最优实时报价策略

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英文标题：
《Optimal Real-Time Bidding Strategies》
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作者：
Joaquin Fernandez-Tapia, Olivier Gu\\\'eant, Jean-Michel Lasry
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The ad-trading desks of media-buying agencies are increasingly relying on complex algorithms for purchasing advertising inventory. In particular, Real-Time Bidding (RTB) algorithms respond to many auctions -- usually Vickrey auctions -- throughout the day for buying ad-inventory with the aim of maximizing one or several key performance indicators (KPI). The optimization problems faced by companies building bidding strategies are new and interesting for the community of applied mathematicians. In this article, we introduce a stochastic optimal control model that addresses the question of the optimal bidding strategy in various realistic contexts: the maximization of the inventory bought with a given amount of cash in the framework of audience strategies, the maximization of the number of conversions/acquisitions with a given amount of cash, etc. In our model, the sequence of auctions is modeled by a Poisson process and the \\textit{price to beat} for each auction is modeled by a random variable following almost any probability distribution. We show that the optimal bids are characterized by a Hamilton-Jacobi-Bellman equation, and that almost-closed form solutions can be found by using a fluid limit. Numerical examples are also carried out.
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中文摘要：
媒体购买机构的广告交易台越来越依赖复杂的算法来购买广告库存。特别是，实时竞价（RTB）算法在一天中响应许多拍卖——通常是Vickrey拍卖——以购买广告库存，目的是最大化一个或多个关键性能指标（KPI）。对于应用数学家群体来说，制定投标策略的公司所面临的优化问题是新的、有趣的。在本文中，我们引入了一个随机最优控制模型，该模型解决了各种现实情况下的最优竞价策略问题：在受众策略的框架下，以给定数量的现金购买的库存最大化，以给定数量的现金购买/转换的数量最大化，等等。在我们的模型中，拍卖序列由泊松过程建模，每次拍卖的{price to beat}由遵循几乎任何概率分布的随机变量建模。我们证明了最优投标由Hamilton-Jacobi-Bellman方程描述，并且通过使用流体极限可以找到几乎封闭形式的解。并给出了数值算例。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Optimal_Real-Time_Bidding_Strategies.pdf (2.35 MB)

2022-5-9 13:29:11 上传

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关键词：maximization Optimization Increasingly distribution Quantitative

最优实时报价策略*Joaquin Fernandez Tapia+，Olivier Guéant，Jean-Michel Lasry§摘要媒体购买机构的广告交易台越来越依赖复杂的算法来购买广告库存。特别是，实时竞价（RTB）算法在购买广告库存的整个过程中响应许多拍卖——通常是Vickrey拍卖——以最大化一个或多个关键性能指标（KPI）为目标。对于应用数学家来说，建立投标策略的公司所面临的优化问题是新的和有趣的。在本文中，我们介绍了一个随机最优控制模型，该模型解决了各种现实情况下的最优投标策略问题：在AudienceStregies框架下，给定现金量的库存最大化，给定现金量的转换/收购数量最大化，等等，拍卖序列由泊松过程建模，每次拍卖的拍价由服从几乎任何概率分布的随机变量建模。我们证明了最优投标是由一个Hamilton-Jacobi-Bellman方程描述的，并且通过使用流体极限可以得到几乎闭式的解。还提供了数值例子。关键词：实时竞价，Vickrey拍卖，随机最优控制，协凸分析，流体极限近似。1简介从一家公司发起广告活动的角度来看，数字广告的目标是通过利用不同的渠道来增加其投资回报，从而实现与潜在客户的互动：桌面显示、移动、社交媒体、电子邮件等。

通常，这是通过品牌推广活动，通过寻找个人来实现的*作者要感谢多米尼克·德尔波特（Havas Media）、朱利安·劳格尔（MFG Labs）、皮埃尔·路易斯·利昂斯（法国学院）和阿尔诺家长（Havas Media）就这一主题进行的讨论。两名匿名裁判也应受到惩罚。+皮埃尔和玛丽·居里大学，概率和模型实验室（LPMA）。巴黎75005号朱西欧4号。Joaquin感谢2015年“经济与管理”主席的支持Ensae Crest，法国马拉科夫塞德斯92245号皮埃尔·拉鲁斯大道3号。哈瓦斯媒体科学顾问委员会成员。本文内容不反映官方观点或哈佛媒体的做法。通讯作者：奥利维尔。gueant@ensae.fr.§路易学士研究所。哈瓦斯传媒科学顾问委员会成员。本文内容并不反映哈瓦斯媒体的官方观点或做法。他们可能与给定的产品/活动有密切关系，或者通过驱使那些已经表现出某种兴趣的人进行最终转换（例如购买）。近年来，广告业经历了许多剧变：大量技术变革、大量新数据、大量广告科技初创公司进入市场等。特别是，新机制的出现，彻底改变了数字广告库存的购买方式。在实践中，投资通常是通过编程方式购买的，而且可以通过算法一个单元一个单元地购买，希望实现广告和媒体购买行业的最初承诺：在正确的时间，在正确的环境下，针对正确的人。在过去五年中，程序性媒体购买激增。

尽管这些数据只能粗略估计，但据估计，2014年欧洲用于程序化桌面显示的净广告收入总额约为29亿欧元。对于程控移动显示和视频显示，图形分别为e 552m和e 205m——参见[15]。总体而言，2013年至2014年间，欧洲与programmaticmedia购买相关的净广告收入总增长率约为70%。IAB Europe在[15]中估计，所有格式的节目媒体购买收入占总收入的比例为两位数：台式显示器占39%，移动显示器占27%，视频显示器占12%。在美国，这一数字甚至更令人震惊，2014年，在台式机/笔记本电脑显示屏上的编程支出为58.9亿美元，在移动设备/平板电脑显示屏上的支出为44.4亿美元（来源：eMarketer.com）。节目媒体购买中最主要、最激动人心的发展之一是实时竞价（RTB）。RTB是购买数字库存的一种新模式：广告商可以通过实时拍卖购买在线库存，以显示横幅（或短视频）。这些实时拍卖使广告商能够以每次访问为目标锁定单个用户。简而言之，每次用户访问一个网站时，出版商（供应方）都会连接到一个虚拟市场，称为广告交换，以触发对每个可分配给广告的可用时段的拍卖。在需求端，广告交易平台接收拍卖请求（有时通过需求端平台——DSP），结合用户信息、网站类型等，选择最适合其策略的出价级别。

一旦不同的出价被处理，该时段将归属于提出最高出价的投标人，支付的价格取决于拍卖的类型。从用户进入网站到显示横幅的整个过程大约需要100毫秒。RTB拍卖通常是Vickrey类型，也称为“二价拍卖”。简而言之，其机制如下：首先，参与者以密封的方式发送投标书，主要通过媒体机构等中介机构，但有时在设置交易台时也会自行发送投标书。然后，将物品（此处为槽）出售给提出最高出价的参与者，该参与者支付的价格对应于次优出价（如果只有一名参与者，则为最低价格）。从结构上看，Vickrey拍卖会鼓励参与者披露他们对该物品的真实估价——见[23]。广告交易台面临的问题是，每次收到参与Vickrey拍卖的请求时，都要选择最佳出价水平。在这里，根据考虑的关键绩效指标（KPI），最优可能有不同的含义。在所有情况下，问题的复杂性都源于需要在每小时、每天或每周的时间尺度上优化依赖于宏观量的函数，通过在每次拍卖的微观尺度上与系统交互，即通过高频/低延迟的出价算法参与每秒数千次拍卖。这种多尺度特性导致需要既真实又易于处理的数学模型，因为在多尺度问题的情况下，数值方法往往很麻烦且耗时。

在这篇文章中，我们依赖于随机最优控制的方法，我们证明了最优投标策略可以用凸优化的经典工具非常精确地近似（并且几乎是封闭的）。除了关于Vickrey拍卖的经典文献（例如[7,17,23]）——与拍卖理论有关，更广泛地说与博弈论有关——之外，关于这类新问题的学术文献真的很少。从买方的角度来看，实时投标优化的一般方法主要可以在计算机科学界的会议记录中找到（例如[21,26]）。我们的方法与Amin等人[1]的工作类似：两者都是马尔可夫决策过程（MDP）方法，处理类似的拍卖问题。然而，除了他们模型的独创性，阿明等人没有将他们的数学发展扩展到基线离散情况之外。另一位作者在会议论文[25]中介绍了MDP方法，但他从出版商的角度关注了这个问题。总的来说，供给侧视角比需求侧视角产生了更多的学术研究（参见袁的博士论文[24]和Balseiro等人[3,4]的文章）。Stavrogiani博士论文[22]从abuyer的角度对RTB拍卖进行了最新研究。我们的随机最优控制方法受到算法阅读[2,13,14]中学术文献的启发，其中，与我们的问题类似，目标是根据算法的终端状态（例如，在一天结束时），通过在高频（即毫秒）的基础上不断做出决策，优化宏观函数。

此外，与涉及限价指令的高频交易模型一样，算法s应该对一个或多个受控泊松过程驱动的系统作出反应。在本文中——关于实时竞价的系列文章的第一篇，见[11]和[12]——我们用标记泊松过程对广告交易台收到的拍卖请求序列进行建模：泊松过程对请求的到达时间进行建模，尽管我们的拍卖请求是连续时间的，但标记对应。到独立随机变量（pn）n∈N*模拟要拍的价格，即拍卖中其他参与者提出的最高出价。每次收到拍卖时，算法都会向拍卖服务器发送出价b。对于第n次拍卖，当且仅当算法发送的出价大于吃pn的价格（在这种情况下，为插槽支付的价格为pn）时，通过算法购买库存。考虑这个统计模型而不是更复杂的博弈论模型的理由来自：（i）大多数细分观众的大量拍卖请求（每秒数百次），（ii）我们假设算法仅限于库存的一个同质子集（即，我们假设不同受众和背景的细分已经提前进行，或者换句话说，我们考虑的问题是战术“执行”层面的——另见[9,10]）。在第2节中，我们介绍了我们的建模框架的主要符号，并讨论了一个随机最优控制问题，其中广告交易者的目标是在给定的消费（受众策略）下最大化显示的横幅总数。我们用一个Hamilton-Jacobi-Bellman方程描述了最优投标策略的特征，并证明了最优投标策略可以通过流体极限近似得到almos t-闭形式。

此外，这种近似导致投标策略以最优调度的形式出现新的特征，在实践中可以通过f反馈控制机制进行跟踪。主要结果确实是，预算应在考虑的时间窗口内平均支出。在第3节中，我们提出了模型的几个扩展。特别是，我们通过考虑几种库存来源和类型来推广初始模型，并考虑另一个目标函数来考虑一个非常重要的KPI：转换次数。在这些扩展中，正如在只有一个库存来源的初始模型中一样，我们发现总预算应该在考虑的时间窗口内平均使用——关于考虑在线学习时的不同结论，请参见[12]。然而，我们发现，不同来源的最优投标策略并不一致，而是与指数成正比，在多个来源和转换的一般情况下，指数是（i）每个来源/存货类型的先验利益，（ii）每个转换来源的先验利益，以及（iii）与每个来源相关的转换概率的简单函数。在第3节中，我们还讨论了第一价格拍卖和第二价格拍卖之间的差异、楼面价格的影响，以及更一般的非线性客观标准。特别是，通过假设其他参与者的最佳价格是一个外生变量，我们忽略了所有博弈理论影响，或者，等效地，市场参与者之间的所有战略互动。尽管我们在本论文中没有考虑这些方面，但考虑几个目标不同的因素——或平均场博弈设置中的连续代理人——并在我们模型的核心寻找重复拍卖博弈中的纳什均衡，将是非常有趣的。

这对于小部分特定观众的拍卖尤其重要。2受众策略模型在本节中，我们提出了一个模型，其中广告交易者希望在一个时间窗口[0，T]内支付给定数量的资金，以便向阿吉文人群显示最大数量的横幅。他从一个广告交易所随机收到拍卖请求，并且事先不知道他将收到多少拍卖请求。我们提出的模型自然是在连续时间内编写的，auctionrequests的（随机）出现是通过泊松过程的跳跃来建模的。附录中为更习惯离散时间马尔可夫决策过程的读者提供了一个简单的离散时间建模框架。2.1连续时间内的建模框架定义了一个概率空间(Ohm , F、 P）配备过滤（Ft）t∈R+满足通常的条件。我们假设所有随机过程都定义在(Ohm, F、 （Ft）t∈R+，P）。拍卖：我们考虑一个与广告交易有关的广告交易商。他收到参加拍卖的请求，以便购买库存，并向他想要瞄准的特定人群展示一些横幅。请求用标记的泊松过程建模：请求的到达由强度λ>0的泊松过程（Nt）两次跳跃触发，标记（pn）n∈N*在每次拍卖中，与其他参与者出价中的最高出价相对应。每次他收到参加拍卖的请求时，广告交易人都可以出价：在时间t，如果他收到请求，那么我们用bt表示他的出价。我们认为广告交易人已经准备好出价（即等于0或0的出价）+∞) 任何时候。

特别是，我们认为（bt）是一个可预测的过程，其值为R+∪ {+∞}.如果在第n次拍卖发生时，本次拍卖的结果如下：o如果bt>pn，则广告交易商赢得拍卖：他支付价格pn并展示横幅。o如果英国电信≤ 请注意，那么广告交易商不会赢得拍卖。特别是，交易者的屏幕没有显示，他不支付任何费用。广告交易者可能与多个广告交易有关，但在第一个模型中，我们假设他对来自不同广告交易的拍卖请求没有任何区别。在本文中，我们只考虑常数强度λ的情况。时间变化的拍卖强度可以通过时间的变化来处理，类似于[10]，其主要思想是从物理时间切换到交易时间。由于我们假设变量（pn）的分布是绝对连续的，因此不单独考虑等式情况——见下文。我们模型的一个重要假设是（pn）n∈N*i.i.d.随机变量是按照绝对连续分布分布的。我们用F表示关联的累积分布函数，用F表示关联的概率密度函数。我们的假设如下：N∈ N*, 这几乎肯定是积极的。特别地，F（0）=0.op>0，f（p）>0.o无力的→+∞pf（p）=0。剩余现金流程：我们用（St）t表示将要花费的现金量建模的流程。其动态为：dSt=-pNt{bt>pNt}dNt，S=\'S.（2.1）库存过程：印象的数量，i。e、 显示的横幅数量由库存过程（It）t建模。其动态为：dIt=1{bt>pNt}dNt，I=0。随机最优控制问题：在本节的模型中，交易者的目标是最大化[0，T]上显示的预期横幅数量。