法律不变的风险度量和信息分歧

通过[ρ（F）]（x，y）=ρKux（F（x，·）），对（x，y）进行E×F的动态风险度量（ρ，ρ）∈ E×Fρ（F）=ρ′u（F）。也就是说，ρ将F-可测随机变量映射为F-可测随机变量。或者，我们可以将ρ视为L的映射∞（E×F，\'u）至L∞（E，u）。在这种表示法中，接受一致性为ρ（f）≤ ρ（ρ（f））表示所有f∈ B（E×F）。根据[1]的定理27，可接受一致性等价于不等式α（？）≥ α0,1（‘ν）+E‘ν[α（‘ν）]每保持一个‘ν=ν（dx）Kνx（dy）∈ 当Eα、α和α0,1由α（°ν）定义时，P¨u（E×F）：=supE′ν[f]：f∈ L∞（E×F，F，\'u），ρ（F）≤ 0= α（‘ν|’u），α（‘ν）：=ess supE′ν[f|f]：f∈ L∞（E×F，F，\'u），ρ（F）≤ 上午0点。= ess supZFf（X，y）KνX（dy）：f∈ L∞（E×F，F，\'u），u{x∈ E：ρKux（f（x，·））≤ 0} = 1α0,1（°ν）：=supE′ν[f]：f∈ L∞（E×F，F，\'u），ρ（F）≤ 0= 啜饮ZEf dν：f∈ L∞（E，u），ρu（f）≤ 0= α(ν|u).这里E′ν表示与对应于′ν的积分。换句话说，接受一致性等于α（‘ν|’u）≥ α（ν|u）+E′ν[α（\'ν）]每保持一个ν=ν（dx）Kνx（dy）∈ P′u（E×F）。这与我们对超可加性的定义不同，仅在术语E′ν[α（\'ν）]中。根据[1]的引理4，E′ν[α（′ν）]=supZE×Ff d′ν：f∈ L∞（E×F，F，\'u），ρ（F）≤ 上午0点。.注意ρ（f）≤ 0 a.s.当且仅当u{x∈ E：ρKux（f（x，·））≤ 0} = 1. 此外，对于任何f∈ B（E×F），ifg（x，y）：=F（x，y）- ρKux（f（x，·））然后ρKux（g（x，·））≤ 0表示所有x.ThusE′ν[α（′ν）]=supf∈B（E×F）Zf d′ν-Zν（dx）ρKux（f（x，·））但根据引理3.11，这反过来等于zeν（dx）α（Kνx | Kux）。换句话说，引理3.11将我们对接受一致性的描述与[1，定理27]的描述联系起来，我们现在认为它们是等价的。18丹尼尔·拉克尔。5.时间一致性差。韦伯在[35]中研究了时间一致性的相关概念。也就是说，如果ρ（X | G）是弱可接受一致的，则称一个定律不变的风险度量ρ是弱可接受一致的≤ 0 a.s。

意味着ρ（X）≤ 0，每X∈ L∞每一个σ-G F.类似地，如果ρ（X | G）>0a.s.意味着ρ（X）>0，则ρ是弱排斥相容的。下面的结果在很大程度上是由于韦伯[35]的缘故，它刻画了度量a接受集和发散方面的弱时间一致性。让我们说一套 P（R）是局部可测凸，如果对于每个M>0和每个Q∈ P（A）∩ P[-M、 平均测量∩P[-M、 M]Q（dm）M在A.定理3.12中。假设α是由具有可接受集a的定律不变风险度量ρ引起的简化散度。以下是等价的：（1）ρ是弱可接受一致的。（2） A是局部凸测度。（3） 对于波兰空间E和F，以及P（E×F）中度量u（dx）Kux（dy）和ν（dx）Kνx（dy），我们有α（ν（dx）Kνx（dy）|u（dx）Kux（dy））≥Zν（dx）α（Kνx | Kux）。（4） 对于波兰空间E和F，以及P（E×F）中度量u×u和ν（dx）Kνx（dy），我们有α（ν（dx）Kνx（dy）|u×u）≥Zν（dx）α（Kνx|u）。同样，当“接受”变为“拒绝”，“sub”变为“super”，A变为Ac时，相同的等效性成立。在不假设α是有效证据的情况下，（1）和（2）的等效性成立。含义（1）<=> （2） 在下面的例子中，韦伯[35]首先注意到了这一点，其余部分与定理3.5相同，但我们提供了一个草图：假设（1）成立。固定抛光空间se和F，测量P（E×F）中的u（dx）Kux（dy）和ν（dx）Kνx（dy）。可以看出（类似于命题3.8），弱接受一致性等同于以下内容：∈ B（E×F），u{ρKux（F（x，·））≤ 0} = 1 => ρ′u（f）≤ 因此，通过引理3.11，Zν（dx）α（Kνx | Kux）=supf∈B（E×F）Zf d′ν-Zν（dx）ρKux（f（x，·））= 啜饮Zf d′ν：f∈ B（E×F），u{ρKux（F（x，·））≤ 0} = 1≤ 啜饮Zf d′ν：f∈ B（E×F），ρ′u（F）≤ 0= α(ν|u).这证明了（1）=> (3). 既然（3）显然意味着（4），让我们最终证明（4）意味着（1）。

固定抛光空间SE和F以及u×u∈ P（E×F）。在定理3.5的证明中，（4）的不等式，结合引理3.11和凸共轭的顺序反转性质，暗示了集合包含{f∈ B（E×F）：ρu×u（F）≤ 0}  {f∈ B（E×F）：u{ρu（F（x，·））≤ 0} = 1} .同样，很容易看出（类似于命题3.8），这意味着弱一致性。备注3.13。事实上，对于度量接受集a，局部度量凸性等价于（普通）凸性。事实上，这项计划设定了一个目标∩ P[-M、 对于每一个M>0，M]都是弱闭的，这可以用Fatou性质2.1和弱收敛的Skorohod表示来证明。众所周知，闭凸集是测度c凸，例如[36，推论1.2.4]。对于未闭合的组件Ac，可能不存在相同的等效性。法律不变的风险度量和信息分歧193.6。更多关于Sift凸性的信息。让我们回顾一下我们对移位凸接受集的第一种解释：假设X和Y是风险，X是可接受的。假设Y在给定X的条件下是可接受的，那么移位凸性意味着X+Y本身是可接受的。下面的命题3.14表明，这一解释可以在Omes中得到加强：假设X和Y是风险s，而X是可接受的。假设某个σ-场G的X是可测量的，并且假设给定G，风险Y是有条件可接受的。那么转移凸性意味着风险X+Y也是可接受的。提案3.14。假设A是法律不变风险度量的度量接受集。然后一个isshift凸当且仅当它满足以下性质：（S）对于每个M>0和每个γ∈ P（R×（A）∩ P[-M、 当第一个边缘属于A时，它包含sthatzγ（dx，dm）M（·- 十）∈ A.同样，Acis是凸的当且仅当其满足性质时。证据假设一个满足属性。

固定u∈ A和可测地图R x7→ Kx∈ A.∩ P[-M、 M]。定义γ∈ P（R×（A）∩ P[-M、 现在由γ（dx，dm）：=u（dx）δKx（dm）。那么很明显，γ的第一个边缘是μ，它属于A.Mo-reover，γ（R×（A∩ P[-M、 M]）=1，自kx起∈ A.∩ P[-M、 M]每x.因此，根据性质，测量值为μ（dx）Kx（·- x） =Zγ（dx，dm）m（·- x） 在A中，这表明A是凸的。相反，假设A是移位凸的。那么相应的律不变风险测度ρ是可接受一致的。更重要的是，ρ是弱可接受的，因此可以用定理3进行凸度量。12、现在fix M>0和γ∈ P（R×（A）∩ P[-M、 M]），第一个边缘u属于A。分解γ以找到可测量的映射R x7→ Qx∈ P（A）∩ P[-M、 使γ（dx，dm）=u（dx）Qx（dm）。对于每个x定义Kx∈ P（R）是Qx的平均量度，即Kx（·）=ZQx（dm）m（·）。自Qx（A）以来∩ P[-M、 M]）=1表示u-a.e.x，并且由于a是局部度量凸的，所以它认为Kx∈ A对于u-A.e.x.从部分移位凸性，我们得出结论，被测γ（dx，dm）m（·- x） =ZRu（dx）ZA∩P[-M、 M]Qx（dm）M（·- x） =ZRu（dx）Kx（·- x） 在A中，这证明了属性。4.发散的进一步性质虽然通过定义，每个发散在其第一个参数中都是凸的，但众所周知，相对熵和f-发散是联合凸的。结果表明，散度的联合凸性等价于分布水平上相应的律不变风险测度的凹性。需要明确的是，对于alaw不变风险度量ρ，通过设置ρ（Po 十、-1） =ρ（X），对于X∈ L∞. Acciaio和Svindland[2]最近研究了ρ的凹性，他们提出了一个令人信服的理由，即尽管ρ在随机变量水平上是凸的，但凹性更常见。

事实上，他们表明ρ（X）=EX是唯一一个定律不变的风险度量，对于该度量，ρρ是凸的。例如，熵风险度量显然具有|ρ凹。此外，如果ρ是对应于函数φ的优化确定性等式，则公式¨ρ（u）=infm∈RZφ（m+x）u（dx）- M表明∧ρ是凹的。20丹尼尔·拉克尔提案4.1。设ρ是一个具有诱导散度α的律不变风险测度。以下是等价的：（1）α是联合凸的，即α（·|·）对于每个波兰空间E在P（E）×P（E）上是凸的。（2）对于每个波兰空间E和每个f∈ B（E），地图u7→ ρu（f）是凹的。（3） ρ是凹的。证据(1 => 2） 设E是波兰空间，f是波兰空间∈ B（E）。修正t∈ （0,1）和u，u∈ P（E）。那么（1）意味着ρtu+（1-t） u（f）=supν∈P（E）Zf dν- α（ν| tu+（1- t）u）≥ supν，ν∈P（E）tZf dν+（1）- t）Zf dν- α（tν+（1）- t）ν| tu+（1）- t）u）≥ supν，ν∈P（E）tZf dν+（1）- t）Zf dν- tα（ν|u）+（1）- t） α（ν|u）= tρu（f）+（1）- t） ρu（f）。(2 => 1） 另一方面，如果∈ P（E），那么（2）意味着α（tν+（1）- t） ν| tu+（1- t）u）=supf∈B（E）tZf dν+（1）- t） Zf dν- ρtu+（1）-t） u（f）≤ supf∈B（E）tZf dν+（1）- t） Zf dν- tρu（f）+（1）- t） ρu（f）≤ tα（ν|u）+（1）- t） α（ν|u）。(3 => 2） 这是从恒等式ρtu+（1）直接得出的-t） u（f）=ρtuo F-1+ (1 - t）uo F-1..(2 => 3） 这几乎是直接从上述身份。假设（2）。让我，我∈ P（R）有紧支护，t∈ (0, 1). 然后，让id表示R上的身份映射|ρ（tm+（1）- t） m）=ρtm+（1）-t） m（id）≥ tρm（id）+（1）- t） ρm（id）=tρ（m）+（1）- t） ρ（m）。分歧实际上是由有限空间E的值唯一决定的，这在下面的命题中得到了形式化。基于下面推论3.6中对相对熵的描述，我们可以得出一个更简单的描述，类似于Csisz\'ar[9]所调查的那些描述，但这会让我们走得太远。提议4.2。假设α是一个简化的散度。

对于任何抛光空间E和任何u，ν∈ P（E），我们有α（ν|u）=supα(ν o T-1|u o T-1） ：T:E→ 可测量的，有限的.证据不平等≥ 这直接源于对分歧的定义。为了证明这一性质，请注意，如果E是有限的，则其适用性很小。一般来说，通过B-orel同构（见[24，Theorem15.6]），存在一个可测函数S:E→ [0,1]具有可测逆。假设我们可以证明α（ν|u）=supα(ν o T-1|u o T-1） ：T:[0,1]→ 可测量的，有限的. （4.1）对于所有u，ν∈ P（[0,1]）。那么，如果u，ν∈ P（E），我们使用命题2.6得出α（ν|u）=α（νo s-1|u o s-1） =supα(ν o （T）o （S）-1|u o （T）o （S）-1） ：T:[0,1]→ 可测量的，有限的= 啜饮α(ν o T-1|u o T-1） ：T:E→ 可测量的，有限的.事实上，这是因为每个可测量的映射T:E→ F可以写成T′o S、 当T′=T时o s-1.因此，我们只需要证明（4.1）。由于[0，1]是紧致的，对于每一个n，我们可以找到一个可测量的映射Tn:[0，1]→ [0,1]范围有限，例如| x- Tn（x）|≤ 1/n代表所有x∈ [0, 1]. 然后，它会统一到身份。由于α是简化的，对于给定的>0，我们可以在[0,1]上找到一个连续函数f，使得α（ν|u）≤ +Zf dν- ρu（f）。因为ρu在上确界范数中是连续的，并且因为fo Tn→ 我们一致地得出结论，ρu（f）=limnρu（fo Tn）。因此α（ν|u）≤ +limn→∞采埃孚o Tndν- ρu（f）o Tn）= +limn→∞Zf dνo T-1n- ρuoT-1n（f）≤ +lim infn→∞α(ν o T-1n |uo T-1n）。这足以完成证明。最后，让我们提到数理统计中一个潜在的相关性，即效率统计总是在不等式α（ν）中实现相等o T-1|u o T-1) ≤ α(ν|u).

Kullback和Leibler的基础论文[25]证明了相对熵的这一结果，Liese和Vadja[29，定理14]处理了f-发散的情况。提案4.3。设E是一个波兰空间，u，ν∈ 带ν的P（E）<< u. 假设一个可测的mapT:E→ F是{u，ν}的有效值，这意味着dν/du是T-可测量的。然后，对于任何散度α，我们有α（νo T-1|u o T-1) = α(ν|u). 特别是，如果T是具有可测逆的双射，这一点成立。证据因为我们处理的是条件期望，所以我们使用了一个更为概率的符号来表示这种概率。通过定义一个发散的nc e，α（ν）o T-1|u o T-1) ≤ α（ν|u），所以我们只能证明逆不等式。众所周知，T的效率很容易就意味着每一个f的Eν[f|T]=Eu[f|T]a.s∈ B（E）；的确，如果∈ B（E）是T-可测量的，即neν[fh]=Eu[fhdν/du]=Eu[Eu[f|T]hdν/du]=Eν[Eu[f|T]h。由于[16]的推论4.65，我们有ρu（f）≥ ρu（Eu[f | T]）。因此α（ν|u）=supf∈B（E）（Eν[f]- ρu（f））≤ supf∈B（E）（Eν[f]- ρu（Eu[f | T]）=supf∈B（E）（Eν[Eu[f|T]]- ρu（Eu[f | T]）。E上的每个T-可测函数都可以写成go T表示一些可测函数g，因此α（ν|u）≤ 苏普格∈B（F）（Eν[g]o [T]- ρu（g）o T）=supg∈B（F）εoT-1[g]- ρuoT-1（g）= α(ν o T-1|u o T-1).备注4.4。命题4.3提出了一个自然的问题：反之亦然吗？也就是说，等式α（ν）o T-1|u o T-1） =α（ν|u）意味着T对（u，ν）有效？这并不适用于所有的发散，但当α是相对熵时，它适用，正如Kullback和Leibler[25]首次观察到的那样。Liese和Vadja[29]表明，这种相反的情况适用于许多（但不是所有）f-发散。正如这两篇论文[25,29]中所解释的那样，这种描述导致了有用的效率测试。例如，在我们讨论一些普通法不变风险度量之前，回顾一下我们的签名约定并不是通常的。

也就是说，ρ是增加的，而不是减少的。更确切地说，如果根据我们的定义，ρ是一个风险度量，那么map X 7→ ρ(-十） 通常被称为风险度量，如[16]中所述。22 DANIEL LACKER5。1.短缺风险措施。由F¨ollmer和Schied[14]引入的短缺风险度量的形式是ρ（X）=inf{c∈ R:E[l（十）- c） ]≤ 1} ，在哪里l 是一个损失函数，定义如下：定义5.1。损失函数是一个凸函数，没有增函数l : R→ 令人满意l(0) = 1 < l（x） 对于所有x>0。当然，诱导的风险度量族是ρu（f）=inf{c∈ R:ZEl（f（x）- c） u（dx）≤ 1}. （5.1）注意l 而单调共收敛，则总是能达到最大值。特别是，泽l（f（x）- ρu（f））u（dx）≤ 1.根据[16，定理4.115]，诱导散度为α（ν|u）=inft>0t1+ZEl*tdνdudu, 为了ν<< u，（5.2）其中l*（x） =supy∈R（xy- l（y） ）是凸共轭。众所周知，短缺风险度量在定义2.12[16，命题4.113和练习4.2.2]的意义上是连续的。因此，根据定理2.13，α是弱下半连续和简化的。现在让我们来确定一个shortfallrisk测度何时是支持的。我们说一个非负函数l : R→ [0, ∞] 如果l（x+y）≤ l（十）l（y） （分别为。≥) 为了所有的x，y∈ R.提案5.2。允许l 为损失函数，α为（5.2）中定义的相应散度。如果l 如果是对数次加性（分别是对数超加性），那么α是超加性（分别是次加性），或者等价地ρ是接受一致性（分别是拒绝一致性）证明。假定l 是对数次可加的。考虑到定理EM3.5，我们将证明以下集合是移位凸的：A:=（m）∈[M>0P[-M、 M]：Zl dm≤ 1).固定u∈ A、 M>0，一个可测量的映射R x7→ Kx∈ A.∩ P[-M、 M]。然后l dKx≤ 1个用于所有x和Alsorrl du≤ 1.

ThusZRu（dx）ZRKx（dy）- 十）l（y） =ZRu（dx）ZRKx（dy）l（y+x）≤ZRu（dx）l（x） ZRKx（dy）l（y）≤ 1，然后是rru（dx）Kx（·- x） 在A。备注5.3。除了显而易见的uscase之外，很难构造对数次可加函数的有趣例子l（x） =eηx或η>0。请注意l（x） 对于某些x=0排除了对数次可加性，因为它意味着l（y）≤ l（y）- 十）l（x） =0表示所有y。函数日志l 在R上必须是非减量的和次可加的，在Ze ro上等于零，而且这个函数的指数必须是c凸。我们找到的唯一其他例子都是限制形式l（x） =eF（x）对于F′（0）>0且具有大气线性增长的非减量函数F，即F（x）≤ cx适用于所有x≥ 0和F（x）≥ cx代表x≤ 0，对于c，c>0。法律不变的风险度量和信息分歧235.2。优化的确定性是等价的。Ben Tal和Teboulle[5,6]提出的优化确定性等价物的形式为ρ（X）：=infm∈R（E[φ（m+X）]- m），其中φ：R→ R是凸的，没有ndec，带φ*（1） =supx∈R（x）- φ（x））=0。当然，风险度量的诱导家族是ρu（f）：=infm∈RZEφ（m+f（x））u（dx）- M.相应的散度是φ*-散度，α（ν|u）=Zφ*dνdudu，表示ν<< u.正如我们在命题4.1之前的讨论中所看到的，优化确定性等价物总是满足命题4.1的凹性条件，这为α的众所周知的联合凸性提供了另一种证明。我们还知道α是联合弱下半连续的，在讨论时间一致性和可加性属性之前，我们使用REM 2.13证实了这一点。提议5.4。每个优化确定性等价物都是弱下半连续的。特别是，α是一个很好的证明。第二种主张源于第一种主张，即定理2.13。

根据定理2.13，它是toshow Lebesgue连续性：如果Xn，X∈ L∞与Xn↓ X a.s.，我们必须显示ρ（Xn）↓ ρ（X）。设>0，然后找到m∈ R使得e[φ（m+X）]- M≤ ρ（X）+。通过单调收敛，E[φ（m+Xn）]↓ E[φ（m+X）]。因此，对于足够大的n，ρ（Xn）≤ E[φ（m+Xn）]- M≤ E[φ（m+X）]- m+≤ ρ（X）+2。定理5.5。假设φ满足yφ*（x） +xφ*（y）≤ φ*（xy）（分别为。≥) 为了所有的x，y≥ 0.那么α可加性（分别为次加性）或等效ρ为接受一致性（分别为拒绝一致性）。证据我们研究了超加性的情况，因为次加性的情况也得到了类似的证明。假设E和F是Polish空间，设‘u=u（dx）Kux（dy）和‘ν=ν（dx）Kνx（dy）是E×F上的概率测度。简单地使用α的定义：α（‘ν|’u）=ZE×Fφ*d′νd′udu=ZEu（dx）ZFKux（dy）φ*dνdu（x）dKνxdKux（y）≥ZEu（dx）ZFKux（dy）dKνxdKux（y）φ*dνdu（x）+dνdu（x）φ*dKνxdKux（y）=泽φ*dνdudu+ZEν（dx）ZFKux（dy）φ*dKνxdKux（y）= α（ν|u）+ZEν（dx）α（Kνx | Kux）。备注5.6。当然，这种关系*（xy）=xφ*（y） +yφ*（x） 满足于φ*（x） =x logx，其中的共轭（假设φ*= +∞ 在负半线上）是φ（x）=ex-1.一般来说，假设l 是一个严格递增的对数次加损失函数。然后l-1（xy）≥ l-1（x）+l-1（y）表示x，y>0，依此类推*（x） ：=xl-1（x）满足度φ*（xy）≥ xφ*（y） +yφ*（x） 。如备注5.3所述，此类功能并不多。24丹尼尔·拉克尔。3.一致的风险措施。如果所有X的ρ（λX）=λρ（X），则称为相干风险度量∈ L∞λ≥ 0.一致律不变风险测度一定允许一个表示ρ（X）=supQ∈QEQ[X]，其中Q 聚丙烯(Ohm) 是闭凸的。Law不变性仅仅意味着如果Q∈ Q和Q′∈ 聚丙烯(Ohm) 具有相同的密度定律Po （dQ/dP）-1=Po （dQ′/dP）-1，那么Q′也必须在Q中；在d中，这一点很容易从Kusuoka r e的介绍中得出（见[27,22]）。