基于轨迹的模型。极小极大定价界的估计

冈萨雷斯定义5（条件最小-最大界限），给定离散市场M=SW×H，k≥ 0和∈ 使M（S）>k.设Z为SW上定义的函数，定义k（S，Z，M）≡ infH∈HsupS\'∈西南（S，k）[Z（S′）-新罕布什尔州（S）-1.∑i=kHi（S′）是\'。（2.2）还定义了Vk（S、Z、M）=-Vk（S，-Z、 M）。由于V（S，Z，M）和V（S，Z，M）仅通过S依赖于S，所以我们分别采用了V（S，Z，M）和V（S，Z，M）。这些量被称为价格界限。价格界限可以用更熟悉的方式重新设定：V（S，Z，M）=inf（V:H∈ H，V+NH（S）-1.∑i=0Hi（S）是≥ Z（S），s∈ SW）V（S，Z，M）=sup（V:H∈ H，V+NH（S）-1.∑i=0Hi（S）是≤ Z（S），s∈ SW）我们从金融随机模型中知道，如果市场不包含套利策略，则导数Z存在无套利价格区间。在我们的背景下，自由套利条件被发挥关键作用的0-中性市场的概念所取代。定义6（0-中性市场）如果vk（S，Z=0，M）=0，市场在节点（S，k）处有条件地为0-中性。对于k=0，我们将M称为0中性。0-中性市场的概念取自[18]，最初是在[10]中引入的，在其上下文中被认为等同于无套利。在我们的一般情况下，这只是离散市场无套利的必要条件[18，推论1]，同时考虑套利机会和完善的期权定价理论。0-中立性是获得明确公平价格区间的关键。定理1是针对一个有界市场，假设H在加法下是闭合的。这是为了避免引入更多的概念，结果更具普遍性，如[18]所示。定理1（价格区间）考虑有界离散市场M=SW×H和定义在SW上的函数ZD；Fix S∈ 斯旺德k≥ 0

如果H在加法下闭合，且SW（S，k）有条件为0中性，则VK（S，Z，M）≤Vk（S，Z，M）。特别是V（S，Z，M）≤V（S，Z，M）。证明结果来自于[18，定理1]中相同的计算。假设V（S，Z，M）≤V（S，Z，M），我们称[V（S，Z，M），V（S，Z，M）]为Z相对于M的价格区间。附录A提供了V（S，Z，M）和V（S，Z，M）有界的条件。可达性是期权定价的基本概念。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。7定义7给定离散市场M=SW×H，如果存在HZ，则称函数Z为可实现函数∈H使得z（S）=VHZ（0，S）+NHZ（S）-1.∑i=0HZi（S）是的，无论如何∈ 西南。在随机框架下，一个可实现期权存在唯一的公平价格。以下模拟结果适用于当前设置。推论1考虑一个离散市场M=SW×H，S∈ S，k≥ 0和Z是Swandasume上的一个函数，假设定理1的条件成立。如果Z是可达到的，那么Vk（S，Z，M）=Vk（S，Z，M）。[18，推论6]给出了证明。2.1全球、有条件和本地概念鉴于0-中立在我们的框架中的核心作用，必须找到确保市场为0-中立的简单检查条件。下面的定义8为该目标引入了两个基本概念：一个本地的、独立于投资组合的、基于SWof的M的0-中性属性的模拟，以及一个代表无套利属性本地模拟的概念。定义8（0-中立和无套利节点）给定一个轨迹空间，一个节点（S，k）：-（S，k）称为0-中立节点ifsupS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-（Sk）≥ 0和infS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-（Sk）≤ 0.（2.3）-（S，k）被称为无套利节点ifsupS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）>0和infS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）<0（2.4）或∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）=infS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）=0。

（2.5）如果（2.3）在每个节点（S，k）保持不变，则称为局部0中性的SWI。如果（2.4）或（2.5）在每个节点（S，k）持有，SWI称为本地无套利。如果在每个节点上仅（2.4）保持不变，则表示SWSatifi符合上下特性。满足（2.4）的节点称为上下节点，满足（2.5）的节点称为层节点。一个0中立但不是无套利节点的节点将被称为套利节点。下一个命题给出了局部条件，确保离散市场在条件上是0-中性的。如前所述，在大多数代数操作中，只有第一坐标Si（在三元组中（Si，Wi，m））出现；因此，以下[18]的结果在我们的环境中成立。命题1考虑一个有界离散市场M=SW×H，如果SWI是局部无套利的，那么它是局部0-中性的。8 I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez–如果SWI局部为0-中性，则为0-中性（根据定义6）。-如果SWI在本地无套利，且NHI是所有H的停止时间（在附录a定义15的意义上）∈ 那么M是无套利的。证明第一项紧接着上述定义8。接下来的两项是[18，定理2]和[18，推论3]的特例。3动态极小极大值边界可以说，试图直接评估（2.2）和相关表达式中所需的极小极大值优化是一项艰巨的任务。此外，问题的最小-最大公式没有给出关于如何通过展开路径值S，S，S，。。。考虑下一对数字，即U（S，Z，M）和U（S，Z，M）。这些数字是通过对每个涉及局部极小极大优化的实例进行动态或迭代定义获得的。

利用这些定义，我们提供了全局定义和迭代定义重合的条件。[10]中非正式地介绍了迭代构造的一个特例（另见[25]和[30]），用于具体的离散市场模型。在这里，我们以一种在更一般的模型类中可用的方式形式化该方法的有效性，同时指出与全局极小极大方法的差异。参考文献[7]和[8]提供了全局极小极大优化的动态规划版本。我们的方法不同，因为我们利用了我们环境中存在的特定假设。市场将被假定为有界的，所有投资组合在到期时间T时被清算；也就是说，每小时∈H，NH（S）=M（S）=M。将根据需要对H进行进一步限制。以下归纳定义给出了计算v（S，Z，M）的基本动态规划公式。定义9（动态界限）考虑一个有n个界限的离散市场M；对于定义在SW上的给定函数Zde，任何∈ SW和0≤ 我≤ n setUi（S，Z，M）=infH∈HsupS\'∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-嗨（S）是′]如果0≤ i<M（S），如果i=M（S），则为Z（S），如果i>M（S），则为0。（3.1）同时定义用户界面（S、Z、M）=-用户界面，-Z、 M）。备注11。由于U（S，Z，M）和U（S，Z，M）仅通过（S，W）依赖于S，我们分别采用符号U（S，Z，M）和U（S，Z，M）。2.请注意，在定义9中，Hi（S）=Hi（S′）代表所有S′∈ 西南（S，i）。下一条注释表明，每当M是一个停止时间时，在附录a中定义15的意义上，动态边界仅取决于轨迹的历史。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。9备注2假设M是一个停止时间，乘以S∈西南。让我∈N和S′∈所有0的（S′j，W′j）=（Sj.Wj）≤ J≤i、 如果我≥M（S），然后M（S）=M（S′），然后定义Ui（S，Z，M）=Ui（S′，Z，M）。

如果i<M（S），因为M是停止时间，S′∈SW属于SW（S，i）。因此，SW（S，i）=SW（S′，i）和ui（S′，Z，M）=infH∈hsups∈西南（S′，i）[Ui+1（~S，Z，M）-嗨（S′）i~S]==infH∈hsups∈SW（S，i）[Ui+1（~S，Z，M）-嗨（S）i~S]}=Ui（S，Z，M）。因此Ui（S，Z，M）=所有S′的Ui（S′，Z，M）∈ 使（S′j，W′j）=（Sj.Wj）对于所有0≤ J≤ 我的土地≥ 0.对于任何∈ 斯旺德0≤k<M（S），我们让IkSto成为节点（S，k）上的投资组合值集，换句话说≡ {香港（S）：H∈ H} R.（3.2）因此，根据备注1中的第（2）项，我们可以将（3.1）中的表达式改写为0≤ k<M（S），英国（S，Z，M）=infu∈IkSsupS\'∈西南（南、北）[Uk+1（南、中、南）-UkS′）。（3.3）如前所述，其中一个目的是比较全局边界V（S，Z，M）和动态边界（S，Z，M）。在没有任何假设的情况下，我们有以下一般关系。定理2：离散n有界市场上定义的任何函数Z的M=SW×H和0≤k<n，以下不等式成立：Uk（S，Z，M）≤Vk（S，Z，M），（3.4）适用于所有S∈ 使M（S）>k。此外，英国（S，Z，M）≥Vk（S，Z，M）也是有效的。证明我们在k上进行反向归纳，对于k=n-1和S∈ 在M（S）>n的情况下游泳-1、全部∈SW（S，k）满足M（S′）=n。然后，我们从（2.2）和定义9得到vk（S，Z，M）=infH∈HsupS\'∈西南（S，k）[Z（S′）-香港(S)k+1-Sk）]=英国（S，Z，M）。现在让我们假设（3.4）适用于k，并考虑一个节点（S，k）-1） M（S）>k-1.修复H∈ H，为了所有的S\'∈ 西南（S，k）-1） 当M（S）=k时，我们有k（S′，Z，M）-香港-1(S)(S′k)-Sk-1） =Z（S′）-N-1.∑i=k-1嗨（S）是‘≤ 喝一杯∈西南（S，k）-1） [Z（S′）-N-1.∑i=k-1嗨（S′）是]（3.5），因为Hi（S）=0≥ k、 现在想想S′∈ SW（S，k），M（S′）>k。然后，通过归纳假设，Uk（S′，Z，M）≤Vk（S′，Z，M）=infH∈HsupS′\'∈SW（S′，k）[Z（S′）-N-1.∑i=kHi（S′）iS′）.10 I.德加诺，S.费兰多，A。

因此，冈萨雷斯*∈ H，英国（S′，Z，M）-H*K-1(S)K-1S′≤ -H*K-1(S)K-1S′+infH∈HsupS′\'∈SW（S′，k）[Z（S′）-N-1.∑i=kHi（S′）是‘’]≤ -H*K-1(S)K-1S+supS\'\'∈SW（S′，k）[Z（S′）-N-1.∑i=kH*i（S′）是‘’]≤ 吃‘∈SW（S′，k）[Z（S′）-N-1.∑i=k-1小时*i（S′）是‘’]≤ 喝一杯∈西南（S，k）-1） [Z（S′）-N-1.∑i=k-1小时*i（S′）是\'。（3.6）最后，从（3.5）和（3.6）开始，它遵循∈西南（南、北）[英国（南、中、南）-H*K-1(S)K-1S]≤ 喝一杯∈西南（S，k）[Z（S′）-N-1.∑i=0H*i（S′）是“，”自从H*∈ H被认为是任意的（3.4）。下一个推论是命题1和定理2的结果，代表了0-中立条件的动态过程，推论2假设M=SW×H是一个离散的n-有界市场模型，Z≥ 0一个定义在W上的函数。如果SWS满足局部0-中性属性，则对于任何∈ 斯旺德0≤ 我≤ n:1。用户界面（S、Z、M）≥ 0.2. Ui（S，Z=0，M）=Ui（S，Z=0，M）=0。（1）我们通过反向归纳法进行证明，因为（S，Z，M）=Z（S）≥ 0或Un（S，Z，M）=0，这在定义上与任何S一样∈西南，米（S）≤n、 假设+1（S、Z、M）≥0，对一些人来说≤我≤N-1和任何∈ 西南。如果我≥ 然后Ui（S，Z，M）=0或Ui（S，Z，M）=Z（S）≥ 0.另一方面，如果i<M（S），因为对于任何H∈ HsupS\'∈西南（南，一）[-嗨（S）iS′]≥ 0.ThussupS\'∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-嗨（S）iS′]≥ 喝一杯∈西南（南，一）[-嗨（S）iS′]≥ 0和UI（S，Z，M）≥ 0.对于报表（2），首先假设M（S）≤ i、 thenUi（S，Z=0，M）=0。对于M（S）>i，等式来自定理2和上面的第（1）项，从0开始≤Ui（S，Z=0，M）≤Vi（S，Z=0，M）=0，其中最后一个等式来自命题1。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。11继续进行全局界和动态界之间的类比，我们得到了定理1的类比。首先我们需要下面的引理。引理1设M=SW×H为n有界离散市场，假设H在加法下闭合。设置∈ 斯旺德0≤ 我≤ N

假设在SWthen，Ui（S，Z+Z，M）上定义的Zand Zare实值函数≤Ui（S，Z，M）+Ui（S，Z，M）。（3.7）证明我们通过反向归纳进行；考虑第一个i=n，如果M（S）<n，0=Ui（S，Z+Z，M）≤Ui（S，Z，M）+Ui（S，Z，M）=0+0=0。如果i=M（S）Z（S）+Z（S）=Ui（S，Z+Z，M）≤Ui（S，Z，M）+Ui（S，Z，M）=Z（S）+Z（S）。假设（3.7）保持约0≤ i+1≤ n和任何S∈ 西南。如果我≥ 然后，和以前一样，我们有ui（S，Z+Z，M）≤Ui（S，Z，M）+Ui（S，Z，M）。让我们用手来帮助H，所以，H+H∈ H，那么如果i<M（S），我们有ui（S，Z+Z，M）≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z+Z，M）-（嗨+嗨）iS′]≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-嗨（S）iS′+Ui+1（S′，Z，M）-嗨（S）iS′]≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-嗨（S）是“]+supS”∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-嗨（S）是\'。因此，由于H的泛型元素是Hand-Hare，所以它遵循了ui（S，Z+Z，M）≤Ui（S，Z，M）+Ui（S，Z，M）。定理3考虑一个n有界离散市场M=SW×H，一个定义在SWandS上的函数Z∈ 软件固定。如果sw满足局部0-中性性质，且H在加法下闭合，则ui（S，Z，M）≤用户界面（S，Z，M）。（3.8）用引理1证明Z=Z和Z=-Z和推论2我们有0=Ui（S，0，M）≤Ui（S，Z，M）+Ui（S，-Z、 M）。ThenUi（S，Z，M）=-用户界面，-Z、 M）≤用户界面（S，Z，M）。下一个推论表明，对于可实现的Z.12，动态界和全局界是一致的。I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez推论3考虑一个n-有界离散市场M=SW×H，0≤ k<n固定和S∈ 当M（S）>k时，设Z为SWAS上的函数，并假设SWis局部为0-中性，H在加法下闭合。

如果Z可以用组合HZ实现∈ H和-赫兹∈ H，thenVk（S，Z，M）=Uk（S，Z，M）=Uk（S，Z，M）=Vk（S，Z，M）。从定理2和定理3证明，它遵循vk（S，Z，M）≤英国（南、中、南）≤英国（南、中、南）≤Vk（S，Z，M）。注意，当Z是可实现的时，推论1是适用的，thusVk（S，Z，M）=Uk（S，Z，M）=Uk（S，Z，M）=Vk（S，Z，M）。3.1全套投资组合当Z不可达到时，我们有兴趣获得不等式（3.4）的相反结果。为了实现这一目标，有必要在投资组合集合上引入一些条件，以及其他条件，这些条件意味着不等式（3.4）中的等式，并导致一种有效的方法来计算动态边界。[7]中的结果表明，拥有所有可能的投资组合可能会导致建立预期的平等；这推动了全套投资组合的定义。定义10让我∈ N、 函数h:SW→对于每个S，S′，R被称为i-非预期的∈swi<min{M（S），M（S′）和（Sj，Wj）=（S′j，W′j），对于所有0≤ J≤ i、 然后得出h（S）=h（S′。定义11（全套投资组合）给定离散市场M=SW×H，考虑k≥ 0，S∈ SW，j≥ k和范围集，IjSW（S，k）≡ {Hj（S′）：H∈ H，S′∈ SW（S，k）}。如果域为SW（S，k）且范围为IjSW（S，k）的函数集arej非预期的，对于任何这样的k，S和j，与函数集Hj | SW（S，k）：SW（S，k）重合，我们会说H是满的→ RWH在哪里∈ H观察S（S，k）=S（S′，k）代表S′∈SW（S，k），它调整了符号IjSW（S，k）。当IjSW（S，k）时，有一种特殊但方便的可能性≡ R、 对于任何k≥ 0和S∈ 西南。下面的定理4表明（3.4）中的等式适用于具有完整投资组合的有界市场。后者在某种意义上是自然的，即投资组合H所取的任何值Hj（S）∈ 对于一些S，H在实例j处∈ SW，也应该在任何S′处进行∈ SW（S，k）如果j≥ K

这意味着存在H′∈ H使得H′j（S′）=Hj（S）。实际上，任何一组集合都可以扩展到一个集合，正如我们接下来解释的，这个集合是满的。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。13J≥ k和h是j-非预期函数，definehi（S′）=（h（S′）如果S′∈ SW（S，k）和i=j，否则，我们接下来证明H是非预期的。让我们∈使Sl=Sland Wl=Wl为所有0≤L≤我和我≤min{M（S），M（S）}。假设第一个i=j。例如，如果S/∈西南（S，k），南（S）≤ k和我≤ 这是一个矛盾。然后，S，S∈ 西南（南，北）。因为h是j-非预期的，所以它遵循Hi（S）=h（S）=h（S）=Hi（S）。最后，情况i6=j很简单，因为Hi（S）=Hi（S）=0。定理4对于一般n-有界市场M=SW×H，其中H是满的，对于SW上定义的给定函数Z，我们有v（S，Z，M）=U（S，Z，M）。（3.9）证明由于定理2，我们只需要证明不等式V（S，Z，M）≤U（S，Z，M）。（3.10）我们在n上进行归纳。对于n=1，对于所有S∈ 我们有M（S）=1。然后，从（2.2）和定义9，V（S，Z，M）=infH∈HsupS∈西南[Z（S）-H（S）（S）-S） ]=U（S，Z，M）。现在让我们假设（3.10）适用于每个n有界离散市场模型，并考虑一个（n+1）有界模型，M=SW×H。修复H∈ H，让我们∈ 使M（S）>1。然后，我们可以应用mma 3，由此得出，cM是一个n有界市场，U（S，Z，M）=U（^S，^Z，cM），其中cM，^Z，^S在定义18中引入（该定义和引理见附录B）。然后，根据归纳假设，U（S，Z，M）=U（^S，^Z，cM）≥V（^S，^Z，cM）=infH′∈HsupS\'∈西南（S，1）[Z（S′）-（n+1）-1.∑i=1H′i（S′）是\'。因此，我们可以假设u（S，Z，M）>-∞, 因此对于S∈西南、南、中、中>-∞. 固定ε>0，则存在HS∈ 这样的话∈西南（S，1）[Z（S′）-（n+1）-1.∑i=1HSi（S′）iS′）<ε+U（S，Z，M）。因此-H（S）S+supS\'∈西南（S，1）[Z（S′）-（n+1）-1.∑i=1HSi（S′）iS′）<ε-H（S）S+U（S，Z，M）。

（3.11）由于H已满，因此存在Hε∈ Hε=任何S的手*∈SWHεi（S）*) = 恒生指数（S）*) 如果是*∈ SW（S，1）和i≥ 1,14 I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez自{SW（S，1）}S族以来，函数HεI已被很好地定义∈SW是SW的一个分区。从（3.11）开始，接下来是thatZ（S）-（n+1）-1.∑i=0Hεi（S）iS<ε+supS∈西南[-H（S）S+U（S，Z，M）]，（3.12）现在假设S∈ 当M（S）=1时，则为u（S，Z，M）-H（S）（S）-S） =Z（S）-（n+1）-1.∑i=0Hi（S）i+1S，因为所有i的Hi（S）=0≥ 1.特雷弗雷斯（S）-（n+1）-1.∑i=0Hi（S）iS<ε+supS∈西南[U（S，Z，M）-H（S）S] 。（3.13）最后从（3.12）和（3.13）开始，它紧随其后∈HsupS∈西南[Z（S）-（n+1）-1.∑i=0Hi（S）iS]<ε+supS∈西南[U（S，Z，M）-H（S）S] ，然后v（S，Z，M）<ε+infH∈HsupS∈西南[-H（S）S+U（S，Z，M）<ε+U（S，Z，M）。由于ε是任意取的，（3.10）如下。3.2 u-端口组合的完整集合我们引入另一个条件来推导等式u（S，Z，M）=V（S，Z，M）。附录B.2提供了本节的大部分证明和一些必要的新符号。定义12（u-完全市场）我们将说，对于定义在SW上的实函数Z，n-有界离散市场M是u-完全的，如果是任何S∈ SW和1≤ k<M（S），存在*∈ H，验证k（S，Z，M）=supS\'∈西南（南、北）[Uk+1（南、中、南）-H*k(S)kS′）。定理5如果M=SW×H是一个关于给定函数Z的n有界离散市场u-完备，则v（S，Z，M）=u（S，Z，M）。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。15证明正如定理4的证明一样，n=1所需的等式是明确的，我们通过对n的归纳来完成证明。假设M=SW×H是一个（n+1）有界的u-完全离散市场，然后通过引理5，附录B.2中的第2项，fM是n-有界的u-完全。