基于轨迹的模型。极小极大定价界的估计

因为有任何∈ SW（S，k），由GS（u）=Uk+1（S，Z，Mn）给出的函数-UkS是有限的，那么它的上确界G是下半连续的，并且是凸的。如果我喜欢*是紧凑的，通过下半连续性，存在u*∈ IkS*验证G（u）*) = 英孚∈IkS*G（u）。如果IkS=R且SWS满足S的局部上下特性*k，G也是强制性的。的确，存在S+，S-∈ 西南（S）*,k） 这样S+k+1-Sk=r+>0和S-k+1-Sk=r-< 0.让我∈ N和k=最大值|M-Uk+1（S+，Z，Mn）r+|，| Uk+1（S）-,Z、 Mn）-先生-|.如果u>K，u=|u |>Uk+1（S+，Z，Mn）-先生-, 然后m<Uk+1（S-,Z、 Mn）-UkS-≤ G（u）。另一方面，如果u<-K、 自从-u=|u |>m-Uk+1（S+，Z，Mn）r+，然后G（u）≥英国+1（南、中、明尼苏达州）-UkS+>m。因此，通过[3]中的推论4.3，从[26]中，Thm 7.3.1]G得到一个极小值。最后，通过矫顽力，存在R>0，使得G（u）>G（0）|≥G（0）如果|u |>R.thennf{G（u）：|u |≤ R}≤ G（0）≤ inf{G（u）：|u |>R}。命题3的证明。首先，有必要证明H*由（3.15）定义的是非预期的。让我们，我们∈SWwith（Si，Wi）=（S′i，W′i）表示0≤ 我≤ k对k≤ min{NH*（S） ，NH*（S′）=min{M（S），M（S′）}，然后SW（S，k）=SW（S′，k）和IkS=IkS′，因为NHis对所有H∈ 所以*k（S′）=u*= H*k（S）。为了M的u-完成*, 我们首先通过反向归纳证明Ui（S，Z，M）=Ui（S，Z，M*) 对于任何0≤ 我≤ n、 很明显，Ui（S，Z，M）=Ui（S，Z，M*), 尽管我≥ 男(S)。让我们∈ 使所有S′的M（S′）=n∈ 西南（南，北）-1). 特农-1（S，Z，M）*) = 英孚∈我*N-1S{supS\'\'∈西南（南，北）-1） [Un（S′，Z，M]*) -UN-1S′]}==infu∈在里面-1S{supS\'\'∈西南（南，北）-1） [Un（S′，Z，M）-UN-1S′=Un-1（S，Z，M）。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。自从我*N-1S={Hn-1（S）：H∈ H}∪{H*N-1（S）}=In-1S。现在假设∈ 使M（S′）≥ 所有S′的i+1∈ SW（S，i）和Ui+1（S′，Z，M）=Ui+1（S′，Z，M）*) 为了所有的人。

ThenUi（S，Z，M）*) = 英孚∈我*是{supS\'∈西南（S，i）[Ui+1（S′，Z，M]*) -UiS′]}==infu∈IiS{supS\'∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-UiS′=Ui（S，Z，M）。自从我*iS={Hi（S）：H∈ H}∪{H*i（S）}=IiS。最后为（3.14），为任何我≥ 0，用户界面（S，Z，M）*) = Ui（S，Z，M）=supS\'∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-H*一(S)和H在一起吗*∈ H*. C辅助结果第4节使用下一个几何引理。引理6设A，B，C，D，s，s，s∈ R、 s<s≤ s≤ s、 如果A>B，C>D，那么B-B-Ds-s（s）-（s）≤ A.-A.-铯-s（s）-s） （C.1）证明Letλ=s-党卫军-桑斯s≤ s≤ s、 因此，0≤λ≤ 1.然后λ（A）-B-（C）-D） )≤ A.-B、 重新安排我们得到的最后一个不等式（C.1）。D计算网格在这里，我们将引入一个整数对网格，用于表示细骨料混凝土市场的轨迹。gridΓ的目的是提供一种组合方法来构建有限的轨迹集，并实施有效的算法，以评估有限离散市场的动态边界Ui（S、Z、M）。因此，在适当的条件下，我们也将获得全局界V（s，Z，M）。给定离散化参数δ，β>0和p，q，N，N∈ N、 我们称轨迹网格为Γ={（k，j）：|k|≤N、 0≤ J≤ N-p j≤ K≤ p j}。无论如何，我≥ 0，轨迹S的每个节点Si=（Si，Wi，m）∈ SW（s，δ，β，p，q，N，λ）可以用一个顶点（ki，ji）来表示∈Γ，这样si=sekiδ，Wi=jiβ。（D.1）在第6.1节中已经表明，N≤ 请注意。还要注意的是，定义14的约束被转化为网格信息：如果∈ SW（s，δ，p，λ，N，N）然后| log Si+1-log Si|≤ pδ<=> |ki+1-基|≤ p0<Wi+1-Wi≤ qβ<=> 0<ji+1- 冀≤ qWM（S）∈ Q∧<=> 庄信万丰(S)∈Λ. （D.2）备注7注意，如果S∈ SW（s，δ，β，p，q，N，λ），使得对于所有i∈ N、 M（S）6=M（S），则与Γ中的相同顶点相关，但jM（S）=Nθ∈∧和jM（S）=nθ∈∧，其中θ6=θ.42 I.德加诺，S.费兰多，A。

另一方面，任何序列{（ki，ji）}i≥0表示（D.2）左侧列出的约束，对应于相同的关联（D.1），即满足定义14约束的轨迹S。然后，给定一个参数为sp，q，Nand∧的轨迹网格Γ，我们可以为近似的δ和β建立一个有限的轨迹集SWΓ（s，δ，β，p，q，N，λ），这样一来，Γ中任何可能的路径，以及（D.2）中列出的约束，都对应于SWΓ中的一条轨迹（s，δ，β，p，q，N，λ），并且逆含义也成立。备注8注意，网格Γ不一定包含满足（D.2）中所列约束的所有路径。例如，下一个网格满足p=q=N=1和∧={1}的条件，并且不包含路径（k，j），（k，j），因此k-k=-1.oossssss/oD.1网格中价格的计算上述轨迹网格Γ将用于计算动态边界Ui（S，Z，M），其中M=SWΓ（S，δ，β，p，q，N，λ）×H是与参数p，q，Nand∧的网格Γ相关的有限离散市场。为此，我们将使用定理6。出于空间原因，我们将使用缩写符号SWΓ=SWΓ（s，δ，β，p，q，N，λ）。让Z在SWΓ上定义一个欧洲选项。假设该选项与轨迹历史无关，即对于实变量函数Zf，Z（S）=Zf（SM（S））。Z上的这个条件允许计算Γ顶点的动态边界，如下所示。为了简单起见，我们将使用符号sk=sekδ。还假设组合H的集合是由sequencesH={Hi}i组成的≥0包括从SWΓ到R的任何函数，对于i是非预期的，因此H是满的。现在我们描述一种适用于∧＝{N}情况的算法。0的动态边界Ui（S、Z、M）≤ 我≤ N、 可以关联到Γ的顶点。实际上，由于WM（S）=Nβ，节点SM（S）=（SM（S），WM（S），M（S））由（D.1）对应于一些（kM，N）∈Γ（M）≡ M（S）），然后UM（S，Z，M）=Zf（skM）。

此外，每当轨迹S有一个节点（skM，Nβ）时，就会有um（S，Z，M）=Zf（skM）。现在，网格节点（ki，ji）对应于轨迹S∈ SWΓ在第一阶段。我们从定义9和定理6中知道，Ui（S，Z，M）只取决于Ui+1（S′，Z，M），S′i+1和Si，其中S′∈ 西南（S，i）。然后，通过（D.2），这些量与顶点（k，j）相关联∈Γ- P≤ K-基≤ p、 和0<j- 冀≤ q、 （D.3）顶点（k，j）∈Γ验证（D.3）被称为可从（ki，ji）到达。Ui（S，Z，M）可以通过带有域Γ的函数U与顶点（ki，ji）相关联，这样U（ki，ji）=Ui（S，Z，M）。因此，对于每个顶点（k，j）∈Γ我们通过以下程序定义您。因为任何顶点（k，N）∈Γ对应于轨迹S∈ SWΓ，其中SM（S）=（sk，Nβ，m），deneu（k，N）=Zf（sk），对于任何k:|k|≤ N.现在假设，对于固定的j<N，U（k*, J*) 被定义为任何j*: j<j*≤ N、 还有什么k*: |K*| ≤ p j*. 固定（k，j）∈Γ和任何对（k+，j+，（k-, J-) 验证0<k+-K≤ p和0<j+- J≤ Q-P≤ K--K≤ 0和0<j-- J≤ q、 （D.4）一套±≡U（k+，j+）-U（k）-, J-)sk+-sk-.成为一个∈ SWΓa轨迹使得Si对应于（D.1）到（k，j），重要的是要注意（k+，j+）和（k-, J-)验证（D.4）是否可从（k，j）中访问，如果S+，S-∈ SW（S，k）验证S+i+1和S-i+1分别对应于（k+，j+）和（k）-, J-), 然后是S+∈ 助理（S，i）和S-∈ Sdo（S，i）。因此，定理6是适用的，并且根据它定义了u（k，j），byU（k，j）≡ C（k，j）=sup{U（k+，j+）-±（sk+-sk）}，对于0≤ j<Nand|k|≤ p j，（D.5），其中上确界接管对（k+，j+，（k-, J-) 核实（草4）。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。43因此，上述递归过程允许获得U（0,0）=U（s，Z，M）=V（s，Z，M），因为满足了第4项的假设。我们现在将该过程扩展到一个严格递增的l元组∧={n，…，nl}，其中nl=n。现在，对于某些θ=1，。。。

，l，然后是一些轨迹的节点SM（S）∈ SWΓ由（D.1）对应于一些（kM，nθ）∈Γ和UM（S）（S，Z，M）=Zf（skM（S））。但是，通过定义9和定义rem 6Ui（bS，Z，M）=supSup，可以观察到if（kM（S），nθ）也对应于I6=M（bS）的轨迹B的节点B∈高级（英国、英国及英国）私人发展办公室∈Sdo（bS，i）[Ui+1（辅助，Z，M）-u（Sup，Sdo）（Supi+1）-我们从j=nl=N列开始分析。任何顶点（k，N）对应于SWΓ中轨迹的节点SM（S），然后定义（k，N）=Zf（sk）。对于顶点（k，j）∈Γ与nm-1<j<nm，k∈ [-p j，p j]，U（k，j）由（D.5）给出。列nl上的顶点-1inΓ，通过（D.1）对应于可能具有M（S）=nl的轨迹-1在该节点，它是WM=nl-1β，或继续得到WM=nlβ。对k来说也是如此*∈[-pnl-1，pnl-1] ，U（k）*,nl-1） 应该取Zf（sk）的值*) 在第一种情况下，而在第二种情况下，其在该顶点的值应通过（D.5）给出。对于j<nl，必须考虑这两种情况来计算（k，j）-1，通过（D.5）的平均值，当任何顶点（k*,nl-1） 可从（k，j）到达。然后，观察到这两个值的最大值是对（4.2）的贡献，在所提到的计算中，根据定理6，我们得到了（k）*,nl-1） =max{Zf（sk*),C（k）*,nl-1)}.基于同样的考虑，U（k，j）≡ 对于所有nθ<j<nθ+1，C（k，j）由（D.5）定义为1≤θ<l- 1和k∈[-p j，p j]。对于j=nθ和1≤θ<m-1和k∈ [-pnθ，pnθ]U（k，nθ）=max{Z（sk），C（k，nθ）}，其中C（k，nθ）由（D.5）给出。总之，U（k，j）表示0≤ J≤ Nand k∈ [-p j，p j]由u（k，j）给出=Zf（sk）如果j=nlmax{Zf（sk），C（k，j）}如果j=n，n。。。，nl-1C（k，j）在另一种情况下，其中C（k，j）由（D.5）给出。通过这个递归过程，我们可以计算U（0,0）=U（s，Z，M）=V（s，Z，M）的值。回想Ui（S，Z，M）=-用户界面，-Z、 M），动态下限Ui（.）通过类似的程序计算。参考文献1。

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