商品市场的局部波动模型及在线校准

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英文标题：
《Local Volatility Models in Commodity Markets and Online Calibration》
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作者：
Vinicius Albani, Uri M. Ascher and Jorge P. Zubelli
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We introduce a local volatility model for the valuation of options on commodity futures by using European vanilla option prices. The corresponding calibration problem is addressed within an online framework, allowing the use of multiple price surfaces. Since uncertainty in the observation of the underlying future prices translates to uncertainty in data locations, we propose a model-based adjustment of such prices that improves reconstructions and smile adherence. In order to tackle the ill-posedness of the calibration problem we incorporate a priori information through a judiciously designed Tikhonov-type regularization. Extensive empirical tests with market as well as synthetic data are used to demonstrate the effectiveness of the methodology and algorithms.
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中文摘要：
我们引入了一个局部波动模型，利用欧式期权价格对商品期货期权进行估值。相应的校准问题在在线框架内解决，允许使用多个价格面。由于潜在未来价格观察的不确定性转化为数据位置的不确定性，我们建议对此类价格进行基于模型的调整，以改进重建和保持一致性。为了解决校准问题的不适定性，我们通过精心设计的Tikhonov型正则化，加入了先验信息。利用市场和合成数据进行了广泛的实证检验，以证明该方法和算法的有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Local_Volatility_Models_in_Commodity_Markets_and_Online_Calibration.pdf (645.57 KB)

2022-5-10 18:42:28 上传

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关键词：波动模型 商品市场 Construction Applications Quantitative

商品市场的局部波动模型和在线校准Vinicius Albani*, Uri M.Ascher+和Jorge P.Zubelli2016年2月16日摘要我们引入了一个本地波动性模型，通过使用欧洲香草期权价格对商品期货期权进行估值。相应的校准问题在在线框架内解决，允许使用多个价格面。由于潜在未来价格观察的不确定性转化为数据位置的不确定性，我们建议对此类价格进行基于模式l的调整，以改善重建和一致性。为了解决校准问题的不适定性，我们通过精心设计的Tikhonov型正则化将先验信息结合起来。利用市场和合成数据进行了广泛的实证测试，以证明该方法和alg算法的有效性。关键词：商品期货期权，局部波动率校准，在线方法，反问题，蒂霍诺夫型正则化。1简介商品期货及其衍生产品已成为许多公司投资组合中的关键参与者，尤其是在能源领域。因此，更复杂衍生品的定价会出现问题，因为普通期权通常不足以解决此类公司面临的所有风险。此外，为适应期货期限结构而开发的著名模型不一定符合市场隐含波动性（或市场“微笑”）。我们提出了一个局部波动性模型来为商品期货上的欧洲香草期权定价。具体地说，我们考虑了一类特殊的局部波动表面，并假设未来收益是由此类波动表面驱动的零漂移差。

经过一些简单的技术调整，即重新参数化、规范化和变量变化，我们得到了一个初始边值问题，该问题唯一地决定了不同期货的期权价格。这就产生了一个模型，该模型可以拟合市场“微笑”和期货期限结构。通过将（Albani和Zubelli，2014）中介绍的在线校准技术应用于稀缺数据的情况（Albani等人，2015a），可以解决相应的反问题。这使我们能够在校准中使用不同日期的期权价格，而无需进行任何数据插值，并考虑局部波动率集对指数的常规依赖性，即我们假设局部波动率以良好的方式演化。然后，使用Tikhonov型正则化方法解决该在线设置下的逆e问题，惩罚函数包括局部波动率导数相对于在线设置指数、到期时间和对数货币性的平方L范数。这类组件具有*维也纳大学计算科学中心，1090维也纳，奥地利，vvla@impa.br+加拿大不列颠哥伦比亚大学计算机科学系，ascher@cs.ubc.ca巴西里约热内卢IMPA，zubelli@impa.brdi必须仔细选择不同的重量。这种选择比通常的单参数差异原则（Albani和Zubelli，2014）要复杂得多。它是通过数值实验试探性地实现的。我们还考虑了观察更深层资产价格时的不确定性，这反过来又转化为对数货币的不确定性。

在我们的方法中，这些资产价格被包括在一组未知值中，它们的值与局部波动率表面的校准同时进行调整。请注意，一般来说，市场选择是美国的。在大宗商品市场，便利收益率意味着美国的呼叫服务比欧洲的要贵。这表明校准程序必须考虑美国的定价程序，并在（Achdou，2005年）、第9章（Achdou和Pironeau，2005年）和第8节（Crepey，2003b）中进行了研究。然而，由于美式期权定价问题的内在非线性，类似于（Dupire，1994）中提出的方法不可用。因此，每次履约和到期都必须解决美式期权定价问题，从而导致计算密集型的任务。因此，我们通过提取隐含波动率并使用布莱克公式（见（Black，1976））将美国石油价格转换为欧洲石油价格。我们进行了一些测试，以说明这种操作引入的噪声不会影响重建的局部波动率曲面。主要贡献在商品市场的背景下引入了局部波动模型，使得股票市场的现有技术也适用于当前的背景。在线校准技术适用于考虑稀缺数据以及不确定资产价格的不确定性。报告了利用市场数据和综合数据进行的若干数值试验的结果，说明并验证了本文提出的技术。更准确地说，我们在校准局部波动率时，使用隐含波动率和（Crepey，2003b）中提出的三项式树模型，测试了美国看涨期权价格转换为欧洲欧佩斯看涨期权价格的可靠性。

我们还用CARCE数据测试了在线校准方法的稳健性，并在未知集合中引入了资产价格。这篇文章的计划如下。在第二节中，我们介绍直接（或正向）问题。第三节研究离散环境下的反问题。本文还收集了OUR模型校准所需的一些理论结果。第4节详细介绍了我们的数值算法，包括离散化和优化方案、正则化函数的选择、美式期权通过欧式期权的处理，以及特定先验信息的介绍。第5节利用合成数据和真实数据进行了数值实验，解决了调整基础资产价格和评估在线方法的问题。此外，我们还利用经校准的局部波动面来评估奇异期权。结论见第6节。2定价问题我们首先定义动态，然后是期货价格。然后给出了相应的欧式看涨期权定价公式。经过一些技术调整后，我们发现，在一段固定时间内，不同成熟度的期货期权价格满足相同的偏微分方程。2.1期限结构模型我们考虑了风险中性过滤概率空间(Ohm, U，F，Q），其中F={Ft}t≥0a过滤。假设商品期货合约是正值Q-鞅，让Ft，t确定t时刻的商品期货价格≥ 0，在T到期≥ t、 其对应的现货价格t，Ft，t由St表示。期货价格和现货价格之间的关系由众所周知的表达式（Black，1976；Geman，2005）Ft，t=EQ[St | Ft]给出。

（1） 让我们假设，对于每个固定到期日T，对数未来价格yt的动态，T=log（Ft，T/F0，T），独立于T，即yt，T=yt，由dyt=-a（S；t，yt）dt+p2a（S；t，yt）dWQt（2）对于t>0，S=F0,0，以及一个有界的ed和正函数。该过程在风险中性度量Q.SinceFt，T=F0，Teyt，（3）根据It^o的公式，dFt，TFt，T=q2a（s；T，log（Ft，T/F0，T））dWQt，（4）对于0<T≤ T<∞, 用Ft，t=St， T≤ T和F0，T已知。在此框架下，期货的期限结构完全由初始价格曲线t7决定→ F0，Tand局部挥发性表面族，定义为：t7→q2a（S；t，log（Ft，t/F0，t））。2.2欧式看涨期权的定价let C（t，Ft，t，t′，K）表示时间t时欧式看涨期权的价格≥ 0，不按利率r贴现，在未来的Ft，T，到期日T′时≤ T′≤ T，并点击K>0。通过设置t=0来固定当前时间，当前未来价格为F0，t。以下（杜皮尔，1994；Gatheral，2006），我们必须将福克-普朗克方程应用于期权到期时未来价格的假想概率密度，并将看涨期权价格视为t′和K的函数。然后C（t′，K）满足以下初始值问题：CT′（T′，K）=asT′，原木KF0，TKCK（T′，K），0<T′≤ T、 K>0，C（T′=0，K）=max{0，F0，T- K} ，K>0，limK→0C（T′，K）=F0，T，0<T′≤ T、 林克→+∞C（T′，K）=0，0<T′≤ 在实践中，每种商品的未来只有一个普通期权到期日。例如，轻质甜味原油（WTI）、取暖油（HO）和汽油（RBOB）香草期权通常在相应的基础期货到期前三个工作日到期，而Shenry Hub天然气香草期权在到期前一个工作日到期。

有关更多示例和合同细节，请访问CME网站（www.cmegroup.com）。因此，与股票市场不同，不可能找到与固定未来相关的期权价格的表面。让我们对期权价格进行规范化和重新参数化，以消除对潜在未来的明确依赖。因此，不同期货的期权价格满足相同的偏微分方程问题。定义（T′，K）：=C（T′，K）/F0，T每T>0和K>0，T′=T′（T）。偏微分方程问题（5）中的系数不是无量纲的，其扩散系数是无界的。因此，我们对变量τ：=T′（到期时间）、y:=log（K/F0，T）（对数货币性）和def（τ，y）=eC（τ，F0，Texp（y））进行标准更改。然后v=v（τ，y）s表示微分问题五、τ（τ，y）=a（S；τ，y）五、y（τ，y）-五、y（τ，y）, 0 < τ ≤ T、 y∈ R、 v（τ=0，y）=max{0，1- exp（y）}，y∈ R、 酸橙→-∞v（τ，y）=1，τ>0，limy→+∞v（τ，y）=0，τ>0。（6） 初始边值问题（6）不再显式地依赖于F0，而是定义为任何τ>0。此外，它比（5）更易于统一离散化。然而，请注意，在F0，T中存在不确定性的情况下，新自变量y中也存在相应的不确定性；参见（Albani等人，2015a）。问题（6）定义在域D=R+×R上。反问题包括确定其扩散系数a，以解释在D中某些点在v上观察到的数据∈ R是标量常数，因此0<a≤ a<+∞. 我们还考虑了一个固定的、连续的、有界的函数a=a（τ，y），这样是啊，τa∈ L（D）和a≤a（τ，y）≤ 几乎每一个（τ，y）∈ D和每个S.定义setQ:={a∈ a+H1+ε（D）：a≤ A.≤ a} 式中ε>0。

微分问题（6）解的存在唯一性结果∈ Q可以在中找到（Crepey，2003a；De Cezaro等人，2012；爱格和英语，2005；Isakov，2006）。为了在校准中包含更多信息，我们将（Albani和Zubelli，2014）中介绍的在线模型用于数据稀缺的情况。因此，我们不考虑（6）在一个唯一的时刻的解，而是在按升序排序后，通过商品现货价格或最接近到期日的期货对其进行索引。假设localvolatility surf ace对此类指数有良好的依赖性，我们有所谓的在线设置，由mapF:Q定义 H（0，s；H1+ε（D））-→ L（0，s；L（D））A∈ Q→ V（A）- V（A）∈ L（0，s；L（D）），其中V（A）：s7→ v（a（s））表示问题（6）的解族，相应的微分系数a:s7→ a（s）和指数s∈ [0，s]。有关这种在线方法的更多技术细节，请参见（Albani和Zubelli，2014）。3离散校准问题3。1基本设置给定一组市场欧洲看涨期权价格，我们想确定相应的局部波动面，假设这些价格是由初始边值问题（6）产生的。因此，在在线环境中，我们考虑一组priceseV，例如EV-V（A）在正向算子R（F）的范围内，d搜索Q中的局部波动性曲面A+，满足ev=V（A+）。（8） 由于算子F是内射的，所以只有一类局部波动曲面满足（8）。然而，假设- V（A）∈ R（F）是不现实的，因为市场价格波动且易受噪音影响。此外，F的紧致性意味着无法直接解决局部挥发校准问题。

具体来说，我们假设用Vδ表示的标准化价格数据与V×kvδ有关- Pv（A+）k≤ δ、 其中δ称为噪声级，P是V（A+）在某个观测网格上的投影。由于数据是有限维的，而差异问题需要离散化以实现计算机解决方案，因此我们在离散设置下定义校准问题。定义1。让{Xm}m∈与{Yn}n∈分别满足xm的h（0，s；H1+ε（D））和L（0，s；L（D））的有限维子空间的Nbe序列 Xm+1 ...  H（0，s；H1+ε（D）），Yn Yn+1 ...  L（0，s；L（D）），∪M∈NXm=H（0，s；H1+ε（D）），和∪N∈NYn=L（0，s；L（D））。定义有限维域Qm:=Q∩ Xm，并假设Qm6= 为了每个人∈ N.让我们考虑算子F在子空间Yn:Fn:Q中的一些离散近似 H（0，s；H1+ε（D））-→ 伊恩。设pn为V（A）在观测网格上的投影，因此Fn（A）=PnV（A）-PnV（A）∈ 伊恩。最小化kPnV（A）的问题- 离散2-范数中的Vδk通常是欠定的，并且有很多解。为了获得局部唯一的解决方案，我们必须添加先验信息（或者，在贝叶斯框架中添加先验信息），并使用Tikhonov正则化设置来实现这一点。因此，我们在目标函数中加入了一个由正参数α标度的惩罚泛函ψa（a）。因此，考虑的校准问题是：问题1。在Qmof函数lf（a）=kPnV（a）中找到一个极小值- Vδk+αψA（A）。（9） 假设ψAin（9）是凸的、强制的和弱低s emi连续的。

表示为Aδ、αm、n的极小化子的存在性和稳定性分别遵循（Scherzer et al.，2008）中的定理3.22和3.23。如果数据不稀缺，则噪声为高斯噪声，协方差矩阵为标度密度，并且假设ψa（a）=0，当且仅当a=a，则（9）中的离散化水平m和正则化参数α的选择，对于fix ed n和δ，可以使用莫罗佐夫式差异原则。参见（Albani et al.，2015c，b），其中包含关于δ和n的收敛性和收敛速度的进一步研究结果。我们强调，在实践中，挑战通常是选择适当的噪声分布模型，以及通过Tikhonov型正则化项适当表示可用的先验信息。在第5节中可以找到这种罕见的在线设置的数值实验。2、5.3和5.4.3.2基础资产价格作为额外的未知因素基础未来价格形成一个随机向量，这意味着对其分录的观察是不确定的。因此，由于它们被用于规范化期权价格和定义对数货币网格，将它们包括在一组未知数中将改进校准。用F表示未来价格向量，因此Pn=Pn（F）。所以，问题1被Find（Aδ，αm，n；F）代替∈ argminnkPn（F）V（A）-Vδk+ψA（A；F）o，（10a），其中ψA（A；F）=αLXl=0ka（sl）- a（sl）k+αLXl=0ky，ma（sl）k+αLXl=0kτ、 ma（sl）k+αLXl=0kq（F（sl），sl）- q（^F（sl），sl）k+αkF-^F k+αsLXl=1ka（sl）- a（sl）-1） k.（10b）这里q（F（sl），sl）代表每个sl（指数s的离散版本）的边界和初始条件F，在定义对数货币网格时考虑F（sl），^F是观察到的未来价格向量。