不确定性下的先发制人投资

考虑规格（4.1）并假设xL<xF（其中D>D）。然后存在一个子博弈完美均衡，当XTE超过xL6时，第一家公司投资，第二家公司计划投资∈ （\'x，\'x）来自提案4.1，其有效性为xL≥ xF<=> （D）- D）+≤ （D）- D） +或（β）-1） 二,+二、1.-β（D）- D） +D- Dβ≥ βD- DD- D-D- DD- D（D）- D） +D- Dβ-1.（4.7）命题4.2中的β>1。（4.7）的LHS在I/I中严格增加，如果xL<xF，则严格为正。最后，如果联合投资延迟到某个阈值xJ>xF，则可能会与提案4.4中的顺序投资或提案4.2中的先发制人进行均衡，这样一来，公司1可以在更大的时间间隔内进行优化，成为领先者。这可能会将序列均衡中的投资区域分为一个企业1作为领导者进行投资的区域和一个同时进行投资的区域，两者之间存在差距。这种平衡更难以明确描述。如果XFI位于两个投资区域之间，则非恒定的动力反应会阻止前面命题中使用的简化。4.1.4领先投资区域的比较为了说明优先购买权对（`x，xF）状态的潜在强烈影响，对于图3中的可变参数值，模型重新参数化如下。首先，r、u和σ确定β1,2，并与比值I/（D）一起确定- D） 此外，企业1的跟随者阈值xF（我们定义了该阈值）是“x”的上限。“x”和“xF”之间的距离，即企业1可以作为领导者投资的区域，在I中不断增长。事实上，xF明显随I而增长，如果抢占区域（\'x，\'x）不为空，则如果Igrows；当I/I=xF/xF达到fn中给定的界时，（\'x，\'x）崩溃。14在c=（D）方面- D） /（D）- D） 垄断企业的损失与跟随者投资时的收益有关。

我们为ISuppose x<xF选择这些限值，这样，企业2的先发优势- 非同小可。如果Iis增加，这对L有两个负面影响- F.首先，它增加了投资成本流e-rtrIup到FIRM 2的固定跟随者投资时间τF（0），这减少了L。第二，它延迟τF（0）。新的收入流差异-rt（xt（D）-D）-前者和新的τF（0）之间的rI（随着I的增加）对新的τF（0）的最优性具有非正预期，因此减少了L- F.60801001401601020000.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2c=D10-D11D11-D01x2Fx1L\'x^xd=D11-D00D11-D01=0.2=> x1M=60060801001401601020000.20.30.40.50.50.6 0.70.8 0.9 1.01.1 1.2c=D10-D11D11-D01x2Fx1L\'x=xd=D11-D00D11-D01=0.6=> x1M=200r=0.08，u=0.02，σ=0.2，内径-D=1000=> xF=120图3：受约束的引线停止区域。为了简单起见，使用了c的两个函数，尽管只使用了“x=”x=x, 阈值求解（A.1）。现在，c也通过x来确定“x”= xF/（1+c）。^x的方程（4.4）可以简化为参数β1,2和xL，即无约束的单纯形阈值，它是^x的上界，其本身满足xL=xF/（c+d），其中d:=（d- D） /（D）- D） 。如果领导者的投资对跟随者的收入没有太大影响，如在市场进入情况下，后一个比率接近1；当领导者从追随者那里窃取大量业务时，比如通过一项重大创新，它就会变得微不足道。dalso通过xM=xF/d控制最佳同时投资阈值。在定理3.4的均衡中，表1可以自由决定何时投资区间（`x，xF）。如果没有先发制人的威胁，它就不会在min{xL，xF}以下投资。然而，考虑到先发制人的威胁，当州超过^x时，公司1已经开始投资，这可能要早得多，如图3所示。

在d值较低的上面板中，抢占的威胁对c非常重要≥ 0.45. 公司1从不选择在较低的面板中等待，d值适中。在XM的联合投资是一种均衡，如果xL≥ xF；对于d=0.6和c，这不是一个平衡≥ 0.45.4.2具有施工时间的战略性房地产开发与之前一样，类似推理一方面表明，格林纳达（1996）中讨论的均衡仅在某些参数限制下存在，另一方面，存在帕累托改进的额外均衡。格林纳迪亚（1996）在两个对称的房地产所有者之间建立了一个实物期权博弈模型，他们可以各自投资重新开发自己的房产，以赚取更高的租金。他的模型需要稍微转换成当前的框架，因为它包含了建设的延迟：如果业主投资，就需要时间≥ 0个时间单位，直到新大楼产生任何收入。在任何所有者进行投资之前，双方都能获得确定的租金≥ 0.成本投资I>0终止该租金，将对手的租金降低至（1）- γ） R加γ∈ [0,1]并在延迟δ后启动新的自有租金dxta。（xt）是几何布朗运动，如（4.2）所示。一旦新建筑完工，每位业主将获得0<D的租金≤ D.掷弹兵的模型在战略上等同于指定π0it=e-rtR，πLit=e-rt（德）-（r）-u）δxt- rI），πF it=e-rt（1- γ） R，π位=e-rt（德）-（r）-u）δxt- rI）在总体框架中。格林纳迪亚（1996）提出的均衡被不充分的论点所证明，即如果当前跟随者支付超过当前领导者支付，等待是最优的。然而，存在一个子博弈完美均衡，如定理3.4中的对称性；它的特点如下。

一旦xte超过阈值xF>0，则跟随者问题（2.1）再次通过投资得到解决，同时投资对于所有状态xθ来说都是不平衡的≥ xF。问题（A.1）通过阈值x解决= xFD/D当且仅当D<D时，抢占区域P实际上是非空的。P可以由状态空间的间隔（\'x，\'x）表示，参数与命题证明4中的参数相同。1，其中现在¨x=xF。4.2.1进一步均衡的定性根据参数值，可能存在其他同时投资延迟和/或无优先购买权的均衡。设xl表示解决无约束垄断问题（3.4）当前实例的阈值。对于\'x=xF以上的州，任何投资都将同时进行。与格林纳达（1996）中的主张相反，同步投资不能延迟超过阈值xM=xLD/D≥ 解决问题（3.8）。事实上，在P中，通过对称性，两个公司在投资时最多获得跟随者的回报。这同样适用于任何只进行联合投资的均衡。InxF=ββ-1·e（r）-u）δ（I+（1）- γ） R/R）（R）- fn中β>1的u）/d。13.xL=ββ-1e（r）-u）δ（I+R/R）（R- fn中β>1的u）/d。13.这不应与XLinGrenadier（1996）相混淆，后者对应于当前的“x”。无论哪种情况，只要状态超过xM，都必须立即进行投资，因为任何延迟都将是引理3.8的损失。在P中发生抢占时，只能考虑延迟区间[`x，xM]内的同时投资，即延迟收入变化π位- π0it=e-rt（德）-（r）-u）δxt- 里-R） 。该问题与命题4中考虑的双边约束问题具有相同的形式。2（也可以回忆第4.1.4节中的插图），带有De-（r）-u）δD-D、 I+R/R替换地面和XM替换xF。

因此，现在给定¨x=xF，如果De-（r）-u）δxF≥ rI+R，如果γ≤里拉+11.-β- 1β（r- u), （4.8）那么，对于xF以上的州，投资根本不能延迟，这是inGrenadier（1996）不承认的。在这种情况下，优先购买权区域延伸到如此高的州，以至于超过它的任何放弃的收入都是一种损失。注意，（4.8）的RHS是严格正的。只有当（4.8）失败时，才会存在解^x∈ [（rI+R）e（R）-u）δ/D，xM）到（4.4）的当前版本，这样可以在（xF，^x）中抑制投资。只有这样，才能出现《掷弹兵》（1996）第五节中广泛讨论的现象，即当需求落在xF时，优先购买权才会发生。然而，如果γ足够大，可以违反（4.8），那么延迟的联合投资可能足够有吸引力，可以完全避免先发制人，这将是帕累托改进w.r.t.掷弹兵（1996）。根据与命题4.3相同的论点，在具有阈值xM的联合投资均衡中，可以避免优先购买权≥ xif且仅当其产生至少x=xL<xF的预期收益，即当且仅当xL≥ xF<=> γ ≥里拉+11.-DD或者如果γ≥里拉+11.- DβD- DDβ- Dββ-1.fnβ>1。13.最后一个对γ的限制确实比前一个弱。5结论第3节中的一般模型的均衡分析直接基于其原始模型，而不是价值函数的衍生分析性质，这在不断增长的实物期权博弈文献中经常发生。从更广泛的角度来看，一方面，忽视任何均衡验证问题的风险较小，另一方面，对其经济结构的看法更为详细。

对于满足本文一般假设的模型，通过基本的经济论证，均衡验证问题的数量已经大大减少，并且仍然需要解决一个企业的单一类最优停止问题。定理3.4适用于文献中更多的例子，以及第4节中重新讨论的例子（例如，导言中列出的例子）。所提出的应用程序具有非常独特的经济特性，显示了一般结果如何在典型的状态空间模型中起作用。通过更完整的方法，一些被忽视的平衡行为被识别出来，从定性上区分随机模型和确定性模型。特别是，当状态随机演化时，双边约束会产生反馈效应。为确定额外平衡点（可能是帕累托改进）而提出的论点也推广到了其他模型，例如不确定性的来源。因此，本文的总体观点为更完整地分析符合框架的优先购买投资模型奠定了基础，并为分析不满足本文假设的收入顺序的进一步模型提供了指导。附录。1.描述抢占区域的特征在查看抢占区域是否为空时，必须考虑对一些简单的停止问题来说是最佳的停止时间。如果π0i，它们是i公司永久单极问题（3.4）的解决方案·≡ πfi·（类似于市场进入模型）。引理A.1。对任何人来说θ∈ T，Lθ>Fθ仅当ELτi- FτiFθ> 0表示所有时间τi∈ Tattainingess supτ≥θEZτπF isds+Z∞τπLisdsFθ（A.1）对于一些人来说∈ {1, 2}.

τ在哪里= θ达到（A.1），因为i=2，那里有Lθ- Fθ≥ ELτ- FτFθ总之τ∈ [θ，τF（θ）]。引理A.1基于这样一个事实：对于任何τ∈ [θ，τF（θ）]，Lθ和Fθon[θ，τ]之间的差异是垄断或双寡头收入与落后者收入之间的差异，即最多πL2·- πf2·。这种差异对于（A.1）的任何解都是非正的，其中τ≤ τF（θ）乘以πL2·≥ πB2·。此外，Lθ和Fθ之间的收入差异[τ, ∞) 最多是在Lτ之间和Fτ, 因为企业2的跟随者反应保持不变，并且通过后来成为领导者，企业2至少在同一时间获得垄断收入。对于第4节中的状态空间模型，我们得到以下特征。首先，如第3.1.2小节所述，无论是公司i，还是公司xiF，都有一个跟随者阈值∈ R、 如果XF的投资对第二家公司来说不是最优的，那么它永远不会被限制在优先购买区域，甚至在关闭时也不会被限制。就像我·≤ F.对于所有高于该xiF的状态，后者必须位于任何非空抢占区域之上。其次，根据引理A.1，对于i=1，2，任何非空抢占区域必须与（A.1）中的停止区域相交；xi说，解决这个问题的门槛∈ R、 不能位于抢占区域之上。特别是，如果x≥ xF，抢占区域必须是空的。第三，如果第二家公司在x没有先发优势, 那么，在穿越xF之前，该状态将不会获得任何值。因此，如果状态，从某个x开始< xF，willHere“抢占区域”指的是在同一状态空间中定义阈值的区域，这当然是对之前定义P的术语的滥用。在达到xF之前获得任何中间值，然后有必要检查在x处是否有Firm 2的先发优势; 否则抢占区域为空，因为不能躺在上面。引理A.1的证明。

首先请注意，有解决方案τi≤ τiF（θ）≤ τF（θ）到（A.1）对于i=1，2，因为要停止的相应过程是连续且可积的。估计值来自于πLi的假设·- πfi·≥ πBi·- πfi·，参见引理3.1的证明。通过τi的最优性在（A.1）中，ERτiθ（πLis）-πF是）dsFθ≤ 因此，作为πL2·-πf2·≤πLi·- πfi·，（B.1）只能是严格正的ZτF（θ）τi（πL2s）- πF 2s）ds+ZτF（θ）τF（θ）（πB2s）- πF 2s）dsFθ> 0（事实上，只有当P[τi< τF（θ）>0），这意味着EHLτi- FτiFθi=EZτF（τi）)τi（πL2s）- πF 2s）ds+ZτF（θ）τF（τi）)（πB2s）- πF 2s）dsFθ> 0asτF（τi）) ≥ τF（θ），τF（τi) = τF（θ）和πL2·≥ πB2·。对于所有停止时间τ∈ [θ，τF（θ）]，实际上τiF（τ）=τiF（θ），i=1，2，因此Lθ- Fθ-ELτ- FτFθ= ERτθ（πL2s）- πF 2s）dsFθ≥ 如果τ为0= θ获得（A.1）。A.2在没有先发制人的情况下验证均衡以下建议有助于减少搜索我可能想要取消企业j的时间，从而验证最佳回复τi*≥ τj*. 它避免了直接最大化领导者薪酬，这是一个复杂的问题，因为追随者的反应。应用于状态空间模型，可能需要考虑单个阈值的偏差。提议A.2。考虑任何给定的θ∈ T和我，j∈ {1,2}，i6=j。

如果j公司计划在停止时间τj进行投资*≥ 那么τi*≥ τj*对于Fim i if Fiτj，这是最好的回答*= Miτj*关于{τi*= τj*} 和（i）EFiτj*Fθ≥ ess supτ∈[θ，τj*]EMiτFθ以及（ii）每次停车时间θ≥ θ，关于{θ<τj*} 一个解τiD（θ）∈ 问题supτ的T∈[θ，τj*∨θEZτπ0isds+Z∞τπLisdsFθ（A.2）满足τiD（θ）≥ τjF（θ）或LiτiD（θ）≤ EFiτj*FτiD（θ）.凡θ达到（A.2），它认为李θ-EFiτj*Fθ≥ E李τ-Fiτj*Fθ对于所有停止时间τ∈ [θ，τjF（θ）]。进一步，如果πL1·- π·≥ πL2·- π·πB1·- π·≥ πB2·- π·Fτ*= Mτ*对于i=1，则τ*= τ*这是最好的回答。条件（i）显然也是必要的，因为终端支付最多为Fiτj*（无需按照第3.1.2节建模的赎回）和Li·≥ 米·。条件（ii）表示，它可以在（A.2）的解τiD（θ）<τjF（θ）处检查表i的偏差，因此在θ=τjF（θ）的情况下不需要检查。接下来的一句话意味着，对于阈值类型的模型，考虑θ=τiD（θ）通常就足够了：如果企业i不想成为那里的领导者，那么在跨越企业j的决定τjF（θ）的跟随阈值之前，状态过程不会达到任何值。对于高于该阈值的州，无需考虑偏差。命题A.2尤其适用于某个时间τJ=τ的联合投资均衡*= τ*≥ θ. 一方面，FτJ=MτJis是必要的，这自动地简化了FτJ=MτJby引理3.1。另一方面，（i）显然是一个必要条件，即τj必须是（至少受约束的）最大化预期联合投资回报的最佳时间MiτJFθ如引理3.8所述。考虑到τJ，可以通过条件（ii）验证均衡，如果额外收入订单成立，则需要考虑表1。命题A.2的证明。

给定τj*≥ θ，确认i从任何停车时间τi获得的预期收益≥ θ是ELiτiτi<τj*+ Miτiτi=τj*+ Fiτj*τi>τj*Fθ≤ ELiτiτi<τj*+ Fiτj*τi*≥τj*Fθ. 后者可通过停止时间τiτi<τj实现*+ ∞1τi*≥τj*, 所以τi*这是对τj的最好回答*i ffiτj*= Miτj*关于{τi*= τj*} τ=τj*获得支持≤τ≤τj*EhLiτ<τj*+ Fiτj*τ≥τj*Fθi.通过迭代期望，这相当于李θ- EFiτj*Fθ≤ {θ<τj上的0*} 对于所有停止时间θ≥ θ. 在条件（i）和（ii）下建立后者≥ θ和letτiD（θ）∈ T获得（A.2）（这样的τiD（θ）通过待停止过程的连续性和可积性而存在），E从何而来RτiD（θ）θ（πLis）- π0is）dsFθ≤ 0.关于{θ<τj*} 然后我们有了Liθ- EhMiτj*Fθi=EZτjF（θ）θ（πLis）- π0is）ds+Zτj*τjF（θ）（πBis）- π0is）dsFθ（A.3）≤ EZτjF（θ）∨τiD（θ）θ（πLis）- π0is）ds+Zτj*τjF（θ）∨τiD（θ）（πBis）- π0is）dsFθ≤ EZτjF（θ）∨τiD（θ）τiD（θ）（πLis）- π0is）ds+Zτj*τjF（θ）∨τiD（θ）（πBis）- π0is）dsFθ= EhτiD（θ）<τjF（θ）LiτiD（θ）- Miτj*+ 1τiD（θ）≥τjF（θ）MiτiD（θ）- Miτj*Fθi.第一个等式使用约定rab·ds=-a<b的Rba·ds。第一个不等式是πLi·≥ πBi·第二个是由于τiD（θ）的最优性。最后一个等式与第一个等式类似，使用迭代期望和τiD（θ）<τjF（θ）=> τjF（τiD（θ））=τjF（θ）。替换Miτj后*作者：Fiτj*在（A.3）的第一项和最后一项中，条件（i）和（ii）使最后一项变为非正（取τiD（θ）处的迭代期望），因此也变为Liθ- EFiτj*Fθ≤ 0.为了证明下一个说法，请注意，对于任何停止时间τ∈ [θ，τjF（θ）]我们有τjF（τ）=τjF（θ），因此有Liθ- E李τFθ= ERτθ（πLis）- π0is）dsFθ≥ 0当θ达到时（A.2）。对于最终索赔，考虑任何停止时间τ*≥ θ使得Fτ*= Mτ*; 然后也是Fτ*=Mτ*引理3.1。进一步假设（i），（ii）保持i=1，所以τ*= τ*这是对表1的最佳回复。