长期现金流量的敏感性分析

定义：=ro v和F：=Fo v。扰动期望pTis表示为spT=EPX=ξ[e-RTr（Xs）dsf（XT）]=EPU=ζ[e]-RTR（Us）dsF（UT）]。（4.14）通过上述Lamperti变换，我们得到了四重函数（Δ，1，R，F）和初值ζ。这里，1代表恒常函数，恒常函数等于1。以下建议涉及假设4.1-4.2。参见p pendix C以获取证据。提案4.12。在函数（b，σ，r，f）和实数ξ的质量下。假设函数σ（x）在I×Rd上的（，x）中是两次连续可微的。四个e（b，σ，r，f）和ξ满足假设4.1-4.2，如果且仅当Lamperti变换定义的四个e（Δ，1，r，f）和ζ，d满足假设4.1-4.2。在这种情况下，递归eige n值和递归特征测度在Lamperti变换下是不存在的。假设4.1-4.2和命题4。12假设qu-aduple（Δ，1，R，F）和ζ也满足假设4.1-4.2。符号su、PLamp、LLamp、MLamp、Q、（λ、Φ）、νLamp、νLamp很简单。这些目标将在附录C中使用。值得注意的是，递归特征函数满足Φ=Φo v。使用Hansen–Scheinkman分解，期望pTin等式（4.14）被写成aspT=Φ（ζ）e-λTEQU=ζ[（F/）（UT）]。第4.2.1节的主要目的是介绍定理4.13。这个定理可以用定理4.3和推论4.11很容易证明，所以我们省略了这个定理。在eorem 4.13中，我们强调初始值ζ在条件（ii）中不受扰动，而在条件（iii）中，初始值ζη受扰动。定理4.13。设（b，σ，r，f）和ξ是函数和实数的四倍，分别满足假设4.1-4.2。

假设σ（x）上的函数在i×Rd上的（，x）中是两个连续可微的。通过Lampe rti变换定义四个函数（Δ，1，R，F）和ζ（因此，4.12上的建议i满足了假设4.1-4.2）。假设下列条件成立。（i） 四元组（Δ，1，R，F）和ζ满足4.6的假设。（ii）四（Δ，1，R，F）和ζ满足任一定理m4的假设。8或4.10。（因此EQU=ζ[（fη/φη）（UT）]存在于（η，）的偏导数中且是连续的EQU=ζη[（fη/φη）（UT）]在I上的（η，）是连续的。那么，p在=0时是可微的，并且偏导数的长期行为是有限的→∞T=0ln pT=-=0λ.在Lamperti变换中，可以选择等式（4.12）中的任意实数c作为参考点。作为特殊情况，如果我们把c=ξ，那么ζ=0表示所有的∈ I.由于初始值U=ζ=0是不正确的，因此理论4中的条件（iii）。13是由（ii）保证的自动化。推论4.14。如果公式（4.12）中的Lampe rti变换中的c=ξ，则可以省略定理4.13中的条件（iii）。4.2.2 Fournie et al.方法与约束微分系数本节介绍了Fournie et al.（1999）开发的方法如何应用于分析长期vega值。设（b，σ，r，f）和ξ是函数的一个等式，是满足假设4.1，4.2和4.6的初始值，其线性摄动形式为σ：=σ+σ。在本节中，假设Fourni’e et al.（1999）h olds中的hy pothesis，即函数sb、σ和σ与有界导数连续可微。扰动过程X满足dxt=b（Xt）dt+（σ+σ）（Xt）dWt。（4.15）我们在理论4.3中找到了（iii）的充分条件。

定理4.3中的条件（iii）表明偏导数EQξ[（fη/φη）（XT）]在I上的（η，）中存在并连续，此外，limT→∞T=0EQξ[（f/φ）（XT）]=0。观察到Q的pert u rbati引起漂移扰动，X的-扰动引起等式（4.15）中的扩散扰动。弗罗梅克。（2.5）XisdXt的Q-动力学=（b+（σ+σ）t）dt+（σ+σ）（Xt）dWt。受此表达式的激励，我们定义了一个过程Xρ，具有两个参数ρ和ρbyd^Xρ，νt=（b+（σ+ρ）ρρρ）（σ+ρ，νt）dt+（710 Xρ，ν）dt）dt+Xρ，其中σdW 4是布朗子。X的Q分布等于X的Q分布，因此EQξ[（fη/φη）（Xt）]=EQξ[（fη/φη）（^X，t）]。应用cha-in规则，可以得出∈ 我EQξ[（fη/φη）（XT）]=ρρ=EQξ[（fη/φη）（^Xρ，T）]+ν在假设两个偏导数ρEQξ[（fη/φη）（^Xρ，νT）]和νEQξ[（fη/φη）（^Xρ，νT）]（4.18）在I上的（ρ，ν）中存在并连续。因此，我们得到了以下命题，可以使用EQ.（4.17）和T h E链规则直接证明。提案4.15。设（b，σ，r，f）和ξ是函数的四倍，初始值满足假设4.1，4.2，4.6，且σ具有σ=σ+σ的线性扰动。定理4.3中的条件（iii）保持s，如果等式（4.18）中的两个部分导数在（η，ρ，ν）和iflimT上是连续的→∞Tρρ=0EQξ[（f/φ）（^Xρ，0T）]=0，（4.19）limT→∞Tνν=0EQξ[（f/φ）（^X0，νT）]=0。（4.20）我们现在讨论我们对该提案的三个假设的方法。在第一个假设中，两方导数的连续差异一般不容易检查；然而，如果已知^Xρ，ν的Q-密度函数，则可以很容易地逐个检查，我们将在后面的例子中看到。

在第二个假设中，Eq。（4.19），只有漂移受到干扰，因为等式（4.16）中的ν=0。因此，可以使用第4.1节中介绍的方法检查等式（4.19）。我们在此不再讨论前两个假设。在本节的其余部分中，我们将重心转移到一个假设，公式（4.20），其中只有扩散项受到干扰，因为公式（4.16）中的ρ=0。我们的目的是找到一个有效条件，使等式（4.20）成立。为了方便起见，我们定义了^Xν：=^X0，ν和^XT:=^XT。^Xνisd^Xνt=（b+σν）（^Xνt）dt+（σ+νσ）（^Xνt）dWt的Q-动力学，t≥ 0 .假设b+σφ和f/φ与有界导数连续可微。定义一个变化过程Z bydZt=（b+σ^Xt）Ztdt+σ（^Xt）dBt+dXi=1σ′i（^Xt）ZtdBi，t，Z=0d。这里，σi是σ的第i列向量，而0d是d维零列向量。Fourni\'e等人（1999年）的赞成立场3.3表示，等式ξ[（f/φ）（^XνT）]在ν中是可微的，并且νν=0EQξ[（f/φ）（^XνT）]=EQξ[（f/φ）（^XT）ZT]。根据这些观察，我们得到了以下定理。定理4.16。设（b，σ，r，f）和ξ是函数的四倍，是满足假设4.1，4.2和4.6的初始值，且σ具有线性扰动形式σ=σ+σ。假设函数b、σ、σ、b+σа和f/φ连续可与有界导数微分。在I上，等式ξ[（f/φ）（^XνT）]是可微的。此外，如果等式ξ[|ZT |]→ 0作为T→ ∞, 那么等式（4.20）成立。证据很简单，因为等式ξ[（f/φ）（^XT）ZT]≤ M EQξ[|ZT |]，其中f/φ的导数以常数M>0为界。备注4.17。在我们的分析中，delt a和rho/vega的敏感性之间存在两个主要差异。首先，对于delta，我们探索零阶增长率极限→∞ξln pT=ξφφ（ξ），这是定理3.1中的g i ven。

对于rho/v ega，我们确定了一阶增长率→∞T=0ln pT=-=0λ，如式（4.5）所示。其次，根据特征函数确定长期增量ξφφ(ξ). 然而，长期rho/vega是根据特征值确定的-=0λ。5个期权价格示例5。1 CIR模型我们对期权价格进行敏感性分析，其基础过程是Cox-Ingersoll-Ross（CIR）短期风险模型。设P为风险中性度量。定义函数s（b，σ，r，f）的四倍和初始值ξ，如下所示。Letb（x）=θ- ax，σ（x）=σp |x |，r（x）=x，设f:r→ R是一个非负、非零的连续函数，其增长率小于或等于多项式增长率e。固定一个正初始值ξ>0。这里，参数a和σ是正常数，2θ>σ，因此，对于参数的小扰动，原始短期过程和扰动过程都严格保持正。短期利率是SDEdXt=（θ）的解- aXt）dt+σp | Xt | dBt，X=ξ。（5.1）正如Yamada Wa tanabe（Karatza s和Shreve（1991）第291页提案n 2.1 3）所证明的那样，该SDE具有独特的强解。到期时的期权价格为f（XT），由式（1.1）给出，pT=EPξ[e-RTr（Xs）dsf（XT）]。关于参数θ、a、σ、ξ的灵敏度对我们来说很重要。参数θ、a、σ、ξ也可以视为扰动参数。例如，考虑θ的摄动。式（5.1）中的每涡轮漂移为b（x）=（θ+）- 而其他函数σ、r、f和初值ξa-renot都受到了扰动。设pt为对应于等式（4.2）定义的该-扰动的期望值。很明显，ddθln pT=dd=0ln pT，（5.2），因此，我们可以将dθ本身视为微扰参数。

通过这种方法，其他参数也可以理解为微扰参数。四重函数（b，σ，r，f）和初始值ξ满足假设4.1-4.2。循环本征对为（λ，φ（x））：=（θκ，e）-κx）其中κ：=√a+2σ-aσ。利用这个特征对（λ，φ），长期期权价格对参数θ，a，σ，ξ的灵敏度是有限的→∞ξln pT=φ′（ξ）φ（ξ）=-√a+2σ- a、limT→∞Tθln pT=-λθ= -√a+2σ- a、limT→∞Taln pT=-λa=θ(√a+2σ- a） σ√a+2σ，limT→∞Tσln pT=-λσ=θ(√a+2σ- a） σ√a+2σ。（5.3）有关CIR模型敏感性的更多详细信息，请参见附录ix D.5.2二次模型。我们研究期权价格的敏感性，其基本过程是二次期限结构模型给出的短期利率。本节基于秦和林茨基（20 16）中的第6.2节。设P为风险中性度量。定义四个函数（b，σ，r，f）和一个初始值ξ，如下所示。Letb（x）=b+Bx，σ（x）=σ，其中b=（bi）1≤我≤dis a d-dimensio n al列向量，B=（Bij）1≤i、 j≤dis a d×d矩阵，σ=（σij）1≤i、 j≤这是一个非单d×d矩阵。由此得出a:=σ是严格的正定义。短期利率函数r由r（x）=β+hα，xi+hΓx，xi给出，其中常数β、向量α和对称正定义是指短期利率r（x）为非负f或所有x∈ 让f:Rd→ R是一个非负的，非零的，有界的，有界支撑的函数。固定初始值ξ∈ 基本过程X是一个d维的Ornstein-Uhlenbeck过程，它满足SDEdXt=（b+BXt）dt+σdBt，X=ξ。我们分析了等式（1.1）中给出的期权价格对基础过程x中参数b、b、σ和ξ的扰动的敏感性。如等式中所述。（5.2），这些参数可视为扰动参数。

四重函数（b，σ，r，f）和初始值ξ满足4.1-4.2的要求。循环本征对为（λ，φ（x））=（β）-Uau+tr（aV）+ub，e-胡，xi-hV x，xi），（5.4），其中V是稳定解决方案，定义为2V aV的唯一解决方案- B五、-V B- Γ=0使得B的所有特征值- 2aV有负实部，u:=（2va-B)-1（2vb+α）。通过使用等式（5.4）中的本征对，我们得到了长期灵敏度极限→∞ξln pT=-U- 2Vξ，limT→∞T比尔恩角=-λ我是limT→∞TBijln pT=-λ比杰1≤ i、 j≤ d、 如果f在紧支撑下是连续可微的，那么我们有limt→∞Tσiln pT=-λσi.更多细节见附录x。6个预期u-tile6的例子。1赫斯顿模型该部门对holdin g Anaset的预期效用进行敏感性分析。在物理量L下，假设资产S=（St）t≥0遵循赫斯顿模型，dSt=uStdt+√vtStdZSt，dvt=（γ- βvt）dt+δp | vt | dZvt，其中zs和zv是与hZSt相关的L-布朗运动，Zvtit=ρt-1.≤ ρ ≤ 1.设参数为u、γ、β、δ>0和2γ>δ。对于0<α<1，我们考虑了形式为u（c）=cα的幂效用函数。预期效用的长期敏感性t:=EL[u（ST）]=EL[Sαt]=EL[eαRT√VSDZ-αrtvsd]eαuTSα是我们感兴趣的。赫斯顿模型和上述预期不符合本文的基本框架（假设1.1和等式（1.1））。我们对设置进行操作，以确定基本框架，如下所示。定义FTbydPdL上的度量值PFT=eαRT√VSDZ-αRTvsdsso表示期望值为aspT=EP[e-α(1-α） RTvsds]eαuTSα。根据Girsanov定理，v isdvt=（γ）的P-动力学- (β - αρδ）vt）dt+δ√vtdBtwith a P-布朗运动B.通过Xt=α（1）定义过程X-α） vt。

因此，X i是一个满足DXT的CIR模型=α(1 - α)γ - (β - αρδ）Xtdt+δp2α（1- α） p | Xt | dBt，X=α（1- α） v.我们定义ξ：=α（1）- α） vand qT:=EPξ[e-RTXsds]。然后pT=qTeαuTSα。在结论中，x的F的q u A对α(1 - α)γ - (β - αρδ）x，δp2α（1）- α） p | x |，x，1初始值ξsat是本文的基本框架。这里，1是一个常数函数，它等于1。第5.1节分析了QT对大T的敏感性。新参数θ=α（1- α） γ，a=β-ραδ和σ=δp2α（1- α） ，进程x i表示为dxt=（θ- aXt）dt+σp | Xt | dBt，X=ξ，等于式（5.1）。利用第5.1节的结果和链式法则，我们得到以下灵敏度。对于S和V的漂移项灵敏度，我们有Limt→∞Tuln pT=α，limT→∞Tγln pT=limT→∞Tγln qT=limT→∞Tθln qTθγ=α(1 - α） 极限→∞Tθln qT=-α(1 - α)√a+2σ- aσ=-α(1 - α） p（β- ραδ)+ δα(1 - α) - β+ραΔδ，limT→∞Tβln pT=limT→∞Tβln qT=limT→∞Taln qTA.β=极限→∞Taln qT=θ(√a+2σ- a） σ√a+2σ=p（β- ραδ)+ δα(1 - α) - β+ραΔδp（β- ραδ)+ δα(1 - α).对于S和v的波动性项敏感性，可以表明→∞Tδln pT=-ραp（β- ραδ)+ δα(1 - α) - β+ραΔδp（β- ραδ)+ δα(1 - α） +（p（β- ραδ)+ δα(1 - α) - β+ραδ）δp（β- ραδ)+ δα(1 - α） ，limT→∞Tρln pT=-αp（β- ραδ)+ δα(1 - α) - αβ+ραΔδp（β- ραδ)+ δα(1 - α).对于delta值，我们有限制→∞Sln pT=αS，limT→∞vln pT=-α(1 - α） p（β- ραδ)+ δα(1 - α) - β+ραΔδ.6.2目前正在对持有交易所交易基金（ETF）的预期效用进行3/2 LETF模型A敏感性分析。A杠杆化E-TF（设F）L=（Lt）t≥0是一个f u NDF，旨在通过使用参考流程放大确认返回。典型的参考过程包括d ex、stock、currency和Commodity。

假设参考过程X保持为正，且短期利率为常数r>0。LETFI是投资于参考流程和货币市场账户的固定比例投资组合。该比例被称为LETF的杠杆率，由β表示。杠杆率为β的LETF≥ 1（分别为β≤ -1） sa id将被长期杠杆化（分别为短期杠杆化），并被标记为允许。为参考流程的给定初始值XO在LETF中固定初始投资。时间t≥ 0，投资于参考价格Xt的βLTI的现金金额，以及金额（β-1） LTI在无风险rat e r融资。在实际金融市场中，常见的杠杆rat IO为β=1、2、3（长）和β=-1.-2.-3（短）。有关LETF的更多详情，请参阅Leung and Sircar（2015）。基于这个特征，LETF L=（Lt）t≥0satis fiesdltlt=βdXtXt- ((β - 1） r）dt=βu（Xt）Xt- (β - 1） rdt+βσ（Xt）XtdBt，可以写成LTL=e（1-β） rt-β(β-1） Rtσ（Xs）/Xsds校正矩阵β.假设效用是形式为u（c）=cα的幂函数，表示0<α<1，参考过程X i由3/2模型dxt=（θ）给出- aXt）Xtdt+σ| Xt | 3/2dBt，X=ξ，在物理测量P下具有正常数θ，a，σ，ξ。该过程保持正，是均值回复。例如，可以考虑商品价格或波动性指数的LETF。持有LETF L ispT的预期效用：=EP[u（LT）]=EP[e-αβ(β-1） σRtXuduXαβt]eα（1-β） rtξ-αβLα。PTI的敏感性是我们感兴趣的。为方便起见，我们定义为：=EP[e-αβ(β-1） σRtXuduXαβt]（6.1），因此pT=qTeα（1-β） rtξ-αβLα。上述预期符合本文的基本框架。观察函数的四次方是（b（x），σ（x），r（x），f（x））：=（（θ）- ax）x，σ| x | 3/2，αβ（1）- β） σx，xαβ），初始值为ξ>0。

它们满足假设4.1-4.2，且递归向量为（λ，φ（x））：=（θ）l , 十、-l) 哪里l :=R+aσ+ αβ(β - 1) -+aσ. （6.2）如果|β|≤ 3，这是一个实际条件，那么函数f（x）=xαβ满足假设2。4.利用这个本征对，我们得到了PT的长期灵敏度。ξislimT的灵敏度→∞ξln pT=-αβξ-αβ-1limT→∞ξln qT=-αβξ-αβ-1φ′(ξ)φ(ξ)= αβlξ-αβ-2.（6.3）对于θ的灵敏度，limT→∞Tθln pT=-R+aσ+ αβ(β - 1) -+aσ.对于a和σ的灵敏度，当σ+1时-αβ>0，我们有极限→∞Taln pT=θ（q（+aσ）+αβ（β- 1) - （σ+a）σq（+aσ）+αβ（β- 1） （6.4）和限制→∞Tσln pT=2aθ（q（+aσ）+αβ（β- 1) - （+aσ）σq（+aσ）+αβ（β- 1). （6.5）详见附录x F。7结论本文对长期现金流进行了敏感性分析。时间零点的现金流价格由预期形式pT=EPξ[e]给出-RTr（Xs）dsf（XT）]。我们探讨了现金流的价格在多大程度上受到潜在马尔可夫扩散过程X的所有扰动的影响。基本上，本文给出了两种类型的扰动。首先，研究了初始值ξ=Xis的敏感性。使用Hansen–Scheinkman分解，预期Pt可以表示为aspT=φ（ξ）e-λTEQξ[（f/φ）（XT）]，具有循环本征p air（λ，φ）和循环本征测度Q。在适当的条件下，我们得到了长期灵敏度ylmt→∞ξln pT=ξφφ(ξ).其次，研究了漂移项和波动项的敏感性。根据Hansen–Scheinkman分解，扰动的期望pT=EPξ[e-由扰动过程X引起的RTr（Xs）dsf（XT）]用spT=e表示-λTφ（ξ）EQξ[（f/φ）（XT）]，具有连续本征空气（λ，φ）和循环本征测度Q。