不确定性下的先发制人投资

每次停车时间τiM≥ θ达到supτ≥θEhMiτFθi=ess supτ≥θEZτπ0isds+Z∞τπBisdsFθ（3.8）对于某些给定的∈ T和我∈ {1，2}也能得到supτ≥θEhFiτFθi.（3.9）如果τiM≥ θ达到（3.9），则τiF（τiM）也达到（3.8）。尤其是，（3.8）和（3.9）中的最新解决方案都是一致的。因此，（3.8）和（3.9）有一个最新的解τiM≥ τiF（θ）。这种不平等可能在总体上是严格的。如果π0i·≡ 然而，与典型的市场进入模型一样，如果（3.9）是最晚达到（3.9）的时间，那么（3.8）等于Fiθ和τ。3.3没有先占的均衡也可以是没有先占的其他均衡，即使两家公司在某些时候都有严格的第一步优势，即如果潜在先占的区域P不为空。先发制人可以通过有效的连续均衡来避免，这将构成帕累托改进。例如，在未来停止时间τJcan bean均衡的联合投资，如果其产生的预期收益至少与在任何较早时间成为领导者的预期收益相同，如图1的右面板所示。如果一方接受在另一方投资时成为跟随者，该公司也可以计划进行顺序投资。然而，这种均衡取决于收益过程的相对大小，因此，命题3.5中的连续性等简单的正则性性质无法保证其存在。相反，如果πfi·≡ π0i·，那么Fi·在期望值上是不增加的（一个超级大变数），因为以后成为跟随者只会带来较少的最佳投资可能性。因此，如果Liθ>Fiθ，那么Fim i严格地倾向于中间投资，而不是等到Fim j投资于某个τj>θ，因为等待最多会产生EFiτjFθ≤ 菲什。因此，有必要发生πF i·<π0i·（例如，由于第一次投资盗窃业务），以使我的公司等到τj发现早期的先发优势。

然后，可以在附录A.2中命题A.2确定的非常特定的时间检查偏差，这也避免了直接最大化复杂的领导者薪酬，但使用了更简单的问题，如（3.7）。对于状态空间模型，甚至可以考虑一个阈值的偏差，如第4节中的应用。命题A.2可应用于候选时间τJ≥ θ对于联合投资，i=1，2需要满足FiτJ=MiτJand，以最大化预期的联合投资回报MiτJFθ正如引理3.8所考虑的，至少有一些限制。如果延迟共同投资不可行，那么在与后续投资的均衡中，优先购买权仍然是可以避免的。在定理3.4中P=, Fim 1在τF（θ）同时投资之前的最佳时间成为领导者。简单地忽略非空P中的优先购买权，Fim 1的问题就变成了（3.6）。任意解τS∈ （3.6）或（3.7）的T是表1相对于τF（θ）的最佳回答。表2相对于τS的后者的最优性≤ τF（θ）可通过进一步简化，即附录a.2中的推论a.3进行验证。在额外收入订单下，需要检查[τS]是否不在第4页的应用中。作为说明，之前的一般结果现在将应用于战略实物期权文献中的两个典型模型，以便为文献中广泛讨论的基本均衡提供完整的证据，推导出可能构成帕累托改进的被忽略的平衡，或实际显示出与确定性模型在质量上不同的行为，并论证文献中分析的某些平衡仅在附加限制条件下存在（如果有的话）。Pawlina和Kort（2006）的车型首先作为主要车型。

在这里，我们考虑了它的参数之间的弱序，这样就可以嵌套Wilds（2002）和Fudenberg and Tirole（1985）的模型。之后，将使用相同的论点重新审视格兰迪耶（1996）的结果，尽管他在《杂草》（2002）中的经济背景是，投资启动了一个研发项目，成功率h>0。预期收益等于（4.1）中的收益，贴现率r+h而不是r，D=D=0，D=h，D=h（r+h-u）/（r+2h-u）和I=I=K。Fudenberg和Tirole（1985）的模型及其具体的贴现成本函数c（t）=e-（r+a）相当于（4.1），D=π（0），D=π（1），D=π（1），D=π（2），u=a，增加贴现率r+a代替r，σ=0。第4.1节中的解与确定性情况下的解一致，即σ→ 0.尤其是来自fn的β。13增加到r/（u+），因此投资阈值收敛到确定性情况下的β/（β）- 1) → r/（r）- u+，以及州x首次超过阈值x>x，（x/x）β时的预期贴现系数。这是完全不同的。4.1具有不对称成本的不可逆投资Pawlina和Kort（2006）的模型对于实物期权文献来说是相当典型的，但均衡分析并不完整。定理3.4给出了适当的子博弈均衡。我们将对它们进行详细分析，以展示一些显著的被忽视行为，并使这些论点适用于其他模型。

公司一的收入来源∈ {1,2}inPawlina和Kort（2006）是π0it=e-rtxtD，πLit=e-rt（xtD- rIi），πF it=e-rtxtD，π位=e-rt（xtD- 瑞伊），（4.1）贴现因子r>0，需求不确定性由几何布朗运动（xt）反映，满足DXT=uxtdt+σxtdBt，（4.2）其中（Bt）为布朗噪声，u<r为预期增长率，σ>0为波动率。常数D≥ D和D≥ D考虑到投资对支持方收入的负面影响≥ 一> 0是企业的固定投资成本，此处资本化。然后，领导者和追随者过程是连续的（作为状态xt的函数），当xt分别超过某些阈值Xifan和xiL时，追随者问题（2.1）和垄断问题（3.4）的当前实例通过投资来解决。因此，同时投资对所有国家都是一种平衡≥ xF。如果此模型中的抢占区域为非空，则其特征是状态空间R+的开放区间（\'x，\'x）与\'x）≤ xF≤ xF（如果I>Iand>D>D，则这两个不等式都是严格的），这样就可以简单地调用（`x，`x）抢占区域。以下命题的证明推广到了受连续马尔可夫过程驱动的其他模型，该过程单调地影响收入。提议4.1。考虑规范（4.1）。

有两个数字“x”≤ \'x∈ （0，xF）使Lt>Ft<=> xt∈ （\'x，\'x）对于所有t∈ 根据附录A.1中引理A.1和之后的讨论，只要检查ifL就足够了-F> 0表示x=x, 阈值求解（A.1），如果成本劣势EI/Iis不太大；否则，第二家公司的投资时间比第一家公司晚得多，优先购买权区域为空（特别是如果x≥ xF，其中第一家公司将立即跟进）。他们提出的先发制人均衡投资，以及高成本的2号企业在其后续的Reshold xF投资，只能被视为一种结果，而不是一种均衡策略，因为1号企业只有在存在先发制人威胁的情况下才愿意在先发制人点进行投资。均衡验证也是不完全的，因为——正如在其他论文中一样——关于当前后动优势的论证不足以证明等待的合理性，尽管子博弈的目标是完善，但只考虑初始状态较低的子博弈。如果D>D，那么xiF=ββ-1·Ii（r）-u）D-D、 其中β>1是σβ（β）的正根- 1) + uβ - r=0。如果D≤ D、 那么xiF=∞. 类似地，xiL=ββ-1·Ii（r）-u）（D）-D） +。这些都是期权定价的标准。精确条件（I/I）β-1<（（1+c）β- 1） /（βc）如果c:=（D- D） /（D）- D）∈ (0, ∞) 我们现在可以描述这个模型的定理3.4的平衡点，它也有Pawlina和Kort（2006）中没有捕捉到的显著结果。由于连续性，命题3.5保证了存在性，它有助于解决更简单的约束单极性问题（3.3）。通过强马尔可夫性质，这相当于在状态空间R+中找到一个区域，在该区域，t=0，supτ的问题中，即时投资是最优的≤τP（0）∧τF（0）EZ∞τe-rs（xs（D）- D）- rI）ds. （4.3）这里的约束形式为min{τP（0），τF（0）}=inf{t≥ 0 | xt∈ （\'x，\'x）∪ [xF，∞)} =inf{t≥ 0 | xt∈ [\'x，\'x]∪ [xF，∞)} （P-a.s.）。

问题（3.3）在州x到达投资区域{x后通过投资解决∈ R+|τ=0从时间θ起，对于x=x}达到（4.3）。首先考虑一个非空的优先购买区域（\'x，\'x），它连接到无约束的单一投资区域[xL，∞), 对于D=D的模型的市场进入变量，参见引理A.1。那么，对于任何状态x，即时投资在（4.3）中都是最优的≥\'x≥ xL，因为它是在无约束问题中。对于状态x<x，抢占约束（4.3）是一个恒定的上限阈值，因此最好在那里等待，直到x超过约束x或无约束阈值xL，见附录a.3中的引理a.7。在这种情况下，子博弈完美均衡是完整的：没有严格低于Min{x，xL}的州的投资，如第3.1.2节所述的对[\'x，\'x]的先发制人投资，作为[xL，xF]\\[\'x，\'x]领导者的第一家公司投资，[xF]的所有州同时投资，∞).接下来，如果抢占区域为空，则表1仅面临上限约束xFin（4.3）。同样根据引理A.7，当XT超过无约束垄断阈值xL的约束X时，企业1投资是最佳选择。请注意，对于D=D<D的marketentry变体，xL≤ xF<xF<∞. 然而，即使第一家公司使用无限制垄断门槛，它仍然受到第二家公司计划的限制。企业1只能最大限度地提高领导者的薪酬，前提是企业2也积极投资于[xF，∞).如果D=D，就进入市场而言，则无法避免先占权，因此无法同时投资[xF，∞) 通过引理3.8，在前面的每种情况下，平衡是唯一的。

实际上，如果抢占区域是非空的，那么它必须包含连续进程Lt的最佳停止区域- Ft，只取正值。然后，我们还必须在停止区域停止Lt，这是引理3.6中考虑的问题，因为Lt=（Lt-Ft）+FTA和FTI现在的期望值没有增加（一个超级艺术家）。到目前为止，xL≤ \'x或P=, 当且仅当需求足够高时，即当状态至少为min{x，xL}或min{xF，xL}时，才会发生投资。这种行为与随机模型及其确定性版本相同，例如，在Fudenberg和Tirole（1985）中（参见fn.11）。通过插入x获得=ββ-1·I（r）-u）（D）-D） +（参见fn.13）转化为Pawlina和Kort（2006）中L（x）和F（x），（8）和（9）的显式函数表达式，他们通过图形参数获得了相同的条件。这个条件意味着x< xF。对成本比率的限制严格超过1，并严格增加到β>1。如果D>D≥ D、 那么xF=∞ 抢占区域对于allI来说是非空的≥ I.最后，如果D≤ max{D，D}，然后是x≥ 并且抢占区域为空。4.1.1先发制人当需求下降时，在剩余情况下可以观察到不同的行为，垄断阈值位于非空先发制人区域xL>\'x>\'x之上，这需要足够高的投资前收入水平D>D。公司1可能会保持不活跃，即使它会立即作为跟随者进行投资（在xF以上的州），因为作为未来的领导者，它有更高的机会成本。Pawlina和Kort（2006）没有解决这一现象，他们只考虑“x”以下的状态，其中与之前相同的行为是：firm 1 waitsuntil xthits the constraint“x<xL”。

问题（4.3）对于（`x，xF）中的状态变得更有趣，如果该区间与无约束问题的连续区域[0，xL]相交，则两个约束都可能具有约束力，行为可能更复杂。像“x”这样的较低约束比之前考虑的任何较高约束具有更强的影响。延迟收益变化πL1t的问题可分为两种情况-πt=e-rt（xt（D）-D）-rI）在[\'x，xF]中。更简单的是x（D-D） >rIon所有（`x，xF）。然后，最好立即在任何地方进行投资，因为任何延迟都会带来大量收入。更困难的情况是x（D-D） <r避开抢占区域。公司1必须在这种不平等性存在的地方等待，为了不从运行损失开始，soone必须确定向上约束xF的投资区域。尽管如此，现在最好是在限制达到之前进行投资。提议4.2。考虑规范（4.1）并假设相应的抢占区域（\'x，\'x） 命题4.1中的（0，xF]为非空。如果- D）≥ rI，那么所有州xin（\'x，xF）的问题（4.3）的解决方案是立即投资，而ifD- D≤ 0时，解决方案是等待状态退出（`x，xF）。如果0<x（D- D） <rI，那么就有一个唯一的阈值^x∈ [rI/（D）- D） ，xL）求解（β- 1） A（x）xβ+（β- 1） B（x）xβ=I（4.4）和a（x）B（x）=hāxβxβ- xβ′xβi-1xβ-\'xβ-xβ？xβ！\'xD-博士-u- IxD-博士-u- 我（4.5）和β>1和β<0σβ（β）的根- 1) + uβ - r=0，所有状态xin（\'x，xF）的问题（4.3）的解决方案是在（xt）退出（\'x，^x）时进行投资∧ xF）。通常用于猜测值函数的“平滑粘贴”条件仅适用于最后一种情况，并且仅适用于^x≤ xF。如果xF（D- D）≤ rI，然后是^x≥ 而解决方案是等待状态退出（`x，xF）。

很容易计算（4.4）的解^x，它通常远低于无约束阈值xL的上限约束xf。因此，通过优先购买被困在“x”的风险会导致更早的投资，如下面第4.1.4节所示。在市场不断增长（或成本不断下降）的确定性模型中，无法观察到这种影响。4.1.2联合投资均衡如果D>D，那么可能存在比定理3.4中的均衡更多的均衡，因为现在可以放弃在抢占区域发生抢占的前提，和/或在xF上方的任何地方同时发生投资。首先，命题A.2现在被用于验证延迟联合投资的均衡，对于企业2来说，延迟联合投资不可能在低于XF的情况下同时发生。联合投资的最高预期价值可以通过求解（3.8）来实现，这会产生一个最大阈值，比如企业1。但我们也可以考虑这个问题的受限版本，其中包括一些投资阈值xJ∈ [xF，xM]。如果企业1不想在解决问题（A.2）的门槛上成为领导者，那么由XJI引发的联合投资是一种均衡，这是由引理A.7得出的。具体而言，成本差异不能太大，导致企业1无法长期享受领导者的垄断收入，从而限制了领导者的薪酬。提案4.3。考虑规格（4.1），让xM≥ xL码∈ [0, ∞] 表示表1的阈值解决问题（3.8）。假设xM≥ xF。然后，存在由阈值xJ触发的同时投资的子博弈完美均衡∈ [xF，xM]这至少产生了x=xL<xF的预期收益，即i fff xL≥ xF<=> D≤ 多莉≤（D）- D） +D- 多伊夫二、β-1.1 +xLxJββ- 1.-xJxLβD- DD- D≤ βD- DD- D（D）- D） +D- Dβ-1（4.6），β>命题4.2中的1。

（4.6）的LHS在xJ中严格为正，严格为递减∈ [xL，xM]如果xL<xF。请注意，xL<xfd意味着D>D。如果设置xJ=xL，则该位置中对I/iI的第二个限制比第一个限制弱，如果xJ增加，则该限制会进一步放宽。如果xJ=xM<∞, 然后（4.6）与Pawlina和Kort（2006）中的图形论证所确定的I/II界限一致，他们施加了D>D。命题4.3也适用于D≤ D、 当这两家公司都进行了投资后，结果并不比以前好。那么，以某个门槛进行投资仍然是最佳选择，因为另一家公司确实如此，尽管两家公司都不愿意进行投资。事实上，在XF以上的州，以及预期的联合投资回报可以提高的州，可能存在许多“效率低下”的联合投资均衡。如果（D）- D） xF<rI，那么对于区间[xF，rI/（D）中的状态，MIT的漂移为正- D） +），而henceit最适合在任何约束版本的问题（3.8）中等待。因此，可以将后一个区间划分为交替联合投资和等待的任意子区间。xM=ββ-1·I（r）-u）（D）-D） +，参见fn。13.xM<∞ <=> D> 然后xJ=xm意味着xJ/xL=（D- D） /（D）- D） .4.1.3序贯投资均衡如果先占区域非空，则无任何先占的序贯投资也可能是均衡，如果第4.1.2节中的延迟联合投资不可行，则与Pawlina和Kort（2006）的均衡相比，这是帕累托改进。这种平衡可以通过推论A.3进行验证，并且仅当且仅当2号企业在1号企业首先投资的xL没有严格的先发优势时，当前规范才存在这种平衡。提案4.4。