×u），我们说散度α是部分超加的（分别是部分亚加的）≥ α（ν|u）+Zν（dx）α（Kνx |u），（re sp。≤ )当ν（dx）Kνx（dy）和u×u是两个波兰空间乘积的概率测度时；请注意，后者必须是产品度量。如果α（ν（dx）Kνx（dy）|u（dx）Kux（dy））的话，我们说一个简化的散度α是（完全）超加的（或次加的）≥ α（ν|u）+Zν（dx）α（Kνx | Kux），（re sp。

≤ )当ν（dx）Kνx（dy）和u（dx）Kux（dy）是两个波兰空间乘积的概率测度时。请注意，当参考度量是乘积时，部分超加性而不是完全超加性只要求不等式成立。事实证明，这些条件是等价的，尽管我们对这个事实只有间接的了解。正如导言中所讨论的，散度αa的可加性性质与其诱导风险度量的时间一致性和子水平集性质重新关联，我们现在描述了这些性质。在下面，我们将写P[-M、 M]对于M>0，对于区间上支持的一组概率测度[-M、 M]。定义3.4。（1） 法律不变风险度量ρ的度量接受集A由A:={P定义o 十、-1:X∈L∞, ρ（X）≤ 0}. 换句话说，这是满足ρ（X）的随机变量X的一组定律≤ 0.法律不变风险度量和信息分歧13（2）A集合A P（R）是平移凸的，如果对于每u∈ A、 每个M>0，每个可测量的mapR x7→ Kx∈ A.∩ P[-M、 它认为，测量结果是u（dx）Kx（·- x） 正如韦伯所讨论的那样，度量接受集A的凸性允许对所谓的复合彩票进行自然解释：如果两个结果x和Y是可接受的，那么A的凸性意味着结果与法则tP一致o 十、-1+ (1 - t） Po Y-1也可以接受，对于任何t∈ (0, 1). 移位凸性同样适用于解释：假设X是一个可接受的结果，并且给定X，Y是有条件可接受的。那么移位凸性意味着X+Y本身是可接受的。为了说明这一点，在位移凸性的定义中，取u作为X的定律，Kxto作为给定X的Y的条件定律。第3.6节我们将详细阐述对这一不寻常性质的解释和重新表述。

我们现在可以陈述本节的主要结果。定理3.5。假设α是由具有可接受集a的定律不变风险度量ρ引起的简化散度。以下是等价的：（1）ρ是可接受一致的。（2） 移位是凸的。（3） α是超加的。（4） α是部分超加的。同样，当“接受”变为“拒绝”，“超加”变为“次加”，A变为Ac时，同样的等价性成立。（1）和（2）的等价性成立，没有假设α是简单的。（1）和（3）之间的等价性与[1]的定理27有关，第3.4节阐述了精确的联系。从定理3.5我们可以得出结论，没有多少发散是可加的，即上加和下加。根据Kupper和Schachermayer[26]，唯一的时间一致不变风险度量是熵：推论3.6。假设α是一个s简化的散度。如果α既是超可加的又是次可加的，那么它是以下形式之一：α（ν|u）=ηH（ν|u），对于某些η>0，对于ν<< u, ∞ 否则，对于ν=u，α（ν|u）=0，∞ 否则，对于ν，α（ν|u）=0<< u, ∞ 否则这些情况下的诱发风险度量为ρ（X）=η-log E[EηX]，ρ（X）=EX，ρ（X）=ess sup X.3.2。时间一致性的性质。下面的引理表明，接受一致性相当于一个似乎较弱的陈述，这将更容易与移位凸性联系起来：引理3.7。设ρ是一个定律不变的风险度量。那么ρ是可接受一致的当且仅当下列条件成立：对于每对独立的随机变量X，Y，其值在某些波兰空间se，F中，以及对于每一个F∈ B（E×F），我们有ρ（F（X，Y））≤ ρ（ρ（f（X，Y）|X））。证据“只有在”的方向是直接的。为了证明相反，fix∈ L∞和一个σ-场G F

芬迪∈ L∞这就产生了G，例如Y=P∞n=1-nBnwhere{Bn}是G的一个可数生成子族（回想一下，我们的环境概率空间是标准的）。根据[23，定理5.10]，我们可以找到独立的随机变量sey和U，以及一个可测函数f，使得（eY，f（eY，U））具有与（Y，Z）相同的规律。那么假设和定律不变性意味着ρ（Z）=ρ（f（eY，U））≤ ρ（ρ（f（eY，U）|eY））。但是f（eY，U）giveneY的条件定律与Z（Y）的条件定律相同，因此ρ的定律不变性意味着ρ（f（eY，U）| eY）和ρ（Z | Y）=ρ（Z | G）具有相同的定律。进一步利用定律不变性，我们得出结论：ρ（ρ（f（eY，U）|eY））=ρ（ρ（Z | G））。14 DANIEL Lacker下一个引理重新表述了接受一致性，用了一种更为严格的理论符号，这将在以后有用。提案3.8。对于定律不变的风险度量ρ，以下是等价的：（1）ρ是一致的。（2） 对于抛光空间E和F，\'u=u（dx）Kux（dy）∈ P（E×F），F∈ B（E×F）和g∈ B（E）μ（g）≤ 0，我们有十、∈ E：ρKux（f（x，·））≤ g（x）= 1.=> ρ′u（f）≤ 0.（3）对于抛光空间E和F，\'u=u（dx）Kux（dy）∈ P（E×F）和F∈ B（E×F），我们有ρuρKux（f（x，·））|x=x≥ ρ′u（f），（4）对于抛光空间E和f，u∈ P（E），u∈ P（F），F∈ B（E×F）和g∈ B（E）μ（g）≤ 0，我们有u{x∈ E：ρu（f（x，·））≤ g（x）}=1=> ρu×u（f）≤ 0.（5）对于抛光空间E和F，\'u=u×u∈ P（E×F）和F∈ B（E×F），我们有ρu（ρu（F（x，·））|x=x）≥ ρ′u（f），其中X表示E上的恒等式映射。相同的等价物保持一致，但不等式相反。证据很明显，（3）意味着（5），（2）意味着（4）。属性（5）和表3.7中描述的属性是等价的，只是用不同的符号书写，因此（5）和（1）是等价的。

我想证明一下=> 2.=> 3和4=> 5.(1 => 2） 固定抛光空间E和F，\'u=u（dx）Kux（dy）∈ P（E×F），F∈ B（E×F）和g∈ B（E）μ（g）≤ 0.也假设十、∈ E：ρKux（f（x，·））≤ g（x）= 1.找到一个E×F值的随机变量（X，Y），其定律为‘|u，注意ρ（F（X，Y）| X）=ρKuX（F（X，·））≤ g（X），a.s.ρ屈服的一致性和单调性ρ′u（f）=ρ（f（X，Y））≤ ρ（ρ（f（X，Y）|X））≤ ρ（g（X））=ρu（g）≤ 0.(2 => 3） 固定抛光空间E和F，\'u=u（dx）Kux（dy）∈ P（E×F）和F∈ B（E×F）。定义g∈ B（E）乘以g（x）=ρKux（f（x，·））。然后是琐碎的十、∈ E：ρKux（f（x，·）- ρu（g））≤ g（x）- ρu（g）= 1.由于ρu（g- ρu（g））=0，性质（2）意味着ρu（f- ρu（g））≤ 0.重新调整以获得ρ¨u（f）≤ ρu（g），根据需要。(4 => 5） 固定抛光h空间E和F，u∈ P（E），u∈ P（F）和F∈ B（E×F）。定义g∈ B（E）byg（x）=ρu（f（x，·））。然后是微不足道的u{x∈ E：ρu（f（x，·）- ρu（g））≤ g（x）- ρu（g）}=1。因为ρu（g- ρu（g））=0，性质（4）表示ρu×u（f）- ρu（g））≤ 0.重新计算得到ρu×u（f）≤ ρu（g），根据需要。这种对接受一致性的替代性描述将在解决可加性问题时对我们特别有用。现在，我们将用它来建立接受一致性和转移凸度之间的联系。提案3.9。一个律不变的风险测度是可接受一致的当且仅当其测度可接受集是平移凸的。法律不变的风险度量和信息差异。设ρ是一个具有度量接受集a的定律不变风险度量。首先，假设ρ是接受一致的。固定u∈ A、 M>0，一个可测量的映射R x7→ Kx∈ A.∩ P[-M、 M]。设置u=u（dx）Kx（dy-x） 。让λ表示[0,1]上的勒贝格测度，我们可以发现（例如，通过[23，定理5.10]）一个可测函数f:R×[0,1]→ R使得，如果^f（x，y）：=（x，f（x，y）），那么¨u=（u×λ）o^f-1.现在设置g（x）=x。

自λo f（x，·）-1=Kx（·- x） ，我们有λo [f（x，·）- g（x）]-1=Kx∈ A.∩ P[-M、 M]，每x.因此u{x∈ R：ρλ（f（x，·））≤ g（x）}=u十、∈ R：λo [f（x，·）- g（x）]-1.∈ A.= 1.请注意，s inceu具有compac t支持和Kx∈ P[-M、 M]对于所有x，f基本上是关于u×λ有界的。也因为oG-1= u ∈ A、 即ρu（g）≤ 0，验收一致性（赞成位置3.8（2））意味着ρu×λ（f）≤ 0.换句话说，（u×λ）o F-1.∈ A.但这就完成了移位凸性的证明，因为（u×λ）o F-1=ZRu（dx）Kx（·- x） 。相反，现在假设ρ是移位凸的。设E和F为抛光空间，且Fixu∈ P（E），u∈ P（F），F∈ B（E×F）和g∈ B（E）与ρu（g）≤ 0.也假设u{x∈ E：ρu（f（x，·））≤ g（x）}=1，或等于十、∈ E:uo [f（x，·）- g（x）]-1.∈ A.= 1.根据提案N3.8（4），我们必须检查ρu×u（f）≤ 0，或相当于t（u×u）o F-1.∈ A.设置ν：=uo G-1，注意∈ A.对于x∈ R、 定义alsoKx:=（uo [f（x，·）- g（x）]-1ifuo [f（x，·）- g（x）]-1.∈ A.不然。（δ的选择是任意的，A的任何其他元素都可以。）然后Kx∈ 对于每个x，移位凸性意味着Zrν（dx）Kx（·- 十）∈ A.但事实上，rν（dx）Kx（·- x） 等于（u×u）o F-1.因为∈ B（R）我们有zrν（dx）ZRKx（dy）- x） φ（y）=ZRν（dx）ZRKx（dy）φ（x+y）=ZEu（dx）ZFu（dy）φ（g（x）+f（x，y）- g（x））=ZE×Fφo fd（u×u）。最后，在我们转向定理3.5的证明之前，我们计算了风险度量7的惩罚函数→ ρ（ρ（X | G）），在没有时间一致性假设的情况下。这与[1]和[8]中的一些结果有关，只命名了一些，但在我们的条件惩罚函数被定义为点上至上而非本质上至上的意义上有所不同；关于这一点的讨论见第3.4节。提案3.10。设ρ是一个具有诱导散度α的定律不变风险度量，我们假设它是理想的。

设E和F为抛光空间，设¨u=u（dx）Kux（dy）∈ P（E×F）。让f∈ B（E×F），letX表示E上的单位m ap，然后ρuρKux（f（x，·））|x=x= supν（dx）Kνx（dy）∈P（E×F）ZEZFf（x，y）Kνx（dy）ν（dx）-ZFα（Kνx | Kux）ν（dx）- α(ν|u).16 DANIEL LACKERProof。我们首先计算ρuρKux（f（x，·））|x=x= supν∈P（E）ZEρKux（f（x，·））ν（dx）- α(ν|u)= supν∈P（E）（ZEsupη）∈ P（F）ZFf（x，y）η（dy）- α（η| Kux）ν（dx）- α(ν|u)).通过使用著名的可测量选择论证[7，命题7.50]来推导zesupη来完成证明∈ P（F）ZFf（x，y）η（dy）- α（η| Kux）ν（dx）=supKZEZFf（x，y）Kx（dy）ν（dx）-ZFα（Kx | Kux）ν（dx，）,上确界覆盖从E到F的所有核。3.3. 定理3.5的证明。我们在命题3.9中看到，接受一致性和移位凸性是等价的。我们将证明可接受一致性意味着超加性，而部分超加性意味着可接受一致性。这是不可能的，因为超加性显然意味着部分超加性。在两个波兰空间E和F以及函数F中固定∈ B（E×F）。首先假设ρ是部分超加的。固定¨u=u×u∈ P（E×F）。使用命题3.10，在部分超加性之后得到ρu（ρu（f（x，Y））|x=x）=supν（dx）Kνx（dy）∈P（E×F）ZEZFf（x，y）Kνx（dy）ν（dx）-ZFα（Kνx|u）ν（dx）- α(ν|u)≥ supν（dx）Kνx（dy）∈P（E×F）ZEZFf（x，y）Kνx（dy）ν（dx）- α（ν（dx）Kνx（dy）|u）= ρ′u（f）。从命题3.8（5）得出结论，ρ是可接受一致的。现在假设ρ是一致的。设u=u（dx）Kux（dy）∈ P（E×F）。

使用Proposition 3.10，然后使用Proposition 3.8（3）来获得supν（dx）Kνx（dy）∈P（E×F）ZEZFf（x，y）Kνx（dy）ν（dx）-ZFα（Kνx | Kux）ν（dx）- α(ν|u)= ρuρKux（f（x，·））|x=x(3.1)≥ 另一方面，根据下面证明的引理3.11，使用α的定义，我们得到zν（dx）α（Kνx|Kux）+α（ν|u）=supf∈B（E×F），g∈B（E）Zf d′ν-Zν（dx）ρKux（f（x，·））+zgdν- ρu（g）= supf∈B（E×F），g∈B（E）ZE×F（g（x）+F（x，y））？（dx，dy）- ρu（g+ρKux（f（x，·）））= supf∈B（E×F），g∈B（E）Zf d′ν- ρu（ρKux（f（x，·））|x=x）实际上，在第二行中，我们用g（x）+ρKux（f（x，·））替换了g（x），在最后一步中，我们用f byf+g替换了f。这表明了ν（dx）Kνx（dy）的函数∈ P（E×F）由zfα（Kνx | Kux）ν（dx）+α（ν|u）（3.2）定律不变风险度量和信息分歧17给出，精确地说是（3.1）给出的风险度量的最小惩罚函数。自从ν7→ α（°ν|u）是ρ|u的最小惩罚函数（见定理m 2.2），从凸共轭的顺序反转性质可以看出，α（·|u）支配（3.1）给出的风险度量的最小惩罚函数。也就是说，α（ν（dx）Kνx（dy）|u）≥ZFα（Kνx | Kux）ν（dx）+α（ν|u），对于每一个ν（dx）Kνx（dy）∈ P（E×F）。引理3.11（接近于[1]中的引理4）。对于任意|ν=ν（dx）Kνx（dy）∈ P（E×F），我们有zν（dx）α（Kνx | Kux）=supf∈B（E×F）Zf d′ν-Zν（dx）ρKux（f（x，·））3.4. 本质至上。让我们简要讨论一下如何将我们的结果与更常见的dua lcharacterization（接受一致性的惩罚函数）联系起来，如[1]所示。假设我们的散度α是简单的。让¨u=u（dx）Kux（dy）∈ P（E×F）表示波兰空间E和F。让（X，Y）表示e×F上的单位图（即坐标图），并通过让Fbe表示平凡的σ-场，让F=σ（X），让Fbe表示钻孔σ-场来定义e×F上的过滤（F，F，F）。