长期现金流量的敏感性分析

我们证明了ptwi对扰动参数的长期敏感性可以用一个简单的形式来表示→∞T=0ln pT=-=0λ.确认作者衷心感谢乔纳森·古德曼、斯蒂芬·斯特姆和斯里尼瓦萨·瓦尔·阿丹提出的宝贵建议。作者感谢编辑、副主编和两位匿名推荐人的有益评论和见解，这些评论和见解极大地提高了论文的质量。这项工作得到了韩国政府（MSIP）资助的韩国国家研究基金会（NRF）资助（编号2017R1A5 A1015626）。定理4.8的证明命题A.1和A.2是证明定理4.8的基本步骤。提议。1是Fourni’e等人（1999）中命题3.1的推广。我们修改他们的门面。回想等式（4.6）中定义的函数sk和k。提议A.1。设（b，σ，r，f）和ξ分别是四个函数和一个初始值，满足假设4.1-4.2。假设φ（x）和φ（x）（因此，k（x））对于每个x在I上是连续可微的，并且存在函数g，ψ：Rd→ R满足（，x）inI×Rd的式（4.7）和式（4.8）。假设对于每个T>0，存在正常数，，p，q≥ 2和1/p+1/q=1，使得等式ξ[eRTg（Xs）ds]<∞, （A.1）等式ξhZTgp+（Xs）dsi<∞, （A.2）等式ξ[ψq（XT）]<∞. （A.3）然后是部分竞争EQξ[（fη/φη）（XT）]存在且EQξ[（fη/φη）（XT）]=EQξh（fη/φη）（XT）ZTk（Xs）dWsi。（A.4）此外，该偏导数在I上的（η，）是连续的。证明如下。（一） 首先，证明公式（A.4）的=0，也就是说，=0EQξ[（fη/φη）（XT）]=EQξh（fη/φη）（XT）ZTk（Xs）dWsi。

（A.5）我们进行以下子测试以显示上述平等性。（i） 证明=0EQξ[（fη/φη）（XT）]=lim→0EQξh（fη/φη）（XT）ZTZsl（Xs）dwsif一阶近似lkin-扰动的，以及指数鞅Z的。二者都l和Z稍后定义。那就足以证明林→0EQξh（fη/φη）（XT）ZT（Zs）l（Xs）-k（Xs））dWsi=0（A.6），这给出了等式（A.5）中规定的期望结果。（ii）为了表示（A.6），必须表示（Zs）l（Xs）-k（Xs））dWs→ 0英寸LPA→ 0.观察等式zt（Zs）l（Xs）-k（Xs））dWs=ZT（Zs-1)l（Xs）dWs+ZT(l-k） （Xs）dWs，我们证明了右边的两项在帕斯收敛到零→ 0.（II）使用公式（A.5），验证公式（A.4）中的任意∈ I.（III）证明式（A.4）中偏导数的th在I.证明中（η，）是连续的。命题A.1的证明将分几个步骤给出。步骤（I）-（I）。Fr om Eq.（2.4）和Eq.（2.5），一个过程（Wt）≥0:=（Bt）-Rt（Xs）ds）t≥0是一个Q-布朗运动，XisdXt=（b+σ）（Xt）dt+σ（Xt）dWt=（σk）（Xt）dt+σ（Xt）dWt的Q-动力学。因为k在I上是连续可微分的，通过泰勒展开式，我们写出k=k+l对于某些d×1向量函数l. X的Q-动力学用dxt=（σk+σ）表示l（Xt）dt+σ（Xt）dWt.根据假设（A.1），过程（Zt）0≤T≤T:=（eRt）l（Xs）dWs-Rt|l|（Xs）ds）0≤T≤这对于smal l来说是一个很好的例子，因为Novikov条件是满足的。这里我们使用了平均值|l（x）|=k（x）- k（x）==*k（x）≤ g（x）表示某些*∈ I.根据Girsanov定理，我们有等式ξ[（fη/φη）（XT）]=EQξ[（fη/φη）（XT）ZT]，因此=0EQξ[（fη/φη）（XT）]==0EQξ[（fη/φη）（XT）ZT]=lim→0EQξh（fη/φη）（XT）ZT- 1i=l im→0EQξh（fη/φη）（XT）ZTZsl（Xs）dWsi。（A.7）对于最后一个等式，我们使用了dzT-1=RTZsl（Xs）dWs，这很容易通过Ito公式获得。

根据公式（A.7），必须证明lim→0EQξh（fη/φη）（XT）ZT（Zs）l（Xs）-k（Xs））dWsi=0，由此得出等式（A.5）。步骤（I）-（ii）。从条件ξ[（fη/φη）q（XT）]≤ 等式ξ[ψq（XT）]<∞, 通过霍尔德不等式，它足以证明RT（Zsl（Xs）-k（Xs））dws在Lpas中转换gesto 0→ 0.使用EqualityZt（Zsl（Xs）-k（Xs））dWs=ZT（Zs- 1)l（Xs）dWs+ZT(l-k） （Xs）dWs，（A.8）我们证明了在Lp中，右边的每个项收敛到零。对于右边的第二项，我们使用勒贝格主导收敛定理。因为|l-k | p≤ c(|l| p+| k | p）≤ 2cgp对于某些正常数c，且等式ξ[RTgp（Xs）ds]是有限的，我们有等式ξhZT(l-k） （Xs）dWs圆周率≤ cqqξhZT|l-k |（Xs）ds圆周率≤ cqTp-1EQξhZT|l-k | p（Xt）dti→ 0as→ 对于某个与无关的正常数cq0。使用了Burkholder-Davis-Gundy不等式和Jensen不等式。对于等式（A.8）右侧的第一项，我们证明了lim→0EQξhZT（Zs）- 1) l（Xs）dWspi=0。设r>0，使得1/r+1/（1+/p）=1。应用Burkholder-DavisGundy不等式、Jensen不等式和Holder不等式，我们得到了公式ξhZT（Zs）- 1) l（Xs）dWs圆周率≤cqqξhZT（Zs）- 1)|l|（Xs）ds圆周率≤cqTp-1EQξhZT|Zs- 1 | p|lp（Xs）dsi≤ cqTq-1.公式ξhZT|Zs- 1 | prdsiR等式ξhZT|l| p+（Xs）dsipp+≤ cqTq-1.公式ξhZT|Zs- 1 | prdsiR等式ξhZTgp+（Xs）dsipp+。在最后一个不等式中，由于等式ξ[RTgp+（Xs）ds]是（A.2）上的假设所确定的，因此必须证明等式ξ[RT|Zs]-1 | prds]→ 0 a s→ 0.选择一个正整数m，使之等于m>pr。我们将在等式ξ[RT（Zs）处显示th- 1） mds]收敛为零→ 0.观察（Zt）- 1） m=mXj=0乔丹(-1） jZjt。（A.9）因为ξhZT（Zs）- 1） mdsi=mXj=0乔丹(-1） jZTEQξ[Zjt]dt→ TmXj=0乔丹(-1） j=0，很难证明rteqξ[Zjt]dt收敛于tas→ 0表示j=0，1，·，m。为了实现这一点，使用了勒贝格主导收敛定理。

我们证明了对于SMALL和0，期望公式ξ[Zjt]一致有界于一个常数≤ T≤ T、 等式ξ[Zjt]收敛到1，即→ 每个固定t的0。观测值ξ[Zjt]=等式ξ[ejRtl（Xs）dWs-杰尔特|l|（Xs）ds]=EQξ[ejRtl（Xs）dWs-杰尔特|l|（Xs）dsej（j）-1/2）Rt|l|（Xs）ds]≤ （式ξ[e2jRtl（Xs）dWs-2jRt|l|（Xs）ds]）（EQξ[ej（2j-1） Rt|l|（Xs）ds]）=（EQξ[ej（2j）-1） Rt|l|（Xs）ds]）(∵ 前一个术语是马丁·盖尔（martin gale，意为“小的”）≤ （EQξ[ej（2j-1） Rtg（Xs）ds]）。如果必要，通过选择较小的I，我们可以假设j（2j- 1)≤ 为所有人∈ I和j=0，1，m、 FOR 0≤ T≤ T和∈ 一、 我们有公式ξ[Zjt]≤ （式ξ[eRTg（Xs）ds]）。（A.10）因此∈ I和0≤ T≤ T、 期望值EQξ[Zjt]由常数（EQξ[eRTg（Xs）ds]）统一限定，该常数是一个由假设（a.1）确定的有限数。现在我们证明了等式ξ[Zjt]共收敛为1 as→ 0表示固定t∈ [0，T]。将勒贝格收敛定理应用于ej（2j）-1） Rtg（Xs）dsas→0.因为这是由期望值为有限的eRTg（Xs）Ds主导的，我们知道EQξ[ej（2j-1） Rtg（Xs）ds]收敛为1→ 0.因此1=EQξ[lim inf→0Zjt]≤ lim inf→0EQξ[Zjt]≤ lim sup→0EQξ[Zjt]≤ 林→0EQξ[ej（2j-1） Rtg（Xs）ds]=1。（A.11）这就完成了证明。第（II）步。我们给出了rbitr的等式（A.4）∈ 一、修复∈ I并选择一个足够小的0的开放区间J，使+J仍然在I中。为了利用等式（A.5），我们在区间J中引入另一个参数h。考虑四重o f函数（b+h，σ，r+h，f+h）和ξ与每个turbat离子参数h。这个四次倾斜的初始值满足命题A.1的假设，因为u+J是I的子集。因此，从步骤（I）的结果来看，我们知道，等式+hξ[（fη/φη）（X+hT）]在h=0时是可微的，并且h=0EQ+hξ[（fη/φη）（X+hT）]=EQξh（fη/φη）（XT）ZTk（Xs）dWsifork（X）=k（x）=Hh=0k+h（x）。这就得到了等式（A.4）。第（III）步。

证明了偏导数方程ξ[（fη/φη）（XT）]=EQξh（fη/φη）（XT）ZTk（Xs）dWsii在（η，）I上是连续的。在不丧失一般性的情况下，我们证明了原点（η，）=（0，0）的连续性。观察到等式ξh（fη/φη）（XT）ZTk（Xs）dWsi=等式ξh（fη/φη）（XT）ZTk（Xs）dWs+ZT（k）l（Xs）ds兹提。为方便起见，deT：=ZTk（Xs）dWs+ZT（k）l（Xs）dsZTHT:=HT。我们想把它表示为（η，）→ （0,0），等式ξ[（fη/φη）（XT）HT]→ 公式ξ[（f/φ）（XT）HT]。由于等式ξ[ψq（XT）]是有限的，根据勒贝格占优的收敛定理，我们知道（fη/φη）（XT）在Lqasη中收敛到（f/φ）（XT）→ 0.因此，Ht如何转化为HTin LPA→ 0.通过显示tZTZTk（Xs）dWs可以获得这种收敛性→ZTk（Xs）dWs（A.12）ZTZT（kl（Xs）ds→ LPA中0（A.13）→ 我们证明了等式（A.12）。选择一个足够大的正偶数整数m，例如p++m<p。从广义Holder不等式中，可以看出→ 0ZTk（Xs）dWs→ZTk（Xs）dWsin Lp+andZT→ 1英寸。第二个Lm收敛性由等式获得。（A.9）以及→0EQξ[ZjT]=1，如式（A.11）所示，对于j=0，1，··，m。对于第一个Lp+-收敛，观察EqξhZT（k- k） （Xs）dWsp+i≤ cp+EQξhZT |k- k | p+（Xs）dsi其中cp+是来自David Bu rkholder-Gundy不等式的常数。从假设（A.2）出发，Lebesgue-dom-inated收敛定理saysEQξhZT | k- k | p+（Xs）dsi→ 0 as→ 0 .现在我们证明等式（A.13）。这足以证明ZTRT（kl）（Xs）ds i sunifor mly bound inon i in Lp。这是通过等式ξh实现的ZTZT（kl（Xs）ds圆周率≤ 公式ξhZpTZTg（Xs）ds圆周率≤等式ξ[Z2pT]1/2等式ξhZTg（Xs）ds2pi1/2.第一个期望公式ξ[Z2pT]在on I中通过常数一致有界（公式ξ[eRTg（Xs）ds]），方法与公式（A.1.0）相同。

第二个期望公式ξ[（RTg（Xs）ds）2p]是确定的，因为公式ξ[eRTg（Xs）ds]是通过假设（A.1）确定的。下面的命题表示，对于任何正常数p，eYTin时间T的期望的指数增长率保证了eYTin时间T的期望的Tp阶增长率。命题A.2。让（Yt）t≥0为非负随机过程，p为正常数。假设有正常数a和c，比如t>0，E[eYT]≤ 吃。然后存在一个正常数d，使得E[YpT]≤ 对于所有效率较大的T>0。证据必须表明lim支持→∞E[YpT]Tpis fine。确保信息的完整性。存在一个序列{Tn}∞n=1如此→ ∞和bn:=E[YpTn]Tpn→ ∞ 作为n→ ∞. 设^p为非负整数，使得^p<p≤ ^p+1。对于任何非负随机变量Y，我们知道e[eY]=∞Xj=0E[Yj]j！≥∞Xj=^p+1E[Yj]j！≥∞Xj=^p+1（E[Yp]）jpj=∞Xj=0（E[Yp]）jpj！-^pXj=0（E[Yp]）jpj！=e（e[Yp]）p-^pXj=0（E[Yp]）jpj！。这里，我们使用泰勒展开和詹森不等式。替换Y=YTn，因为E[YpTn]→ ∞ 作为n→ ∞ 指数增长率比多项式增长率快，因此E[eYTn]≥ e（e[YpTn]）p-^pXj=0（E[YpTn]）jpj！≥e（e[YpTn]）p=ebpntn对于足够大的n.根据这个假设，我们得到了≥ E[eYTn]≥这是一个矛盾，因为limn→∞bn=∞.证据现在我们证明定理4.8。通过位置A.1，直接得到了偏导数的存在性和连续性。根据公式（A.5），我有必要证明这一点→∞TEQξh（f/φ）（XT）ZTk（Xs）dWsi=0。由于等式ξ[eRTg（Xs）ds]的增长率小于或等于指数增长率，命题A.2说等式ξ[（RTg（Xs）ds）p]的增长率小于或等于Tp阶增长率。

因此，存在一个常数dp，它依赖于p，但不依赖于T，因此等式ξhZT | k |（Xs）ds圆周率P≤等式ξhZTg（Xs）ds圆周率P≤ dpt对于足够大的T.使用Holder不等式和Burkholder-Davidsgundy不等式，可以得出（f/φ）（XT）ZTk（Xs）dWs我≤T式ξ[（f/φ）q（XT）]Q等式ξhZTk（Xs）数据仓库圆周率P≤cqT式ξ[（f/φ）q（XT）]Q等式ξhZT | k |（Xs）ds圆周率P≤cqT式ξ[（f/φ）q（XT）]q（dpT）=cqdqT式ξ[（f/φ）q（XT）]Q→ 0（A.14）为T→ ∞ 因为等式ξ[（f/φ）q（XT）]在[0]上一致有界于T，∞). 这就完成了证明。定理4.10的证明。设cbe为正常数，使得等式ξ[eg（XT）]≤ cfor al l T≥ 0.用一个非常小的正数替换q，我们可以假设1<q≤ 2，常数p由1/p+1/q=1定义（因此，p≥ 2） 是一个偶数整数。对于固定的T>0，我们首先证明命题a.1的条件与这些常数p和q是一致的。由于等式（a.3）已被假定为成立，因此仍需对等式（a.1）和等式（a.2）进行验证。期望公式ξ[eTRTg（Xs）ds]在[0]上的T上是统一的，∞) 因为eqξ[eTRTg（Xs）ds]≤ 等式ξhTZTeg（Xs）dsi=TZTEQξ[eg（Xs）]ds≤ c、 （B.1）将/T替换为，等式（A.1）满足要求。对于等式（A.2），请注意，对于anyn∈ N使得2n>p+1，等式ξ[RTg2n（Xs）ds]的期望值是从等式ξhZT（g）N（Xs）dsi开始的≤ EQξhZTn！eg（Xs）dsi≤ T n！c、 因此，期望公式ξ[RTgp+1（Xs）ds]也是确定的。命题A.1的所有条件都满足。因此，部分导数EQξ[（fη/φη）（XT）]存在并在I上继续存在（η，）。此外，=0EQξ[（f/φ）（XT）]=EQξh（f/φ）（XT）ZTk（Xs）dWsi。现在，它仍然可以证明这一点=0EQξ[（f/φ）（XT）]=TEQξh（f/φ）（XT）ZTk（Xs）dWsi→ 0as T→ ∞. 从式（A.14）中，足以证明Eqξ[（RTg（Xs）ds）p]的增长率小于或等于Tpas T的数量级→ ∞. 重新调用p是一个正偶数整数。

使用eq.（B.1）和ineq≤ （p/2）！对于x>0，它遵循t hθhTZTg（Xt）dt圆周率≤ （p/2）！等式ξ[eTRTg（Xs）ds]≤ （p/2）！c、 这就得到了想要的结果。这是一个完整的证明。命题4的证明。本节提供了命题4.1的证明。定价运算符PinEq。（4.10）isPTf（x）=EPX=x[e-RTr（Xs）dsf（XT）]。通过PLampTF（ζ）=EPU=ζ[e]定义与Lampert i变换相关的算子PLampt-RTR（Us）dsF（UT）]。引理C.1。设β为实数，h为R上的正函数。下面的g语句是等价的这对（e）-βT，h）是PT的特征对，即PTh（x）=e-βTh（x），x∈ R.o这对（e）-βT，ho v）是PLampT的特征对，即PLampT（ho v）（ζ）=e-βT（h）o v）（ζ），ζ∈ R证据从pTh（x）=EPX=x[e]可以直接得到证明-RTr（Xs）dsh（XT）]=EPU=u（X）[e]-RTR（Us）ds（ho v（UT）]=PLampT（ho v）（ζ）和ζ=u（x）。证据我们现在展示命题4.12。“仅当”条件将得到证实。“if”条件可以用类似的方式表示，所以我们省略了它。假设四（b，σ，r，f）和ξ满足假设4.1-4.2。相应地定义X，P，M，Q，（λ，φ），。很容易检查四重（Δ，1，R，F）是否满足假设4.1。我们在4.2（即假设1.1-1.3和2.1-2.4）上显示了四倍（Δ，1，R，F）和ζ满足假设的th。假设1.1是满足的，因为等式（4.12）中定义的U是SDE（4.13）的强解，并且因为SDE（4.11）的强解X（因此，SDE（4.13）的强解U是唯一且无损失的。假设1.2和1.3是微不足道的。假设2。1.我们观察到这一对-λT，φo v）是LemmaC的PLampTby的eig en p air o。1.

由meq.（2.2）可知，相应的鞅过程是lampt:=Eλt-RtR（Us）ds（φo v）（Ut）（φo v）（ζ）=eλt-Rtr（Xs）ds（Xt）（ξ）=Mt，0≤ T≤ T由该鞅MLamp定义的循环本征测度QLamp满足QLampdPFT=MLampT=MT=dQdP因此，QLamp=Q。因此，假设2.1是令人满意的，因为X的重复意味着U的重复。假设2.2显然是满足的，因为r ecu当前的本征函数φo v是两次连续可微的。假设2.3和2.4直接从QLamp=Q中获得。通过引理C.1和上述论证，两个相应的循环特征值重合。D CIR建模。1 Hansen–Scheinkman分解首先，我们证明（b，σ，r，f）和ξ满足假设4.1-4.2（即假设1.1-1.3和2.1-2.4）。我们只证明了假设2.1-2.4；其他人都是微不足道的。可以证明一对（λ，φ（x））：=（θκ，e）-κx）是循环特征对，其中κ：=√a+2σ-aσ（Qin and Linetsky（2016）第6.1.1节）。这证明了假设2.1-2.2。考虑r ecu当前ei gen测量值Q。相应的Girsanov核为（Xt）=-σκ√xIsdxt=（θ）的Q-动力学-pa+2σXt）dt+σpXtdWt，X=ξ。（D.1）这里，W是Q-布朗运动。这个过程是一个RE参数化的CIR模型。众所周知，CIR模型具有不变分布，这意味着假设2.3。为了方便起见，我们定义b：=√a+2σ。为了说明假设2.4，考虑Q-密度函数l（x；t）of Xtl（x；t）：=hte-U-五、似曾相识q/2Iq（2）√uv），其中IQ是阶数q和HT=2bσ（1）的第一类的修正贝塞尔函数- E-bt），q=2θσ- 1，u=htξe-bt，v=htx。稍加改写后，我们发现l（x；t）=kthte-htxxq/2Iq（2hte-bt/2pξx）。（D.2）这里，kt=e-htξe-bt（ξe）-（英国电信）-q/2andIq（z）=（z/2）qπ1/2Γ（q+1/2）zπ（ez cos usin2qu）du≤π1/2（z/2）qezΓ（q+1/2）。

（D.3）对于大于0的大t，我们有l（x；t）≤ B e-htxxqe2ht√ξR对于函数f的正常数B.Toshow假设n 2.4，其增长率小于或等于多项式增长率，必须证明常数c>κ的公式（D.4），因为（f/φ）（x）=f（x）eκxis的增长率小于ecxas x的增长率→ ∞. 选择一个常数c，比如在κ=b处的th-aσ<c<2bσ。因为2bσ<ht，我们知道l（x；t）由Be（c）控制-2bσ）xxqe2h√ξx，在（0，∞) 我很确定。根据Lebesgue-domined收敛定理，可以得出eqξ[ecXt]=Z∞ecxl（x；t）ds→Z∞ecxl（十）；∞) dx=Zecxdν（x），（D.4）式中l（十）；∞) = 极限→∞l（x；t），等于Q下x的不变密度函数。有关C-IR模型密度的更多详细信息，请参见Benth和Karlsen（2005）第19页。综上所述，我们展示了第5节中定义的四倍f作用（b，σ，r，f）和初始值ξ。1.满足假设4。1 a n d 4.2。从现在起，在CIR模型的上下文中，符号X、P、L、M、Q、（λ、φ）、ν、ν是自解释的。D.2ξ的灵敏度在本节中，我们在公式（5.3）中显示了ξ的长期灵敏度。根据理论3。1，必须证明等式ξ[（f/φ）（XT）]在ξ中是连续可微的，并且ξEQξ[（f/φ）（XT）]→ 0作为T→ ∞. 通过观察Q-密度函数，可以很容易地调整连续差异和向零的转换l（x；T）of XT。的确，limT→∞ξEQξ[（f/φ）（XT）]=li mT→∞ξZ∞（f/φ）（x）l（x；T）dx=limT→∞Z∞（f/φ）（x）l（x；T）ξdx=Z∞（f/φ）（x）极限→∞l（x；T）ξdx=0。（D.5）第二等式中的微分和积分的交换可以通过标准参数进行检查。对于最后一个等式，我们使用了下面的引理。引理D.1。勒特l（x；t）是式（D.2）中给出的x的Q-密度函数。那么，limt→∞l（x；t）ξ= 0 .证据