Black-Scholes篮子期权的高阶紧格式

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英文标题：
《High-order compact schemes for Black-Scholes basket options》
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作者：
Bertram D\\\"uring and Christof Heuer
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We present a new high-order compact scheme for the multi-dimensional Black-Scholes model with application to European Put options on a basket of two underlying assets. The scheme is second-order accurate in time and fourth-order accurate in space. Numerical examples confirm that a standard second-order finite difference scheme is significantly outperformed.
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中文摘要：
我们提出了多维Black-Scholes模型的一种新的高阶紧格式，并将其应用于两种标的资产篮子上的欧式看跌期权。该格式在时间上具有二阶精度，在空间上具有四阶精度。数值算例证实，标准的二阶有限差分格式的性能明显优于传统的二阶有限差分格式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> High-order_compact_schemes_for_Black-Scholes_basket_options.pdf (126.59 KB)

2022-5-8 06:29:53 上传

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关键词：SCHOLES choles Black Holes lack

Black-Scholes篮子期权的高阶紧格式Bertram D¨uring*Christof Heuer+2018年10月13日摘要我们为多维Black Scholesmod el提出了一个新的高阶紧致方案，并将其应用于两种标的资产篮子上的欧式看跌期权。该模式在时间上是二阶精度，在空间上是四阶精度。数值例子证明，标准的二阶有限差分格式的性能明显优于标准的二阶有限差分格式。1简介期权定价的多维Black-S-choles模型（例如[8]）考虑了∈ N≥2基础资产Si∈ [0, ∞[对于i=1，…，n，其中每个资产遵循几何布朗运动，dSi（t）=uiSi（t）dt+σiSi（t）dW（i）（t），（1）其中ui∈ R是漂移和σi≥ 0是资产Si的波动率，分别为i=1，n和dW（i）（t）表示时间t处的维纳过程∈ [0，T]对于某些T>0的情况。资产之间的相关性由dW（i）（t）dW（j）（t）=ρijdt给出。It^o引理和标准无套利论点导致了以下（时间上向后）抛物偏微分方程，其中期权价格V=V（S，S，…，Sn，t）（参见，例如[8]）的混合二阶导数项，五、t+nXi=1σiSi五、Si+nXi，j=1i<jρijσiσjSiSj五、硅Sj+nXi=1rSi五、硅- rV=0，Si>0，t∈ [0，T]和r≥ 0表示无风险利率。当检查欧洲看跌期权时，最终条件由v（S，…，Sn，T）=max给出K-nXi=1ωiSi，0,其中，资产权重满足FYNPI=1ωi=1，另外ωi>0表示i=1，n如果我们有卖空限制。

合适的边界条件将在后面讨论。转换sxi=γσiln锡克, τ=T- t和u=erτVK，（2）*英国布莱顿佩文西二期苏塞克斯大学数学系，BN1 9QH，电子邮件：b。during@sussex.ac.uk+Lehrstuhl f¨ur Angewandte Mathematik and Numerische Analysis，德国贝吉斯大学法学院，地址：德国乌珀塔尔高卢街20号，邮编：42119，电子邮件：cheuer@uni-乌珀塔尔。其中γ>0是一个常数标度参数，产生（时间上向前）抛物线偏微分方程uτ-γnXi=1Uxi- γnXi，j=1i<jρijUxixj+γnXi=1σi-rσiUxi=0，（3）其中x∈ Rnandτ∈ Ohmτ=]0，T]。在相同的变换下，欧洲投球篮的初始条件为u（x，…，xn，0）=max1.-nXi=1ωieσixiγ，0. （4） 当寻找数值方法来近似问题（3）、（4）的解时，根据合适的边界条件，可以使用有限差分格式，至少是高达三个维度的空间。然而，标准离散化仅在空间离散化参数方面产生二阶收敛。另一方面，可以使用高阶紧致格式，其仅使用紧致计算模板上的点，同时在空间中具有四阶一致性，例如参见[1,2,4,6,7]和本文的参考文献t。Adrawback指出，高阶紧致格式的推导（及其数值稳定性分析）在代数上要求很高，因此该领域的大多数工作仅限于一维情况。（3）以混合二阶导数项的形式出现了另一个复杂情况。在即将发表的论文[3]中，我们推导了一类相当普遍的线性抛物型偏微分方程的新的高阶紧致格式，该方程在任意空间维数n中具有混合的二阶导数项和时间和空间相关系数∈ N

本文主要研究多维Black-Scholes模型（3）、（4）。本文提出了一种新的高阶紧致格式，它在时间上具有二阶精度，在空间上具有四阶精度。为了确保在存在低正则性初始条件（4）时的高阶收敛性，我们采用了Kreiss等人[5]的平滑算子。在一篮子两种标的资产上对欧洲看跌期权进行定价的数字示例证明，标准的二阶有限差分方案的表现明显优于标准的二阶有限差分方案。2离散二维Black-Scholes方程对于（3）n=2的离散化，我们用矩形代替空间域Ohm = [x（1）分钟，x（1）分钟]×[x（2）分钟，x（2）分钟]-∞ < x（i）min<x（i）min<∞ 对于i=1，2。在…上Ohm, 我们定义了网格（2）h=（x（1）i，x（2）i）∈ Ohm | x（k）ik=x（k）min+ikh，1≤ ik≤ Nk，k=1，2, （5） 其中h>0，Nk∈ 对于k=1,2，N和x（k）max=x（k）min+Nkh。通过oG（2）hwe表示G（2）h的内部。我们给出了formi+1Xj=i的半离散格式的系数-1i+1Xj=i-1h^Mj，jτUj，j（τ）+^Kj，jUj，j（τ）i=~g（x，τ），每个点x的时间τ∈oG（2）h对于二维Black-Scholes方程，使用n=2in（3）。我们用Uj，j（τ）表示空间中半离散后的u（x（1）i，x（2）i，τ）的近似x（1）i，x（2）i∈ G（2）h.高阶紧致格式推导的基本思路是将微分方程（3）作为附加关系进行运算，以获得截断误差中高阶导数的有限差分近似。将这些表达式包含在方程式（3）的中心差分法中，可将精度提高到四阶，同时保留紧凑的模板。该方案的详细推导和全面的vonNeumann稳定性分析将在即将发表的论文[3]中介绍。

在二维情况下，我们得到以下系数s^Ki，i=-2γρ3h+5γ3h+σ-rσ+σ-rσ,^Ki±1，i=γρ3h±γσ-rσ3hγσ-rσρ3h-σ-rσ-γ3h，^Ki，i±1=γρ3h±γσ-rσ3hγσ-rσρ3h-σ-rσ-γ3h，^Ki±1，i-1= ±σ-rσσ-rσ-γσ-rσ12h±γσ-rσ12小时-γσ-rσρ6h±γσ-rσρ6h-γ12h±γρ4h-γρ6h，^Ki±1，i+1=γσ-rσ12小时σ-rσσ-rσ±γσ-rσ12h+γρσ-rσ6h±γσ-rσρ6h-γ12hγρ4h-γρ6h，以及asMi+1，i±1=Mi-1.我1=±ρ，Mi，i=，Mi±1，i=Hσ-rσ12γ，Mi，i±1=Hσ-rσ12γ.此外，对于x，g（x，τ）=0∈oG（2）手τ∈ Ohmτ. 在给出空间内部的高阶紧致离散化之后，我们现在讨论边界条件。3边界条件的离散化对于某些i，我们讨论的第一个边界是Si=0∈ 时间t时{1，2}∈ [0，T[.一旦资产的价值为零，它将随时间保持不变，参见（1）。如果只有一项资产达到其最小价值，则使用Si=0表示i∈ n=2的多维Black-Scholes方程中的{1，2}与j={1，2}\\i的资产的一维Black-Scholes方程相同。我们可以使用（2）变换一维Black-Scholes偏微分方程的解，或者为这些边界导出类似于空间内部的四阶紧致格式。如果两个资产值都是最小的，我们有u（x（1）min，x（2）min，τ）=u（x（1）min，x（2）min，0）表示τ∈]0，τmax]用（2）变换后。上边界是Si=Smaxi>0且i∈ 时间t时{1,2}∈ [0，T[.对于足够大的Smaxi，我们可以近似V（S，S，t）硅Si=Smaxi≡0，（6）与Sk∈Smink，Smaxk对于k={1，2}\\{i}。如果只有一项标的资产达到其最大值，则在二维Black-Scholes微分方程中使用（6）可得出标的资产的一维Black-Scholes微分方程，其中j={1,2}\\{i}。

我们可以使用（2）变换该方程的解，或者使用（2）变换一维Black-Scholes微分方程，并导出这些边界的四阶紧致格式。当两种标的资产都达到其最大价值时，我们有u（xmax，xmax，τ）=u（xmax，xmax，0）表示τ∈]0，τmax]在使用变换（2）后。由于边界b具有相似性，对于τ，wehaveu（xmin，xmax，τ）=u（xmin，xmax，0），u（xmax，xmin，τ）=u（xmax，xmin，0）∈]时间离散我们使用τ=k形式的时间网格τ对于k=0，Nτ与Nτ∈ N.使用带步长的Crank-N icolson型时间离散τ导致toi+1Xj=i-1i+1Xj=i-1.^Mj，j+τ^Kj，jUk+1j，j=i+1Xj=i-1i+1Xj=i-1.^Mj，j-τ^Kj，jUkj，j+(τ）g（x）在每个点x（1）i，x（2）i∈ G（2）h，其中仅使用紧凑模板的点。ByUki，iwe表示u（x（1）i，x（2）i，τk）的近似值。对于Crank-Nicolson型时间离散，该紧致格式在时间上具有二阶一致性，在空间上具有四阶一致性。因此，使用τ ∈ OH, 在空间步长h>0.5的数值实验中，我们给出了空间维数n=2的Black-Sch-basketoption的数值实验。根据[5]，如果初始条件仅在C中，我们不能期望四阶收敛(Ohm). 在[5]中，在傅里叶空间中确定了合适的平滑算子。由于我们的高阶紧致格式的一致性阶数为4，我们使用了平滑算子Φ（见[5]），由其傅里叶变换Φ（ω）=sin给出ωω!1+罪ω.这导致了平滑的初始条件，由≈u（x，x）=h3hZ给出-3HZ-3hΦxhΦ嗯u（x）- x、 x- y） dxdy，对于任何步长h>0，其中Φ（x）表示Φ（ω）的傅里叶逆。如果UI在（x，x）周围的集成区域中平滑∈ Ohm, 我们有u（x，x）=u（x，x）。

因此，对于给定的初始条件，可以识别需要平滑的点。这种方法大大减少了必要的计算。请注意→ 0，平滑初始条件uC收敛到（4）中的原始初始条件ugiven。因此，光滑ed问题的逼近趋于（3）的真解。为了检验数值收敛速度，我们使用了相对l-误差kUref-Ukl/kUrefkl，以及∞-库雷夫错误- Ukl∞, 其中，Urefdenotes是网格上的参考溶液，U是近似值。我们确定了模式的数值收敛顺序，即误差对数图中各个误差点的线性最小二乘曲线的斜率与每个空间方向上离散点的数量。我们将高阶紧致格式与标准二阶格式进行比较，标准二阶格式是直接应用（3）中n=2的标准中心差算子d得到的。我们使用以下参数，σ=0.25，σ=0.35，γ=0.25，r=log（1.05），ω=0.35=1- ω.K=10。

我们设置抛物线网格比率τ/h=0.4，但要强调的是，既不是[3]中提出的冯·诺依曼稳定性分析，也不是额外的数值实验110210310-710-610-510-410-310-210-1每个尺寸的网格点数量绝对l∞ 错误HOC，ρ=-0.8，3.62阶HOC，ρ=0，3.73阶HOC，ρ=0.8，3.732阶，ρ=-0.8阶1.512阶ρ=0阶1.772阶ρ=0.8阶1.6610110210310阶-810-610-410-2100每个尺寸的网格点数量相对l2误差HOC，ρ=-0.8，阶数=3.94 HOC，ρ=0，阶数=3.9 HOC，ρ=0.8，阶数=3.87二阶，ρ=-0.8，阶数=1.85二阶，ρ=0，阶数=1.87二阶，ρ=0.8，阶数=1.77图1：绝对l∞-具有光滑初始条件的二维Black-Scholes方程的误差和相对l-误差。揭示对这种关系的任何限制，表明该计划是无条件稳定的。我们使用不同的值ρ=-相关系数为0.8，ρ=0，ρ=0.8。在图1中，weshow绘制了l∞-误差和相对l误差。对于三个不同的相关值，高阶压缩方案的性能非常相似，点几乎相同。高阶紧致格式的数值收敛阶在l∞-误差，相对l误差在3.87到3.94之间。高阶紧致格式在所有情况下都显著优于标准的二阶离散化。确认第二作者在FP7-PEOPLE2012-ITN项目中获得了欧盟的部分支持，授予协议编号为304617（FP7 Marie Curie Action，Project Multi-ITN STRIKE——计算金融中的新方法）。参考文献[1]D¨uring，B.，Fourni\'e，M.：H随机波动率模型中期权定价的高阶紧有限差分方案。J.计算机。阿普尔。数学

236（17），4462–4473（2012）[2]D¨uring，B.，Fourni\'e，M.，Heuer，C.：非均匀网格上随机波动率模型中期权定价的高阶紧有限差分方案。J.计算机。一个ppl。数学271（18），247–266（2014）[3]D¨uring，B.，Heuer，C.：多维空间中混合导数抛物问题的高阶紧致格式。Preprint（2014）[4]Karaa，S.，Zhang，J.：用四阶紧致微分方程求解变系数对流扩散方程的迭代方法的收敛性和性能。计算机。数学阿普尔。44（3-4），457–479（2002）[5]Kreiss，H.，Thomee，V.，Widlund，O.：抛物型微分方程的初始数据平滑和收敛速度。公社。纯苹果。数学23241–259（1970）[6]Spotz，W.，Carey，G.：高阶紧致格式对时间相关问题的扩展。数字。方法部分差异。方程式17（6），657–672（2001）[7]Tangman，D.，Gopaul，A.，Bhuruth，M.：使用高阶紧致有限差分方案的期权数值定价。J.康普。阿普尔。数学218（2），270–280（2008）[8]威尔莫特，P.：衍生品。金融工程的理论和实践。约翰·威利父子有限公司，英国奇切斯特（1998年）