长期现金流量的敏感性分析

从Q-密度函数l（x；t）=e-htξe-bt（ξe）-（英国电信）-q/2hte-htxxq/2Iq（2hte-bt/2pξx），我们有l（x；t）ξ=- hte-英国电信-q2ξ+rxξhte-bt/2Iq-1（z）+Iq+1（z）Iq（z）l（x；t）（D.6），其中z=2hte-bt/2√ξx.这里，我们使用等式I′q（·）=（Iq-1（·）+Iq+1（·））。注意z→ 0作为t→ ∞ . q阶满足limz的改进贝塞尔函数→0Iq（z）（z/2）qΓ（q+1）=1，thuslimt→∞hte-bt/2Iq-1（z）+Iq+1（z）Iq（z）=limt→∞hte-bt/2（hte）-bt/2√ξx）q-1Γ（q）+（hte）-bt/2√ξx）q+1Γ（q+2）（hte）-bt/2√ξx）qΓ（q+1）=q√ξx.总之，我们有极限→∞l（x；t）ξ=0，从等式（D.6）中可以看出。D.3θ的敏感性在本节中，我们分析了CIR模型中θ的长期敏感性。如第5节等式（5.2）所述。1，参数θ可以看作一个摄动参数。im是用推论4.11来表示式（5.3）中θ的长期敏感性。定理4.8的假设将被检验，因为其他条件是可以证明的。回忆一下第4.1k（x）=θσp | x节中函数kand g的定义|-√a+2σp | x |，g（x）=σp | x |。（D.7）定理4.8中的条件（i）可以由下面的命题D.2证明。对于（ii）和（iii），我们设置p=q=2。设为正数，使<2θσ-1.通过等式（D.4）中相同的met h od a s，可以得出等式ξ[g2+（Xt）]=Eqξhσ√Xt2+i=Z∞σ√十、2+l（x；t）dx（D.8）在[0]上一致有界于t，∞). 因此，等式ξ[RTg2+（Xt）dt]对每一个ht都是有限的，这意味着t（ii）是满足的。对于（iii），我们把ψ=f/φ，因为f和φ与θ无关。使用公式（D.4）中的方法，我们发现公式ξ[（f/φ）（XT）]→Z（f/φ）（x）dν（x）as T→ ∞ 因为（f/φ）（x）的指数增长率是2（b）- a） x/σasx→ ∞.提案D.2。对于任何0<0的≤(σ-θσ），存在常数a和c，因此对于所有T>0EQξ[eRT（1/Xs）ds]≤ 吃。证据我们修改了Ahn和Gao（1999）附录C中的证明。

在<0的条件下，他们的预期评估了上述预期，而我们的证据在>0的条件下评估了预期。我们的证明分为几个步骤。（i） 设Y:=1/X。我们在R+×[0，t]上找到一个正函数V（Y，t），使得V（Yt，t）eRtYsds，0≤ T≤ 这是一个局部鞅，V（y，T）是一个常数，独立于y和T。（ii）表明f f（y，0）≤ 总工程师-γbt表示正常数c，γ，b。换句话说，函数V（y，0）的衰减速率小于或等于T.（iii）中的指数速率，因为V（y，T）ertysds是0的正局部变量≤ T≤ T、 这是一个巨大的挑战。因此，我们有-在≥ V（Y，0）≥ 等式ξ[V（YT，T）eRTYsds]≥ （常数）公式ξ[eRTYsds]，这是期望的结果。第（i）步。根据式（D.1），X的Q-动力学为dXt=（θ）- bXt）dt+σ√XTDWTWB=√a+2σ。定义Y:=1/X。It o公式yieldsdYt=（（σ）- θ） Yt+b）Ytdt- σY3/2tdWt。我们在R+×[0，t]上找到一个正函数V（y，t），使得V（Yt，t）eRtYsds，0≤ T≤ 这是一个局部鞅，V（y，T）是一个常数，与y和T无关。这样的函数V（y，T）满足vt+σxVxx+（（σ- θ） x+b）xVx+xV=0。（D.9）我们使Ansat z V（y，t）=f（x）xγ，其中x=a（t）/y.Vy=-a（t）f′（x）xγ+2-γa（t）f（x）xγ+1，Vyy=a（t）f′（x）xγ+4+2（γ+1）a（t）f′（x）γ+3+γ（γ+1）a（t）f（x）xγ+2，Vt=a′（t）a（t）f′（x）xγ+1+a′（t）a（t）γf（x）γ。然后等式（D.9）表示σa（t）xγ+1f′（x）+（a′（t）a（t）xγ+1- bxγ+1- (σ- θ） a（t）xγ+σ（γ+1）a（t）xγ）f′（x）+a′（t）a（t）γxγ- bγxγ+σγ（γ+1）a（t）xγ-1.- (σ- θ） γa（t）xγ-1+a（t）xγ-1.f（x）=0。假设a（t）和dγ满足a′（t）a（t）- b=a（t）σγ（γ+1）- (σ- θ） γ+=0（D.10），使上述方程变成σxf′（x）+（x+σγ+θ）f′（x）+γf（x）=0。我们定义了一个新变量z，使得x=-σz，并定义一个函数g asg（z）：=f（x）。然后zg′（z）+（κ- z） g′（z）- γg（z）=0，其中κ：=2（γ+θσ）。

众所周知，标准的反超几何函数f（x）=g（z）=M（γ，κ；z）是该方程的一个解。现在我们找到了V（y，t）的一个有效表达式。公式（D.10）yi elds a（t）=beb（t）-（t）-1对于0≤ T≤ T和γ=-θσ+r-θσ-2σ.因为假设0<，所以数字γ是实数≤(σ-θσ).我们知道tκ=2（γ+θσ）>0，通过使用cir过程中的Feller条件，t h at，γ<0。溶液V（y，t）isV（y，t）=f（x）xγ=g（z）-σzγ=σγM（γ，κ；z）(-z） γ=σγM（κ）- γ, κ; -z）(-z） γez（D.11），其中z=-2xσ=-2a（t）σy=-2bσ（eb（T）-（t）-1） 这里，我们使用等式M（γ，κ；z）=M（κ）- γ, κ; -z） 埃兹。现在我们证明了tV（y，t）是一个独立于y和t的常数→电视（y，t）=σγlimz→-∞M（κ）- γ, κ; -z）(-z） γez=σγ利木→∞M（κ）- γ, κ; u） uγe-u=σγΓ(κ)Γ(κ - γ） Γ（γ）limu→∞uγe-乌兹乌斯κ-γ-1(1 - s） γ-1ds=σγΓ(κ)Γ(κ - γ） Γ（γ）limu→∞uγZe-美国（1）- s） κ-γ-1sγ-1ds=σγΓ(κ)Γ(κ - γ） Γ（γ）limu→∞祖伊-t（1）- t/u）κ-γ-1tγ-1dt=σγΓ(κ)Γ(κ - γ） Γ（γ）Z∞E-ttγ-1dt=σγΓ(κ)Γ(κ - γ） γ函数在哪里。第（ii）步。现在我们证明了函数V（y，0）满足V（y，0）≤ 总工程师-γb对于一些与T有关的正常数，从式（D.11）中，我们知道v（y，0）=c（T；y）σ(1 - E-（bT）y2b-γe-γbtc（T；y）：=σγMκ - γ, κ;2bσ（ebT）- 1） yE-2bσ（ebT）-1） 观察c（T；x）i对于大T是一致有界的，因为limu→0M（κ）-γ、 κ，u）=1。这就得到了预期的结果。第（iii）步。因为V（Yt，t）ertysdsd是0的一个正的本地集市≤ T≤ T、 这是一部超级电影。因此，我们σγΓ(κ)Γ(κ - γ） 等式ξ[eRTYsds]=等式ξ[V（YT，T）eRTYsds]≤ V（Y，0）≤ 总工程师-γbT。这就完成了证明。D.4 a的敏感性本节分析了a在CIR模型驱动系数中的长期敏感性。参数a可被视为微扰参数。

目的是通过应用推论4，在等式（5.3）中显示a的长期灵敏度。11.只检查定理4.8的假设，因为其他条件很容易证明。回顾第4.1节中k和g的定义。根据eq.（D.7）中的函数k，我们定义了g（x）：=σp | x |，因此k（x）A.=ap | x |σ√a+2σ≤σp | x |=g（x）。对于定理4.8中的条件（i），有必要证明它是常数sc和d，因此等式ξ[eRTXsds]≤ c edT（D.12）适用于所有T。这一点在Wong and Heyde（200 6）中的pAge 6上的引理3.1中得到了证明。对于（ii）和（iii），我们设置p=q=2，并设=2。然后，它可以很容易地显示在期望值EQξ[g2+（Xt）]=σEQξ[Xt]（D.13）在[0]上一致有界，∞) 因为X是一个CIR过程。因此，等式ξ[RTg2+（Xt）dt]对于每个T都是有限的，这意味着（ii）。对于（iii），我们定义ψ（x）=f（x）ecx作为常数c，使得（b）- a） /σ<c<b/σ，然后等式（4.8）如下。利用式（D.4）中的方法，我们得到了条件（iii），因为ψ（x）的指数g值为2cx as x→ ∞.D.5σ的敏感性本节针对CIR模型中的变量σ进行敏感性分析。扩散项中的参数σ可视为微扰参数。通过第4.2.1节给出的La-mperti变换确定四重（δ，1，R，F）和ζ。设u（x）：=Rxσ√|y | dy=σ√xf或x>0，然后δ（u）=2θσ-U-au，R（u）=σu/4，F（u）=F（σu/4），ζ=σpξ。因为D.1节显示，四元（b，σ，r，f）和初始值ξ满足假设4.1-4.2，四元（δ，1，r，f）和ζ也满足假设4.1-4.2，建议4.12。符号U，Q，（λ，Φ）现在是自解释的。

递归特征函数和支付函数分别为Φ（u）=φ（σu/4）和F（u）=F（σu/4）。本节的目的是通过使用定理4.13来说明等式（5.3）中σi的长期敏感性。下面将讨论定理4.13中的条件（i）和（ii），并在命题D.4中证明条件（iii）。为了检查（i），观察λ=θ(√a+2σ- a） /σ和Φ（ζ）=φ（σζ/4）在变量σ中是可连续区分的，其建议见下文D.3给出的（i）。为了检验定理4.13中的（i），我们应用定理4.8。回顾第4节中k和g的定义。1和b=√a+2σ。我们定义k（u）=（2θσ-)U-bu和g（u）=C（u+u），对于足够大的ge C>0，使得|σk（u）|≤ C（u+u）=g（u）。注意这一点（Ut）≤ C（Xt+Xt）表示非常大的C>0。为了证明定理4.8中的指数条件（i），需要证明存在正常数a、c和，使得等式ξ[eRT（Xs+Xs）ds]≤ 对于所有T>0的情况，均为c。这可以通过结合命题D.2和等式（D.12）来说明。定理4.8的条件（ii）可以用p=2和0<<min{2θσ来证实- 1,2}将inEq中的方法结合起来。（D.8）和Eq。（草13）。为了检查定理4.8的（iii），选择一个实数C，例如（b- a） /4<c<b/4，定义ψ（u）：=ecu。对于足够大的u，F（u）/Φ（u）=F（σu/4）eκσu/4=F（σu/4）e（b-a） u/4≤ ψ（u）自多项式增长率的fis。利用式（D.4）中的方法，很容易证明期望式Eq[ψ（UT）]=Eq[e2cUT]=Eq[e8cσXT]在[0]上的T中是统一的，∞) 因为8c/σ<2b/σ。这证明了（iii）在q=2的情况下满足eorem 4.8的要求。下面的命题D.3有助于检查定理4.13中的（i）。参数σ是F/Φ、ζ和U的动力学中的一个变量。我们暂时使用一个新参数s来区分F/Φ中的参数σ和ζ与U的动力学中的参数σ。

定义η（s）=√a+2秒- as，πs（r）=e-η（s）r，πs（u）=πs（su/4），Gs（u）=f（su/4），q（s）=spξ，（D.14），因此等式ζ[（f/Φ）（UT）]=EQq（σ）[（Gσ/πσ）（UT）]。提案D.3。修正一个订单的实数σ。部分导数sEQq（s）[（Gs/πs）（UT）]存在于（s，σ）中且在（σ，σ）的邻域上是连续的。此外，我们有限制→∞Tss=σEQq（s）[（Gs/πs）（UT）]=0，对于σ邻域中的任何正数σ。证据证据将分几个步骤给出。（i） 定义一个过程Z=（Zt）t≥通过Zt=Zt（s）=sUt/4使eqq（s）[（Gs/πs）（UT）]=EQξ[（f/πs）（Zt）]。右手边更容易控制。（ii）证明偏导数sEQξ[（f/πs）（ZT）]存在且sEQξ[（f/πs）（ZT）]=Z∞f（z）sl（z；T，s）πs（z）dzfor（s，σ）near（σ，σ），其中l（z；t，s）是Zt的密度函数。然后，推导出该偏导数在（s，σ）的邻域（σ，σ）上是连续的。（iii）最后，我们展示了∞f（z）ss=σl（z；T，s）πs（z）dz转化为一个有限常数T→ ∞, 我给出了设计结果。第（i）步。定义一个过程Z=（Zt）t≥通过Zt=Zt（s）=sUt/4，因此t（Gs/πs）（UT）=（f/πs）（sUt/4）=（f/πs）（Zt）和Z=ξ。然后，EQq（s）[（Gs/πs）（UT）]=EQξ[（f/πs）（ZT）]。Ito formu la givesdZt=θsσ- bZtdt+spZtdWt，Z=ξ。值得注意的是，参数σ和s都是Z动力学中的s分量，但我们只对s的灵敏度感兴趣。过程Z的一个显著特性是初始值不受扰动。第（ii）步。过程Z是一个CIR过程，Zt的密度函数是l（z；t，s）=e-htξe-bt（ξe）-（英国电信）-q/2hte-htzzq/2Iq（2hte-bt/2pξz），（D.15），其中ht=2bs（1-E-bt），q=2θσ-IQ是ord er q初始类型的修正贝塞尔函数。

对于（s，σ）接近（σ，σ），我们将证明sEQξ[（f/πs）（ZT）]=sZ∞（f/πs）（z）l（z；T，s）dz=z∞f（z）sl（z；T，s）πs（z）dz。（D.16）为了证明微分和积分在第二等式中的易变性，必须显示（s，σ）在（σ，σ）附近以及所有z>0，f（z）sl（z；t，s）πs（z）≤ 总工程师-σ√a+2σz=：G（z）对于正常数C，因为函数G（z）在（0）上是可积的，∞). 让我们来估计函数| f（z）的实际值s(l（z；t，s）/πs（z））|增长为sz→ ∞ 通过观察f（z），πs（z）的生长情况，sπs（z），l（z；t，s），以及sl（z；t，s）=shtξe-英国电信l（z；t，s）-sl（z；t，s）+szhtl（z；t，s）-东南方-htξe-btξ(-q+1）/2e（q-1） bt/2hte-htzz（q+1）/2（Iq）-1+Iq+1）。给定σ>0和大t>0，对于σ附近的s，每项sl（z；t，s）我被一个l（z；t，s），zl（z；t，s），zqe-htz+2hte-bt/2√ξz，zq+1e-htz+2hte-bt/2√ξzup为常数倍数。我们使用了公式（D.3）中给出的IQ上限。从本质上讲，经济增长率主要由经济增长率决定-2BSZ因为2BS<ht。Thu s，增长率|s(l（z；t，s）/πs（z））|小于或等于e（η（s）-2bs）z.由于f（z）的增长率小于或等于多项式增长率，因此| f（z）的增长率s(l（z；t，s）/πs（z））|小于或等于e（η（s）-2bs）z.对于（s，σ）近（σ，σ），e（η（s）的指数-2bs）zsatis fiesη（s）-2bs=√a+2秒- 像-√a+2σs<-pa+2σ，（D.17），这是期望的不等式。由于式（D.1.6）成立，因此直接导出偏导数sEQq（s）[（Gs/πs）（UT）]=sEQξ[（f/πs）（ZT）]在（s，σ）中存在并在（σ，σ）的邻域上连续。第（iii）步。最后，我们证明了这一点∞f（z）ss=σl（z；T，s）πs（z）dz转化为一个有限常数T→ ∞.

这可以通过勒贝格支配的收敛定理和观察函数的实际情况来证明|s(l（z；t，s）/πs（z））|随着t的增长而增长→ ∞ 以与上述相同的方式。这就完成了证明。我们现在在定理4.13中证明（iii）。对于simpli city，我们在以下符号中省略了变量s，因此对于Eq（D.14）中定义的函数，π=πs，π=πs，G=Gs，q=q（s）。提案D.4。修正一个订单的实数σ。部分导数σEQq[（G/π）（UT）]在（s，σ）上是连续的，在（σ，σ）附近。证据我们只是勾勒出主要思想，因为证明与D.3提案相似。定义一个过程Z=（Zt）t≥通过Zt=sUt/4使EQq[（G/π）（UT）]=EQξ[（f/π）（Zt）]。考虑密度函数l = l式（D.15）中给出的Zt的（z；t）l（z；t）=e-htξe-bt（ξe）-（英国电信）-q/2hte-htzzq/2Iq（2hte-bt/2pξz），其中ht=2bs（1-E-bt）和q=2θσ- 1.对于（s，σ）nea r（σ，σ），我们将证明σEQξ[（f/π）（ZT）]=σZ∞（f/π）（z）l（z；T）dz=z∞（f/π）（z）σl（z；T）dz。（D.18）为了证明上述等式中微分和积分的互换性，必须证明（s，σ）接近（σ，σ）且所有z>0，（f/π）（z）σl（z；t）≤ 总工程师-σ√a+2σz=：G（z）对于正常数C，因为函数G（z）在（0）上是可积的，∞).考虑（f/π）（z）的增长率σl（z；t）。给定σ>0和大t>0，对于snearσ，每项σl（z；t）由以下因素之一主导：l（z；t），zl（z；t），ln（z）l（z；t），zq/2e-htz+2hte-bt/2√ξz，zq+1e-htz+2hte-bt/2√ξz（D.19）直到常数倍数。在计算σl（z；t），我们使用等式（D.3）中给出的上边界和等式qIq（z）=Iq（z）ln（z/2）+Γ′（q+1/2）Γ（q+1/2）Iq（z）+zπ（ez cos usine2qu ln（sinu））du。让x=sinu代表u∈ [0 , π]. 那么对于x∈ [0，1]很容易确定xqln x的范围是[-1/（量化宽松），0]。

因此-πqez-1.≤Zπ（ez cos usin2qu ln（sinu））du≤ 0 .式（D.19）中每项的增长率基本上由e决定-2bshup多项式倍数。因此，|（f/π）（z）的增长率σl（z；t）| i小于或等于e（η（s）-2bs）由于f（z）的增长率小于或等于多项式增长率，因此zup t o多项式倍数。从公式（D.17）中的论证中，我们得到了期望的结果。由于式（D.18）中含有s，因此直接推导出偏导数σEQq[（G/π）（UT）]=σEQξ[（f/π）（ZT）]在（s，σ）的（σ，σ）邻域上是连续的。E二次项结构模型E。1 Hansen–Scheinkman分解首先，观察（b，σ，r，f）和ξ满足假设4.1-4.2（即假设1.1-1.3和2.1-2.4）。假设1.1和2.1-2.3可以从秦和莱恩茨基（20 16）的第6.2节中得到证实，其他条件是临时的。符号X，P，L，M，Q，（λ，φ），ν，ν是自解释的。recurrenteigenpair在等式中给出。(5.4). X isdXt=（b）的Q-动力学- au+（B）- 2aV）Xt）dt+σdwt这里W是Q-布朗运动。E.2ξ的敏感性我们想要确定预期Pt相对于初始值ξ的长期敏感性。其目的是展示极限→∞ξln pT=ξφ(ξ)φ(ξ)= -U- 2Vξ通过应用命题3.2。第一个变化过程Y由dYt=（B）给出- 2aV）Y=Id的Ytdt，其中idi是d×d Id实体matr ix。它遵循等式ξ[|YT | | |]=|YT | e（B-2aV）T | |。因为B的所有特征值- 2aV有负实部，因此等式ξ[| | YT | |]i在[0]上一致有界于T，∞).这就给出了预期结果t.E.3 bWe的灵敏度，并对漂移系数b=（b，b，··，bd）的预期Pt进行了灵敏度分析. Fix i=1,2，·，d。参数bican被视为摄动参数。

目标是通过应用Coro llary 4.11 limT来显示这一点→∞T比尔恩角=-λ毕。假设4.6很容易从等式中确定。（5.4）以及f是有界支撑的有界函数这一事实。Wenow ap ly定理4.8。回顾第4.1节中k和g的定义。定义（x）=σ-1b- σu+（σ）-1B- 2σV）x（E.1），并设g（x）=C是足够大的C>0的常数函数，使得|比克（x）|≤ |(σ-1） i |<C=g（x），对于i=1，2，·，d，其中（σ-1） 是σ的i-th列-1.因为g是一个常数函数，定理4.8的（i）和（ii）三次满足p=q=2。我们现在考虑定理4.8的（iii）。作为两个变量（x，bi）的函数，我们把函数φ（x）写成φ（x，bi）。由于f有边界支持，我们选择一个紧集K，使得supp（f） K.为了一个开放的社区 R=0，defineibi:={bi+R∈ R:R∈ 一} 。由于φ是两个变量（x，bi）中的正连续函数，倒数1/φ在比较集K×Ibi上有一个正最大值。我们定义：=ma x（x，z）∈K×Ibiφ（x，z），ψ（x）：=Mf（x）。（E.2）那么等式（4.8）是满足的。有了这个函数ψ，很容易检查（i ii），因为ef是一个有界函数，而supp（f） K.E.4 BWe的敏感性调查预期Pt对矩阵B=（Bij）1的长期敏感性≤i、 j≤d、 参数Bijc可被视为扰动参数。我们的目标是展示这种极限→∞TBijln pT=-λ比杰比·阿普利·恩戈罗·拉里4.11。对于Theo rem 4.3中的条件（i），有必要检查V（因此，u）在Bij中是否可以继续区分。这里，矩阵和向量的连续差异意味着所有成分都是连续的。V的连续微分来自Su n（2002）第240页的等式（2.5）和Sun（1998）的定理3.1。