多货币信用违约掉期对货币效应和外汇贬值的影响

[2010]以及其中的参考资料，以了解quanto CDS市场概况，并全面阐述这些合同的管理规则。我们注意到o主权CDS的标准合同以美元计价。这特别意味着，对于欧元区国家，如意大利、希腊或德国，在包含贬值方法时使用的模型是第2.5.5条中详述的模型参考实体违约时，普通拍卖会设定违约损失（LGD）。如此定义的LGD适用于所有CDS，不考虑其计价货币。1.4. 主要贡献在本文中，我们在简化形式的框架内推导了不同模型下量子CD的定价方程。在这样做的过程中，我们展示了两种主要的机制来模拟信贷和汇率组成部分之间的依赖关系。我们将参考实体上的CDS更具流动性的货币称为“流动货币”，这也将定义用于定价的风险中性度量。我们将假设存在与流动货币不同的货币，并将第二种货币称为“合同货币”。特别是，我们讨论了在合同货币和流动性货币之间的即期汇率上引入贬值跳跃的数学含义，包括定价方程和主要风险因素。更多细节：1。

在命题1中，我们表明，如果我们假设汇率定义了流动货币中一单位合同货币的价值，则动态ZTzt=uZZtdt+σZtdWt+γZZt-dDt，Z=Z，（3）其中Dt=τ<是默认过程，则两种电流中的危险率由^λt=（1+γZ）λt联系起来；（4） 式中，^λ是与合同货币相关联的度量中的风险率，λ是与流动货币相关联的货币中的风险率。这一结果的一个重要推论是，在CDS par–利差可以通过关系S=（1）近似的情况下- R） λ，par–利差也有类似的结果：^S=（1+γZ）S。（5）我们在第3节中展示了这种近似如何适用于2011年至2013年期间意大利共和国的spar–利差；2.在第2.5.4节中，我们表明，如果我们假设汇率为inEq（3）中给出的动态，那么i）在无套利考虑下，（Zt，t）的漂移≥ 0）由uZ=r给出- ^r- γZλt（1）- Dt）；式中，r是与流动货币相关的定价措施中的无风险利率，^r是合同措施中的无风险利率。或者，考虑到对称性，我们可以使用相同类型的跳跃-扩散过程DXT=uXXtdt对外汇汇率的倒数X=/Z进行建模- σXtdWt+γXXt-dDt，X=z，在第二种情况下，我们将得到由uX=^r给出的漂移- R- γX^λt（1）- Dt），其中γX=-γZ1+γZ；ii）在命题2中，我们证明了（Xt，t）隐含的无套利动态≥ 0）与（Zt，t）的无套利动态类型相同≥ 0). 这是一个通常可能不成立的结果，例如，当随机波动率也包含在内时，或者使用价格不均匀的局部波动率模型，如CEV；3.

在命题3中，我们给出了一个对短期CDS有效的估计贬值率参数γ的近似公式，并在第3节给出了相应的数值结果。我们详细研究了2011年至2013年期间意大利CDS的货币基差情况，为该时间范围内的每一天提供了一个模型的校准结果，该模型包括对汇率的跳转至违约影响。我们展示了校准后的参数，以及校准后的模型参数如何产生与等式（5）中的近似公式一致的估计值。模型描述我们的信用风险建模框架属于简化形式的方法，因此，不仅描述生存概率的演变，还描述违约事件。在第2.1节中，我们介绍了有关不同货币在quanto CD定价中所起作用的一些定义。在第2.2节中，我们将介绍与两个金融市场合作的一般框架。在第2.3节中，我们将介绍一些有用的公式和定义，以为多货币信用违约掉期定价。在第2.4节中，我们将把随机风险率建模为指数奥恩斯坦-乌伦贝克过程，把外汇率建模为几何布朗运动（GBM），我们将考虑两种驱动差异的相关性。在第2.5节中，我们提出了将因子贬值方法嵌入到离岸汇率动态中的建议。这提供了一种扩展第2.4节所示模型的方法。我们首先考虑一个概率空间(Ohm, F、 Q，（Ft，t）≥ 满足通常的假设。特别是（Ft，t≥ 0）是一种过滤，在这种过滤下，风险因素的动态被调整，参考实体的默认时间是停止时间。

根据具体示例，我们还将考虑具有不同等效度量的空间，例如与流动货币市场相关的风险中性度量或与合同货币市场相关的风险中性度量。我们将使用Cox过程模型作为违约成分，我们将把违约事件的随机强度简单地称为风险率或强度，并交替使用这两个术语。与信贷风险建模的所谓“简化形式”框架（见Lando[2004]、Brigo和Mercurio[2006]）中遵循的通常方法不同，我们不引入只有驱动市场风险的随机过程才可测量的二次过滤。2.1. 货币的作用在本节中，我们对建模方法中使用的货币的作用进行了一些定义。对于任何quanto CDS定价，我们将考虑以下两种相关货币：o合同货币——这种货币是合同的属性：它是支付溢价和保护条款的货币。在考虑quanto CDS的应用时，对于给定的参考实体，CDS至少有两种不同的合同货币流动货币——这是给定实体中流动性最强的CDS的合约货币。它用于定义用于定价和校准模型的风险中性度量。我们在此列举两个例子来说明合同货币和流动货币的使用。1.美元定价——以欧元结算的意大利共和国CDS的计量单位；总过滤量（Ft，t≥ 0），包括市场和违约风险，是我们将考虑的唯一过滤（在Brigo and Mercurio[2006]中称为（Gt））。

我们注意到，考虑第二次过滤的实际原因是，这允许将利率衍生产品定价的理论结果应用于信用风险衍生产品定价。然而，由于我们在下面所做的具体模型选择，这不会带来任何真正的优势，如第2.4.2和2节所示。5.5，通过使用单一过滤，我们可以使用PDE方法计算quanto调整。测试用例1测试用例2合同货币EUR USD流动货币USD表1：第2.1.2节详述的测试用例定价中涉及的货币。以美元计价——以美元结算的意大利共和国CDS。我们在表1中为每个测试用例指定了两种货币的值。我们选择了测试用例，因此对于所有的测试用例来说，美元都是流动货币，但对于以多种货币提供的所有CD来说，这并不一定是正确的。值得注意的是，测试用例2可以使用常用的单一货币方法定价。测试案例1和2将在第3.5节中使用，以说明第2.5.5节中规定的模型解释市场中观察到的货币基础的能力。2.2. 两个市场衡量在本节中，我们总结了在存在FX效应的情况下，有关衡量变化的已知结果。这样做主要是为了建立符号，并为以下原始开发设置场景。让我们分别考虑与流动货币和合同货币相关的两个经济体。让我们也将相应的货币市场账户视为这两个经济体的基准。

我们将使用一个帽^来表示控制货币经济中的变量，例如，两个数字是（Bt，t）≥ 0）对于流动货币经济和（^Bt，t）≥ 0）对于合同货币经济。货币市场账户的动态由dbt=rtBtdt，B=1，（6）d^Bt=^rt^Btdt，^B=1，（7）式中（rt，t≥ 0）和（^rt，t≥ 0）是描述两个经济体短期利率的随机过程。让我们也考虑一下汇率（Xt，t≥ 0）在两个经济体的货币之间。XT定义为t时即期交易所中以外币单位表示的一单位流动货币的价格。我们有兴趣找到Radon–Nikodym导数的表达式，该表达式将概率度量从^Q更改为Q。这可以通过使用数字转换技术和以合同货币计价的通用支付来计算，由函数^φT表示。为此，如上所述，我们考虑合同货币市场账户（^Bt，T）≥ 0），作为计量单位^Q的计分法，而对于计量单位Q，我们仍然使用流动货币货币市场账户，但其价值以合同货币（（XB）t，t表示≥ 0). 合同货币支付的价格可以用两种方法表示：Et“Bt”Bt^Bt^φT#=Et“BtXtBTXT^φT”。（8） 另一方面，左侧的^Et[·]期望可以写成^Et“^Bt^Bt^φT#Et”^BtBTXT^btbtbtxtbtxt^φT#（9），上面的两个表达式可以用来获得氡-尼科德姆导数，该导数定义了从^Q到Q的度量变化：LT:=dQd^Q | FT=btxtbtbtxt^Bt Bt Bt≥ 0）我们从以ft为条件的预期值开始。

然而，在整个工作过程中，我们主要关注的是在Fso条件下的预期值，即对于以下章节中的所有应用，我们将使用上面的公式t=0和t=t，即lt=Bt^BtXtX，L=1。（11） 假设1。在下文中，我们将考虑流动货币和合同货币经济的确定性利率。这意味着货币市场账户将由DBT=r（t）Btdt，B=1，（12）d^Bt=r（t）^Btdt，^B=1，（13）代替（6）和（7）来描述。为了简化符号，在大多数情况下，我们将在下面的等式中去掉r（t）和^r（t）的t-依赖关系。等式（11）中定义的过程必须是外测中的鞅。该条件可与假设1一起用于确定（Xt，t）的漂移≥ 0).根据伊藤的公式，（Lt，t）的动力学≥ 0）可以写为dlt=dBt^BtXtX=Bt^BtX（dXt+rXtdt）- ^rXtdt），L=1。（14） 例如，如果我们假设外汇汇率Dxt=uXXtdt+σXtd^Wt，X=X，（15）的对数正态动力学，然后询问（Lt，t≥ 0）在等式14中是一个鞅，它带来了熟悉的条件uX=^r- r、 （16）备注1。更一般地说，在a（Xt，t）的情况下，同样的结果成立≥ 0）类型dxt=uXXtdt+νd^It，X=X，（17）其中（^It，t）≥ 0）是一般的^Q-鞅。一个类似的论点将导致，从合同货币度量开始，到流动货币度量，为过程设置一个漂移条件（Zt，t）≥ 0）定义为Zt=Xt。我们可以用（Xt，t）的相同方法来定义它≥ 0），作为年龄计量布朗运动，其漂移通过套利考虑确定dzt=uZZtdt+σZZtdWt，Z=Z。在这种情况下，Radon–Nikodym度量将由byLl给出→ct=Zt^BtZBt，Ll→c=1。（18） 要求（Ll）→ct，t≥ 0）必须是流动货币度量下的鞅，将漂移项设置为uZ=r- ^r。

（19） 备注2（对称性）。或者，我们可以推导出（Zt，t）的动力学≥ 0）从（Xt，t）开始≥ 通过将伊藤公式应用于Zt=f（Xt）给出的过程，其中f（x）=/x，可以推导出（Zt，t）的动力学≥ 0）在^Q中。一旦知道其动力学性质，就可以使用Girsanov定理计算Q下驱动鞅的形式。在为汇率选择对数正态动力学的情况下，后一种方法和从Radon-Nikodym导数Eq（18）开始的方法得出了相同的结果。下文第2.5.4节给出了FXrate动态也受到跳转至违约影响时的详细计算。在某些情况下，例如随机波动率外汇汇率模型，从外汇汇率的不同规格开始，可能会产生差异，因为无法保证在两种不同规格下获得的无套利动态之间的一致性。在这些模型中，如果从X开始作为原始建模量，然后根据Xt定律暗示Z在某个时间t的分布，那么将得到的分布可能与从Zas开始的基于与X相同动力学特性的原始建模量的分布不同。在量子CDS定价的应用中，如果在公式（8）中使用了汇率，并且根据具体情况，我们可能有兴趣在流动货币度量或合同货币度量下对其进行定价或校准，则使用一种或另一种规格存在一定程度的随意性。两种规格之间的一致性是避免结果取决于上述选择的理想特性。2.3.

Quanto CDS修正的建模框架在本节中，我们推导了模型——合同货币不同于用于确定定价指标的流动货币的或有权益定价的独立公式。在接下来的章节中，我们将展示这些公式在主要风险因素的不同动力学假设下的应用。让我们从计算可违约零息债券的价值开始；然后，它将被用作计算CDS值的构建块。为此，我们选择一个payoff函数^φT=τ>Tin等式（9），并写出^Vt（T）=^Et“^Bt^Btτ>T#=Et^Bt^Btτ>Td^QdQ. （20） 使用（10）中的Radon–Nikodym导数，可以通过在流动货币经济中取期望值来计算控制货币经济中的未定权益价格：^Vt（T）=btznet“ZTBTτ>T#。在假设1下，上述可重写为^Vt（T）=B（T，T）znet[ZTτ>T]，（21）其中B（T，T）=Bt Bt Bt Bt是从时间T到时间T的贴现系数≤ T将外币生存概率定义为^pt（T）：=^Vt（T）^B（T，T）可能有用。（22）主要是出于计算方面的原因，因为这种定义很容易让为单一货币计算而定义的CDS定价者重新用于quanto CDS定价。现在让我们考虑一下以合同货币U结算的可违约零息债券的流动货币价格。该价格由以下公式得出：Ut（T）=^Vt（T）Zt=B（T，T）Et[Ztτ>T]。（23）作为可交易资产的Q-价格，过程的漂移（Ut，t≥ 0）必须由r（t）Utdt给定。因此，我们可以写一个费曼-卡克方程来计算Ut（T）。一旦被测物（T）已知，可将^pt（T）计算为^pt（T）=Ut（T）Zt^B（T，T）。(24)2.4. 一个不同的相关模型：指数OU/GBMIn本节我们提供一个特定的模型来计算U。

我们将使用在liquidmeasure中定义和校准的ahazard汇率流程和外汇汇率流程。让我们用（λt，t）表示≥ 0）由λt=eYtwhere（Yt，t）给出的随机过程≥ 0）isan Ornstein–Uhlenbeck过程定义为YT=a（b）的溶液- Yt）dt+σYdW（1）t，Y=Y，（25）其中参数（a，b，σY，Y）∈ R+×R+×R+×R+×R+。让我们也考虑一个GBM过程，即外汇汇率DZT=uZZtdt+σZZtdW（2）tZ=z，（26），其中uz由无套利考虑因素设置，在本例中由等式（19）给出，其中（σz，z）∈ R×R+。在这个模型中，外汇和信贷之间的依赖关系可以通过两个驱动布朗运动ρ之间的内在相关性（二次协变量）来确定∈ [-1,1]，d hW（1），W（2）it=ρdt。从第2.2节的结果来看，与Z方向相反的外汇汇率，即X=/Z遵循DXT=uXXtdt+σXXtd^W（2）t，X=X，（27），其中uX由等式（16）和σX=-σZ.Let最终（Dt，t≥ 0）为默认过程Dt=τ<t。备注3。由于注释2中描述的外汇汇率的几何布朗运动的对称关系成立，因此我们选择tomodel（Zt，t）并不重要≥ 0），或（Xt，t）≥ 0），因为这两种动态是一致的。备注4。选择（指数OU和GBM）动态主要是因为风险率过程需要保持非负。然而，可能存在局部波动的不同塔扎德速率动态，可以使用下面给出的相同框架轻松解释，因为它们仅由维纳过程和无跳跃过程驱动。