基于轨迹的模型。极小极大定价界的估计

因此，现在求助于引理5的第1项和归纳假设，U（S，Z，M）=U（S，eZ，fM）=V（S，eZ，fM）。根据u-完备性，对于任何S∈ SWH是存在的*∈ H使得un（S，Z，M）=supS′的∈西南（S，n）{Un+1（S′，Z，M）-H*北区（S）是‘}。如果M（S）=n+1，eZ（eS）=Un（S，Z，M）=supS′∈西南（S，n）{Z（S′）-H*北区（S）是‘}≥ Z（S）-H*北区（S）是，如果是M（S）≤ n、 eZ（eS）=Z（S）-H*北区（S）是的，自从H*n（S）=0。在任何情况下v（S，eZ，fM）=infH∈HsupeS∈gSW[eZ（eS）-N-1.∑i=0Hi（eS）[ieS]≥≥ infH∈HsupS∈西南[Z（S）-H*北区（S）nS-N-1.∑i=0Hi（S）是]≥≥ infH∈HsupS∈西南[Z（S）-N∑i=0Hi（S）iS]=V（S，Z，M）。逆不等式来自命题2。综合考虑，下面的命题2和命题3为上述定理5的应用提供了实用的假设。命题2考虑一个n有界离散市场M=SW×H和一个具有0的节点（S，k）≤ k<M（S）。假设下面的一个假设成立：1。IkSis是R，2的一个紧子集。SWS满足节点（S，k）的上下特性（根据定义8），IkS=R。然后，存在u*∈ IkS，正在验证这一点∈IkSsupS\'∈西南（南、北）[Uk+1（南、中、南）-UkS′）=supS′∈西南（南、北）[Uk+1（南、中、南）-U*kS′）。（3.14）此外，在IkS=R的情况下，存在R>0，使得| u*| ≤R.证明文件G:R→ R、 byG（u）=supS\'∈西南（南、北）[Uk+1（南、中、南）-UkS′，假设uk+1（S′，Z，M）<∞ 为了所有人∈ 西南（南，北）。首先假设上述假设1成立，因为对于任何S′∈ SW（S，k），由GS′（u）=Uk+1（S′，Z，M）给出的函数-UkS′是有限的，那么它的上确界G是下半连续凸的。如果IkSis紧，通过下半连续性，则存在u*∈ IKSV验证G（u）*) = 英孚∈IkSG（u）。假设2成立时的情况证明见附录B.2。16 I.德加诺，S.费兰多，A。

请注意，对于M是停止时间的情况，S∈ S（S）*,k） k<M（S）*) 然后，（3.14）的左边是（S，Z，M）。命题3假设M=SW×H是一个n有界离散市场，M是一个停止时间。此外，假设对于任何∈斯旺德0≤k<M（S），集合i和w验证命题2的假设。德涅*k:SW→[S]∈斯威克斯比H*k（S′）≡ U*对于任何S\'∈西南（S，k），其中u*由命题2给出，k是（3.14）成立的。还有德涅*= （H）*i） 我≥0h在哪里*i=0表示i≥ 新罕布什尔州M（S）*（S） =M（S）和VH*（0，s）=H*（S） S.（3.15），然后是H*= H∪{H*}, M*= SW×H*是一个u型完全离散市场。证据见附录B.2。4动态极大极小边界的凸包络本节提供了一种严格的方法来计算前一节中介绍的动态边界（S，Z，M）。在下文中，我们将假设动态界限是有限的，例如，应用定理2或在附录A中命题7的假设下，我们将考虑n有界离散市场M=SW×H（根据定义3）。对于S∈ SW和0<i<M（S）我们将给出一个几何过程，最初在[10]中针对一个特定示例介绍，以计算动态边界。对于一个任意但暂时固定的S′∈ 西南（南，北），集合l（x） =Ui+1（S′，Z，M）-ui（S′i+1）-x） ，即平面中穿过点（S′i+1，Ui+1（S′，Z，M））的线，具有斜率Ui。因此，Ui+1（S′，Z，M）-ui（S′i+1）-Si）是l 垂直直线x=Si。因此，对于每个固定的ui∈ IiS，有点滥用语言∈西南（南，一）Ui+1（S′，Z，M）-ui（S′i+1）-Si）是直线之间交点的最大纵坐标l x=Si。

n（S，Z，M）成为这些最大交点的最小值。要完成几何程序，请假设为S∈ 斯旺德0≤ i<M（S）that，Sdo（S，i）=nS′∈ SW（S，i）：S\'i+1≤ Sio6=/0和Sup（S，i）=nS′∈SW（S，i）：S′i+1>Sio6=/0。（4.1）这些集合是非空的，例如，如果节点（S，i）是0-中性的，并且存在轨迹S′∈SW（S，i）使得S′i+1=Sior（S，i）是一个上下节点。吃点东西∈ 高级督察（南、一）及高级督察∈ Sdo（S，i）表示基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。17u（Sup，Sdo）通过点（Supi+1，Ui+1（Sup，Z，M））和（Sdoi+1，Ui+1（Sdo，Z，M））：u（Sup，Sdo）=Ui+1（Sup，Z，M）-Ui+1（Sdo，Z，M）Supi+1-Sdoi+1。下面的定理6将说明li（S，Z，M）≡ 喝吧∈高级（南、一）特别职务∈Sdo（S，i）[Ui+1（Sup，Z，M）-u（高级，特别职务）iSup]=Ui（S，Z，M），（4.2）即Ui（S，Z，M），是参考线与垂直线x=Si的最大交点。备注3.1。有什么吃的吗∈ 高级督察（南、一）及高级督察∈ Sdo（S，i）用户界面+1（Sup，Z，M）-u（高级，特别职务）iSup=Ui+1（Sdo，Z，M）-u（高级，特别职务）伊斯多。2.在（4.1）中定义的集合也可以用交换严格不等式的另一种方式定义，即Sdo（S，i）=nS′∈SW（S，i）：S′i+1<Sio，Sup（S，i）=nS′∈SW（S，i）：S\'i+1≥ 西奥。命题4设M=SW×H为n-有界离散市场。那么，不管怎样∈ 斯旺德一世∈ n确保节点（S，i）是0-中性节点，Li（S，Z，M）≤用户界面（S，Z，M）。我们首先考虑的证据是Li（S，Z，M）<∞. 设δ>0，则有∈副手（南、一）安第斯多∈使…如此，使…如此≤Ui+1（eSup，Z，M）-u（eSup，eSdo）ieSup+δ。为了你∈ 假设你≤ u（eSup，eSdo），Li（S，Z，M）≤Ui+1（eSup，Z，M）-UieSup+δ≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-U是′]+δ。另一方面，如果u>u（eSup，eSdo），注意到通过备注3，Li（S，Z，M）≤Ui+1（eSdo，Z，M）-u（eSup，eSdo）ieSdo+δ≤Ui+1（eSdo，Z，M）-UieSdo+δ≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-U是′]+δ。ThenLi（S，Z，M）≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-U是′）+δ，对于所有的u∈ 对于所有δ>0的情况。

特雷弗利（S，Z，M）≤ 英孚∈IiSsupS\'∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-UiS′=Ui（S，Z，M）。18 I.德加诺，S.费兰多，A.冈萨雷斯，李（S，Z，M）=∞. 然后，对于任意常数B∈ R有Sup吗∈ 高级督察（南、一）及高级督察∈例如：我认为≤Ui+1（辅助、Z、M）-u（高级，特别职务）我起床了。与上述类似的推理表明B≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-美国∈ IiS。因此（S，Z，M）=Ui（S，Z，M）=∞. 下一个定理需要额外的假设，它提供了一种更简单的方法来解决IiS=R情况下的优化问题，同时允许使用更有效的算法。我们注意到假设IiS=R是保证u（Sup，Sdo）的一种方便方法∈ IiS。定理6：设M=SW×H为n-有界离散市场。如果有的话∈ SWIiS=R假设S至少存在以下两种情况中的一种：∈ 等等，1。Li（S，Z，M）=Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)对于一些人来说∈助理（S，i）和So∈ Sdo（S，i）。对于任何S\'∈ 西南（南，北），0<a≤ |S′i+1-|≤ b（a和b可能取决于S）。然后，Ui（S，Z，M）=Li（S，Z，M）。证明它足以证明（S，Z，M）≤ Li（S，Z，M）作为逆不等式直接从命题4开始。我们只需要考虑Li（S，Z，M）<∞. 设δ>0，则存在So∈ 助理（S，i）和So∈ 使…如此，使…如此≤Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)（Soi+1）-Si）+δ。注意，在案例1中，上述方程式适用于So和So出现在案例1的陈述中。还有，新墨西哥州（S，Z，M）≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-u（So，S）o)是的，存在*∈ SW（S，i）使得ui（S，Z，M）≤用户界面+1（S）*,Z、 M）-u（So，S）o)是*+δ.首先考虑假设1成立时的情况。

如果是*∈ Sdo（S，i），一个人应该有UI+1（S*,Z、 M）≤Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)（Soi+1）-s*i+1），否则-u（So，S）*)> -u（So，S）o)这导致了矛盾UI+1（So，Z，M）-u（So，S）*)是o>Li（S，Z，M）。因此，Ui（S，Z，M）-δ≤Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)（Soi+1）-s*i+1）-u（So，S）o)是*= 李（S，Z，M）。另一方面，如果*∈Sup（S，i），以类似的方式resultsUi+1（S*,Z、 M）≤用户界面+1（S）o,Z、 M）-u（So，S）o)（S）oi+1-s*i+1）。ThusUi（S、Z、M）-δ≤ 用户界面+1（S）o,Z、 M）-u（So，S）o)（S）oi+1-s*i+1）-u（So，S）o)（S）*i+1-Si）==Ui+1（S）o,Z、 M）-u（So，S）o)是o= 李（S，Z，M）。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。19那么，假设1适用的情况的证明就完成了。在假设2成立的情况下，首先假设*i+1≤ Siand定义r=Soi+1-s*i+1Soi+1-Siδ>0。我们将通过矛盾的方式展示UI+1（S）*,Z、 M）≤Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)（Soi+1）-s*i+1）+r.（4.3）为此假设*,Z、 M）>Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)（Soi+1）-s*i+1+r，那么-u（So，S）*)> -u（So，S）o)+rSoi+1-s*i+1导致toUi+1（So，Z，M）-u（So，S）*)（Soi+1）-Si）>Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)（Soi+1）-Si）+rSoi+1-SiSoi+1-s*i+1>Li（S，Z，M）。后者与李的定义相矛盾。然后，由于（4.3）成立，Ui（S，Z，M）-δ≤Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)（Soi+1）-s*i+1）-u（So，S）o)（S）*i+1-Si）+r，现在，因为r≤2baδ，它跟随ui（S，Z，M）≤ Li（S，Z，M）+δ+r≤ 李（S，Z，M）+1+2baδ.而如果*i+1>Si，以类似的方式产生i+1（S*,Z、 M）≤用户界面+1（S）o,Z、 M）-u（So，S）o)（S）oi+1-s*i+1）+rfor r=S*i+1-soi+1秒oi+1-Siδ<0。自从r≤ -2δ，它来自（4.4）Ui（S，Z，M）≤ Li（S，Z，M）+δ+r≤ 李（S，Z，M）-δ.然后，假设2适用的情况的证明就完成了。下面，我们得到了一些适用于套利0-中性节点的简化定义8。定义13考虑一个离散市场M=SW×H和一个0中性节点（S，k）。1。我们称（S，k）为正套利节点ifsupS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）>0和infS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）=0.2。

我们称（S，k）为负套利节点ifsupS∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）=0和infS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-<0.20 I.德加诺，S.费兰多，A.冈萨雷斯3。我们称（S，k）为套利节点IFSUP∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）=0=infS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）。观察在负套利中nodeSup（S，k）={S′∈SW（S，k）：S′k+1=Sk}≡ S=（S，k） SW（S，k），而在正套利nodeSdo（S，k）={S′中∈SW（S，k）：S′k+1=Sk}≡ S=（S，k） 西南（南，北）。推论4设M=SW×H是一个n有界离散市场，并假设定理6第1项的假设成立。对于任何节点（S，i），0≤ i<M（S），要么是负套利节点，要么是正套利节点，S=（S，i）是非空的，它认为ui（S，Z，M）=supS′∈S=（S，i）Ui+1（S′，Z，M）。证明假设（S，i）是一个正套利节点，且∈ S=（S，i）=Sdo（S，i）。因此，任何Sup都是如此∈Sup（S，i）Ui+1（S′，Z，M）=Ui+1（S′，Z，M）-u（Sup，S′）（S′i+1-Si）=Ui+1（辅助，Z，M）-u（Sup，S′）（Supi+1-是）。因此Li（S，Z，M）=sup{Ui+1（S′，Z，M）：S′∈S=（S，i）}结果来自定理6。对于负套利节点，利用定理6和Sdo（S，i）、Sup（S，i）的替代定义（见备注3），证明类似。5个示例：通过另一个不确定性源定义的轨迹集本节提供了通过除存量外的另一个不确定性源（用W表示）定义的轨迹集示例。

提出了一类通用模型和离散化模型，并给出了具体实例：经典的二项和三项模型，以及基于抽样二次变量的模型。5.1区间市场任何人都不应产生错误的印象，即论文中描述的形式主义支持的模型集合可能很小，相反，该方法允许从历史数据、大量轨迹集合的随机样本、，我们参考了[18]，其中通过连续时间鞅的采样路径构造轨迹集，并参考了[22]，其中引入了所谓的操作模型，并与市场数据进行了比较。指导本节所述构造的一般原则是分离可观察量（代表感兴趣的变量），并通过施加与轨迹相关的约束和代表该可观察量的自由变量来定义轨迹空间。在某些情况下，这是基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。21流程允许施加自然约束，这些约束源于金融交易的离散性。在本示例中，为简单起见，W被选择为一维，并且在应用中意味着与沿着股票图表x（t）展开的可观察量所取的值相关联。后一个量可以在连续时间内展开，其未来值会受到W中编码的不确定性来源的影响。我们的论文中没有需要Si的基本结果≥0，但是这样做可以更容易地与常用模型连接。

以下定义假设给定：w=0，s，集合∑iR和Ohm我（0，∞).定义14我们将说，轨迹设置为SW 西南∞（s，w）是一个区间轨迹集，如果实数c>0，0<d<1<u和子集Q ∪∞i=0Ohm埃奇∈ 验证：1。D≤Si+1Si≤ 你是我的全部≥ 0,2. 0<Wi+1-Wi≤ c代表所有人0≤ 我<M（S），3。西医(S)∈ 问：对于一组投资组合H，我们设定M=SW×H，称M为区间市场。给定天鹅间隔轨迹集，回想一下，如果我们有两条轨迹∈ 西南∞（s，w）这样的（Si，Wi）=（s′i，w′i）对于所有i∈ N、 这并不意味着M（S）=M（S′。特别是，可能是WM（S）∈ Q和WM（S）/∈ Q，因此是S∈ 斯旺德S/∈ 西南。备注4我们可以考虑特殊情况d=e-α和u=eα表示α>0。然后，上述定义中的条件1同样可以替换为日志Si+1Si≤α、 我们稍后再回到这个案子。如上所述，区间轨迹集SW一般不需要是满足定义14中列出的约束条件的所有轨迹集。区间轨迹集可用于通过将{（x（ti），F（x，t，ti））}，一次一个索引i（即当曲线展开时）映射到其最近的路径{（Si，Wi，m）}i来建模数据图表x（ti）的展开≥这里F（x，t，ti）是一个可观察的量，随着路径的展开而改变；它可以表示任何感兴趣的变量，例如交易的数量或数量、时间、二次变化等。在时间T到期的期权合同中，SM（S）将是x（T）的一个可能值。引入WIA作为自变量，可以扩大定义14给出的模型的适用范围，并允许纳入套利0中性节点（见第6.2.1节）。区间集的特定实例或其有限版本（我们将在下面介绍）实际上会对容许轨迹施加进一步的约束。

一旦建立了这些进一步的规范，就可以通过组合方式定义产生的轨迹集，即允许成员国加入满足约束条件的所有可能的{（Si，Wi，m）}。这种定义轨迹集的方法将便于检查0-中性或上-下的局部属性是否满足要求。例如，假设一个区间模型，使得所有∈ 西南，Si+1∈ [dSi，uSi]适用于所有0≤ 我≤ n和fix一个节点（S，i）。显然，存在选择轨迹的可能性∈ SW（S，i）使得Si+1>Si，Si+1<Si，因此任何节点都是上下的，在这种情况下，市场结果是局部无套利的（见定义8）。22 i.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez下图显示了区间市场轨迹的典型步骤。uSiSi+1ISSSD接下来的两小节提供了区间市场及其一些属性的具体示例。首先，我们不假设区间市场包含满足约束的所有轨迹。5.1.1固定时间分割考虑固定时间分割∏，即对于时间间隔[0，T]，我们∏：0=T<T<·T<·tn=T是唯一可以重新平衡投资组合的时间。设置Ohmi={ti}表示所有1≤ 我≤ n、 然后WI=t对于所有1≤ 我≤ n、 此外，由于该选项在tn=T时过期，我们需要施加Θ={n}。因此有一个轨迹∈ 西南∞（s，w）在上述限制下的形式为s={（Si，ti，n）}ni=0。备注5对于任何投资组合集合H，离散市场M=SW×H，带SW西南∞（s，w）在上述约束下是一个n-有界离散市场。请注意，在一般的形式主义中，轨迹是有限的实数序列，因为M是一个n有界市场，所以定义i>n的SIF值是无关紧要的。对于所有S，条件M（S）=n∈ 西南∞（s，w）意味着WM（s）=tn=T。

然后，为了确定SW的子集∞（s，w）在定义14中，集合Q只能包含元素T，即Q={T}。此外，我们定义了c=max{ti+1-ti:0≤ 我≤ N-1} ，然后定义14中的条件2成立。最后，给定0<d<1<u，我们用SW（s，d，u，π）表示SW的子集∞（s，w）满足u，d和集合Q={T}的剩余条件定义14。对于任何投资组合集合H，我们将相关市场M=SW（s，d，u，π）×H称为固定时间间隔市场。注意，如果对于每个节点（S，i）条件（4.1）成立，则SW（S，d，u，π）局部为0中性，与d和u之间的中间值无关，然后，相关市场M=SW（S，d，u，π）×H为0中性。因此，根据定理1，[V（s，Z，M），V（s，Z，M）]是期权Z的一个公平价格区间，并且可以用本文开发的方法计算其界限。对于下一个结果，我们需要在一般市场中定义一种特定的衍生品。事实上，如果一个欧洲期权的收益函数Z由凸实变量函数Zf给出，则定义在一个轨迹集SWS上的期权将被称为凸期权，如下所示：Z（S）=Zf（SM（S）），用于任何S∈ 西南。下一个命题表明，在区间市场中，凸欧式期权的动态界是凸的。这个结果在[30]中得到了证明，我们使用定理6提供了另一种证明。注意，下一个命题中出现的参数u和d可能取决于S，。。。，硅。命题5假设0<d<1<u。考虑固定时间间隔市场M=SW（s，d，u，π）×H。设Z（S）=Zf（SM（S））为欧式导数的支付函数。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。231.假设ZF是凸的，并且对于所有0≤ 我≤ N-1和S∈ SW（s，d，u，π）存在Su，Sd∈SW（S，i）使得Sui+1=u sian和Sdi+1=d Si。