长期现金流量的敏感性分析

Lyapunov准则可以在Meyn and Tweedie（1993）和Thero em 8中找到。7在Bellet（2006）第33页上。假设2.4。函数f是ν-遍历的，即f满足ξ[（f/φ）（XT）]→Z（f/φ）dνas T→ ∞,极限是一个有限的正数。假设2.1-2.4具有重要意义。使用递归测度Q，它遵循t hatpT=EPξ[e-RTr（Xs）dsf（XT）]=φ（ξ）e-λTEPξ[MT（f/φ）（XT）]=φ（ξ）e-λTEQξ[（f/φ）（XT）]。期望值ptt可以写成aspT=φ（ξ）e-λTEQξ[（f/φ）（XT）]。（2.6）因为公式ξ[（f/φ）（XT）]收敛到一个有限的正常数，即T→ ∞, 我们得到了等式极限→∞Tln pT=-λ，这意味着PTI的长期行为由复发率值决定。公式（2.6）对灵敏度分析非常有用。预期以相对更易管理的方式表达。术语EQξ[（f/φ）（XT）]取决于最终值XT，而EPξ[e]-RTr（Xs）dsf（XT）]依赖于（Xs）0的整个路径≤s≤T.如果已知XT的Q分布，则可以直接分析项EQξ[（f/φ）（XT）]。这一优势使研究现金流的长期敏感性变得更加容易。总之，f或任何给定的四元函数（b，σ，r，f）和初值ξ∈ 在满足假设1.1-1.3和2.1-2.4的情况下，我们构造了过程X、映射算子P、生成器L、鞅M、递归特征测度Q、递归特征对（λ，φ）、Girsanov核和不变分布ν。这些物体的符号X，P，L，M，Q，（λ，φ），ν，ν经常出现在本文的其余部分。为了方便起见，我们简单地说四重（b，σ，r，f）和初始值ξ决定了这些对象。

然而，在过程X不受r影响的意义上，一些因素是非常复杂的，并且这些对象都不受初始值的f.3敏感性的影响。本节讨论初始值敏感性，称为δ，定义为ξpT。我们对delt a的长期行为感兴趣。对于满足假设1.1-1.3和2.1-2.4的任意给定四重函数（b，σ，r，f）和ξ，旋转sx，P，L，M，Q，（λ，φ），ν，ν是可选的f-解释。下面的零符号0也被用来表示零向量，没有歧义。定理3.1。设（b，σ，r，f）和ξ分别是满足假设1.1-1.3和2的四重函数和初始值。1 - 2.4. 如果等式ξ[（f/φ）（XT）]在ξ中是连续的，且如果ξEQξ[（f/φ）（XT）]→ 0作为T→ ∞, 特林姆→∞ξln pT=ξφφ(ξ).证据函数φ（ξ）和方程ξ[（f/φ）（XT）]在ξ中是连续可微的。从式（2.6）中，链式规则表示ln pti在ξ中是可微分的，并且ξln pT=ξpTpT=ξφφ(ξ)+ξEQξ[（f/φ）（XT）]EQξ[（f/φ）（XT）]。因为ξEQξ[（f/φ）（XT）]→ 0和等式ξ[（f/φ）（XT）]收敛到一个有限的正整数，即T→ ∞, 我们得到了预期的结果。接下来，我们找到一个充分条件，使得等式ξ[（f/φ）（XT）]在ξ和ξEQξ[（f/φ）（XT）]→ 0作为T→ ∞. 为此，我们使用Fourni’e等人（1999）第3.2节的结果。假设函数b+σφ和σ与有界导数连续微分。让Y=（Yt）t≥0是由DYT=（b+σ~n）′（Xt）Ytdt+dXi=1σ′i（Xt）YtdWi，t，Y=Id定义的第一个变化过程，其中σi是σ的第i列向量，idi是d×d单位矩阵。对于多值函数g=（g，g，·，gd）在列向量形式中，导数g′被定义为d×d矩阵，例如第i行的th为吉福i=1，2，·，d。

我们还假设扩散矩阵b+σ~n满足单一椭圆度条件，即存在>0，从而（b+σа）（x） （b+σа）（x）y≥ | y |对于任何x，y∈ Rd.用| |·| |表示矩阵2-范数。提议3.2。设（b，σ，r，f）和ξ分别是函数的四倍和初始值，满足假设1.1-1.3和2.1-2.4。假设函数b+σ~n和σ是连续可微分的有界导数，且b+σ~n满足一致椭圆度条件。如果存在正常数p≥ 2和q，其中1/p+1/q=1，在公式ξ[| |σ]处-1（XT）YT | | p]和等式ξ[（f/φ）q（XT）]在[0]上一致有界于T，∞), 那么等式ξ[（f/φ）（XT）]在ξ和ξEQξ[（f/φ）（XT）]→ 0作为T→ ∞.证据根据Fourni’e等人（1999）的命题3.2，可以得出等式ξ[（f/φ）（XT）]在ξ和ξEQξ[（f/φ）（XT）]=TEQξh（f/φ）（XT）ZT（σ）-1（Xs）Ys）dWsi。（3.1）这一等式在他们的论文中得到了证明，p=q=2。然而，他们的证明对于任何正p≥ 如果我们替换三个条件s，则用1/p+1/q=1替换2和q。替换φ∈ l从第400页第1行第5行，带f/φ∈ Lq；第400页第19行中的n（x）=E[··]和n（x）=E[··]q；第400页第25行中的ψ=E[··]和ψ=E[··]p.偏导数ξEQξ[（f/φ）（XT）]在ξ中是连续的，因为第401页第一行紧集上的收敛是一致的。因为等式ξ[| |σ-1（XT）YT | | p]在[0，∞), 我们可以写出qξ[| |σ-1（XT）YT | | p]≤ 对于正常数c。

通过Holder不等式，Burkholder Davis Gundy in equality和Jensen不等式，它允许ξEQξ[（f/φ）（XT）]≤T式ξ[（f/φ）q（XT）]Q等式ξhZT（σ）-1（Xs）Ys）dWs圆周率P≤cpT式ξ[（f/φ）q（XT）]Q等式ξhZT | |σ-1（Xs）Ys|ds圆周率P≤cpT+p式ξ[（f/φ）q（XT）]Q公式ξhZT | |σ-1（Xs）Ys | | pdsip=cpT+p式ξ[（f/φ）q（XT）]QZTEQξ[| |σ-1（Xs）Ys|p]dsP≤CPT式ξ[（f/φ）q（XT）]对于正常数cpin，Burkhold-er-Davis-Gundy等式。B ecauseqξ[（f/φ）q（XT）]在[0]上的T上一致有界，∞), 我们得到了预期的结果。备注3.3。在Fourni’e等人（1999年）中，等式（3.1）对X的动力学系数具有更强的条件。函数b+σ~n和σ与有界导数连续可差，b+σ~n满足一致性条件。最近，巴诺斯等人（2017年）放宽了这些条件。漂移系数b+σа的形式可以是b+σа=аb（x）+b（x），对于аb有界且可测量，以及b Lipschitz con-nuous，且在x中最多为线性增长。然而，他们的结果要求扩散项为σ（x）≡ 1.4漂移和扩散项的敏感性现在我调查了基础过程的漂移和扩散项的敏感性。考虑以下扰动函数。变量e可以理解为一个摄动参数。假设4.1。设b（x）、σ（x）、r（x）、f（x）是I×rd上的两个变量（，x）的函数，对于一个0的邻域I，对于每一个x，它们在I和b（x）=b（x），σ（x）=σ（x），r（x）=r（x），f（x）=f（x）中是连续的。Le tξ是I上变量的连续可微函数，且ξ=ξ。假设4.2。每一个∈ 一、 四重函数（b，σ，r，f）和面积数ξ满足假设1.1-1。3和2.1-2。4.根据这些假设，符号X，P，L，M，Q，（λ，φ），，ν是自解释的。

例如，SDEdXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dBt，X=ξ（4.1）具有唯一的强解X，且该解是非爆炸性的。值得注意的是，假设4.2保证了四重（b，σ，r，f）和ξ也满足假设1.1-1.3和2.1-2.4，因为0在I中。我们对扰动的量子位pT:=EPξ[e]感兴趣-RTr（Xs）dsf（XT）]（4.2）及其敏感性的长期行为=0pT。关于漂移项和扩散项的灵敏度分别称为rho和vega。更准确地说，rho值（分别为vega值）定义为=0pt当pert u rbed函数的四倍为（b，σ，r，f）（分别为（b，σ，r，f））且初始值ξ不受扰动时。使用公式（2.6），可以用相对更易于管理的方式来表达期望值aspT=e-λTφ（ξ）EQξ[（f/φ）（XT）]。现在我们将链式法则应用于这个等式。定理4.3。设（b，σ，r，f）和ξ分别是四个函数和一个初始值，满足假设4.1-4.2。假设以下条件ho l d.（i）λ和φ（ξ）在on i.（ii）中作为两个变量（η，）的函数连续可微∈ 一、 偏导数ηEQξη[（fη/φη）（XT）]在I上存在并连续，而且limT→∞Tηη=0EQξη[（fη/φη）（XT）]=0。（4.3）（iii）作为两个变量（η，）的函数∈ 一、 偏导数EQξη[（fη/φη）（XT）]在I上存在且连续，而且limT→∞T=0EQξ[（f/φ）（XT）]=0。然后，扰动量ln p在=0和t时是可微分的=0ln pT==0pTT pT=-=0λ+=0φ（ξ）Tφ（ξ）+=0EQξ[（f/φ）（XT）]T EQξ[（f/φ）（XT）]+=0EQξ[（f/φ）（XT）]T EQξ[（f/φ）（XT）]。（4.4）进一步的，有限的→∞T=0ln pT=-=0λ. （4.5）证据。

将pTas视为四个变量（，，，，）在定义的PT（，，，）上的函数：=e-λTφ（ξ）EQξ[（f/φ）（XT）]因此T pT=PT（，，，）。链式法则给出了ln p的可微性和等式（4.4）中的质量。考虑到等式ξ[（f/φ）（XT）]收敛到一个正常数T→ ∞ 根据假设2.4，条件（i）-（iii）和等式（4.4）推导出等式（4.5）。备注4.4。在上述定理中，我们观察到条件（i）-（iii）控制等式（4.4）中的四项。条件（i）控制第一项和第二项。条件（ii）和（iii）分别控制第三个任期和最后一个任期。备注4.5。定理4.3中的条件（ii）和（iii）保证期望等式ξη[（fη/φη）（XT）]在I上的（η，）中连续可差。因此，我们可以应用链式规则。现在我们将注意力转移到定理4.3中的条件（i）-（ii）。在条件（i）中，在许多财务上有意义的情况下，λ和φ（ξ）这两个函数在条件（i）中持续存在差异。在条件（ii）中，偏导数ηEQξη[（fη/φη）（XT）]通常不容易评估。然而，如果初始值ξ不受扰动（如rho和织女星的情况），则这一部分是自激的ηEQξ[（fη/φη）（XT）]可以通过将导数和积分相互转换的顺序方式进行计算（定理G.1）。条件（i）和（ii）可以逐个检查，因此我们在这里不做进一步的详细说明。假设4.6。定理4.3中的条件（i）和（ii）成立。本文的主要贡献之一是研究OREM 4.3中的条件（i ii），即ich控制等式（4.4）中的最后一项。只有最后一点与基本过程的扰动有关。我们研究了（iii）的充分条件，以实现等式（4.5）规定的长期渐近行为。

关于漂移b（·）和波动率σ（·）的每turbat离子的差异和收敛到零并非微不足道。第4.1节和第4.2节分别讨论了它们的敏感性。备注4.7。如果X的Q-分布未知，则灵敏度的解释公式=0ln ptca可以从等式（4.4）中推导出来。然而，表达式是复杂的。4.1本节对m的位移扰动进行了灵敏度分析。设（b，σ，r，f）和ξ分别是函数和初始值的一个偶合，满足假设4.1-4.2。（扩散矩阵σ和初始值ξ不受扰动。）rho的评估包含在扰动表中。我们强调，符号x、P、L、M、Q、（λ、φ）、、ν是直接的。扰动过程X由式（4.1）给出，dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dBt，X=ξ。定义k：=σ-1b+和k:=k.H，σ-1是σ的逆矩阵。假设φ（x）和φ（x）（t hus，k（x））在每个x上都是连续不同的。我们定义了k（x）：==0k（x），k（x）：=k（x）。（4.6）鉴于上述扰动，本节的主要目的是为定理4.3中的（iii）找到一个充分条件。我们将证明这一点=0EQξ[（f/φ）（XT）]=EQξh（f/φ）（XT）ZTk（Xs）dWsi，这也在命题3.1 Fourni’e等人（1999）中陈述。然而，由于严格的假设，这种假设对许多财务模型都没有用处。在他们的工作中，扰动是线性的，形式为b=b+b，函数b是有界的。此外，扩散矩阵σ满足均匀椭圆度条件，支付函数满足公式ξ[（f/φ）（·）]<∞. 我们概括了附录A中命题A.1的结果。

我们的推广不需要线性摄动、b上的有界条件或σ上的一致椭圆条件。许多财务模型，包括本文中的例子，都是基于广义条件，而不是inFourni’e等人（1999）假设的原始条件。我们现在严格地陈述了定理4.3中（iii）的一个充分条件。关于下列定理的证明，请参见附录A f。定理4.8。设（b，σ，r，f）和ξ分别是函数s的四元组和初始值，满足假设4.1-4.2。假设φ（x）和φ（x）（因此，k（x））对于每个x在I上是连续可微的，并且存在函数g，ψ：Rd→ R如此k（x）≤ g（x），（4.7）|f（x）/φ（x）|≤ ψ（x）（4.8）表示I×Rd中的（，x）。假设下列条件成立。（i） 存在正常数sa，c和，使得对于所有T>0EQξ[eRTg（Xs）ds]≤ 吃。另外，假设存在正常数p≥ 2和q，其中1/p+1/q=1满足以下条件。（ii）对于每个T>0，都有一个正n数，使得等式ξ[RTgp+（Xt）dt]是有限的。（iii）作为T的函数，期望方程ξ[ψq（XT）]一致有界于[0，∞).然后，偏导数EQξ[（fη/φη）（XT）]在I上的（η，）中存在并且是连续的→∞T=0EQξ[（f/φ）（XT）]=0。（4.9）这些假设的影响如下。首先，（i）和（ii）涉及控制扰动增长率的函数g（x）的生长率k（x）：（i）意味着eRTg（Xs）dS的期望值可以随着T指数增加→ ∞, （ii）意味着atRTgp+（Xt）dt有一个最终的预期。第二，（i ii）控制函数f：因为等式（4.8）成立，（f/φ）q（XT）i的期望一致地约束在i×0上的（，T）中，∞).

第三，条件1/p+1/q=1意味着，如果g满足一个stro n ger条件（如果（ii）适用于较大的条件），则需要ψ的较弱条件（q在（iii）中可以较小）。最后，这个定理符合Fourni’e等人（1999）的命题3.1。备注4.9。值得注意的是，假设2.4可以由假设2导出。3.用定理4.8中的（iii）来表示。证据如下。设^f:=f/φ≥ 如果^f是有界的，那么假设2.4是微不足道的，因为过程X在Q下有一个变量分布。如果^f是无界的，那么必须证明liml→∞公式ξ[^f（XT）I^f（XT）≥五十] =0在T中均匀分布。这是由公式ξ[^f（XT）I^f（XT）得到的≥L]≤ 方程ξh^f（XT）^fq-1（XT）Lq-1i≤等式ξ[^fq（XT）]Lq-1因为期望公式ξ[^fq（XT）]在[0]上一致有界，∞).我们现在考虑定理4.8的一个变量。理论4中的条件（i）和（ii）。8替换为定理4.10中的前提条件（i）。有关证据，请参见附录B。附录E.4中使用了定理4.10来估计水原模型的rho。定理4.10。设（b，σ，r，f）和ξ分别是函数的四倍和初始值，满足假设4.1-4.2。假设φ（x）和φ（x）（因此，k（x））对于每个x在I上是连续可微的，并且存在函数g，ψ：Rd→ R满足式（4.7）和式（4.8）。支持以下条件。（i） 存在一个正常数，使得等式ξ[eg（XT）]在[0]上一致有界于T，∞).（ii）存在一个常数q>1，使得等式ξ[ψq（XT）]在[0]上一致有界，∞) .然后，偏导数EQξ[（fη/φη）（XT）]在I上的（η，）中存在并且是连续的。此外，式（4.9）成立。由于上述两个定理保证了定理4.3中的条件（iii），我们得到了以下公式。推论4.11。

设（b，σ，r，f）和ξ分别是满足假设4.1，4.2和4.6的一组函数和初始值。然后，我们得到。（4.5）限制→∞T=0ln pT=-=0λ，如果定理4.8或4.10的假设满足。4.2 Vega4。2.1单变量过程的Lamperti变换本节对单变量基础过程进行敏感性分析。设（b，σ，r，f）和ξ分别是函数的四倍和初始值，满足假设4.1-4.2。函数b、σ、r、f是单变量特斯拉函数，ξ是标量。初始值ξ不是pertur bed。在本节中，我们假设函数σ（x）在I×Rd上的（，x）中是两次连续可微的。符号x、P、L、M、Q、（λ、φ）、ν、ν（4.10）是自解释的。扰动过程X由dxt=b（Xt）dt+σ（Xt）dBt，X=ξ给出。（4.11）织女星的评估包含在m的微扰中。该部分的主要思想是利用兰帕蒂变换。固定任意实数c和deneu（x）：=Zxcσ（y）dy，Ut:=U（xt），ζ：=Zξcσ（y）dy，ζ：=ζ。（4.12）过程U=（Ut）t≥0满足度dut=Δ（Ut）dt+dBt，U=ζ，（4.13），其中Δ：=（bσ）-σ′) ov。在这里，没有人会说话o 表示函数的组合，函数v是u的逆函数。值得注意的是，v在I上是连续可微的，因为σ（x）在I×Rd上的两个变量（，x）是连续可微的→ U被称为兰帕提变换。Lamperti变换是有用的，因为它将扰动扩散项转化为常数1，并将扰动转化为漂移项和初始值。如式（4.13）所示，过程U的微分项不受干扰。因此，我们可以利用第3节和第4.1节中的结果。