基于轨迹的模型。极小极大定价界的估计

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英文标题：
《Trajectory based models. Evaluation of minmax pricing bounds》
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作者：
Ivan Degano, Sebastian Ferrando and Alfredo Gonzalez
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The paper studies sub and super-replication price bounds for contingent claims defined on general trajectory based market models. No prior probabilistic or topological assumptions are placed on the trajectory space, trading is assumed to take place at a finite number of occasions but not bounded in number nor necessarily equally spaced in time. For a given option, there exists an interval bounding the set of possible fair prices; such interval exists under more general conditions than the usual no-arbitrage requirement. The paper develops a backward recursive method to evaluate the option bounds; the global minmax optimization, defining the price interval, is reduced to a local minmax optimization via dynamic programming. Trajectory sets are introduced for which existing non-probabilistic markets models are nested as a particular case. Several examples are presented, the effect of the presence of arbitrage on the price bounds is illustrated.
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中文摘要：
本文研究了基于一般轨迹市场模型的未定权益的子复制和超复制价格界。在轨迹空间中没有事先的概率或拓扑假设，交易假设在有限的场合发生，但在数量上没有界限，在时间上也不一定等距。对于一个给定的期权，存在一个区间来限定可能的公平价格；与通常的无套利要求相比，这种区间存在于更一般的条件下。本文提出了一种计算期权边界的反向递归方法；通过动态规划将定义价格区间的全局极小极大优化问题简化为局部极小极大优化问题。引入轨迹集，将现有的非概率市场模型嵌套为特定情况。给出了几个例子，说明了套利的存在对价格边界的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Trajectory_based_models._Evaluation_of_minmax_pricing_bounds.pdf (549.14 KB)

2022-5-9 10:39:39 上传

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关键词：Mathematical Optimization Quantitative mathematica Assumptions

Noname手稿号（将由编辑插入）基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。本文研究了基于一般轨迹的市场模型定义的未定权益的子复制和超级复制价格界限。在轨迹空间中没有事先的概率或拓扑假设，交易被假设在一定数量的场合进行，但不受数量限制，也不一定在时间上等距进行。对于一个给定的期权，可能的公平价格集合存在一个区间边界；与通常的无套利要求相比，这种区间存在于更一般的条件下。本文提出了一种计算期权边界的反向递归方法；定义价格区间的globalminmax优化通过动态编程简化为局部极小极大优化。引入了轨迹集，现有的非概率市场模型被视为一种特殊情况。给出了几个例子，说明了套利的存在对价格界的影响。1引言在不完全市场模型中，经典理论表明，在无套利假设下，存在公平价格区间。这种间隔由[21]中扩散设置中首先引入的子复制边界和超级复制边界给出（一般离散时间公式见[23]）。欧式未定权益Z的超复制价格界等于其在等价鞅测度集上的期望的上确界（子复制具有类似的特征）。对于人工智能。阿根廷马德普拉塔富内斯街CONICET3350号德加诺国立马德普拉塔大学：+549-0223-4752426 x 234电子邮件：ivandegano@mdp.edu.arS.

费兰多，瑞尔森大学，加拿大多伦多维多利亚街350号：416-979-5000 x 7415电子邮件：ferrando@ryerson.caA.冈萨雷斯，阿根廷马德普拉塔国家大学，富内斯街350号：+549-0223-4752426 x 234电子邮件：algonzal@mdp.edu.ar2I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez离散时间设置，此类对偶公式可在[23]和[17]中找到（第二参考假设有限概率空间）。事实证明，对于一大类随机模型，公平价格区间退化为绝对（即，模型独立，如（[27]））无套利界限。[20]中显示了连续时间，而[13]中显示了离散时间。这些结果依赖于对建模随机过程（即底层）增量的无界范围和非原子分布的假设。参考文献[14]研究了一类随机模型，其中公平价格区间不会被忽略到绝对界限。为了减少公平价格区间的大小，一个流行的替代方案是允许流动期权交易，以便更好地逼近非流动性衍生品。据推测，这是一种承认为基础资产提出的原始模型局限性的方式，以解释影响衍生品市场价格的自由度。任何假设的概率分布的建模以及建模随机过程的支持的具体说明都存在不确定性。这种不确定性的一个例子是崩盘模型（[19]），其中，股票下跌（崩盘）的数量、时间和规模是在没有概率假设的情况下处理的。不确定波动率模型（[5]）提供了一个需要一组非等效度量的例子。次线性期望及其相关的随机演算（[28]）给出了相关的发展。

为了适应这种不确定性，我们的一般设置不需要事先进行随机假设。最近和相关文献也得出了削弱或完全消除随机假设的结果；例如，我们提到了FTAPin[29]、[11]、[12]和[15]的健壮版本。本文给出了一大类围绕轨道空间建立的非概率模型的公平价格界的计算结果。[18]中给出了离散时间的一般框架，其中可以找到与标准随机模型的详细解释和联系。该设置是[10]中提出的模型的推广（另见[31]中的书展）。参考文献[30]给出了相关参考文献。我们在实例中表明，由此产生的公平价格区间比绝对界限给出的区间要小得多，并且直接建立轨迹集的建模任务，而不是首先规定概率分布，然后作为副产品获得其支持，是一个值得建模的企业。[22]中提供了现实模型以及与市场数据的初步比较。[18]中的一个基本结果是，尽管存在某种套利，但仍然存在公平的价格区间。我们从数值上展示了这种套利对价格边界的影响。对于随机模型和基于轨迹的模型，询问公平价格区间之间的差异是很自然的。一个主要的技术区别是，随机环境中的超边缘不等式被要求保持A.e.，这意味着需要评估基本函数和上函数，而一般来说，这在计算上是难以解决的。当涉及非等效度量时，需要使用极坐标集。

在一般离散时间环境下，提供评估子复制边界和超复制边界的一般方法的文献很少，我们只知道[13]。我们的设置和结果不需要处理度量值为零的集合，因此从一开始就避免了这种复杂性。我们建立了一般结果，允许对一大类基于轨迹的模型的公平价格界限进行评估。我们将注意力限制在单一的可交易资产上，但希望获得的结果可以扩展到更高的维度，而不会带来实质性的复杂性。为了进行比较，我们提到了参考文献[24]，它也适用于独立于模型的环境，尤其是基于行业的模型。最小-最大价格界限的评估。3不假设先验固定测度，并允许在超级复制投资组合中进行静态和动态对冲。金融环境是零利率和一项风险资产的无风险债券。我们考虑一个金融离散市场M=SW×H，元素{Si=（Si，Wi，M）}∈ 发誓的轨迹。坐标是可交易基础的值，而变量Wi（可能是向量值）代表用于确定轨迹集的其他可观察财务变量的值（坐标在后面描述）。H={Hi}∈ H是功能Hi:SW→ R代表交易策略。形式主义中包含的一般类模型允许某些套利机会，同时，在不引入逻辑或实际一致性的情况下，为期权提供公平的价格区间。我们给出了有效而严格的结果，可以评估[18]中的极小值优化给出的超复制和子复制优先级[V（S，Z，M），V（S，Z，M）]（见本文定义2.2）。由此产生的算法是一种基于动态规划的优化，适用于一般轨迹集。

为了有效地处理由此产生的局部极小极大优化，我们提出了一个几何程序，包括计算一组未来股票价值的凸包（见第4节）。这代表了所谓的凸包算法（在[10]中非正式介绍），但在这里做了严格的规定，并扩展到一般设置。与评估凸壳的可用方法（例如[4]）不同，我们隔离了包含所需解的凸壳的相关部分。此外，我们的方法适用于有限个点的情况，其最终效果是将局部最小最大值减少为单个最大值。最后一步是通过几何比率参数化hedging参数来实现的，它代表了凸包算法的本质。hedgingratio是出现在随机环境中的delta套期保值项的离散化版本，给出了非最优套期保值。我们在一般情况下对程序进行正式分析。由此产生的算法允许评估现实期权类别和一般轨迹集类别的公平价格界限。我们证明，对于一类具有凸回报的模型和期权，超级复制价格等于Cox-Ross-Rubinstein模型中的复制价格（见[16]）：这一结果已经在[30]的非概率固定时间框架和[14]的概率上下文中得到。此外，我们将[10]（另见[31]）的模型进行了扩展，允许轨迹相关的二次变化。最后，相关的数值例子说明了该方法的可行性和所研究模型的一些特点。本文的组织结构如下，第2节提供了本文的总体框架，并描述了本文剩余部分将使用的符号和相关结果。该部分介绍了0-中性的通知和公平价格区间。

第3节确定了在适当条件下，如何通过迭代动态编程程序恢复全局最小-最大优化，确定约束价格。第4节描述了第3节中描述的迭代过程如何通过一种有效的、基于几何的方法实现，我们称之为凸包算法。第5节描述了一些简单的模型以及一类允许（采样）二次变化的轨迹相关值的模型。对于最后一种情况，我们在第6节中描述了支持模型实现的数据结构。最后，第7节对本文进行了展望，并对可能的扩展进行了一些推测。附录包含补充和技术结果。4 I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez2一般框架通常情况下，金融离散市场对交易进行的时间间隔[0，T]进行有限划分。指数i指0和T之间的时间T。为了灵活性和通用性，轨迹∈ SW的形式为S={（Si，Wi，m）}，其中Wi属于抽象集Ohm如果我们只需要定义一种平等关系。这种坐标被称为额外的不确定性来源（类似于包含标准过滤的强化过滤的情况）。在财务方面，数量被认为是可观察的。该框架允许投资者在任意市场事件的结果下重新平衡投资组合，例如，二次方差达到一定值。因此，与时间相关的轨迹被映射到一个空间，该空间依赖于变量W，该变量可以更好地联合约束成对序列（Si，Wi）。由于我们将对到期时间有限的期权进行定价，我们需要一个额外的信息，表明交易何时达到最终时间T。

我们用m表示这个轨迹坐标∈N.引入m对公平价格区间的计算很重要，因为设置的一般性不一定要求坐标wi包含任何明确的时间信息（有关几个样本，请参见第5节）。坐标m本可以正式并入WIM，但为了清楚起见，我们决定不这样做。我们从[18]中复制了一些必要的定义，如需进一步详细信息，请参考这些定义。定义1（轨迹集）给定实数和w，一组（离散）轨迹SW=SW（s，w）是以下集合w的子集∞= 西南∞（s，w）={s={Si≡ （Si，Wi，m）}i≥0:Si∈∑i，Wi∈Ohmi、 m∈Θ，S=S，W=W}，其中{∑i}i≥1和{Ohm}我≥1是R和Θ子集的族 N.元素∈ SWare打电话给Rajectories。我们注意到，如果S={（Si，Wi，m）}和S={（Si，Wi，m）}是两条轨迹，则可能发生在与S不同的时间，尽管W=W∈ 我们将使用符号是≡ Si+1-Sifor i≥ 0和定义M:SW→ N是S的第三个坐标上的投影函数，即M（S）=M。以下条件空间将起关键作用。让k≥ 0，为S∈ 使M（S）>k集合：SW（S，k）≡ {S\'\'∈ SW:M（S′）>k和（S′i，W′i）=（Si，Wi） 0≤ 我≤ k} 。注意SW（S，0）=S，如果∈SW（S，k），然后SW（S′，k）=SW（S，k）。

只要方便，元组（S，k）通常被称为节点。我们模型中的投资组合是[18]中轨迹集上的函数，但我们稍微修改了非预期条件，以适应变量m.definition 2（投资组合集）。投资组合H是一系列（成对）函数H={Φi=（Bi，Hi）}i≥0与Bi，您好：SW→ R.-据说每个S的投资组合H可用于SWif∈sw存在一个非负整数=NH（S），使得所有i的Hi（S）=0≥ 新罕布什尔州（S）和新罕布什尔州（S）≤ 男（女）。-投资组合H据说是在S自我融资∈ 我只喝了一杯≥ 0，Hi（S）Si+1+Bi（S）=Hi+1（S）Si+1+Bi+1（S）。（2.1）基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。5–对于所有S，S′，投资组合H被称为非预期if∈对于所有0，满足S′k=sk和W′k=wk≤ K≤ 如果i<min{NH（S），NH（S′），那么Φi（S）=Φi（S′）。考虑到∈ 对于自融资投资组合H，由VH（i，S）=Bi（S）+Hi（S）Si确定的投资组合价值等于VH（i，S）=VH（0，S）+i-1.∑k=0Hk（S）kS，在[i，i+1]期间，i=0，…，NH（S）-1.当然，VH（0，S）=B（S）+H（S）S。显然，为了指定自融资投资组合，提供非预期函数序列H={Hi}和相关实数V=VH（0，S）就足够了。如上所述，非预期条件与[18]中的定义2略有不同；新的条件更为普遍，在当前工作的背景下很有用。如果S={（Si，Wi，m）}i≥0和S′={（S′i，W′i，m′）i≥0，我们可以将条件改为i<min{NH（S），NH（S′）到i<min{m，m′）。使用NHis的条件更一般，它包含了投资者的信息。对于每一种策略，投资者都会选择一个阶段，根据市场信息或仅仅是他的直觉来清算投资组合。

对于等于S′的轨迹，这种选择可能不同。作为特例，在第3节中，我们将对所有H施加NH（S）=m∈ H基于轨迹的离散市场（简称轨迹市场）定义为M=SW×Hwhere H∈ H是可接受的、非预期的，并且在每个阶段都是自我融资的∈ 西南。这些模型是离散的，因为我们通过整数对潜在的投资组合再平衡进行索引。否则，股票图表和投资金额可以采用实数的一般子集，时间可以连续流动。假设零投资组合属于H，我们取N=0。如前所述，上述一些定义涉及[18]中材料的微小修改，但该参考文献中的大多数代数操作仅涉及第一坐标Si（在三元组中（Si，Wi，m））。这句话可以用来表明我们将依赖于[18]的结果在当前论文的背景下是有效的。在本文后面的几个例子中，将需要以下离散有界市场的概念。定义3（n-有界市场）如果存在常数n，则市场M=SW×H称为n-有界，因此：∈雨水管理设施（S）≤ n、 当对n的引用无关紧要时，我们称M为有界的。我们使用以下无套利市场的定义。定义4（无套利市场）给定一个离散市场M=SW×H，我们称之为H∈ 韩式套利策略如果：s∈ 西南、VH（新罕布什尔州、南部）≥VH（0，S）。-s*∈ 新罕布什尔州西南部*),s*)) > VH（0，S）。如果H不包含套利策略，我们会说M是无套利的。让Z:SW→ R表示一般函数，我们将不时非正式地称之为导数或支付函数。有关Z的一般条件，请参见附录A，以保证下文所述数量的完整性。6 I.德加诺，S.费兰多，A。