不确定性下的先发制人投资

那么我们必须有x>rI/（D）-D） +，否则我- F=ERτe-rsxs（D）- D）- 里ds+ ELτ- Fτ≤ 0如果x=ˇx和x∈ （ˇx，rI/（D）- D）+∧ xF]，其中τ：=inf{s≥ 0 | xs≥ x}≤ τF（0）。通过同样的论证，我们也必须有L>Ffor x=ˇx∨ rI/（D）- D） 但是如果我们设置x=x和^τ：=inf{s≥ 0 | xs6∈ （ˇx∨ rI/（D）- D） ，^x）}≤ τF（0），我们得到L- F=ER^τe-rsxs（D）- D）- 里ds+ EL^τ- F^τ> 0，其中集合{x>0 | L>Fgiven x=x}是凸的。此外，该集合作为L打开- Fis continuousin x.最后假设I=I，抢占区域非空，即通过Lemma。1以及随后的讨论，即阈值求解（A.1）满足x< xF=xF。那么，对于任何x∈ [x], xF），L- F=ERτF（0）xs（D）- D）- 里ds> 0作为x唯一地解（A.1）。命题4.2的证明。\'x<xf可以是（0，∞] 在这个证明中，即我们只假设“x有限”。对于初始状态x∈ （\'x，xF），约束τP（0）∧问题（4.3）中的τF（0）是给定间隔的退出时间，（4.3）相当于upτ≤inf{s≥0 | xs6∈（\'x，xF）}EZ∞τe-rsxs（D）- D）- 里ds. （B.2）如果“x（D- D）≥ rI，在时间0停止和任何可行τ之间的预期支付差异≥ 0是ERτe-rs（xs（D）- D）- rI）ds≥ 0，以便立即停止等时。如果D- D≤ 0，也是ERτP（0）∧τF（0）τe-rs（xs（D）- D）- rI）ds≤ 0表示任意τ≤ τP（0）∧ τF（0），使得等待直到约束是最优的。现在假设0<x（D- D） <rI，从哪里来的D>和xL<∞. 请注意Z∞E-rsxs（D）- D）- 里ds= 除息的- 博士- u- Iis（B.2）中立即停止的值。假设x=x，我们将首先验证问题（B.2）的值函数为v（x）：=A（^x）xβ+B（^x）xβ如果x∈ （\'x，^x），xD-博士-u- 雅思，（B.3）因此（\'x，^x）C在假设^x∈ [rI/（D）-D） ，xF）解决了（4.4）或“≤” 适用于^x=xF。

之后，我们将证明（B.3）中定义的^x.V（x）是连续的，因为（4.5）给出的A（^x）和B（^x）是连续条件A′xβ+B′xβ=’xD的解- 博士- u- 一、 A^xβ+B^xβ=^xD- 博士- u- I.（B.4）V（x）在（`x，xF）上也是两次连续可微分的，除了可能在^x。然而，在^x<xF时，V的第一个导数是连续的，因为（4.4）是可微分条件βA^xβ-1+βB^xβ-1=（D）-D） /（r）-u）乘以^x，减去（B.4）中的第二个连续性条件。因此，我们可以应用它的引理来看到（e-rtV（xt））是一个连续的有界上鞅，直到τ=inf{t为止≥ 0 | xt6∈ （\'x，xF）}，xt为零漂移∈ （\'x，^x）和漂移e-rt（rI）-xt（D）-D） ）对于xt，dt<0∈ （^x，xF）。因为在τ=inf{t，上鞅与支付过程重合≥ 0 | xt6∈ （\'x，xF）}，仍然需要证明V（x）主导了x的支付过程∈ （\'x，xF），它通过构造x来实现∈ [^x，xF]。为了x∈ （\'x，^x），V（x）=xβ-2.β(β-1） A（^x）xβ-β+β(β-1） B（^x）. Asβk（βk-1） >0，k=1，2，差异V（x）-x（D）-D） /（r）-u）+i如果A（^x），B（^x）是凸的≥ 0，并且它在^x两端消失。通过（4.4），差值的导数在^x处为非正，因此差值将取其最小值。因此，它将在所有[\'x，^x]上消失，但V（x）不能在非空（\'x，^x）上消失。所以我们必须有一个（^x）∧ B（^x）<0。如果我们有B（^x）≥ 0，那么A（^x）<0，V（x）在（\'x，^x）上严格递减，与V（^x）相矛盾≥ V（`x）；因此B（^x）<0。回到V（x），它最多可以切换一次符号，它必须在¨x开始严格负性。如果它保持非正性，差异V（x）-x（D）-D） /（r）-u）+Iis凹面，因此在（\'x，^x）上为非负。

如果V（x）最终变为正，那么V（x）的凸部分- x（D）- D） /（r）- u）+如前所述，它在^x处的最小值为0，因此，在过渡处的差异是非负的，因此对于第一个凹面部分是非负的。总之，（e）-rtV（xt））在xt离开（x，xF）之前是一个超级艺人，主导着支付-rt（xt（D）- D） /（r）- u) - 一） ，这与xt一致∈ {x}∪ [^x，xF]，所以latteris是[\'x，xF]中的停止集。接下来，我们证明了存在唯一的阈值^x∈ [rI/（D）- D） ，xL）求解（4.4），然后最终考虑约束xF。作为第一步，注意所有x的B（x）<0 in（4.5）∈ （\'x，xL]。事实上\'xβxβ- xβ\'xβ-1<0表示x>x乘以β>1和β<0，我们有B（x）<0<=>十、-βx（D）- D） /（r）- u) - 我> \'x-β\'x（D- D） /（r）- u) - 我. x的后一个函数的导数可以写成x-β-1.βI- (β- 1） x（D）- D） /（r）- u)> 0表示所有x<xL=β（r- u）I/（（β）- 1） （D）- D） ）。作为第二步，注意A=A（xL）和B=B（xL），我们有A·（xL）β+B·（xL）β=I/（β）- 1） 通过使用xLin（B.4）的定义，从而（β- 1） A·（xL）β+（β-1） B·（xL）β=I+（β- β） B·（xL）β>与（4.4）中的“=”相比。第三步是证明“≤” 对候选人^x=rI/（D）保持（4.4）- D）∈（\'x，xF），其中包含的内容正是当前考虑的情况。通过与上述类似的参数，使用连续性条件（B.4），V（x）然后满足V（x）=EZ∞^τe-rsxs（D）- D）- 里ds, x=x∈ [x，^x]，其中我们让^τ：=inf{s≥ 0 | xs6∈ （\'x，^x）}。对于^x=rI/（D）- D） ，被积函数将严格为负，直到^τ，所以V（x）>x（D）- D） /（r）- u) - Ifor all x∈ （\'x，^x）。然而，Atx=^x，等式由（B.4）和V（^x）决定-) = βA（^x）^xβ-1+βB（^x）^xβ-1.≤（D）- D） /（r）- u).

与（B.4）一起，后一种不平等也意味着≤” 在（4.4）中。作为最后一步，作为函数（β- 1） A（x）xβ+（β- 1） B（x）xβ是连续的，它必须达到某个^x∈ [rI/（D）-D） ，xL）通过第二步和第三步。后一个区间是非空的，因为在证明开始时对xl进行了估计。关于唯一性，假设^x，^x∈ [rI/（D）- D） ，xL）求解（4.4）。正如我们在上面证明的那样，对于任何xF，V（x）是问题（B.2）的值函数≥ xL和（B.2）由^τk:=inf{s求解≥ 0 | xs6∈ （\'x，^xk）}，k=1，2。特别是对于anyx∈ [x，x]，V（x）=xD- 博士- u- I=EZ∞^τe-rsxs（D）- D）- 里ds=> 0=EZ^τe-rsxs（D）- D）- 里ds.因此，让τ：=inf{s≥ 0 | xs≤ ^x}≤ ^τ和x∈ [x，x]，0=EZ^τe-rsxs（D）- D）- 里ds= EZˇτ∧^τe-rsxs（D）- D）- 里ds+Z^τ∧^τe-rsxs（D）- D）- 里ds.第二个积分在预期中会自行消失，而第一个被积函数对于x是严格正的∈ （^x，^x）。因此，后一个间隔必须为空。^x的证明是完整的≤ xF。最后，如果rI/（D）- D） <xF<^x，然后≤” 在（4.4）中，我们推导出了候选x=rI/（D）- D） 必须是严格的，因此xF的“<”也必须包含在（4.4）中，否则为^x≤ （β）的连续性-1） A（x）xβ+（β-1） B（x）xβ。现在，如果我们考虑“x:=xFwith”，则上述验证参数适用≤” 在（4.4）中。命题4.3的证明。停止时间τJ（θ）：=inf{t≥ θxt≥ xJ}，θ∈ T，满足时间一致性θ≤ τJ（θ）=> τJ（θ）=任意两个θ的τJ（θ）≤ θ∈ 这是由建筑造成的。如果命题a.2中的条件成立，τJ（θ）是在θ处的最佳回答。xJ≥ xF，FτJ（θ）=MτJ（θ）。根据当前规范，它需要验证第1家公司的条件（i）和（ii）。条件（i）保持为等待，直到阈值xJ≤ XM对于通过引理A.7阻止Mtup的约束问题是最优的；参见无约束问题（3.8）。

类似地，阈值min{xJ，xL}解决了问题（A.2）。因此，如果xL，条件（ii）成立≥ xFor，使用强Markov属性，如果0≥ DJ（x）：=L-EMτJ（0）给定x=x∈ [xL，xF）。通过命题A.2，如果xL<xF解（A.2），我们让τ（x）=inf{t≥ 0 | xt≥ x}≤ 任意x的τF（0）∈ [xL，xF），然后是DJ（xL）≥ ELτ（x）- MτJ（0）= E[DJ（x）]，其中最后一个标识是由于xτ（x）=x。因此，仍需验证DJ（xL）≤ 0表示xL<xF。如果xL<xF，则前者是有限的，我们可以写出λ：=xJ/xL∈ [1, ∞]. 然后也是xL<xJand（参见Pawlina和Kort（2006）中的方程式（9），（10），考虑到可能的xF=∞)!≥ DJ（xL）=xLDr- u- 我-xF（D）- D） r- uxLxFβ-xLDr- u-xJ（D）- D） r- u- 我xLxJβ=ββ- 1I- 我-ββ- 1ID- DD- D二（D）- D） +D- Dβ-1.-λββ- 1ID- DD- D- 我λ-β.重新排列产量条件（4.6）。（4.6）w.r.t.λ中方括号的导数对于λ是严格负的∈ （0，xM/xL）给定β>1，需要注意的是λ（D- D） <D- D、 因为D>Dfor xL<xf和（D- D） /（D）- D） =xM/xL>λ，如果D>D。使用后一个事实还表明，对于λ=xM/xL，方括号为1- （xL/xM）β≥ 0或1，如果xm不确定，则分别为0或1。最后，DJ（xL）的必要性≤ 0表示xL<xF≤ 很明显。命题4.4的证明。根据假设xL<xf和引理3.7和A.7，问题（3.6）由τS（θ）：=τL（θ）=inf{t解决≥ θxt≥ xL}∈ 任何情况下都不行∈ T表1的这些停止时间满足时间一致性θ≤ τS（θ）=> τS（θ）=任意两个θ的τS（θ）≤ θ∈ t通过构造，以及表2的停止时间τF（θ）=inf{t≥ θxt≥ xF}。验证θ的平衡∈ 根据推论A.3，注意现在πL1·-π·≥ πL2·-π·，问题（A.2）由τD（θ）=τS（θ）求解∨ θ.

所以我们有一个平衡点≥ xF(≥ \'-x）或者，使用强马尔可夫属性，如果0≥ DS（x）：=L- EFτS（0）givenx=x∈ [xL，xF）。根据命题A.2，如果xL<xF，我们让τ（x）=inf{t≥ 0 | xt≥ x}≤ 对于anyx，τF（0）∈ [xL，xF），然后是DS（xL）≥ ELτ（x）- FτS（0）= E[DS（x）]，其中最后一个恒等式是由于xτ（x）=x。因此，仍需验证DS（xL）≤ 0表示xL<xF，即xL6∈ （\'x，\'x）。后一个条件是（参考Pawlina和Kort（2006）中的等式（8）、（9），考虑到可能的yxf=xF=∞)!≥ DS（xL）=xLDr- u- 我-xF（D）- D） r- uxLxFβ-xLDr- u-xF（D）- D） r- u- 我xLxFβ=ββ- 1ID- DD- D- 我-ββ- 1ID- DD- D（D）- D） +D- Dβ-1.-β- 1I二（D）- D） +D- Dβ.重新排列产量条件（4.7）。其LHS w.r.t.I/Iis的导数对于xL<xfβ>1是严格正的，因为- D） +/（D）- D） <1。同样的事实是，（4.7）中的theRHS是严格正的。显示xL6的必要性∈ （\'x，\'x），假设相反，定义为xL<xf和DS（xL）>0。对于任何x≤ xL，DS（x）=EhDS（xL）i+L- EhLτS（0）i=DS（xL）+EZτS（0）（πL2s）- πs）ds= DS（xL）+x（D- D） r- u- 我-xL（D）- D） r- uxxLβ、 它不断收敛到DS（xL）>0作为x→ xL码。因此，对于某些x<xL的情况，DS（x）>0。ReferencesAlós-Ferrer，C.和K.Ritzberger（2008年）。树木和广泛的形式。J.经济。理论143216-250。Boyarchenko，S.和S.Levendorskii（2014）。莱维不确定性下的抢占博弈。游戏经济。比哈夫。88, 354–380.El Karoui，N.（1981年）。随机控制的概率。在P.-L.Hennequin（Ed.）中，圣面粉学院第九届至1979年，第876卷，因马特的课堂讲稿。，第73-238页。柏林海德堡纽约：斯普林格。Fudenberg，D.和J.Tirole（1985年）。新技术采用中的优先购买权和租金均衡。牧师。经济部。螺柱。52 (3), 383–401.格林纳达，S.R.（1996年）。选择权的战略运用：房地产市场的开发级联和过度建设。J

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