长期现金流量的敏感性分析

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Sensitivity Analysis of Long-Term Cash Flows》
---
作者：
Hyungbin Park
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  In this article, a sensitivity analysis of long-term cash flows with respect to perturbations in the underlying process is presented. For this purpose, we employ the martingale extraction through which a pricing operator is transformed into what is easier to address. The method of Fournie et al. will be combined with the martingale extraction. We prove that the sensitivity of long-term cash flows can be represented in a simple form.
---
中文摘要：
在这篇文章中，长期现金流的敏感度分析的基础上扰动的过程中提出。为此，我们使用鞅抽取，通过它，定价算子被转换成更容易处理的对象。Fournie等人的方法将与鞅提取相结合。我们证明了长期现金流的敏感性可以用一种简单的形式来表示。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> Sensitivity_Analysis_of_Long-Term_Cash_Flows.pdf (570.7 KB)

2022-5-9 11:42:19 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：敏感性分析 现金流量 敏感性 现金流 Mathematical

玄彬公园长期现金流量的敏感性分析*本文对长期现金流进行了敏感性分析。时间为零时现金流的价格由马尔可夫微分的定价算子根据现金流函数给出。我们研究了潜在马尔可夫扩散的小扰动对现金流价格的影响程度。主要工具是Hansen–Scheinkman分解，这是一种用定价算子的特征值和特征函数来表示现金流的方法。通过结合Fourni’e等人（1999）开发的技术，长期现金流的敏感性可以通过特征值和特征函数的简单表达式来表示。1.引言1。1长期敏感性在定量金融中，我们通常以以下形式评估预期：=EPξ[e-RTr（Xs）dsf（XT）]（1.1）其中EPξ是期望，r和df是可测函数，X=（XT）t≥0是一个基本的随机过程，X=ξ。许多财务数量，如期权价格和预期效用，以上述形式表示。本文研究了大T的期望对基本过程X的扰动的敏感性。具有Killing速率r的过程X*hyungbin@snu.ackr先生，hyungbin2015@g邮政昏迷定价操作员。我们证明了长期敏感性可以用定价算子的特征值和eig en函数的简单表达式来表示。我们的分析揭示了模型对现金流长期风险和表现的影响。我们从四重函数（b，σ，r，f）和向量ξ开始∈ Rd，满足以下假设1.1-1.3。

（在本文中，术语“假设”用于说明这篇论文的前提。术语“条件”用于命题、定理和推论的假设。）让(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）是具有d维布朗运动B=（Bt）t的过滤概率空间≥0=（B1，t，·，Bd，t）T≥0.过滤（Ft）t≥0是由Br ownian运动B生成的通常已完成的过滤。假设1.1。b:Rd→ Rd和σ：Rd→ Rd×dbe连续函数和ξ∈ 矩阵σ是可逆的。假设随机微分方程（SDE）dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dBt，X=ξ（1.2）有唯一的强解X，且解是非爆炸的。在本文中，函数b=（b，··，bd）表示为d维列向量。众所周知，过程X是一个d维保守马氏扩散过程。假设1.2。函数r:Rd→ 这是一个连续函数。假设1.3。函数f:Rd→ R是非负的、非零的和可测量的。本文主要进行了两种敏感性分析。初始值敏感度，称为增量，定义为ξpT。delta的长期行为对我们至关重要。当四重le（b，σ，r，f）和ξ满足假设1.1-1.3并允许Hansen-Scheinkman分解（假设2.1-2.4）时，我们将观察到对PTI的预期是渐进的 E-λTφ（ξ）具有常数λ和正函数φ。这里，对于两个正态函数pta和qTof T，无态函数pta qt意味着lim it limT→∞PTQT转换为正常数。因此，我们可以预测TH的长期渐近行为是什么ξln pT=ξpTpTξφ(ξ)φ(ξ). （1.3）第二类敏感性分析包括漂移敏感性和扩散敏感性，分别称为rho和vega。

第4节给出了rho和vega的精确定义。考虑一个扰动的四元函数（b，σ，r，f）和一个满足假设4.1-4的初值ξ。第4节中的2。这里，是微扰参数。扰动的底层过程和每扰动的期望用X=（Xt）t表示≥0和pT:=EPξ[e-RTr（Xs）dsf（XT）]，（1.4）。我们想确定一个长期的行为=0pT。通过汉森-申克曼分解，可以观察到pT E-λTφ（ξ），具有常数λ和正函数φ。当T很大时，因为e-λT消除了我们可以预期的扰动量子pT=0pT -T e-λTφ（ξ）=0λ+e-λT=0φ(ξ) .因此，简单的关系=0ln pT==0pTT pT -=0λ（1.5）得到。本文的主要目的是以数学上严格的方式，在等式（1.3）和等式（1.5）中证明这些长期关系。我们采用Fourni’e等人（1999）的方法，他们使用Malliavin演算进行灵敏度分析。（有关Malliavin微积分的主题，请参考Nualart（2006）和Di N u no等人（2009）不幸的是，Fourni’e等人（1999）开发的方法不能应用于公式ξ[e]的泛函-RTr（Xs）dsf（XT）]，这是我们感兴趣的形式。他们的方法（用于计算delta和vega）仅适用于形式为epξ[f（Xt，Xt，···，Xtm）]的严格监控泛函，其中过程X在终端时间T之前被评估了一定次数。然而，在我们的例子中，公式（1.1）中的预期pTin涉及术语e-RTr（Xs）ds，它依赖于（Xs）0的整个路径≤s≤T.Hansen–S cheinkman分解在克服这个问题方面很有用，因为装饰位置将路径依赖的泛函转换为离散监控泛函。

因此，通过使用Hansen–Scheinkman分解，Fourni’e等人（1999）开发的方法可以成功地应用于我们的案例。本文的其余部分结构如下。相关文献见第1.2节。我们将在第2节中解释Hansen–Scheinkman分解。第3节研究了初始值的长期敏感性，并对等式（1.3）进行了调整。第4节论证了d裂谷和扩散项的长期敏感性，得出了Eq.（1.5）。第5节和第6节给出了示例，最后一节总结了本文。附录中给出了主要结果的证明和示例的细节。1.2许多作者研究了相关文献对期望值的敏感性分析。Fourni’e等人（1999年）研究了套期保值的期权价格敏感性。他们利用Malliavin演算提出了一种数值计算灵敏度的原始概率方法。Benhamou（2003年）利用Fourni’e等人（1999年）提出的Malliavin加权函数来研究希腊人的一种有效计算方法，并推导出总方差最小的加权函数。El Khatib和Privault（2004）利用Malliavin演算计算了希腊人，他们的联合过程具有泊松跳变时间和随机跳变大小。Gobet和Munos（2005）分析了预期成本的敏感性，并得出了可使用蒙特卡罗模拟进行评估的敏感性的预期形式。为此，他们采用了三种方法：Malliavin演算方法、伴随方法和鞅方法。Davis和Johansson（20 06）研究了Levy过程的teMalli-avin微积分，并推导了某类跳跃扩散过程的Malliavin权重。

Chen和Glasserman（2007）推导出了d-i-fusion模型中期权的MonteCarl o估值器，阐明了Malliavin估值器与似然比方法之间的联系。Hansen（2012年）、Hansen和Scheinkman（2009年）以及Hansen和Scheinkman（2012年）通过发展Hansen–Scheinkman分解来研究风险的长期行为，以揭示长期风险回报交易效应。我们现在简要比较了Boroviˇcka等人（2011年）和Hansen和Scheinkman（2012年）的相关结果，他们利用敏感性分析来描述和揭示随机贴现因子中编码的风险价格动态。通过探索冲击敞口弹性和冲击价格弹性，他们测量了冲击对现金流随机贴现因子预期的影响。它们还展示了这些弹性的状态依赖性。本文从两个方面对Bor oviˇcka等人（2011）和Hansen and Scheinkman（201 2）进行了区分：乘法函数形式和微扰形式。在他们的研究中，一种更为普遍的随机统计因子或现金流形式，称为乘法函数，被称为Stu Die。最常用的多功能函数之一isMt=eRtk（Xs）ds+Rtv（Xs）dBs，t≥ 0（1.6）表示两个函数k和v。然而，在当前的论文中，我们将乘法函数限制为e的形式-式（1.1）中给出了RTr（Xs）Ds。事实上，上面常用的乘法函数可以简化为这个简单的函数，后面会显示出来。另一个目的是，它们的微扰形式不同于本文中m的微扰。

LetHT:=eRTκ（Xs）ds+RTα（Xs）dBs，T≥ 0 .这里，κ（·）和α（·）是定义扰动方向的函数。分别通过qT:=EP[MTHT]和ρT:=EP[MTHT]EP[GTMTHT]确定扰动现金流和扰动预期收益。这里，随机变量GT是一个贴现因子。他们研究的主要目的之一是研究敏感性=0ln qTand=0lnρt用于经济解释。冲击弹性（x，T）（见Boroviˇcka等人（2011）中的方程式（12））是=0ln q并反映了瞬时dt上扰动的灵敏度。它的长期b eh aviorlimT→∞（x，T）是本文中delta计算的对应项。从Boroviˇcka等人（20 11）第13页结果2.2的讨论中可以明显看出，长期冲击弹性与本文定理3.1一致。Boroviˇcka等人（2014年）提出了一种更直接的计算冲击弹性的方法。他们没有提供一个长期的分析=0lnρT。可以用f将量q和ρT简化为等式（1.4）中的形式≡ 1如果过程X是公式（1.2）给出的一个差分，如果多功能是公式（1.6）中定义的最常见形式M。用Girsanov核（v+α）（XT）定义一个度量Q。然后qT=EP[MTHT]=EP[eRT（k+κ）（Xs）ds+RT（v+κα）（Xs）dBs]=EQ[eRT（k+κ+v+α|）（Xs）ds]。该方程h解释了从物理度量P到风险度量Q的变化。X的Q-动力学isdXt=（b+σ（v+α））（Xt）dt+σ（Xt）dW与Q-布朗运动W。

为了方便起见，让Q:=Qand W:=W.定义一个过程^Xt=（b+σ（v+α））（^Xt）dt+σ（^Xt）dWt的解。然后是（^Xt）t的Q分布≥0与（Xt）t的Q分布相同≥因此qT=EQ[eRT（k+κ+v+α|）（Xs）ds]=EQ[eRT（k+κ+| v+α|）（Xs）ds]。这里，|·|是常见的多维欧几里得范数。通过定义r：=-（k+κ+|v+α|），我们得到qT=EQ[e]-RTr（^Xs）ds]，这是带有f的pt形式≡ 式（1.4）中的1。类似地，量ρtca也可以表示为形式为pT.2的两个期望s的比率。Hansen–Scheinkman分解我们从四个函数（b，σ，r，f）a n dξ开始∈ 第1.1-1.3条。在本节中，假设2.1-2.4被重新考虑，以便能够使用Hansen–Scheinkma n分解。重述(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）是具有d维布朗运动B的过滤概率空间。过滤（Ft）t≥0由布朗运动B生成。我们定义了一个定价算子P byPTf（x）=EPx[e-RTr（Xs）dsf（XT）]。式（1.1）中的期望值表示为pT=PTf（ξ）。对于正可测函数nφ和实数λ，使得ptφ（x）=e-λTφ（x）对于T>0，x∈ Rd，（2.1）过程mφt:=eλt-Rtr（Xs）dsφ（Xt）φ（ξ），0≤ T≤ T（2.2）是一个正鞅。每个Ft上的测量值Qφ由A的Qφ[A]=EPξ[IAMφT]定义∈ FTis称之为关于φ的本征测度。这一定义适用于所有T≥ 0，因为EPξ[IAMφt]=EPξ[IAMφt]f或任何A∈ Ftand 0≤ T≤ T.假设2.1。对于实数λ和正可测函数φ，存在一对（λ，φ）满足式（2.1）的过程X在本征测度Qφ下重现。在这种情况下，贴现系数e-RTr（Xt）数据可以写为ase-RTr（Xs）ds=MφTe-λTφ（ξ）φ（XT）。这个表达式被称为Hansen–Sche i nkman分解。

我们说（λ，φ），λ，φ和Qφ分别是递归特征对，递归eige nvalue，递归InteigenFunction和递归特征度量。一般来说，可能不存在复发性enteigenpair。然而，根据假设2.1，本文假设函数（b，σ，r，f）和ξ的四重∈ RDR有一个r ecu当前特征对。有几项研究探讨了循环特征对的存在，例如，Hansen a n d Scheinkman（2009）第9节和Qin and Linetsky（2016）第5节。众所周知，如果存在循环本征对（λ，φ），则循环本征对是唯一的（Hansen和S cheinkman（2009）中的建议7.2，以及Qi n和Linetsky（2016）中的定理3.1）。因此，我们分别使用M和Q来代替Mφ和Qφ。这些符号并不令人困惑，因为本文始终适用于递归特征对，且递归特征对（λ，φ）是唯一的。我们用定价算子P的特征向量来逼近Hansen–Scheinkman分解。分解也可以用过程的最小生成元的特征向量来逼近。关于发电机方法，参见Hansen和Scheinkman（2009）中的6.1号提案。此外，许多作者已将汉森-舍因克曼分解用于一类一般过程（秦和林特·斯凯（2016）第2节）。然而，我们仅将Hansen–Scheinkman减压术应用于马尔可夫扩散病例。下一个假设涉及递归特征函数的正则性条件。第145页的Theo rem 3.1和理论3中有几个条件。Pinsky（1995）第14.8页中的第3条，保证了这种规律性条件。假设2.2。循环本征函数φ是两次连续可微的。这个假设有两个含义。首先，递归特征对（λ，φ）是一个二阶偏微分算子的特征对。

定义运算符L byL=dXi，j=1aijxixj+dXi=1bixi- r、 式中a=σ. 这个算子L可以理解为具有杀伤率r的X的生成元o。将伊藤公式应用于等式（2.2），我们得到了dmtmt=（Lφ+λ）（Xt）φ（Xt）dt+(φ)（Xt）φ（Xt）σ（Xt）dBt，（2.3）式中φ是φ的d×1梯度向量。因为M是一个鞅，差分dMthas的dt-t项等于零。因此，对（λ，φ）满足Lφ=-λφ是过程X分布的支撑，这意味着（λ，φ）是二阶部分微分算子的本征对-L.其次，上述假设意味着，在循环度量Q下，过程X仍然是一个马尔科夫扩散过程。定义一个向量值函数φ：=σφ/φ ; 然后，根据Eq。（2.3），Mt=eRt~n（Xs）星展银行-Rt|||（Xs）ds，0≤ T≤ T根据g irsanov定理，过程定义为WT:=Bt-Zt~n（Xs）ds，0≤ T≤ T（2.4）是Q-布朗运动。过程（ψ（Xt））t≥0是cha n ge i n度量的Girsanov核。因此，我们得到ndXt=（b（Xt）+σ（Xt）~n（Xt））dt+σ（Xt）dWt，0≤ T≤ T，（2.5），代表了Mar-kov扩散过程X在循环特征测度Q下的动力学。我们假设X的Q分布有一个更强的条件。假设2.3。过程X在循环特征测度Q下有一个变分布nν。这个特征测度在Hansen和Scheinkman（200 9）中被称为随机稳定测度。值得注意的是，不变分布与初始值X=ξ无关。关于不变分布的存在性，参见Pinsky（1995）第185页的定理9.5，以及Zhang等人（2014）的引理2.1和定理3.1。假设2.4是关于函数f的ν-遍历性的。有几个条件可以保证下面的ν-遍历性条件。Lapproach可在Cattiaux（2014）的第3.2节中找到。