不确定性下的先发制人投资

支付也可以有效地积为有界的期望值，这样在任何停止时间的路径极限都会导致相应的期望值极限。给定两个计划τθ，τθ∈ T代表从θ开始的子游戏∈ 然而，在没有投资的情况下，第一次投资发生在min{τθ，τθ}，在τiθ<τjθ时，公司i成为领导者，在τiθ>τjθ时成为追随者，否则同时发生投资。因此，考虑到第一次投资的条件收益，i公司的条件预期收益为θisEhLiτiθτiθiθ<τjθ+Fiτjθτiθ>τjθ+Miτiθτiθi=τjθFθi.（2.4）随机变量是可测的w.r.t.Fτ={A∈ F|T∈ R+：A∩ {τ ≤ t}∈ Ft}如果在τ出现时其值已知。如果随机过程是渐进可测的（参见fn.5），则τ处的随机过程的值是Fτ-可测随机变量，这通过适应性和路径连续性保持（Rtπ0isds）。显然，我只能在任何给定的τjθ之前成为领导者；否则它最多只能在τjθ处成为跟随者。两种策略τθ, θ ∈ T,τθ, θ ∈ T如果存在noi，子博弈是完美均衡吗∈ {1,2}和θ∈ T使得（2.4）可以通过选择任何停止时间τ以正概率增加≥ θ而不是τiθ，即如果任何两个计划τ、τ是从θ开始的子博弈的均衡。3均衡特征不同收入之间的假设顺序对定时博弈的均衡具有重要影响，与任何更具体的不确定性模型无关。

本节仅通过比较收入流来阐明可能的均衡结构，为特定状态空间模型提供比基于缩减的支付函数形式的分析更详细的经济见解，并提供完整的均衡参数。我们证明，解决一类特定的约束最优停止问题，构造关于任何先动优势的具有抢占权的子博弈完美均衡是有效的。由于相互优先购买可能会不必要地破坏期权价值，因此我们确定在任何均衡中投资都不能延迟的时间。最后，我们考虑避免先占的替代均衡，并提供简化验证的参数。3.1充分均衡条件为了构造子博弈完美均衡，首先确定其中的子博弈中间投资是均衡，可能是由于相互抢占方案。3.1.1同时投资两家公司的即时投资在θ∈ T如果两家公司的跟随者选择都没有价值，即如果两个i=1,2的Fiθ=Miθ。如果一家公司偏离了任何计划τiθ>θ，它将成为跟随者，并实际投资于τIf（θ），这仍然达到Fiθ。特别是，如果两个i=1,2的θ=τif（θ），那么同时投资的单边偏差甚至不会改变实际结果，并且两个公司我仍然获得Liθ=Fiθ=Miθ。请注意，即使在这种情况下——当任何跟随者只是因为犹豫而放弃可盈利的收入时——任何一家公司我都可能只愿意按照τiθ=θ的计划进行积极投资，因为其他公司会这样做。

如果一家公司的投资仅由τIf（θ）=θ<τiθ触发，则对手可能希望推迟投资（见下文第3.2节）。假设πB2·-πf2·≤ πB1·-πF 1·，第一家公司的跟随者期权并不比第二家公司更有价值，因此同时投资在θ∈ T如果τ=θ达到Fθ。同样地，企业1的跟随者反应时间永远不会超过企业2的引理3.1。τF（τ）≤ τF（τ）和Fτ- Mτ≤ Fτ- 任意τ的Mτ∈ T引理3.1基于这样一个事实：跟随者等待的机会成本是πBi·- πF i·，这对1号企业而言不少于2号企业。因此，如果第一家公司是追随者，它就不能比第二家公司等得更久。更一般地说，1号企业在等待任何时间时都无法获得比2号企业更多的收益，因此1号企业的期权价值Fτ- Mτ作为跟随者最多是第二家公司的情况。3.1.2先发制人计时游戏的关键阶段是两个玩家都拥有先发优势，即设定P:={L·>F·}∩ {L·>F·} Ohm ×R+。如果任何玩家计划在这一阶段成为领导者，例如，因为没有后续的持续均衡保证至少预期相同的回报，那么就会触发一个抢先方案，两个玩家都试图在对方之前等待成为领导者。因此，P将被称为抢占区域。如果同时停止不是一种平衡，并且如果每个玩家都希望在没有突然压力的情况下等待，那么可能根本就没有平衡，即使是确定性的、非常规则的模型和考虑混合策略的情况下也是如此（见Fudenberg和Tirole，1985）。由于参与者不能计划在连续时间内“立即”停止彼此，因此必须为计划在同一日期停止提供额外的结果。其目的是保持先发制人的效果，即如果有人犹豫不决，各自的另一方将成为领先者。

玩家更喜欢“施加压力”，计划在与另一个玩家相同的日期停止，而不是在前者至少产生预期的跟随者报酬的情况下推迟。为了简化建模，我们在此假设，如果两家公司计划在抢占区域τP（θ）的任何第一次点击时间进行投资：=inf{t≥ θ|（Lt>Ft）∧ （Lt>Ft）}∈ 那么这是由于相互抢占，因此每家公司都会获得其追随者的报酬。这些预期收益来自于对谁首先在τP（θ）进行投资的适当分配，即1号企业、2号企业或两者。然后，任何一家公司我都会成为领导者（这是最好的结果，因为李的连续性是正确的）·- Fi·），跟随者或同时投资者（最坏结果），以及各自的概率。这种分配可以通过扩展策略空间内生化，以捕获离散时间内混合策略的结果限制；关于确定性模型，参见Fudenberg和Tirole（1985），关于随机模型的推广，参见Riedel和Steg（2014，命题3.1）。如果一家公司不愿意在τP（θ）成为领导者或追随者，则例外；然后另一家公司成为领导者。现在平面τθ=τθ=θ是一个平衡点，其中θ=τP（θ）。这里，给定τF（·）≤ τF（·）与πL1假设·- πf1·≥ πL2·- πf2·，表1的第一个移动优势永远不会小于表2，因此P={L·>F·}和τP（θ）=inf{t≥ θLt>Ft}。引理3.2。Lτ- Fτ≥ Lτ- 任意τ的Fτ∈ T引理3.2使用了这样一个事实：领导者和追随者之间的收入差异是πLi·- πF i·直到任何跟随者愿意投资，这对第一家公司来说不少于第二家公司。公司1更倾向于在自己的跟随者反应时间和公司2的反应时间之间充当领导者，因为它获得的是πL1·而不是πB1·。

相反，企业2不能在这两次之间成为领导者，因为它只能实现πB2·而不是πf2·这是追随者在自己的反应时间之前从来不会喜欢的。只有当πB1·-πF 1·对fim1来说不太合适：如果θ=τF（θ），那么Lθ=Mθ≤ Fθ。然而，如果τ=τF（θ）不能达到F（977;），那么投资必须在F=τF（θ）的有效范围内，如果τ=τ不能达到F（977;），那么它实际上甚至不在P的边界上，因为收入差异πL2的条件·- πF 2·——企业2从领导者而不是追随者中获得的潜在收益——事实上，企业2只有在启动πL2的最佳时间仍然具有先发优势·- πf2·，见附录A.1。AsπB2·- πf2·≤ πB1·- πf1·，πL2·必须超过πB2·足够。特别是，P= 如果πL2·-πf2·≤ πB1·-πF 1·，因为这样一来，表1将在最新的最佳时间立即开始πL2·- πf2·。后一个非战略停止问题是企业2的垄断问题（3.4），如果π·≡ πf2·，类似于典型的市场进入模型。对于允许这些问题的阈值类型解决方案的状态空间模型，甚至可能需要查看一个阈值，以查看P= （而不是在一个半空间中，停止是最优的），如第4.3.1.3节中的子博弈完美均衡与抢占。随后的均衡构建是由这样一个事实推动的，即独立于抢占区域中出现的情况，当企业拥有第二步优势时，没有企业愿意投资。这一发现是基于这样一种假设，即投资不会使其他公司受益。与文献中的一些建议相比，后发优势通常不足以推迟投资。引理3.3。投资从来都不是任何企业的最佳选择∈ {1,2}其中Fi·>Li·。

进一步，等到τP（θ），τF（θ）不限制公司2在子游戏中的支付∈ T针对公司1的任何（甚至混合）战略。菲在哪里·≥ Li·，通过计划在追随者反应时进行投资，我至少可以实现预期的首选追随者回报。事实上，在那之前，追随者的回报不会降低预期（一个子比例）——如果对手同时投资，这不会影响投资者的反应，只能推迟落后的收入πF i·≤ π0i·–在自己的反应时间里，无节制地投资至少和成为追随者一样好。根据引理3.3，我们可以让第二家公司的计划以最低的价格进行投资τP（θ），τF（θ）, 其中先发制人或同时投资是一种均衡。在收入对称的情况下，同样的计划是对第一家公司的最佳回答，但一般来说，第一家公司在τP（θ）之前可能有严格的竞争优势，并且可能想要利用它。考虑到第3.1.2节在τP（θ）和L·=F·=M·在τF（θ）的优先购买权收益，表1可以在orat min之前的任何地方实现L·τP（θ），τF（θ）, 除了在τP（θ）处的L·>F·：表1将得到F·。由于L·>F·实际上仅在τP（θ）处，因此在任何θ处，表1的最佳回答问题∈ 我是你的助手≤τ≤τP（θ）∧τF（θ）EhLτ{Lτ≤Fτ}+Fτ{Lτ>Fτ}Fθi.（3.1）如果问题（3.1）有解τ*（θ），则其值为企业1在θ的均衡收益，而企业2的均衡收益为EFτ*(θ)Fθ, 谁得到跟随者的报酬？在哪里*（θ）=minτP（θ），τF（θ）.我们可以总结如下。Lθ=Mθ<Fθ，因此通过过程的右连续性θ<τP（θ）。定理3.4。

如果有一系列解决方案τ*(θ), θ ∈ T如果（3.1）满足策略的时间一致性条件，则第2家公司使用的是子博弈完美均衡中的第1家公司的策略τ*(θ), θ ∈ T由τ给出*（θ）=minτP（θ），τF（θ）.如果所有收入都是对称的，那么就存在一个对称的子博弈完美均衡，在这个均衡中，两家公司都使用给定的企业2战略。只要有（3.1）的解决方案，就可以确保时间的一致性，因为由于正确的连续性，分别有最早的解决方案。对于状态空间模型，如果τ*（θ）属于阈值类型。然而，（3.1）的解的存在性通常不清楚，因为如果θ<τP（θ）<τF（θ）和LτP（θ）>FτP（θ），则要停止的过程在τP（θ）处具有不连续性；然后通过引理3.2得到LτP（θ）>FτP（θ），抢占导致下降。如果进程L·- F·是下半连续的，因为在{θ<τP（θ）}上的LτP（θ）=FτP（θ），因此（3.1）减少了toess supθ≤τ≤τP（θ）∧τF（θ）弹流润滑τFθi.（3.2）提案3.5。假设我·-F·从左到下半连续。然后存在一个子博弈完美均衡，如定理3.4所述，每个τ*（θ）ESS supθ的最早解决方案≤τ≤τP（θ）∧τF（θ）EZτπsds+Z∞τπL1sdsFθ. （3.3）问题（3.2）的解是概念上更简单的约束垄断问题（3.3）的连续解，因为Lτ中的跟随反应时间τF（τ）对于τ保持不变∈ [θ，τF（θ）]，cf。

也就是下面的引理3.7。在这种均衡中，企业要么计划投资，因为各自的另一方（假设双方都有先发优势，要么双方都将作为跟随者投资），要么企业1利用等待占主导地位的企业2，因此其行为像一个受约束的垄断者。只有约束τ≤ τP（θ）在（3.3）中起作用，如果πL1·- π·≥ πB1·- πf1·，类似于带π的市场进入·≡ πf1·，因为解决方案是不迟于τF（θ）进行投资≤ τF（θ）（参见引理3.7之后的讨论）。更一般地说，在无约束垄断问题supτ中，当i=1时，投资（3.3）当然是最优的≥θEZτπ0isds+Z∞τπLisdsFθ. （3.4）家庭τP（θ），θ∈ T和τF（θ），θ∈ T通过构造满足时间一致性条件，因此τ*(θ), θ ∈ T. 由于后者是（3.1）中的约束条件，任何一系列最早的解决方案τ*(θ), θ ∈ T也将是时间一致的。3.2必要的均衡条件在上述均衡中，投资往往是最优的，因为其他公司计划在同一日期进行投资。可能存在其他平衡，双方都会在稍后进行确认，然后双方都会选择，但他们必须在这一点上进行协调。现在，当投资在均衡状态下确实不可避免时，有时会导出。均衡显然与领导者支付过程的最优停止有关，通常受制于某些约束，参见（2.4）。下一个引理表明，假设πLi·≥ πBi·和π0i·≥ πF i·，如果公司拥有优先投资的独家权利，均衡投资不得晚于我将投资的时间，即如果公司考虑到何时成为领导者这一不受约束的问题。由于Liτ中的动态跟随反应，这是一个复杂的问题。

当一般情况非常有利，任何垄断者跟随者都会立即投资时，投资可能不是最佳选择：当只能实现πBi·时，跟随者反应滞后时投资可能更好。要以最佳方式成为领导者，垄断者也有必要进行投资。引理3.6。其中τ=θ是最新的停车时间≥θEhLiτFθi（3.5）对于某些i∈ {1,2}，一些企业必须立即投资于子博弈的任何均衡，从θ开始∈ T此外，当τ=θ达到（3.5）时，它也达到（3.4）。引理3.6基于这样一个观察：如果在（3.5）中立即成为领导者是最佳的，那么未来也没有更好的跟随者回报：如果我有选择成为跟随者，通常会选择时间τif（τ）来避免低收入πF i·≤ π0i·。然而，在任何τiF（τ）中，由于πBi，成为跟随者并不比成为领导者好·≤ πLi·。通过在τF（θ）处同时投资等持续均衡，防止以后成为领导者，问题（3.5）变得容易得多。在这种约束下，如果企业2之前进行投资，它的后续行动将始终相同，并且企业1不会蚕食任何收入πL1·过去的τF（θ）。因此，企业1的领导者问题相当于受约束的垄断者问题。对于Lemma 3.6的以下受限版本，同样重要的是，公司1不会后悔通过之前的投资从τF（θ）处获得πB1。引理3.7。假设第二家公司的战略在子博弈中处于均衡状态∈ 不迟于τF（θ）减少投资。

然后必须立即进行投资，其中τ=θ是最新的停止时间∈[θ，τF（θ）]弹流润滑τFθi，（3.6）参见附录A.3中关于标准差异模型的垄断者和领导者问题的备注A.6。相反，公司2可能更愿意在τF（θ）处成为跟随者，并在以后进行有效投资。如果表2可以成为τF（θ）之前的领导者，则可能会出现延迟跟随反应和高收益πL2·in（τF（θ），τF（θ）]，并且问题无法简化。该问题的解决方案与ss supτ相同∈[θ，τF（θ）]EZτπsds+Z∞τπL1sdsFθ. （3.7）如果垄断者的投资收益πL1·- π·不小于跟随者的πB1·- πF 1·（类似于π的典型市场进入）·≡ πF 1·），则（3.7）的最新解不超过τF（θ），其中任何延迟只意味着（2.1）中的跟随者放弃了收入，而Fim 1现在作为潜在领导者的损失不会减少。在这种情况下（3.7）的解决方案与（3.4）相同。另一个可能导致早期投资的持续均衡是抢占τP（θ），如第3.1.2节所示。在P（或P=), Fim 2永远无法实现F·，游戏必须在所有最新的最佳时间立即结束，才能成为追随者。事实上，这样的时间必须满足τ=τF（τ）（否则在τF（τ）处成为跟随者并接收π是没有损失的）·≥ πF 2·更长），然后第二家公司可以通过无条件投资来加强Fτ=Lτ=Mτ的支付。满足θ=τiF（θ）的停止时间只能使i公司的跟随者收益最大化，如果它也使同时的投资收益最大化。相反，同时投资的最佳时间也必须是成为跟随者的最佳时间，就像等待前者的机会成本πBi一样·- π0i·，最多是后者的π0i·≥ πfi·。引理3.8。