不确定性下的先发制人投资

证明τ*也是表2对τ的最佳回复*= τ*如果πL1·- π·≥ πL2·- π·和πB1·-π·≥ πB2·-π·，我们证明了当i=2时，（A.3）不大于i=1时。因此，对于每个i=1，2，Fiτ*= Miτ*暗指ARτiF（θ）τ*（πBis）-πF是）dsFθ= 任何setA为0 {τiF（θ）≥ τ*} （取τ处的迭代期望值）*), 特别是对于A={τF（θ）>τ*}asτF（θ）≥ τF（θ）。此外，EτF（θ）>τ*RτF（θ）τF（θ）（πB2s）- πF 2s）dsFθ≤ 0通过τF（θ）的最优性（以及τF（θ）处的迭代期望），所以EτF（θ）>τ*RτF（θ）τ*（πB2s）- πF 2s）dsFθ≥ 现在，重写i=2的（A.3），我们得到ZτF（θ）∧τ*θ（πL2s）- πs）ds+1τF（θ）≤τ*Zτ*τF（θ）（πB2s）- πs）ds+1τF（θ）>τ*ZτF（θ）τ*（πL2s）- πB2s）dsFθ≤ EZτF（θ）∧τ*θ（πL1s）- πs）ds+1τF（θ）≤τ*Zτ*τF（θ）（πB1s）- πs）ds+1τF（θ）>τ*ZτF（θ）τ*（πL2s）- πF 2s）dsFθ≤ EZτF（θ）∧τ*θ（πL1s）- πs）ds+1τF（θ）≤τ*Zτ*τF（θ）（πB1s）- πs）ds+1τF（θ）>τ*ZτF（θ）τ*（πL1s）- πF 1s）ds+ZτF（θ）τF（θ）（πL1s）- πB1s）dsFθ（A.4）最后一个不等式使用πL1假设·- πf1·≥ πL2·- πf2·以及τF（θ）≤ τF（θ）和πL1·≥ πB1·。使用E重新排列（A.4）τF（θ）>τ*RτiF（θ）τ*（πBis）- πF是）dsFθ= i=1时的0收益率（A.3）。提案A.2对于顺序投资，简化如下。推论A.3。考虑一下∈ T和τS∈ T求解（3.6）。然后是从θ开始的子博弈中的一个均衡，即企业1计划在τ投资*= τ处的τ砂层2*= τF（θ）如果命题A.2的条件（ii）满足形式i=2。进一步，如果πL1·- π·≥ πL2·- π·，然后τD（θ）=τSattains（A.2），其中θ≤ τ*= τS.注意，在推论A.3的设置中，命题A.2的条件（ii）必须认为，在τD（θ）<τF（θ）达到（A.2）时，表2不具有局部先动优势，因为（Ft）是[θ，τF（θ）]上的子鞅。根据Corollary中的额外收入订单，这相当于τSnot处于优先购买区域P。推论A.3的证明。

我们只需要通过应用命题A.2和τ来验证i=2的最优性*= τS≤ τF（θ）=τ*. 那么确实是Fτ*= Mτ*. 此外，条件（i）满足为M·≤ F·and（Ft）是πf2在[θ，τF（θ）]上的子鞅·≤ π·. 因此τ*如果满足剩余条件（ii），则为等时。对于第二项权利要求，请注意，如果πL1·- π·≥ πL2·- π·，然后是ERτSτ（πL2s）- πs）dsFτ≤ERτSτ（πL1s）- πs）dsFτ≤ 0表示任何停止时间τ∈ [θ，τS]通过τS的最优性，参见引理3.7，因此τD（θ）=τS∨ θ获得（A.2）的当前实例。A.3技术成果引理A.4。在第2节的设置中，考虑四个过程（πmt）∈ L（dt） P），m=0，L，F，B，这样每个过程（Rtπmsds）都是适应的，并且τO（τ），τ∈ T做一个停车时间满足τ的家庭≤ τO（τ）≤ τO（τ）a.s.对于所有τ，τ∈ 带τ的T≤ τa.s.然后存在（D）类的可选过程（Lt）和（Ft），它们满足τ=L（τ）：=Zτπsds+EZτO（τ）τπLsds+Z∞τO（τ）πBsdsFτandFτ=F（τ）：=Zτπsds+ess supτ≥τEZτπFsds+Z∞τπBsdsFτa、 对于每τ∈ T特别是，可以选择正确的连续过程（Ft）。IflimτO（τn）=任意τ的τO（τ）a.s∈ T和序列（τn）n∈N T与τn和τa.s，则也可以选择（Lt）为右连续。当每个τO（τ）都是达到F（τ）值的最新停止时间时，或者当每个τO（τ）=τ时，所有条件都满足。证据首先重写F（τ）asF（τ）=Zτπs- πFsds+EZ∞πBsdsFτ+ ess supτ≥τEZτπFs- π-BsdsFτ.（A.5）RHS上的第一项是一个连续过程，在τ处进行评估，τ通过假设进行调整，并以τ为界∞|πs |+|πFs|ds∈ L（P），因此是可选的，属于（D）类。第二项和第三项是（D）类的（超）鞅系统（参见El Karoui，1981年，命题2.26）——尤其是由族约束的（超）鞅系统ER∞|πFs |+|πBs|dsFτ, τ ∈T（D）类学生。

因此，存在（D）类的可选过程，分别聚合两个（超）鞅系统。前者是鞅，可以选择右连续。后者实际上是连续过程（Yt）：=（Rt（πFs- πBs）ds），其中uy是（右-）连续的，因此可能被认为具有正确的连续路径，a.s.L（τ）可以写成（a.5），第三项X（τ）：=ERτO（τ）πLs- π-BsdsFτ.首先假设πLs- π-Bs≥ 0代表所有人∈ 在这种情况下，R+，a.sX（τ）Fτ= X（τ）+EZτO（τ）τO（τ）πLs- π-BsdsFτ≥ 所有停车时间τ的X（τ）≥ τ（asτO（τ）≥ τO（τ）），sox：=X（τ），τ∈ T这是一个子马尔代尔系统。X以ER∞|πLs |+|πBs|dsFτ, τ ∈ T, 因此属于（D）类。一般来说，最后一个论点分别适用于πLs- π-Bs+和πLs- π-Bs-, 证明了X是两个子鞅系统的差，这两个子鞅系统可以由（D）类的两个可选过程聚合。如果任意序列（τn）n的limτO（τn）=τO（τ）a.s∈N T具有τn和τa.s，那么X——类（D）——在期望中是右连续的，并且聚集的子鞅可以具有右连续路径。最后，由于上述过程（Yt）是连续的，τ之后达到F（τ）–τF（τ）–的最新停止时间是斯奈尔包络线单调部分第一次增加。单调部分继承了（Yt）的连续性。因此选择τ≤ τF（τ）≤ {τ上的τF（τ）≤ τ} 对于所有τ，τ∈ T现在考虑一系列的停止时间τn和τa.s，其中τF（τn）在n中减少。通过构造，我们只能得到limτF（τn）>τF（τ）≥ 其中uy的单调部分在（τF（τ），limτF（τn）]上是常数。通过连续性，它必须在[τF（τ），limτF（τn）]上保持不变。然而，uy的单调部分在τF（τ）的定义处增加，因此我们必须有τF（τ）=limτF（τn）a.s.备注a.5。

由于引理A.4的证明依赖于类（D）上鞅的聚集，我们可以进一步假设过程（Lt）和（Ft）在任何时间t都有极限（见El Karoui，1981，命题2.27）。备注A.6。对于单极问题（3.4）和何时成为最佳领导者的问题（3.5），解决方案——尤其是停止区域——通常有所不同。考虑一个模型，在该模型中，利润流由一个差异（Yt）驱动，使得每一个利润流都有一个跟随者阈值，比如yiFsolving（2.1），其中τiF（τ）=inf{t≥ τ| Yt≥ yiF}，而且企业1也有垄断门槛，比如yL≤ YF（3.4），其中LTC可以表示为状态Yt的连续函数。现在我们可以应用Jacka（1993）的论点，它依赖于（Lt）的半鞅性质，引理A.4的证明实际上建立了这个性质。用（At）表示（Lt）的有限变化部分。（Lt）的斯奈尔包络（St），即最佳停止（Lt）的值过程，现在也是连续的（作为状态的函数），其单调递减部分（Bt）由dBt=1St=LtdAt+dLt（St）给出- Lt）。最后一个学期是当地时间（圣路易斯）- Lt）在0时花费（即在停止区域），这是绝对连续的w.r.t.1St=LtdAt≤ 现在假设停止区域{S·=L·}是垄断问题的停止区域{Y·≥ yL}，dLt（圣- 生活在{Y·=yL}的边界上。对于Yt∈ [yL，yF），（Lt）有一个由已放弃的垄断利润流给出的漂移，dAt=-πL1tdt，dLt（St- Lt）≡ 如果（Yt）有跃迁密度，则为0。

杰卡定理6（1993）。As（Lt）属于（D）类，As（St）属于（D）类，因此收敛于S∞= L∞= 0在L（P）中表示为t→ ∞.因此（St）的鞅部分就是E[-B∞| Ft]和St=E[-R∞tSs=LsdAs |英尺]。进一步注意到，对于Yt>yF，（Lt）有一个由前面的双头垄断流给出的漂移，dAt=-πB1tdt，然后我们得到st=EZ∞TY∈[yL，yF）πL1s+1Ys>yFπB1sds-Z∞tYs=yFdAs英尺. （A.6）将类似的推理应用于企业1的垄断问题（3.4），通过τL（t）=inf{s解决≥ t|Ys≥ yL}，它的值是ER∞τL（t）πL1sds英尺= ER∞泰斯≥yLπL1sds英尺, i、 e.eR∞τL（t）Ys<yLπL1sds英尺= 0.因此，如果Yt≥ yL，（A.6）可以在asSt=E时重写Z∞TYs<yFπL1s+1Ys>yFπB1sds-Z∞tYs=yFdAs英尺.在（Lt）的假设停止区域中，也就是St=Lt，尤其是Yt≥ yF≥ yL，St=EZ∞tπB1sds英尺.在停车区域，-1Ys=yFdAs≥ 0，假设πL1·≥ πB1·。此外，Ys=yf是P dt nullset，如果Y有一个跃迁密度，那么等于indeedE中的两个最新刺激表达式Z∞tYs<yFπL1s- πB1sds英尺= 0（和E）-R∞tYs=yFdAs英尺= 0). 这与典型的严格顺序πL1·>πB1·相矛盾。引理A.7。设（xt）是一个几何布朗运动Ohm, F，P, 满足dxt=uxtdt+σxtdbt的布朗运动（Bt）适用于F。进一步，让τx:=inf{t≥ 0 | xt≥ ~x}对于任何给定的常数~x∈ R+。然后是问题supτ∈T，τ≤τxEZ∞τe-rt（Dxt- rI）dt（A.7）r>max{u，0}，D∈ R和I>0由τ求解*:= inf{t≥ 0 | xt≥ ~x∧ 十、*}, wherex*=ββ- 1·I（r）- u）D+和β>1是σβ（β）的正根- 1) + uβ - r=0。证据如果D≤ 0，则（A.7）中的被积函数始终为负，且最新可行的停止时间是最优的，这确实满足τx=τ*现在是x*= ∞. 对于D>0，引理A.7是Steg和Thijssen（2015）中命题4.6的特例，设置它们的Y=Dx，uY=u，σY=σ，X=c=cB=0和yP=（r- uY）（I）- cA/r）=x.B引理3.1的证明。

（2.1）中的停止问题等于常数toess infτ≥τERττ（πBis）-πF是）dsFτ. 因此，τ-iF（τ）和迭代期望的最优性RτiF（τ）τ（πBis）-πF是）dsFτ≤ 0表示所有τ∈ [τ，τiF（τ）]和ERτiF（τ）（πBis）-πF是）dsFτiF（τ）≥ 0表示所有τ≥ τiF（τ），严格地说是{τ>τiF（τ）}，因为τiF（τ）是最近达到（2.1）的时间。因此，τ=min{τF（τ），τF（τ）}和πB2·- πf2·≤ πB1·- πf1·我们有0≤ EZτF（τ）τ（πB2s）- πF 2s）dsFτ≤ EZτF（τ）τ（πB1s）- πF 1s）dsFτ≤ 0.第一个不等式对{τF（τ）<τF（τ）}（直到P-零集）是严格的，所以τF（τ）≤ τF（τ）（P-a.s.）。最后，Fiτ- Miτ=ess supτ≥τE[Rττ（πF）为- πBis）ds | Fτ]在i=1时不大于i=2时。引理3.2的证明。我们有τ- Fτ=EZτF（τ）τ（πL2s）- πF 2s）ds+ZτF（τ）τF（τ）（πB2s）- πF 2s）dsFτ（B.1）和lτ- Fτ=EZτF（τ）τ（πL1s）- πF 1s）ds+ZτF（τ）τF（τ）（πL1s）- πB1s）dsFτ,式中τF（τ）≤ τF（τ）通过引理3.1。通过τF（τ）的最优性来停止流（πB2s）-πF 2s），在（B.1）的RHS上的第二个积分具有非正条件期望，参见引理3.1的证明。现在的说法是基于πL1的假设·-πf1·≥ πL2·-πf2·与πL1·≥ πB1·。引理3.3的证明。我们只使用πLi的假设·≥ πBi·和π0i·≥ πfi·（除了用τP（θ）表示）。设τi1st（θ）=inf{t≥ θLit>Fit}（=τP（θ）表示i=2），例如Mi·≤ 李·≤ Fi·on[θ，τi1st（θ）），所以投资没有比成为跟随者更好的地方了，但如果最后一个不等式是严格的，那么投资确实是次优的。接下来，通过Fiθ和π0i中τif（θ）的最优性·≥ πFi·，Fi·在[θ，τiF（θ）]上的期望值不降低，因此我更喜欢在该时间间隔内尽可能晚地成为跟随者。最后，Liτ≥ τ=min时的Fiττi1st（θ），τiF（θ）–由于Li的右连续性，在τi1st（θ）处·- Fi·和atτiF（θ）由于πLi·≥ πBi·。

因此，如果对手在τ=min之前没有投资τi1st（θ），τiF（θ）（在一定的可能性下），公司至少可以在τ+1/n和n的投资限额内达到其追随者价值→ ∞ （在极限条件下，我得到Fiτ的概率是对手投资于τ和Liτ，否则Li·是右连续的）。引理3.6的证明。当Liθ>E[Liτ| Fθ]对于所有的停止时间τ>θ时，我们也必须有Liθ≥ EFiτFθ对于任何τ≥ 严格地说，{τ>θ}，如下所示。首先注意fiτ- EFiτiF（τ）Fτ= ERτ如果（τ）τ（πF）为- π0is）Fτ≤ 因为τiF（τiF（τ））=τiF（τ）。进一步注意LiτiF（τ）≥ FiτiF（τ）乘以πLi·≥ πBi·。加上这个假设，它必然会认为李娜FiτFθ≥ EMiτFθ关于任意τ的{τ>θ}∈ T和李θ≥ 菲θ≥ Miθ使用τ=θ。然后，如果对手的计划不意味着立即投资的概率为1（否则没有什么可以证明），那么，如果j公司不立即投资，i公司无法获得比Liθ更高的回报，如果j公司立即投资，i公司无法获得比Liθ更高的回报。由于Li·的正确连续性，该上限是FIRMI计划投资于θ+1/n和n的极限→ ∞, 但是，任何不以概率1立即进行投资的计划都无法实现这一目标。对于第二种说法，通过矛盾的方式假设τ=θ达到（3.5），但存在一个停止时间τ≥ θ以至于Rτθ（πLis）- π0is）dsFθ< 0具有正可能性。在那个事件中，Liθ=Zθπ0isds+EZτjF（θ）θπLisds+Z∞τjF（θ）πBisdsFθ<Zθπ0isds+EZτπ0isds+ZτjF（θ）τπLisds+Z∞τjF（θ）πBisdsFθ≤ EhLiτFθiasτjF（τ）≥ τjF（θ）与πLi·≥ πBi·，这与τ=θin（3.5）的最优性相矛盾。备注B.1。τ>θ的F-事件=> Liθ>E[Liτ|Fθ]a.s。

对于所有停止时间τ≥ θ可以按如下方式聚合为Fθ-事件：使用A（τ）：={τ>θ}∈ Fθ和b（τ）：={Liθ>E[LiτFθ]}∈ Fθ对于任何停止时间τ≥ θ，给定的性质可以写成1B（τ）- 1A（τ）=0 a.s.对于所有τ≥ θ（作为B（τ） A（τ））。后者适用于任何F事件，当且仅当它是C的子集：={ess infτ≥θ（1B（τ）- 1A（τ））=0}（直到一个空集）。Asall 1B（τ）- 1A（τ）是Fθ-可测随机变量，ess-infτ也是≥θ（1B（τ）- 1A（τ））。实际上，as 1B（τ）- 1A（τ）≥ ess infτ≥θ（·），也是1B（τ）- 1A（τ）≥ E[ess-infτ≥θ（·）|Fθa.s.适用于所有τ≥ θ因此ess infτ≥θ(·) ≥ E[ess-infτ≥θ（·）|Fθa.s.由ess inf（·）定义。然而，由于左侧和右侧具有相同的期望，等式成立。此外，存在一系列相互不相交的集合（Cn）和一系列停止时间（τn），因此SCN=Ohm \\ C（直到一个空集），infτn≥ 在每个Cn上，τn>θ和Liθ=E[Liτn|Fθ]a.s.这是因为{1B（τ）族- 1A（τ）|τ≥ θ}是向下的，就像所有1B（τ）一样- 1A（τ）是{-1，0}值，对于任何τ，τ≥ θ也τ：=τ+（1A（τ）- 1B（τ））（τ）- τ) ≥ θ是满足1A（τ）的停止时间- 1B（τ）=min（1A（τ）- 1B（τ），1A（τ）- 1B（τ））。因此存在一个序列（τn） 带infτn的T≥ θ和1B（τn）- 1A（τn）和ess-infτ≥θ（1B（τ）- 1A（τ））a.s.，因此P[{1B（τn）=1A（τn）}\\C]&0。现在可以递归地设置Cn=A（τn）\\（B（τn）∪ Cn-1).引理3.7的证明。首先要注意的是，（3.7）存在一个最佳停止时间（也是最新的），因为要停止的过程是连续的和可积的。对于任意停止时间τ∈ [θ，τF（θ）]，τF（τ）=τF（θ），因此Lθ- ELτFθ= ERτθ（πL1s）- πs）dsFθ与（3.7）中θ和τ之间的支付差异相同。因此，当θ在（3.7）中是唯一最优的时，也存在Lθ>ELτFθ关于{τ>θ}。

关于其他可能的支付，如引理3.6的证明中所述，Mτ≤ Fτ≤ EFτF（τ）Fτ≤ ELτF（τ）Fτ, 其中现在τF（τ）≤ τF（τ）=τF（θ）表示τ∈ [θ，τF（θ）]。因此，Lθ严格优于任何未来的支付（θ，τF（θ）），游戏必须以引理3.6证明中的相同论点结束。引理3.8的证明。首先要注意，存在一个最佳停止时间τiM≥ θfor（3.8）也是最新的一个，因为要停止的过程是连续的和可积的。最优τ满足必要和充分条件ERτiMτ（π0is）- π-Bis）dsFτ≥ 关于{τ≤ τiM}和ERτiM（π0is）- π-Bis）dsFτiM≤ {τ上的0≥ τiM}所有停止时间τ≥ θ，最后一个不等式对{τ>τiM}严格，如果τiM是最新解。我们将推导过程的解析性质（Fit）；因此，考虑任意的停止时间τ≥ θ.对于第一个性质，请注意{τ≤ τiM}我们有FiτiM∧τiF（τ）Fτ- Fiτ=EZτiM∧τiF（τ）τ（π0）为- πF是）dsFτ≥ 0byπ0i·≥ πfi·与τiF（τiM）∧ τiF（τ））=τiF（τ）。此外，关于子集{τiM>τiF（τ）}我们有FiτiMFτiF（τ）- FiτiF（τ）=EZτiMτiF（τ）（π0is）- πBis）ds+ZτiF（τiM）τiM（πF）为- π-Bis）dsFτiF（τ）≥ 0通过τi的最优性和τiF（τiM）的定义，参见引理3.1的证明。一起，EFiτiMFτ- Fiτ=EFiτiM- FiτiM∧τiF（τ）Fτ+ EFiτiM∧τiF（τ）Fτ- Fiτ≥ 0.对于第二个属性，请注意FiτiF（τ）Fτ- Fiτ=ERτiF（τ）τ（π0）为- πF是）dsFτ≥ 又是π0i·≥ πF i·和τiF（τiF（τ））=τiF（τ），因此有必要显示FiτiF（τ）FτiM≤ FiτiMon{τ≥ τiM}。这里，其中τiF（τ）≥ τiF（τiM），它认为FiτiF（τ）FτiM- FiτiM=EZτiF（τiM）τiM（π0is）- πF is）ds+ZτiF（τ）τiF（τiM）（π0is）- π-Bis）dsFτiM≤ EZτiF（τiM）τiM（π0is）- πBis）ds+ZτiF（τ）τiF（τiM）（π0is）- π-Bis）dsFτiM≤ 0，其中我们在第一次估计中使用了τiF（τiM）的定义，在最后一次估计中使用了τiM的最优性。

最后一个不等式对{τ>τiM}是严格的，如果τiM是（3.8）的最新解。现在假设停止时间τiM≥ θ从θ最佳停止（配合）∈ T，即它的满意度FiτiMFτ≥ {τ上的Fiτ≤ τiM}和EFiτFτiM≤ FiτiMon{τ≥ τiM}所有停止时间τ≥ θ. 作为EFiτiF（τiM）FτiM≥ FiτiMas如上所述，我们必须有等式，即τiF（τiM）也是最优的，为了简单起见，我们可以设置τiM=τiF（τiM），以显示（3.8）中τiF（τiM）的最优性。因此，再次考虑任意停止时间τ≥ θ.关于{τ≤ τiM}，其中τiF（τ）≤ τ如果（τiM）=τiM，则保持0≤ EFiτiMFτ- Fiτ=EZτ如果（τ）τ（π0）是- πF is）ds+ZτiMτiF（τ）（π0is）- π-Bis）dsFτ≤ EZτ如果（τ）τ（π0）是- πBis）ds+ZτiMτiF（τ）（π0is）- π-Bis）dsFτ通过定义τiF（τ），得到τiMin（3.8）的第一个最优性。关于{τ≥ τiM}，其中τiF（τ）≥ τiM，我们有0≥ EFiτFτiM- FiτiM=EZτiM（π0is）- πBis）ds+Zτ如果（τ）τ（πF）为- π-Bis）dsFτiM≥ EZτiM（π0is）- π-Bis）dsFτiM再次通过定义τiF（τ），得出τiMin（3.8）的第二个最优性。命题4.1的证明。根据强马尔可夫性，必须考虑t=0。如果抢占区域为空，则可以设置“x=”x并在（0，xF）中选取任何数字。非空抢占区域的上界和下界如下所示≤ Ffor all x≥ xF。第二，对于所有x>0，L≤ ER∞E-rsxsD- 里ds=xD/（r）- u) - 伊比·D≥ 丹佛≥ ER∞E-rsxsDds= xD/（r）- u），永远不要作为跟随者投资的价值。因此，我- F≤ x（D）- D） /（r）- u) - 我≤ 非空间隔（0，（r- u）I/（D）- D） +）。现在假设L>F对于某个x=^x∈ （0，xF）以及一些x=ˇx<^x，通过矛盾的方式假设≤ Ffor x=x∈ （ˇx，^x）。