基于轨迹的模型。极小极大定价界的估计

在空头头寸中，对冲价值由byX+NH给出↑（S）-1.∑i=0H↑一(S)是（6.3）和X∈ R初始投资组合价值。图6显示了X=V（s，Z，M）+0.01和X=V（s，Z，M）的套期保值值（6.3）-0.03，对于s=1、p=3和N=100的随机轨迹，关于本小节开始研究的模型M=SW（s，α，Q）×H的欧洲调用Z。我们可以看到（6.3）32 I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez0中的值。9 1 1.100.050.10.15BJ&N models00。9.11.100.050.10.1540%套利节点00。9.11.100.050.10.1580%套利节点00。9.1 1.100.050.10.15100%套利节点0图。5最小最大上下界价格（在本例中相同），作为存在与默顿下界（红线）相关的任意节点时的sfor p=3的函数。0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 1.2 1.3 1.400.050.10.150.20.250.30.350.4X=V+0.01SNH（S）0.7 0.8 0.9 1 1 1 1 1 1.2 1.3 1.4-0.0500.050.10.150.20.250.30.350.40.45X=V- 0.03SNH图6 X=V（S，Z，M）+0.01和X=V（S，Z，M）套期保值值之间的比较-0.03和收益值。在第一种情况下，增加收益值。对于X=V（s，Z，M）的情况-0.03时，这些值与回报值非常接近。在多头头寸中，对冲价值由byX给出-全日空航空公司↓（S）-1.∑i=0H↓一(S)是（6.4）和X∈ R初始投资组合价值。对冲不足的投资组合↓其计算方法与H的计算方法类似↑, 但是使用给出下界U（k，j）而不是上界的值。图7显示了等式（6.4）中X=V（s，Z，M）的值-0.01和X=基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。330.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4-0.100.10.20.30.4X=V-0.01SNH（S）0.80.9 1.1 1.2 1.3 1.4-0.100.10.20.30.4X=V+0.03SNH图。

7 X=V（s，Z，M）套期保值价值的比较-0.01和X=V（s，Z，M）+0.03以及收益值。0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2-0.04-0.0200.020.040.060.080.10.120.14图。8 X=V（s，Z，M）和X=V（s，Z，M）的套期保值值与收益值之间的过度套期保值和欠套期保值比较。V（s，Z，M）+0.03，对于欧洲呼叫Z的随机轨迹。在这种情况下，我们可以看到（6.4）中的值低估了X=V（s，Z，M）的回报值-0.01. 对于X=V（s，Z，M）+0.03，这些值更接近回报。最后，分别使用X=V（s，Z）和X=V（s，Z）叠加上套期保值和下套期保值是有意义的。图8对M=SW（s，α，Q）×H，s=1，N=100，P=3.6.2.3可变波动性的影响进行了分析。本节说明了几个有限的SQV市场（在第5.1.2节中介绍）与∧集选择相关的最小-最大界限。回想一下∧给出了市场中各行业二次变化的可能值。34 I.德加诺，S.费兰多，A.冈萨雷斯1 2 3 4 5 6 7x 10-30.010.0150.020.0250.030.035欧洲Call二次变量1 2 3 4 5 6 7x 10-30.0040.0060.0080.010.0120.0140.016二次变量图。9对于K=1的欧洲电话和K=1且K=1.1的黄油饮料，作为Mθ中vθ=nθδ函数的最小最大上下限价格。Q_1 Q_2 Q_3 Q_4 Q_5 Q_6 Q_7 Q_80.010.0150.020.0250.030.035欧洲呼叫Q_1 Q_2 Q_3 Q_4 Q_5 Q_6 Q_7 Q_800.0050.010.0150.020.0250.03蝴蝶呼叫图。10对于k=1的欧洲Call和k=1且k=1.1的黄油fly Call，在Mθ市场中，作为Qθ＝{nδ，…，nθδ}函数的最小最大上下限价格。我们考虑第一个市场，其中∧是一个单态集{nθ}，其值为1≤θ≤ l和nθ<nθ+1。

相应的市场用Mθ=SW（s，α，Qθ）×H，1表示≤θ≤ l、 其中Qθ={nθδ}。图9显示了作为两个不同选项的二次变量值增加函数的上下限。欧式看涨期权和黄油期货看涨期权，按ZF（X）=（X-K） +如果X≤K+K（K-十） 如果X>K+K，我们将考虑s=1，α=3·p0。0067/200，N=Nand Nθ，范围从25到200。因此，我们建立了八个有限的SQV市场Mθ=SW（s，α，Qθ）×H。观察到，对于欧式呼叫的情况，相对于二次变化，边界单调增加，但对于黄油式呼叫的情况，行为不是单调的。值得注意的是，欧式通话的回报是一个凸函数，黄油的通话既不是凸函数，也不是凹函数。现在，我们将几个可能的二次变化值合并到集合Q中。为此，我们构建了有限的SQV市场Mθ=SW（s，α，Qθ）×H，在这种情况下，Qθ={nδ，…，nθδ}。图10显示了欧式通话和奶油式通话的上界和下界作为集合Qθ的函数。注意，对于European调用，上界图与图9中的上界图一致。这意味着上界只取决于集合Q的最大值。相反，基于区域的模型。最小-最大价格界限的评估。35对于所有Qθ，下界都是常数，因为下界仅取决于集合Q的最小值。在黄油流调用的情况下，随着Qθ的增大，上界单调增加，下界单调减少，因此反映了minmaxpricing的一般特征。7结论获得的一般结果可以有效地评估最小-最大界限，并适用于假定可能交易数量界限的一般行业市场类别。

我们对通常的选项进行显式计算，包括一个新模型，其中轨迹具有不同的（采样）二次变化值。数值实验表明，对于所介绍的例子，基于轨迹的方法可能会出现一些现象。特别说明了套利节点对价格的影响。通过对不同轨迹集的测试，我们得到了欧式期权的较窄价格区间。我们得出结论，为不同的设置设计合适的轨迹集是一项相关的任务。参考文献[22]介绍了反映实际约束的模型，以及市场数据估计的参数。本附录提供了关于极小极大函数的主要结果，以及与V和V有界性的关系。我们需要以下定义。定义15（停止时间）给定轨迹空间SWa基于轨迹的停止时间（或简称停止时间）是一个函数ν：SW→ N这样，如果S，S′∈ swsk=S′and Wk=W′kfor0≤ K≤ν（S）然后ν（S′）=ν（S）。概率环境下的支付所需的可积条件在建议的框架中被所谓的极小极大函数（在[18，定义14]中介绍）取代。在下文中，考虑离散市场M=SW×H，以及SW上定义的函数Z。定义16（上限和下限极小值函数）给定一个特定的停止时间序列（νi）Ni=1，其中νi<νi+1为1≤i<n，一个实序列（ai）Ni=1，和b∈ R、 我们称Z为上极小极大函数ifZ（S）≤N∑i=1aiSνi（S）+b，s∈ 西南。类似地，Z被称为下极小极大函数ifZ（S）≥N∑i=1aiSνi（S）+b，s∈ 西南。给定一个特定的停止时间序列（νi）Ni=1，其中νi<νi+1为1≤ i<N，且实数序列（aj）Nj=1，set（为方便起见，setν=0），definal（S）=N∑j=iajifνi-1(S)≤ l<νi（S）为1≤ 我≤ N、 对于l，Al（S）=0≥νN（S）。

（A.1）同样，对于H∈ 定义功能H（A）i:SW→ R、 对于S∈ SW，byH（A）i（S）=Hi（S）+Ai（S）如果0≤ i<νN（S），其中VH（A）（0，S）=A和NH（A）（S）=max{NH（S），νN（S）}。（A.2）H（A）=（H（A）i）i≥在上述定义中，0是SW上的投资组合，适用于任何H∈ 在下一个引理中得到了证明。首先注意，对于固定的1≤ i<N和S∈ 我们有aiSνi（S）=aiS+∑νi（S）-1l=0ai是的。塞恩∑i=1aiSνi（S）+b=νN（S）-1.∑l=0Al（S）lS+AS+b.（A.3）36 I.德加诺，S.费兰多，A.冈萨勒兹勒玛2假设νN（S）≤ M（S）代表每个S∈ 西南。对于H∈ 由（A.2）定义的H，H（A）是SW上的一个投资组合。证明只要证明（A.1）定义的函数Al为0就足够了≤ l<νN，是非预期的。因此，假设forS，S′∈Sj=S′j0≤ J≤ 用l<min{NH（A）（S），NH（A）（S′）表示。根据（A.1）可知，存在1≤ 我≤ N这样的部分=N∑j=iaj，带νi-1(S)≤ l<νi（S）。（A.4）假设Sj=S′j0≤ J≤νi-1（S），然后νi-1（S）=νi-1（S′）。如果不是l，它也必须是l<νi（S′）≥νi（S′）=νi（S）与（A.4）不冲突。因此Al（S）=Al（S′）。根据上面的引理，S∈ SW和任何S\'∈ 西南（南，北），北-1.∑l=0Al（S′）lS′=k-1.∑l=0Al（S）是的。（A.5）下一个自然命题给出了V（Z）和V（Z）的无边界的关键陈述。提议7让我们∈ SWbe fix和k≥ 0，然后是1。Vk（S，Z，M）<∞ 当且仅当存在b∈ R和Hb∈ H以至于z（S′）≤国家公路局（S′）-1.∑i=kHbi（S′）是′+b，代表所有的S′∈ 西南（南，北）。（A.6）在任何情况下vk（S，Z，M）≤ b、 二,。如果存在b∈ R和Hb∈ H以至于z（S′）≥国家公路局（S′）-1.∑i=kHbi（S′）是′+b，代表所有的S′∈ SW（S，k），（A.7）和下面两个陈述中的任何一个都成立：（A）M在（S，k）和任何H条件下为0-中性∈H，~H定义为~Hi=Hiif i≤k和Hi=Hi-Hbiif i>k，其中n~H=max{NH，NHb}和V~H（s，0）=VH（s，0），属于H。（b） M是n-有界的，因此满足局部0-中性性质。然后Vk（S，Z，M）>-∞.第（1）部分的证明。

自那时起∞, 存在血红蛋白∈ H和b∈ R就是这样∈西南（S，k）[Z（S′）-国家公路局（S′）∑i=kHbi（S′）iS′]≤ b、 从（A.6）的位置。相反地，如果（A.6）是有效的，那么vk（S，Z，M）显然是有效的≤ 喝一杯∈西南（S，k）[Z（S′）-国家公路局（S′）∑i=kHbi（S′）iS′]≤ b、 第（2）部分的证明：H是一个非预期函数，然后根据一般假设vk（S，Z，M）≥ infH∈HsupS\'∈西南（S，k）[NbH（S′）-1.∑i=kHbi（S′）是‘-NH（S′）-1.∑i=kHi（S′）iS′）+b==infH∈HsupS\'∈西南（南、北）[-N~H（S′）-1.∑i=k~Hi（S′）iS′]+b（A.8）现在使用（A）中的条件，它遵循vk（S，Z，M）≥ infH∈HsupS\'∈西南（南、北）[-NH（S′）-1.∑i=kHi（S′）iS′）+b=b。对于假设（b），考虑由所有H和H组成的portfoliosfH集合∈H在（a）中定义，然后市场SW×Fh为n有界且局部0-中性，然后根据命题1，条件0-中性。因此（A.8）的右侧等于tob。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。377号提案适用于更一般的情况。第二部分中的n-有界条件可以替换为[18]中定义的初始有界条件，如下所示。定义17给定离散市场M=SW×H和H∈ H如果存在一个有界函数ρ：SW，我们将调用NHinitially bounded→ N（可能取决于H）使得对于所有S∈ SW:NHis在SW（S，ρ（S））上有界。（A.9）在这个假设下，定理1继续成立，然后，我们可以用这个术语表述下一个命题。但是，由于目前的工作集中在n-有界市场上，我们给出了命题8对这类市场的证明。注意，如果NHisbounded，则它最初是有界的，ρ=nHis满足定义。命题8：设M=SW×H为离散市场，Z为SW上定义的函数。考虑一个有限的停止时间序列（νi）Ni=1，其中νi<νi+1为1≤ i<N和νN（S）≤ M（S）代表所有S∈ SW，一个实序列（aj）Nj=1，和b∈ R.修复S∈ SWand是一个整数k≥ 0.那么以下语句是有效的：1。

如果Z是上极小极大函数，且为0（A）∈ H，那么：Vk（S，Z，M）≤ As+B.2。如果Z是一个较低的极小极大函数，且为0(-（A）∈ H，那么：Vk（S，Z，M）≥ 此外：3。如果Z是一个下极小极大函数，下面两条语句中的任何一条都成立：（a）M在（S，k）和任何H条件下是0-中立的∈ 啊，啊(-（A）∈ H（b） M是n-有界的，因此sw满足局部0-中性性质，且νNis有界。然后：Vk（S，Z，M）≥ As+B.（A.10）4。如果Z是一个上极小极大函数，并且下面两条语句中的任何一条都成立：（a）M在（S，k）和任何H上是条件0-中立的∈ H，H（A）∈ H（b） M是n-有界的，因此sw满足局部0-中性性质，且νNis有界。然后：Vk（S，Z，M）≤ As+B.1的位置≤ 我≤ 4序列（Ail）≥0由（A.1）和Bi给出=∑K-1l=0Ail（S）每个项目分别为lS+b。证明修正∈ 西南（南，北）。第（1）项的证明。由（A.3）和（A.5）Z（S′）≤K-1.∑i=0Ai（S）iS+νN（S′）-1.∑i=kAi（S′）iS′+As+b=N（A）（S′）-1.∑i=k（A）i（S′）iS′+As+B.从0（A）开始∈ H，命题7，第一部分，givesVk（S，Z，M）≤ As+B.第（2）项的证明。根据假设-Z（S′）≤∑Ni=1-aiS′νi（S′）-b、 和0(-（A）∈ H，由（1）可知vk（S，Z，M）=-Vk（S，-Z、 M）≥ As+B.第（3）项的证明。不管怎样∈ H根据（A.3）和（1）部分证明中的类似计算得出z（S′）-NH（S′）-1.∑i=kHi（S′）是‘≥νN（S′）-1.∑i=kAi（S′）是‘-NH（S′）-1.∑i=kHi（S′）iS′+As+B==-新罕布什尔州(-A） （S′）-1.∑i=kH(-A） 一(S)iS′+As+B.（A.11）38 I.德加诺，S.费兰多，A.冈萨雷斯根据第（3）项中的假设（A），我们知道H(-（A）∈ H，因此由0-条件性质supS′决定∈西南（S，k）[Z（S′）-NH（S′）-1.∑i=kHi（S′）iS′]≥ As+B+supS\'∈西南（南、北）[-新罕布什尔州(-A） （S′）-1.∑i=kH(-A） i（S′）iS′]≥As+B+infH∈HsupS\'∈西南（南、北）[-N~H（S′）-1.∑i=k~Hi（S′）iS′]=As+B，现在假设第（3）项和第（K）项中的（B）∈ R使得νN（S）≤ K代表所有人∈ 西南。设H为包含H的任意集合(-A） 每小时∈ H然后，市场SW××H是N有界的，其中N=max{N，K}。

因此，定理1表明sw××H在所有节点上，尤其是在（S，k）上，都是条件0-中性的；因此，在（A.11）的两侧取SW（S，k）的上确界，评估H的上确界∈ H在右侧，并使用SW××Hwe的条件0-中性属性获得（A.10）。第（4）项的证明遵循第（3）项，其方式与第（1）项的第（2）项类似。B一些技术结果此处给出了第3.1和3.2小节中结果所需的一些定义和辅助引理。回想一下，在这一部分中，我们假设所有H的NH（S）=M（S）∈ HB.1第3.1小节定义18的辅助结果考虑离散市场模型M=SW×H和SW上定义的函数Z。修理k≥ 0和Sk∈ 使M（Sk）>k.集^s=Skkand^w=Wkk。对于S={Si，Wi，m}i≥0∈ S（Sk，k）和H∈ H定义–^Si=Si+k，^W=Wi+kand^m=m-k、 那么^S≡ （^S，^W，^m）。-^H≡ （嗨）我≥0where^Hi（^S）≡ Hi+k（S）和V^H（0，^S）=VH（k，Sk）（回忆N^H=m）。还定义了≡ {^S:S∈ S（Sk，k）}，cH≡{^H:H∈ H}，cMk≡dSW×cH，以及任何^∈dSW，^Z（^S）≡ Z（S）。引理3在定义18的条件下，对于任何k≥ 1和Sk∈ S与M（Sk）>k，1。cMk≡dSW×cH是一个离散市场模型，初始值^s=Skkand^w=Wkk。此外，如果M不是k有界的，则它是n有界的。2.假设M是n+k有界的，对于任何S∈ SW（Sk，k），Ui（^S，^Z，cMk）=Ui+k（S，Z，M）表示0≤ 我≤ n、 三,。V（^S，^Z，cMk）=Vk（Sk，Z，M）。定义证明，DSWC以RN×RN×R的形式列出序列，对于任何^S=Sk=Skk=^和^W=Wk=Wkk=^wf∈dSW。cH是一类函数序列（^H）i≥0with^Hi:dSW→ 让我们看看^H是非预期的。设置^S，^S\'∈dsw例如^S′j=^sj和^W′j=^Wj，为0≤ J≤ i与i<min{N^H（^S），N^H（^S′）}=min{M（^S），M（^S′）。然后通过定义S′j=sj和W′j=Wj，为0≤ J≤ i+k，i+k<min{M（S），M（S′）}。因此^Hi（^S′）=Hi+k（S′）=Hi+k（S）=^Hi（^S），因为H是非预期的。ThuscH是一组投资组合。

此外，如果M是n+k有界的，对于每个^S∈dSW，我们有M（^S）=M（S）-k<n+k-这证明了（1）。对于（2），我们通过在i上向后归纳来进行。设i=n和^S∈^SW，然后是M（^S）≤ n因为^mk是n有界的。如果n=M（^S），那么n+k=M（S）和Un（^S，^Z，cMk）=^Z（^S）=Z（S）=Un+k（S，Z，M）。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。39但如果M（^S）<n，那么M（S）<n+k和Un（^S，^Z，cMk）=0=Un+k（S，Z，M）。因此Un（^S，^Z，cMk）=Un+k（S，Z，M）。现在假设（2）对0<i有效≤ n、 集^S∈dSWand假设第一个M（^S）≤ 我-1.类似分析表明，用户界面-1（^S，^Z，cMk）=Ui+k-1（S，Z，M）。假设现在M（^S）>i-1、thenUi-1（^S，^Z，cMk）=inf^H∈cHsup^S′∈dSW（^S，i）-1） [Ui（^S′，^Z，cMk）-嗨-1（^S）我-1^S′=infH∈HsupS\'∈S（S，i+k）-1） [Ui+k（S′，Z，M）-嗨，k-1(S)i+k-1S′]==Ui+k-1（S，Z，M）。通过归纳假设和定义18。然后我们得到（2）。现在我们将证明（3）。SincedSW=S（Sk，k），则v（^S，^Z，cMk）=inf^H∈cHsup^S′∈dSW[^Z（^S）-M（^S′）-1.∑i=0^Hi（^S′）i^S′==infH∈HsupS\'∈西南（Sk，k）[Z（S′）-M（S′）-K-1.∑i=0Hi+k（S′）i+kS′==infH∈HsupS\'∈西南（Sk，k）[Z（S′）-M（S′）-1.∑i=kHi（S′）iS′=V（Sk，Z，M）。引理4考虑n-有界矩阵≡定义18中给出的cS×cH，对于k=1和一些S∈ （n+1）有界市场中的S M=S×H。如果H也是满的，那么它就是满的。证明假设H是满的。让我≤ K≤ N-1，^H′∈cH和^S′∈反恐精英。我们将为k证明这一点≤ J≤ N-1，任意函数h:cS（^S′，k）→ IjcS（^S′，k）相对于j是非预期的，是投资组合^H的j坐标∈中国。为此，我们将找到H∈ H使得^Hj=H oncS（^S′，k）。我们需要证明这一点∈cS（^S′，k）当且仅当S∈ S（S′，k+1）。让0≤ 我≤ k、 和^S∈cS（^S′，k），然后Si+1=^Si=^S′i=S′i+1。另一方面，^Si=Si+1=S′i+1=^S′i∈cH和^S∈cS，^Hj（^S）=Hj+1（S），意思是IjcS（^S′，k） IjS（S′，k+1）。

因为H是满的，所以H就存在了∈ Hj+1:S（S′，k+1）→ IjS（S′，k+1）由Hj+1（S）给出≡ h（^S）。B.2 u-完全市场的证明考虑离散（n+1）-有界市场M=SW×H。对于任何人来说∈ SWde FINE S by（~Si，~Wi）=（Si，Wi）表示0≤ i和m（~S）=n如果M（S）=n+1。M（S）如果M（S）≤ n、 SetgSW≡ {S:S∈ SW}和definefm≡gSW×H。fM结果是一个n有界的离散市场。如果Z是在SW上定义的导数函数，那么Z是由Z（S）定义的=如果M（S）=n+1，则为Un（S，Z，M）。Z（S）如果M（S）≤ n、 对于任何人来说∈锿。更多40 I.Degano，S.Ferrando，A.GonzalezLemma 5让M=SW×H-an（n+1）有界离散市场。然后1。对于任何0≤ K≤ n、 和S∈ 西南，英国（~S，~Z，fM）=英国（S，Z，M）。如果M对于Z是u-完全的，那么对于Z也是u-完全的∈ SW，Un（~S，~Z，fM）=0=Un（S，Z，M）如果n>M（~S）Un（~S，~Z，fM）=~Z（~S）=Un（S，Z，M）如果M（~S）=n，因为如果M（S）=n+1，~Z（~S）=Un（S，Z，M），如果M（S）=n，~Z（~S）=Z（S）=Un（S，Z，M）。假设（1）对0<k的某个值有效≤n、 如果M（~S）≤K-1，那么M（~S）=M（S）和，英国-1（~S，~Z，fM）=英国-1（S，Z，M），因为它的公共值是0或Z（~S）=Z（S）。如果k-1<M（S），然后k-1<M（~S）（k）-1.≥~M表示M（S）>M（~S），那么M（~S）=n>k-1 !), 并通过归纳假设和英国金融管理局的定义-1（~S，~Z，fM）=infH∈hsups\'∈gSW（~S，k）-1） [英国（~S′，~Z，fM）-香港-1（S′）K-1~S′=infH∈HsupS\'∈西南（S，k）-1） [Uk（S′，Z，M）-香港-1（S′）K-1S′]=英国-1（S，Z，M）。对于（2），让我们*∈gSW，1≤ K≤ N-1和一个导数函数Z。因为M是u-完全的，所以存在H*∈ 这样的话∈gSW（~S）*,k） [Uk+1（~S，~Z，fM）-H*k（~S）k~S]=supS∈西南（S）*,k） [Uk+1（南、中、南）-H*k(S)kS]=英国（S）*,Z、 M）=英国（~S）*,~Z，fM）。最后的等式为（1）。命题2的证明。定义G:R→ R、 byG（u）=supS∈西南（S）*,k） {Uk+1（S，Z，M）-U假设Uk+1（S，Z，Mn）<∞.