长期现金流量的敏感性分析

定理4.3中的条件（i）很容易检查，因为f是有界支撑的有界函数。现在我们应用定理4.10。回顾第4.1节中k和g的定义。根据式（E.1），因为V和u在Bij中是连续可微分的，所以存在足够大的常数C比克（x）≤ c+c | x |=：g（x）。为了检验定理4.10中的条件（i），必须证明存在正，使得等式ξ[e| XT |]在[0]上的T上一致有界，∞ ). 考虑XT的密度函数，它是一个多变量正态随机变量。WehaveEQξ[e| XT |]=p（2π）ddet∑TZRde|z|-（z）-uT）Σ-1T（z）-uT）dz，其中uTand∑分别是XT的mea n向量和协方差矩阵。观察指数| z|-（z）- uT）Σ-1T（z）- 被积函数的uT）。在回归本征测度Q下，由于假设2.3得到满足，分布转化为不变分布，这是一个非退化的多变量正态分布。设∑∞是不变分布的协方差矩阵。选择小于∑的最小特征值-1.∞, 然后，上述积分收敛为常数T→ ∞, 这意味着条件（i）。定理4.10中的条件（ii）也可以通过等式（E.2）中的方法进行检查。E.5σ的敏感性本节研究预期Pt对波动率矩阵σ=（σij）1的敏感性≤i、 j≤d、 假设在com p act支持下，TF是连续不同的。可以看出limT→∞Tσiln pT=-λσIb使用REM 4.3和4.1.6。因为其他条件很容易证明，所以我们只检查托雷斯4.16的假设。相应的变化过程Z=（Zt）t≥0由DZT=（B）给出- 2aV）Ztdt+σdWt。因此，等式ξ[|ZT |]收敛为T→ ∞ 因为过程Z是anOrnstein-Uh-lenbeck（OU）过程，B的所有特征值- 2aV具有负相关部分。

这就得到了预期的结果。对于3/2模型，本节的目的是证明第6节中讨论的敏感性。2.对于ξ的灵敏度，公式（6.3）通过显示limT获得→∞ξln qT=φ′（ξ）φ（ξ）=-lξ-式中，qt是式（6.1）中的期望值。倒数Y:=1/X满意度=（a+σ）(l + 1) - θYt）dt- σpytdwt是一个CIR模型，因此我们可以使用第D.2节的结果。通过定理3.1，可以证明期望值EQξ[（f/φ）（XT）]=EQξ[Y-αβ-lT] 在ξ和该极限中持续不同→∞ξEQξ[（f/φ）（XT）]=limT→∞ξEQξ[Y-αβ-lT] =0。这可以通过式（D.5）中的方法证明。对于θ的灵敏度，将使用定理4.8中的公式4.11来说明→∞Tθln pT=-λθ= - l. 我们只展示定理4.8的条件，因为其他条件很容易检查。从k（x）=θσ√十、-（aσ+σ）l)√x、 wede fine g（x）：=σ√x、 条件（i）表明si n ce 1/x是一个CIR过程。考虑（ii）q=1+的nD（iii）对于足够小的>0。注意任何n∈ N、 期望方程ξ[（1/XT）N]收敛到常数a→ ∞ 因为1/X是一个循环过程。这证明了定理4.8中的（ii）。对于（iii），由于f和φ依赖于参数θ，我们将ψ（x）定义为f（x）/φ（x）。对于非常小的正数，很容易证明期望值EQξ[ψ1+（XT）]=EQξ[X（1+）（αβ）+l)T] 转换为T→ ∞ 通过考虑CIR过程1/X的密度函数，对于a的灵敏度，目标是通过使用推论4.11和Theo-rem 4.8证明等式（6.4）。我们只检查定理4.3中的条件（ii），因为这些条件很容易证明。定义Y:=1/X，因此Y是一个CIR过程。设（y；t）为Yt的密度函数。我们通常使用新的参数b来区分f/φf中的参数a和X漂移中的参数a。

定义lb:=r+bσ+ αβ(β - 1) -+bσ, πb（x）：=x-l那么la=l πa（x）=x-l= 常数φ（x）l 在等式（6.2）中。首先，我们要说明的是，偏导数存在bEQξ[（f/πb）（XT）]，并且bEQξ[（f/πb）（XT）]=EQξ[b（f/πb）（XT）]。通过将支配函数G定义为G（x）=cxαβ，从定理G.1中得到证明+l+1+cxαβ+l-1对于足够大的Constantsc和csinceb（f/πb）（x）=lBbxαβ+lbln x≤ cxαβ+l+1+cxαβ+l-a的一个小开邻域中所有b的1=g（x）。期望方程ξ[g（XT）]=cEQξ[Y-αβ-l-1t]+cEQξ[Y-αβ-l+1t]是指σ+1-αβ>0，因为密度h（y，t）的增长率由e控制-2θσyas y→ ∞ 主要由y2aσ+2决定l+1asy→ 0+. 点的连续性两个变量（b，a）中的bEQξ[（f/πb）（XT）]可以从h（y；T）的joint连续性和等式中得到bEQξ[（f/πb）（XT）]=EQξhb（f/πb）（XT）i=lBbEQξ[Xαβ+lbTln XT]=-lBbEQξ[Y-αβ-lbTln YT]=-lBbZ∞h（y；T）y-αβ-l布莱尼·迪。很容易检查等式ξ[g（XT）]是否收敛于T→ ∞, 由此得出等式（4.3）。对于σ的灵敏度，考虑四倍（δ，1，R，F）和由第4.2.1节中的Lamperti变换确定的初始值ζ。定义u（x）=σ√当x>0时，我们得到δ（u）=2aσ+2l +U-θu，R（u）=2αβ（1）- β） u，F（u）=（σu/2）-2αβ, ζ =σ√ξ.根据命题4.12，四重（δ，1，R，F）和ζ满足假设4.1和4。因为四重（b，σ，r，f）和初始值ξ也满足它们。我们可以用定理4.13来表示等式（6.5）。条件s（i）和（iii）可以用命题d.3和d.4中的方法来表示，当σ+1时，条件（ii）可以用定理4.8来表示- αβ>0通过应用与本节中a.G Payoff函数扰动灵敏度分析中使用的相同方法，我们对部分推导感兴趣期望值的E[h（X）]。

差异离子与期望离子的互换性是本文的一个重要内容。下面的定理是一个众所周知的事实，值得注意的是，当初始值ξi不是pertur bed时，该定理可用于检查定理4.3中的条件（ii）。定理G.1。设X是一个随机变量l e，l e t h（X）是I×R上两个变量（，X）的一个函数，其中I是一个0的开放N e。假设[h（X）]<∞ 对于每一个i，h（x）在on i中对于每一个x是连续可微的。假设存在一个正函数，称为衰减函数，使得E[g（x）]<∞ 和h（x）≤ g（x）在I×Rd上。然后，期望E[h（x）]在I上是连续可微的，并且E[h（X）]=Ehh（X）i.参考董贤安和高斌。术语结构动力学的参数非线性模型。《金融研究回顾》，12（4）：721-7621999。大卫·鲁伊斯·巴诺斯、蒂洛·迈耶·布兰迪斯、弗拉克·诺伯特·普罗斯克和辛德雷迪达尔。不带导数的计算。《金融与随机》，21（2）：509–5492017。吕克·雷·贝莱特。Ma-rkov过程的遍历性质。在开放量子系统中，第1-39页。斯普林格，2006年。埃里克·本哈莫。选择imal Malliavin加权函数进行希腊语的计算。数学金融，13（1）：37-532003。Fred E spen Benth和Kenneth Hvistendahl Ka rlsen。随机波动市场中最小熵马尔廷格尔测度密度的偏微分方程表示。《随机s：概率与随机过程国际期刊》，77（2）：109–137，2005年。雅罗斯拉夫·博罗维奇、拉尔斯·彼得·汉森、马克·亨德里克斯和何塞·谢因克曼。风险价格动态。《金融计量经济学杂志》，9（1）：3-652011。雅罗斯拉夫·博罗维奇卡、拉尔斯·彼得·汉森和何塞·谢因克曼。冲击弹性和脉冲响应。

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