基于轨迹的模型。极小极大定价界的估计

然后，动态边界是凸的，由ui（S，Z，M）=1给出-杜-酒后驾车+1（Su，Z，M）+u-1u-酒后驾车+1（Sd，Z，M）。(5.1)2. 假设ZF是凹的，对于所有的S∈ SW（s，d，u，π）和0≤ i<n条件（4.1）成立，存在S′∈SW（S，i）使得S′i+1=Si。然后，动态边界是凹的，由ui（S，Z，M）=Zf（Si）给出。证据让我们∈ SW（s，d，u，π）；自从太阳出来≥ 有什么吃的吗∈ 高级（南、北）-1） 和Zf，Zf（太阳）-u（苏，Sd）（孙）-S+向上）≥ 采埃孚太阳1.-太阳-松松-Sdn+ Sdn太阳-松松-Sdn= Zf（Supn）。同样，自从太阳≥ Sdo适用于任何Sdo∈Sdo（南、北）-1） Z凸，它跟随ZF（太阳）-u（苏，Sd）（孙）-Sdon）≥ 采埃孚太阳1.-太阳-s-NSU-Sdn+ Sdn太阳-斯东森-Sdn= Zf（Sdon）。然后通过附录C中的引理6，Zf（Supn）-副秘书长（副秘书长、副秘书长）-锡-1) ≤采埃孚（太阳）-u（苏，Sd）（孙）-锡-1） ，谢谢大家∈高级（南、北）-1） 还有Sdo∈ Sdo（南、北）-1). 因此，定理6的假设1成立，因此，Un-1（S，Z，M）=Zf（太阳）-u（苏，Sd）（孙）-锡-1） =1-杜-dZf（美国海军）-1） +u-1u-dZf（dSn-1).由于凸性的性质在标度和正线性组合下保持不变，因此从上面的结果可以看出：-1（·，Z，M）是凸的，仅取决于Sn的值-1.我们现在进行反向归纳；让0≤ i<n，假设Ui+1（·，Z，M）是凸的，并且是givenby（5.1）。然后，用我们用于n的相同计算-1，我们可以证明ui（S，Z，M）是凸的，并由（5.1）给出所有S∈ 西南。这就是（5.1）的证明。现在考虑一下我们的定理案例2中的陈述和假设，并取S∈西南（s，d，u，π）。因为ZF是凹的，所以它遵循ZF（Supn）-副秘书长（副秘书长、副秘书长）-锡-1) ≤ 采埃孚苏普1.-苏普-锡-1Supn-斯登+ 斯登苏普-锡-1Supn-斯登= Zf（Sn）-1） 谢谢大家∈高级（南、北）-1） 还有Sdo∈ Sdo（南、北）-1). 特别是ZF（Supn）-u（Sup，S′）（Supn-锡-1） =Z（Sn）-1).因此，定理6的假设1成立，然后-1（S，Z，M）=Zf（Sn-1). 此外，联合国-1（·，Z，M）是凹的。

最后，通过反向归纳，我们得到了期望的结果。24 I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez[16]中介绍的标准二叉树模型是固定时间间隔市场的一种特殊情况。在该模型的典型节点中，Si+1的值只能为USI或DSIF，每个值为0≤ 二项模型很重要，因为它们可以通过让时间步长趋于零来近似连续时间模型。下一个命题表明，二项模型的V（s，Z，M）与导数的Cox-Ross-Rubinstein价格一致。这可以被看作是一般结果的特例（[18，定理8]），表明风险中性价格与相关基于轨迹的离散市场的价格边界相等。作为补充，请注意二项式模型是一个完整的市场（[17，定理6.8]），然后根据推论1，我们将有一个唯一的公平价格。命题6考虑M=SW（s，d，u，π）×H是一个具有参数u和d的二项市场，其中0<d<1<u。设Z=zf是一个欧洲导数的支付函数。然后，V（s，Z，M）=V（s，Z，M），由Cox-Ross-Rubinstein价格给出：V（s，Z，M）=n∑i=0nj！1.-杜-DJU-1u-DN-jZ（Suj+1dn）-j） 。证明我们将通过对n的归纳来证明它。设n=1，然后通过命题5，V（S，Z，M）=U（S，Z，M）=1-杜-dZf（美国海军）-1） +u-1u-dZf（dSn-1） 这是Cox Ross Rubinstein给出的一步二项模型的价格。假设v（s，Z，fM）是所有二项n有界市场fM的Cox-Ross-Rubinstein价格，并设M为二项n+1有界市场。接着是定理4和命题5，V（S，Z，M）=U（S，Z，M）=1-杜-dU（Su，Z，M）+u-1u-dU（Sd，Z，M），其中Su，Sd∈ SW（S，0）使得Su=u和Sd=ds。然后，根据引理3和定理4，u（Su，Z，M）=u（bSu，Z，cM）=V（bSu，Z，cM）u（Sd，Z，M）=u（cSd，Z，cM）=V（cSd，Z，cM），其中cM是一个二项n有界市场，bSu=Su和bsd=Sd。

然后，通过归纳假设，V（bSu，Z，cM）=n∑i=0nj！1.-杜-Dj+1U-1u-DN-jZ（Suj+1dn）-j） V（cSd，Z，cM）=n∑i=0nj！1.-杜-DJU-1u-Dn+1-jZ（Sujdn+1）-j） 。最后，替换和改变变量，得到v（S，Z，M）=n+1∑i=0n+1j！1.-杜-DJU-1u-Dn+1-jZ（Suj+1dn+1）-j） ，这是n+1步二项模型的Cox-Ross-Rubinstein。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。25三叉树模型最初出现在[9]中，比二叉树更灵活。股票价格可以向上、向下移动，也可以在usi和dSiateach节点之间取中间价，如下图所示。uSiSitttttt%%//bSidSiHence，0<d<b<u，b=1是不必要的。这样的市场模型是不完整的，因此，通过复制投资组合确定期权价值的技术不起作用。然而，我们可以找到选项值的上限和下限。下一个定理描述了一般不完全固定时间间隔市场M=SW（s，d，u，π）×H的最小最大边界SV（s，Z，M）和V（s，Z，M）。结果表明，欧式凸支付Z的界是完全确定的。结果也可以在[25]和[30]中找到。定理7考虑M=SW（S，u，d，π）×H一个固定的时间间隔市场，其中0<d<1<u。设Z=zf为一个欧式导数的支付函数，并假设它是凸的。1.如果全部0≤ 我≤N-1和S∈SW（s，d，u，π）存在Su，Sd∈SW（S，i）使得Sui+1=u sian和sdi+1=d Si，然后V（S，Z，M）由二叉树模型中导数的Cox-Ross-Rubinstein价格给出，其参数与区间模型相同。2.如果一切顺利∈ SW（s，d，u，π）和0≤ i<n条件（4.1）成立，存在S′∈ SW（S，i）比如S′i+1=Si，那么V（S，Z，M）=Zf（S）。（1）的证明见[30，定理1]。对于（2），回想一下V（s，Z，M）=-V（s），-Z、 M）。

既然Z是凸的，-Z是凹的。因此，根据命题5，U（S，-Z、 M）=-Z（S）。那么，V（S，Z，M）=-V（S），-Z、 M）=-美国，-Z、 M）=Z（S）。该定理假设恒定轨迹属于SW（s，d，u，π），即根据命题5第2项，对于每个节点（s，i），存在一条轨迹s′∈ SW（S，i）使得S′i+1=Si。如果这个条件不成立，那么上述定理的第2部分就不成立。例如，如果我们考虑一个b6=1的市场，很容易看到Ui（S，Z，M）=1-铜-cZf（美国）+u-1u-cZf（cSi）如果c<1，当b趋于d时，V（s，Z，M）显然趋向于V（s，Z，M）。5.1.2抽样二次变化（SQV）。本节介绍了一个离散市场模型，其中Si打算用x（t）图表股票对ex（t）建模，W代表轨迹的抽样二次变化，即wi=i-1.∑k=0（logSk+1-日志（Sk）。（5.2）26 I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez注意到，当使用Si=ex（t）时，应该使用单词表来表示数据ex（t），而不是x（t）作为wedo，但我们允许自己在这一点上滥用语言。准备好了吗∈ N、 ∑i={ex，x∈ R+}和Ohmi={i-1.∑k=0（对数Sk+1-洛格斯克∈∑k}。我们认为∈Θ≡ N.因此，轨迹∈ 西南∞（s，w）的形式为s={（Si，Wi，m）}i∈N、 其中Wii由（5.2）给出。在本例中，定义14中定义区间模型的一般约束可以解释为对消耗的二次变化和图表值变化的绝对值施加约束，这两种约束都是在连续交易实例之间。如图4所示，让α>0，我们可以限制logSi+1Si≤α. （5.3）条件WM（S）∈ Q意味着我们处理的轨迹，其在区间[0，T]内的总采样二次变化属于先验给定子集Q，并取c≡α、 约束Wi+1-Wi≤cin定义14成立。

我们用SW（s，α，Q）表示SW的子集∞（s，w）满足d=e的定义条件14-α、 u=eα，c=α和Q。对于任何投资组合集H，我们将关联市场M=SW（s，α，Q）×H称为抽样二次变异区间市场（或短时间的SQV市场）。典型节点如下所示（Siec，Wi+c）（Siec，Wi+c）（Si，Wi）,,,,词≤α（Sie）-c、 Wi+c）（Sie）-c、 Wi+c）在[10]中引入的轨迹集可以作为定义14的特例，通过取q={v}来恢复。在下一节中，我们将研究如何评估intervalsmarkets有限版本的区间价格，尤其是SQV市场。我们将考虑一个有限集Q，它不必包含一个独立元素。接下来，我们将为这类轨迹提供适当的离散化，以及agrid数据结构，这将允许我们计算这些示例的动态边界。6离散化和网格数据结构6。1有限区间市场通过引入实数δ、β>0和自然数N、N，实现第5节中定义的区间市场的自然有限离散化∈ N.我们在这个基于轨迹的模型中假设。最小-最大价格界限的评估。27通过ex（ti）将坐标与图表值关联的部分→使用指数函数可以更容易地与通常的几何随机模型联系起来。然后，sian和wi被限制为∑i的集合≡∑（δ，N）={sekδ，k∈ {-N-N+1。，N} }Ohm我≡Ohm（β，N）={jβ，j∈ {0，…，N}。（6.1）参数δ和β提供了图表指数的自然离散化。备注6如果变量Wii与样本Si直接相关，例如，在第5.1.2节中的SQV市场中，∑iand具有唯一的离散化参数δ是很自然的Ohmi、 另一方面，如果Ohm我是离散的先验知识，不需要实现离散化。

例如，固定时间间隔的市场就是这样Ohm这是一个独特的元素。注意，对于任何轨迹S={（Si，Wi，m）}i∈N、 在一个区间内，市场总是认为w<w<··<Wm。因此，如果存在k∈ 使得Wk=Nβ，k必须等于m。那么，一个轨迹∈西南∞（s，w）带∑iandOhm由（6.1）定义，必须有M（S）≤N.因此，坐标系被限制为属于集合Θ={1，…，N}，（6.2），因此，根据定义3，相应的市场将是N有界的。为了确定软件的子集∞（s，w）满足定义14中列出的性质，设∧={n，…，nθ}Θ是正整数的集合，定义Q∧={nβ，…，nθβ}。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设nθ=n。对于正整数p和q，我们用w（s，δ，β，p，q，n，λ）表示SW的子集∞（s，w）带∑，Ohm以及由（6.1）和（6.2）定义的满足定义条件14（在备注4中）的α=pδ、c=qβ和q∧的条件。我们将这类轨迹称为有限区间轨迹集和关联市场的有限区间市场SM=SW（s，δ，β，p，q，N，λ）×Hw，其中H是一个投资组合集。显然，有限轨迹集将具有有限基数。这些参数在有限离散市场的局部行为中起着关键作用。假设轨迹S={（Si，Wi，N）}i∈Nbelongs是一个有限的轨迹集SW（s，δ，β，p，q，N，λ）。考虑到约束Tpδ=α≥ |logSi+1-log Si |=|ki+1-ki |δ，SN能达到的最大值对应于SN=seNpδ。然后，为了允许这种轨迹，我们必须取N≤ 如果N≤ （N）-1） p，在定义8的意义上，可能存在套利节点的轨迹。例如，如果i≤如果i>Np，则为Np（seNδ，iβ，N）。属于SW（s，δ，βp，q，N，λ），N=（N-1） p，它满足NP=N-1<因此，还有一个步骤可用。

然后，对于任何轨迹S′∈西南（南，北）-1） 接下来就是≤ S\'N-1=SN-1=森δ，28 I.德加诺，S.费兰多，A.冈萨雷斯0 50 1000.80.850.90.9511.051.11.151.21.25v=0.0034Steps0 50 100 150 2000.80.850.90.9511.051.11.151.21.25v=0.0067StepsFig。对于s=1、w=0、δ=0.0058、N=300、N=200和p=3，1个轨迹集具有不同的二次变化。因此-1） 是一个套利节点。图1显示了有限轨迹集SW（s，δ，β，p，q，N，λ）中的随机轨迹，其中s=1，w=0，β=δ=0.0058，p=3，q=9，λ={100200}，N=300和N=200。它在每个显示器上显示100条随机轨迹。第一个对应于WM（S）=0.0034=100δ的轨迹，那么它们必须有M≤100; 而第二个对应于WM（S）=0.0067=200δ的轨迹，然后它们必须有M≤ 200.为了方便起见，轨迹显示在不同的显示器上，但它们属于同一轨迹集SW（s、δ、β、p、q、N、λ）。我们参考附录D，了解数据结构和算法的描述，该算法实现了有限的区间市场。6.2数值结果本节提供数值结果，说明第5.1.2节所述模型的一些特征。我们使用第6.1节中的有限模型和附录D中的数据结构和算法计算最小-最大期权约束价格。输出说明了calloptions的超级复制价格，涉及最大步数和不同跳跃大小p，以及存在套利节点时的变化。最后，给出了一些超边际和欠套期保值的近似值，以及可变波动率的影响。出于篇幅原因，我们不提供与软件实现相关的详细信息。

其他数值结果，对于不同类别的模型，以及基于市场的数据，可在[22]中找到。考虑一个为期两个月的欧洲看涨期权，对一只不支付股息的股票行使1美元，当前价格为1美元，股票的波动率等于σ=20%。基于Black&Scholar项目的模型。最小-最大价格界限的评估。290 50 100 150 2000.0260.0280.030.0320.0340.0360.0380.040.042N2Fig。2 U（0,0）和U（0,0）作为不同p值函数的收敛性。当s=K=1时，该假设的价格为$0.0326。定义=σ·T=0.04·=0.0067。我们通过取Q={v}和定义Wiby（5.2），建立了一个采样的二次变化轨迹集。重新计算Nis模型中轨迹的最大步数，因此β=v=0.0067，然后，对于给定的N∈ N、 对于β，我们有一个独特的值。因为W是根据S定义的，所以我们只需要一个唯一的参数，就可以构建SQV市场的最终版本。然后，我们在下面假设δ=β，并且依次假设q=p∈ N、 和N=pN，我们将考虑有限的SQV轨迹集SW（s，α，Q），其中α=pδ和Q={Nδ}。在这一部分中，我们将考虑满足条件（5.3）的集合（6.1）中的所有轨迹。设M=SW（s，α，Q）×H为一整套投资组合H的关联市场。图2显示了V（s，Z，M）和V（s，Z，M）在p=2,3,5且N从10到200变化时的收敛行为。当跳跃单位p大于1时，很明显，区间价格区间越窄，Black&Scholes价格就属于区间。此外，我们可以看到，随着p的增加，间隔变宽。原因是，如果p<p′是两个跳跃大小，那么参数为p的轨迹集包含在参数为p′的轨迹集中。

因此，当我们计算边界时，参数为p′的集合上的最大值高于参数为p的集合上的最大值。请注意一个细节，当N=5和N=10时，在跳跃单位为3和5的情况下，上界是相等的。当N=10时，该算法可以进行的最大跳跃为√N≈因此，虽然我们可以运行跳转第五单元的程序，但这种跳转并没有真正考虑到，也不会影响算法中期权的价格。下界也是如此。现在我们fix N=100，我们将计算不同起始水平股票的区间价格。设M=SW（s，α，Q）×H为一整套投资组合H的关联市场。图3显示30 I.德加诺、S.费兰多、A.冈萨雷斯。85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.1500.020.040.060.080.10.120.140.16S0图。3作为不同跳跃单位p=1,3,5,7的p.V（s，Z，M）和V（s，Z，M）不同值的函数的最小最大上界和下界价格。我们可以看到价格一上涨就上涨。我们注意到，对于较高的起始水平s，最小-最大界限非常狭窄。因此，对于较高的股票价值，跳跃对期权价格界限的影响较小。6.2.1套利节点对最小-最大边界的影响有趣的是，可以看到套利节点（定义8）对上述模型的影响。我们再次考虑具有与上述相同参数的有限SQV轨迹集SW（s，α，Q），但现在坐标wi不由（5.2）定义。也就是说，Widoes不依赖于股票价值。现在对这种轨迹集进行了修改，以便纳入套利节点：让Γ对应于SW（s，α，Q）的轨迹网格（根据D节）。

节点（k，j）是随机选择的，我们将其可达节点（k′，j′）更改如下：–如果k≥ 0，可到达节点是（k′，j′），其中-P≤ k′-K≤ 0和0<j′- J≤ p、 -如果k<0，可到达节点是（k′，j′），其中0≤ k′-K≤ p和0<j′- J≤ p、 这些定义给出了新的轨迹集，我们用SWarb（s，α，Q）表示，其中arb指的是轨道。观察修改后的轨迹集的轨迹Si+1=Sipassing通过无轨节点。图4显示了市场M=SW×Hand、修改后的Marb=Swarm×H、p=1和不同比例的套利节点的稳定稳定稳定区间的上下限。同样，图5显示了作为swith p=3函数的上限和下限。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。310.9 1 1.100.050.10.15BJ&N型号00。9.11.100.050.10.1540%套利节点00。9.11.100.050.10.1580%套利节点00。9.1 1.100.050.10.15100%套利节点0图。4最小-最大上界和下界价格（在本例中相同）作为存在与默顿下界（红线）相关的任意节点时的sfor p=1的函数6.2.2 Hedging提出的算法不仅允许我们计算V（s，Z，M）的值，还允许我们计算沿SW中每个可能轨迹提供投资的最优投资组合H。在第D.1节中给出的数据网格Γ的每个顶点（k，j）上，动态上限U（k，j）可用，并对应于非最佳值U（k，j）=±由方程式（D.4）给出。回想一下，U（k，j）和U（k，j）给出了通过该顶点的任何轨迹的唯一值。因此，我们可以确定最佳策略{H↑i} 我∈非∈ 斯比：H↑i（S）=u（k，j）如果（Si，Wi）=（sk，wj）。这种最佳策略是非预期的。研究H是如何↑实际上近似于Z，作为轨迹S的函数∈ SW，初始投资组合价值X。