具有一致性的随机电力市场清算公式

价格扭曲mπn，n∈N有界为-\'-α+n≤Mπn≤α-n、 n∈\'N，-α+n≤Mπn≤α-n、 n∈N\\\'N，在哪里\'\'α+n=min迷你∈Gnαg，+i，minj∈Dnαd，+j，α+n, N∈\'N，α-n=min迷你∈Gnαg，-i、 明杰∈Dnαd，-Jα-N, N∈“与”α+n=P`∈自然对数αf，++（1）-B`n）αf，-`+ αθ+nP`∈LnB`，n∈Nα-n=P`∈LnB\'nαf，-`+ αθ,-nP`∈LnB`，n∈N.证明部分拉格朗日函数关于日前量gi，dj和相位角θnare的平稳性条件为0∈djL=(αd，+j+αd，-j）djE[（Dj（ω）-dj）+]+αd，+j+πn（j）-Eπn（j）（ω）J∈D（41a）0∈吉尔=(αg，+i+αg，-（一）giE[（Gi（ω）-gi）+]+αg，-我-πn（i）+Eπn（i）（ω）我∈G（41b）0∈θnL=X`∈自然对数αf，+`+αf，-`θnEXm∈NB`m（Θm（ω）-θm）++X`∈LnB\'nαf，-`+αθ+n+αθ,-NθnE（Θn（ω）-θn）++ αθ,-N-X`∈LrecnB`n-X`∈LsndnB`n（πn）-E[πn（ω）]n∈N、 （41c）Zavala、Kim、Anitescu和Birge：提交给运筹学的具有一致定价的随机市场清算24条；手稿号。我们记得n（i）是供应商i连接的节点，n（j）是需求j连接的节点。遵循定理2证明中使用的相同边界程序，我们得到-αd，+j≤Mπn（j）≤αd，-j、 j∈D-αg，+i≤Mπn（i）≤αg，-i、 我∈G.重新排列（41c），我们获得-X`∈LnB\'nαf，-`-αθ,-n+X`∈LrecnB`n-X`∈LsndnB`nMπn∈Sn，（42）其中Sn:=X`∈自然对数αf，+`+αf，-`θnEXm∈NB`m（Θm（ω）-θm）++αθ+n+αθ,-NθnE（Θn（ω）-θn）+（43）因为θnEh下午∈NB`m（Θm（ω）-θm）+我[-1,0]和θnE（Θn（ω）-θn）+[-1,0]，我们有\"-X`∈自然对数αf，+`+αf，-`-αθ，+n-αθ,-n、 因此，从（42）到（44），-X`∈自然对数αf，+`+αf，-`-αθ，+n-αθ,-N≤-X`∈LnB\'nαf，-`-αθ,-n+X`∈LrecnB`n-X`∈LsndnB`nMπn=-X`∈LnB\'nαf，-`-αθ,-n+X`∈LnB`Mπn≤因此，我们有α+n≤Mπn≤α-n、 因为\'-α+nandα-n节点的最小增量投标价格∈N，我们得到了边界-\'-α+n≤Mπn≤α-n、 n∈’N。每个节点的价格失真都是有界的∈ N

此外，如果惩罚参数αf，+`，αf，-`, αθ+n，αθ,-nare做得任意小，那么每个节点的价格扭曲就任意小。我们现在陈述的结果是定理3和定理4的自然延伸。定理7。考虑随机清算模型（39），让定理6的假设成立。日前量和相位角以实时量和相位角asminω为界∈OhmDj（ω）≤流行音乐播音员≤最大ω∈OhmDj（ω），j∈DZavala、Kim、Anitescu和Birge：提交给运筹学的具有一致性原则的随机市场清算；手稿号：25minω∈OhmGi（ω）≤gi≤最大ω∈OhmGi（ω），i∈Gminω∈OhmF`（ω）≤f`≤最大ω∈OhmF`（ω），`∈Lminω∈OhmΘn（ω）≤θn≤最大ω∈OhmΘn（ω），n∈N.对于供应商和需求的证明，我们可以使用与第3项证明相同的程序。前一天潮流和相位角的界限也遵循相同的论点。为了简单起见，我们使用定义（43）。考虑以下两种情况：o情况1：价格扭曲达到节点n的下限；因此我们有Mπn=-α+n。这意味着-P`∈自然对数αf，+`+αf，-`-αθ，+n-αθ,-N∈SN来自（42），因此我们有-1.∈θnE（Θn（ω）-θn）+（46a）-1.∈θnEXn∈NB`n（Θn（ω）-θn）+, ` ∈自然对数。（46b）从（26）中，等式（46a）表示P（Θn（ω）≥θn=1，等式（46b）表示p（Pn∈NB`nΘn（ω）≥Pn∈NB`nθn）=P（F`（ω）≥ f`）=1表示`∈ 自然对数。因此，我们有θn≤Θn（ω），ω∈ Ohm θn≤ 最大ω∈OhmΘn（ω）。类似地，f`≤ F`（ω），ω ∈ Ohm 和f`≤ 最大ω∈OhmF`（ω）表示`∈Ln.o情况2：价格扭曲达到节点n的上限；因此我们有Mπn=α-n、 这意味着0∈SN来自（42），因此我们有0∈θnE（Θn（ω）-θn）+（47a）0∈θnEXn∈NB`n（Θn（ω）-θn）+, ` ∈自然对数。（47b）从（26）中，等式（47a）意味着P（Θn（ω）≤θn=1，等式（46b）表示p（Pn∈NB`nΘn（ω）≤Pn∈NB`nθn）=P（F`（ω）≤ f`）=1表示`∈ 自然对数。因此，我们有θn≥Θn（ω），ω∈ Ohm θn≥ 最小ω∈OhmΘn（ω）。

类似地，f`≥ F`（ω），ω ∈ Ohm 和f`≥ 最小ω∈OhmF`（ω）表示`∈自然对数。定理8。考虑随机清算问题（39），让定理6的假设成立。如果价格扭曲Mπn，n∈N在溶液中为零，那么dj=QDj（ω）αd，-Jαd，+j+αd，-JJ∈D（48a）gi=QGi（ω）αg，+iαg，+i+αg，-我, 我∈G.（48b）Zavala、Kim、Anitescu和Birge：提交给运筹学的随机市场清算，价格一致26篇；对于（48a）和（48b）的证明，我们可以使用定理4证明中使用的相同程序。推论3。如果增量投标价格与推论1对称，那么dj=M（dj（ω）），j∈D、 gi=M（gi（ω）），i∈G.我们将罚款条款纯粹视为限制前一天流量和相位角的一种手段，并诱导期望的定价属性。我们的结果表明，允许αf，+`，αf，-`, αθ+n，αθ,-要足够小。此外，进行这些任意调用可以保证随机问题（12）的预期社会盈余满足sto≈φ.另一种方法是简单地对形式（4d）和（4g）施加日前边界，并消除对水流和相位角的惩罚条款。然而，在这种情况下，我们不能保证价格扭曲是有限度的，正如我们在下一节中所说明的那样。此外，与日前量的情况类似，对流量施加日前界限需要我们为流量和相位角的界限选择适当的统计数据，这可能不是一件小事。现在，我们证明了收入充足性，并在网络约束公式的预期中实现了零提升支付。我们将部分拉格朗日函数（40）（受约束（6f）-（6h））的极小值表示为d*j、 D*j（·），g*i、 G*i（·），θ*n、 Θ*n（·），π*n、 π*n（·）。

因为问题是凸的，我们知道价格π*n、 π*n（·）满足（d）*j、 Dj（·）*, G*i、 G*i（·），θ*n、 Θ*n（·））=argmindj，Dj（·），gi，gi（·），θn，Θn（·）L（Dj，Dj（·），gi，gi（·），θn，Θn（·），π*n、 π*n（·））s.t.（6f）-（6h）。此外，在π*n、 π*n（·），部分拉格朗日函数可以分离为asL（dj，dj（·），gi，gi（·），θn，Θn（·），π*n、 π*n（·））=Xi∈GLgi（gi，gi（·），π）*n、 π*n（·））+Xj∈DLdj（dj，dj（·），π）*n、 π*n（·））+Lθ（θn，Θn（·），π*n、 π*n（·））。（49）其中前两项定义见（34）和Lθ（θ`，Θ`（·），π）*n、 π*n（·））=X`∈乐αf，+Xn∈NB`n（Θn（ω）-θn）！+αf，-`Xn∈NB`n（Θn（ω）-θn）！-+Xn∈氖αθ+n（Θn（ω）-θn）+αθ,-n（Θn（ω）-θn）--Xn∈NπNX`∈LrecnB`nθn+B`，snd（`）θsnd（`）-X`∈LsndnB`，rec（`）θrec（`）+B`nθn-EXn∈N∏N（ω）X`∈LrecnB`n（Θn（ω）-θn）+B`，snd（`）Θsnd（`）（ω）-θsnd（`）Zavala、Kim、Anitescu和Birge：提交给运筹学的价格一致的随机市场清算；第27号手稿-X`∈LsndnB`，rec（`）Θrec（`）（ω）-θrec（`）+ B`n（Θn（ω）-θn）（50）因此，可以通过单独最小化（34）和（50）来最小化部分拉格朗日函数。定理9。考虑随机清算问题（39），让定理6的假设成立。任何极小值d*j、 Dj（·）*, G*i、 Gi（·）*, θ*n、 Θ*n、 π*n、 π*（39）中的n（·）对所有参与者产生零提升支付，预期收入充足率：MUi=0，i∈G、 （51a）MUj=0，j∈D、 （51b）味噌≤0.（51c）固定π的证明*n、 π*n（·），通过分离部分拉格朗日函数，零上浮直接来自定理5。

在固定π*n、 π*n（·）我们还注意到θn=Θn（·）=0是Lθ（θn，Θn（·），π）最大化的可行候选解*n、 π*n（·））在这个次优点，这个项也是零。如果流量平衡（6b）和（6d）保持不变，我们有0=-Xn∈NπNX`∈LrecnB`nθn+B`，snd（`）θsnd（`）-X`∈LsndnB`，rec（`）θrec（`）+B`nθn+xi∈Gngi-Xj∈Dndj-EXn∈N∏N（ω）X`∈LrecnB`n（Θn（ω）-θn）+B`，snd（`）Θsnd（`）（ω）-θsnd（`）-X`∈LsndnB`，rec（`）Θrec（`）（ω）-θrec（`）+ B`n（Θn（ω）-θn）+xi∈Gn（Gi（ω）-gi）-Xj∈Dn（Dj（ω）-dj）！#。（52）因此，对于任意一组价格πn，πn（·），我们有-Xn∈NπNX`∈LrecnB`nθn+B`，snd（`）θsnd（`）-X`∈LsndnB`，rec（`）θrec（`）+B`nθn-EXn∈N∏N（ω）X`∈LrecnB`n（Θn（ω）-θn）+B`，snd（`）Θsnd（`）（ω）-θsnd（`）-X`∈LsndnB`，rec（`）Θrec（`）（ω）-θrec（`）+ B`n（Θn（ω）-θn）Zavala、Kim、Anitescu和Birge：《价格一致的随机市场清算》28篇提交给运筹学；手稿编号=Xn∈NπnXi∈Gngi-Xj∈Dndj！+E“Xn∈N∏N（ω）Xi∈Gn（Gi（ω）-gi）-Xj∈Dn（Dj（ω）-dj）#=xi∈Gnπn（i）gi+E“Xi∈Gn∏n（i）（ω）（Gi（ω）-gi）#-Xj∈Dnπn（j）dj-E“Xj∈Dn∏n（j）（ω）（Dj（ω）-dj）#=味噌。因此，我们有0≥Lθ（θ）*n、 Θ*n（·），π*n、 π*n（·））≥-Xn∈NπNX`∈LrecnB`nθn+B`，snd（`）θsnd（`）-X`∈LsndnB`，rec（`）θrec（`）+B`nθn-EXn∈N∏N（ω）X`∈LrecnB`n（Θn（ω）-θn）+B`，snd（`）Θsnd（`）（ω）-θsnd（`）-X`∈LsndnB`，rec（`）Θrec（`）（ω）-θrec（`）+ B`n（Θn（ω）-θn）= 味噌，第二个不平等的原因是`∈乐αf，+Xn∈NB`n（Θn（ω）-θn）！+αf，-`Xn∈NB`n（Θn（ω）-θn）！-+Xn∈氖αθ+n（Θn（ω）-θn）+αθ,-n（Θn（ω）-θn）-≥0我们强调，由于部分拉格朗日函数在固定价格下仍然是可分离的，因此引入流量惩罚条款不会影响收入和成本回收。6.计算研究在本节中，我们将说明随机模型的不同性质。

我们还证明了随机模型在所有提出的指标上都优于确定性模型。我们还希望强调随机配方带来的好处，不仅限于改善socialsurplus。本节中考虑的优化问题使用CPLEX-12.6.1解决。所有模型均可在http://zavalab.engr.wisc.edu/data.6.1.系统I首先考虑我在图1中绘制的系统。该系统在节点1和3上有两个确定性供应商，在节点2上有一个随机供应商。随机供应商有三种可能的产能方案G（ω）={25,50,75}MWh，概率p（ω）={1/3,1/3,1/3}。ForZavala、Kim、Anitescu和Birge：提交给运筹学的价格一致的随机市场清算；第29号手稿图1系统方案I.\'G=50 = 20克=50克 = 10’D=100 = 1000克（！）={25, 50, 75} =1“F=25”F=50，风电供应商的日前容量限制“g”将设置为50 MWh，即预期值预测。节点2中的需求在100 MWh的水平上是确定的。我们使用αd=V OLL=1000$/MWh作为投标价格，并以αd=0.001。供应商的投标价格为{10,1,20}$/MWh，以及增量投标价格αgiare{1.0,0.1,2.0}$/MWh。1号线的输电能力→2和2→3是确定性的，设置为“F1”→2={25,25,25}MWh和`F2→3分别为{50,50,50}，罚款为αf=0.001。线路容量的设计使系统在随机供应商仅提供25 MWh的情况下变得紧张。我们假设两条线的线极化率都是50。在这种情况下，两条输电线路都会变得拥挤，实时价格将达到很高的值。

我们使用惩罚参数αθn=0.001。我们比较了确定性、随机性和随机性等待和查看（WS）设置的性能。结果如表1所示。我们比较了供应商的预期盈余以及价格和数量。由于需求是确定的，因此消费者的额外负荷是恒定的。因此，我们只显示了μg。对于确定性设置，预期供应盈余μgis$835，以及前一天的价格πnare{10,20,20}$/MWh。前两个节点之间的价格差异源于1号线前一天的绑定流量→2条25兆瓦时的线路。在实时市场中，每种情况下∏n（ω）的价格分别为{91000,22}、{9,20,20}和{9,14,14}$/MWh，预期值为E[∏n（ω）]={9345,19}。价格中存在严重的扭曲，由Mπ平均值=109和Mπ最大值=325表示。我们现在分析随机公式的清除。日前价格为{10276154}，实时价格为{10792428}，{10,20,20}，{10,15,15}，预期值为{10276154}。价格失真度量Mπavg和Mπmax都为零。随机WS（观望）解决方案是一致的，因为它不会导致实时市场中的数量修正，并产生当天的提前和实时价格。因此，只有在完美信息存在的情况下，我们才能保证每个场景的日前价格和实时价格的一致性。我们注意到，expectedZavala、Kim、Anitescu和Birge：提交给运筹学的具有一致定价的随机市场清算30篇文章；手稿1表1系统I。

数量、价格和社会剩余的比较。5，25，50{{9，25，10，14，14，14，14{{25，14，14，14，14，15，25，25，25，25，50，25，50，50，25，25，50，25，50，25，50，25，25，20，20{10，20，20，25，25，25，20，25，25，25，25，20，25，25，25，20，25，25，25，25，20，25，20，20，20，20，20，20，20，20，9，9，9，9，345，35，35，35，345，35，19，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，35，75，35，35，75，75，75，75，75，75，75，75，75 20,20}{10,276,154}835{25,75,0}{10,15,15}{25,25,50}{10,1000,929}{25,25,50}{10,1000,929}{10,20,20}{25,50,25}{10,20,20}{10,345,321}800 NA{25,75,0}{10,14,14}{25,75,0}{10,14,14}表2系统I.供应商和ISO收入的比较。E[Pgi（ω）]E[Cgi（ω）]误判{250，-7219569}{250,52533}-8400随机{25073217295}{250,52533}-12719随机WS{250902115656}{250,50500}-9546盈余以及随机和确定性公式的前一天和实时量是相同的。原因是确定性公式和随机公式有相同的原始解。这种情况可能会导致从业者相信随机公式不会带来任何好处。然而，获得的价格完全不同。因此，我们可以看到，基于社会剩余的论点并没有充分体现随机公式的好处。使用这两种配方获得的不同价格导致市场参与者之间的支付分配显著不同。如表2所示，对于确定性设置，供应商获得${250，-7219569}的预期付款E[Pgi（ω）]。风电供应商收到的付款为负数，并要求提升以实现成本回收。在这种情况下，风电供应商的预期成本[Cgi（ω）]为52美元，因此需要7271美元的预期提升。对于随机公式，预期付款为${25073217295}。风电供应商有正付款，无需提价。

这种情况表明，随机设置可以有效地分配资源。请注意，所有配方均符合预期。备注1。系统I的优化问题是高度退化的，因此有多个对偶解（即在我们的上下文中的价格）。我们强调，本节中报告的解决方案是从CPLEX-12.6.1中实施的屏障法（无交叉）中获得的，该方法将提供中心点解决方案。然而，我们也在附录中报告了从不同线性规划算法获得的解。Zavala、Kim、Anitescu和Birge：提交给运筹学的价格一致的随机市场清算；第316.1.1号手稿。日前量的界限我们现在证明，增加日前流量和相位角的界限，而不是增加惩罚项，可以影响随机模型的定价属性。价格扭曲π- 使用day aheadbound（不含惩罚项）获得的E[π（ω）]为{-0.4,0,0}而使用惩罚条款获得的αf=αθ=0.001（无边界）为{0,0,0}。惩罚条款实现了期望的定价属性。根据处罚条款获得的前一天流量为{25，25}；这些是实时流的中间值，场景1为{25,50}，场景2为{25,25}，场景3为{25,0}。这也意味着前一天的流量是有界的，因此前一天的流量是多余的。同样，通过惩罚条款获得的前一天相位角为{-3.58, -3.08, -3.58}; 这些是实时相位角的中间值{-3.52, -3.02, -4.02}, {-3.58, -3.08, -3.58}，以及{-3.65, -3.15, -3.15}分别适用于情景1、2和3。这表明前一天的数据有偏差。6.1.2.

增量投标价格的影响我们试验了增量投标价格对价格扭曲的影响。考虑中心节点的需求也是随机的，并且假设D（ω）={100,50,25}。我们为随机供应商设定了增量投标价格αgto1.0。对于需求增量投标价格αd=0.001、0.01、0.1和1.0，最大价格扭曲Mπmax分别为0.001、0.010、0.069和0.334。偏差仍然受增量报价的限制，并且随着增量报价的降低，偏差可以任意减小。结果与所建立的性质一致。6.2. 系统II我们现在考虑图2所示的更复杂的系统。这是Pritchard等人（2010）提出的系统的改编版本。该系统在节点2和4中有两个随机供应商，在节点1、3和5中有三个确定性供应商，在节点6中有一个随机需求。需求被视为非弹性需求。需求服从正态分布，平均值为250，标准差为50。我们使用样本平均近似来求解该模型，并以相等的概率生成25个需求场景。随机供应商可能有5个容量{10,20,60,70,90}MW。每个场景代表25种不同排列中的一种。供应商的投标价格为{100,1100,1200}$/MWh，以及增量投标价格αgiare{10,0.1,10,0.1,20}。我们将αd=voll=1000$/MWhand设置为αd=0.001。我们还设置了惩罚参数αf`=αθn=0.001。