非马尔可夫BSDE的密度分析及其在生物学和生物学中的应用

在这种情况下，用supp（ρF）表示的ρF的支撑是R和所有x的一个封闭区间∈ supp（ρF）：ρF（x）=E（|F）- E[F]|）2gF（x- E[F]）exp-Zx-E[F]udugF（u）！。3随机Lipschitz BSDE解的Malliavin可微性非马尔可夫Lipschitz BSDE解的Malliavin可微性已在[17]和[30]中首次研究过，最近在[19]中也对Lévy驱动BSDE进行了研究。在[19]中，作者使用了Sugita在[47]中引入的Malliavin导数asGèteaux导数的著名特征，并获得了与[17]中类似的布朗条件（参见[19，第4节，（Af）]，而[30]利用了Malliavin可微性的新特征（参见定理2.2）改进了[17]中获得的条件。这里，我们将[30]的结果推广到随机Lipschitz情形。我们考虑以下非马尔可夫BSDEYt=ξ+ZTtf（s，Ys，Zs）ds-ZTtZsdWs，T∈ [0，T]，P- a、 s.（3.1），其中ξ是FT可测的随机变量，f:[0，T]×Ohm ×R-→ R是一个渐进可测量的过程，通常忽略ω依赖性。3.1 BSDE的规律性（3.1）：一种受[16,48]启发的方法，我们考虑以下关于p>和β>0的假设（sLp，β）。（i） 存在两个非负F-适应过程r和θ，使得| F（t，y，z）- f（t，y，z）|≤ rt|y- y |+θt | z- z |，（t，y，y，z，z）∈ [0，T]×R.（ii）设at:=rt+|θT |对于任何T∈ [0，T]。我们假设在>0时，dt dP-a.e.，e[AaT]<+∞ 和f（t，0，0）在∈ H2p，β，a.（iii）ξ满足βAaT|ξ2pi<+∞.（iv）如果p∈ （，1），存在一个正常数L，使得AaT<L，P-a.s.注3.1。注意，案例a≡ 根据（ii）排除0。

然而，这个案例很容易研究，因为≡ 0意味着f相对于y和z是常数。然后，我们可以为这种BSDE的解提供一个显式表达式。本研究的主要困难在于，在假设（sLp，β）下，过程a是无界的，且a的随机积分不是BMO鞅。我们回顾了[48]中的以下结果，并扩展了[16]中的结果。定理3.1（定理4.1和[48]中的命题3.6）。设p>和β>max{2/（2p）- 1); 3} 假设这个假设（sLp，β）成立。然后BSDE（3.1）在（S2p，β）中允许一个唯一的解（Y，Z）∩ Ha2p，β）×H2p，β。此外，（i）如果p≥ 1，存在一个正常数Cp，β，仅依赖于p和β，例如kY k2pS2p，β，a+kY k2pHa2p，β，a+kZk2pH2p，β，a≤ Cp，βEhepβAaT |ξ| 2pi+f（t，0，0）at2pH2p，β，a！，（3.2）（ii）如果p∈ （，1），存在一个正常数Cp，β，L，仅取决于p，β，L，因此估计值（3.2）与Cp，β，L保持一致。我们现在讨论假设（sLp，β）下BSDE（3.1）解的Malliavin可微性。这样的结果需要我们现在列出的其他假设。假设（DsLp，β）。存在p>和β>0，因此对于任何h∈ H、 （i）ξ∈ D1,2，limε→0E“epβAaTξ o τεh- ξε- Hξ、 嗨2p#=0，且βAaT | hξ、 hiH|i<+∞.（ii）ω7-→ f（t，ω，y，z）∈ D1,2对于任何（t，y，z）∈ [0，T]×R×R，limε→0f（t，ω）o τεh，Yt，Zt）- f（t，ω，Yt，Zt）ε- Hf（t，Yt，Zt），你好H2p，β，a=0和Hf（t，Yt，Zt），你好H2，β，a<+∞.（iii）设（εn）n∈（0，1）中的一个序列，使得limn→+∞εn=0，设（Yn，Zn）n为一个随机变量序列，对于任意（p，β），该序列收敛于S2p，β，a×H2p，β，a∈(, 1) × (0, +∞), 对某些人来说（Y，Z）。

然后存在η>0，这样对于所有h∈ H、 下面的收敛概率为kfy（·，ω+εnh，Yn·，Z·）- fy（·ω，Y·，Z·）kL2+η（[0，T]）-→N→+∞0，ess supt∈[0，T]fz（·ω+εnh，Yn·，Zn·）- fz（·，ω，Y·，Z·）at-→N→+∞0（3.3）orkfy（·ω+εnh，Yn·，Zn·）- fy（·ω，Y·，Z·）kL2+η（[0，T]）-→N→+∞0，ess supt∈[0，T]fz（·，ω+εnh，Y·，Zn·）- fz（·，ω，Y·，Z·）at-→N→+∞0.（3.4）（iv）对于任何q≥ 1,嗯RTrsds齐+∞.备注3.2。关于假设（DsLp，β）的性质（ii），请注意，对于固定（y，z），过程（s，ω）7-→ Df（s，ω，y，z）定义在一个P-可忽略集之外，该集通常依赖于（y，z）。因此，目前尚不清楚这一过程在（Ys（ω），Zs（ω））点是否得到了很好的定义。然而，在适当的连续性条件下，映射（y，z）7-→ Df（s，·，y，z），这些可忽略的集合实际上可以聚合成一个宇宙，在这个宇宙之外，Df（s，Ys，Zs）确实定义得很好。尽管如此，让我们指出一种替代方法，对于f的马利维衍生物，不需要额外的条件。主要问题是，随机变量的Malliavin导数通常仅定义为P-a.s（非线性随机变量除外），作为随机变量序列的概率极限（每ω定义一次，因为它们是柱形函数）。然而，存在一个极限的概念，称为中间极限（简称lim med），它的特殊性质是，在非常一般的集合论公理（见下文）下，我们得到以下结果（见例[32]）：设（Zn）为随机变量序列，则Z（ω）：=lim medn→+∞Zn（ω）是普遍可测的，如果Zn收敛到某个随机变量ZPin概率，那么Z=ZP，P-a.s。在我们的例子中，设F在D1,2中，存在一个圆柱元素序列fn，它在D1,2中收敛到F。

因此，DFn在L（H）中收敛到由DF表示的Malliavin导数ofF，定义了P-a.s。让GDF为DFn的中间极限，定义了每个ω。根据上述结果，DF=gDF，P- a、 这种方法，据我们所知，以前没有在Malliavin演算的背景下考虑过（但关于随机积分的使用，请参见[37]），允许对D1,2中任何随机变量的Malliavin导数给出完整的路径定义。尽管如此，我们仍然强调，中间极限的存在取决于集合论框架，例如Zermelo Fraenkel集合论，加上选择公理（简称ZFC），以及连续统假设或马丁公理（与连续统假设的否定相容）。参见[42，备注4.1]中的脚注，了解更多解释和确保中间极限存在的已知最弱条件。在进一步讨论之前，我们将这些假设与[30]中的假设进行比较。考虑到定理3.1，假设（DsLp，β）（i）和（ii）似乎相当合理，以证明Yt和Zt的Malliavin导数定义为下面S2，β，a×H2，β，ato中的解。现在我们转向假设（DsLp，β）（iii），它比[30]中的等价物（H）更自然、更强。事实上，如果我们将（3.3）与[30]中的等价物（H）进行比较，我们首先注意到我们假设存在η>0，这样kfy（·ω+εnh，Yn·，Z·）- fy（·ω，Y·，Z·）kL2+η（[0，T]）-→N→+∞0，它提供了严格大于2的顺序条件，这与[30]中处理Lnorm的假设（H）不同。这个假设对于我们的研究是必要的，事实上直接来自定理3.1中的先验估计（见[48，命题3.6]）和H2p，β，a的定义。我们现在转向（3.3）中的第二个假设。

这一假设非常有力，并且与事实Z有内在联系∈ H2p，β，a。事实上，为了在下面定理3.2的证明中获得（3.10），我们不能在没有这个假设的情况下得出结论，因为一个H"older不等式将在积分中提供一个Z2+η项，并且鉴于空间H2p，β，a的定义，我们不能证明收敛性。关于（iv），该假设与下面第3.2节中得到的假设非常相似，并且只要r的随机积分是瞬时BMO鞅就满足了。劳伦特·丹尼斯（Laurent Denis）在评论作者的博士论文时指出了这一差距，他在[30]中提出了与（DsLp，β）相对应的假设（D）。下一篇论文还必须考虑备注3.2。因此，我们有以下定理。定理3.2。让p进来∈, 1., β>最大值{2/（2p）- 1); 3} 假设假设（sL1，β）和（DsLp，β）成立。那么，无论如何∈ [0，T]，Yt∈ D1、2和Z∈L（[t，t]；D1，2）。此外，（DuYt，DuZt）0的一个版本≤U≤t、 0≤T≤T、 作为有效BSDE的解给出：DuYt=Duξ+ZTt（Duf（s，Ys，Zs）+fy（s，Ys，Zs）DuYs+fz（s，Ys，Zs）ds-ZTtDuZsdWs。（3.5）证据。我们只考虑（3.3）在假设（DsLp，β）（iii）下成立的情况，因为其他情况可以类似地处理。我们的目标是将定理2.2应用于F=yt和F=RTtZsdWs。这个证明类似于[30]中定理5.1的证明，我们在这里回顾了主要思想。设ε>0，h∈ H和p∈, 1..

我们有o τεh=ξo τεh+ZTsf（r，Yr，Zr）o τεhdr-ZTsZro τεhdWr，s∈ [t，t]，P- a、 因此，简单度yεs的设置：=ε（Yso τεh- Ys），Zεs:=ε（Zso τεh- Zs），ξε：=ε（ξ）o τεh- ξ） ，s∈ [t，t]，我们得到（Yε，Zε）解BSDE:Yεs=ξε+ZTs~Aεr+~Ay，εrYεr+~Az，εrZεr博士-ZTsZεrdWr，（3.6）带Ay，εr:=Zfy（r，·+εh，Yr+θ（Yro τεh- Yr），Zr）dθ，~Az，εr:=Zfz（r，·+εh，Yro τεh，Zr+θ（Zro τεh- Zr）dθ，~Aεr:=ε（f（r，·+εh，Yr，Zr）- f（r，·，Yr，Zr））。现在，让我们考虑一下[t，t]上的以下随机函数BSDE，它允许一个唯一的解（~Yh，~Zh）∈ （S2，β，a）∩Ha2，β，a）×H2，β，aa根据定理3.1假设（DsLp，β）~Yhs=hDξ，˙hiL（[0，T]）-ZTsZhrdWr+ZTshDf（r，Yr，Zr），˙hiL（[0，T]）+~Yhrfy（r，Yr，Zr）+~Zhrfz（r，Yr，Zr）因此，利用定理3.1和不等式（2.1），我们得到了kyε-~Yhk2pS2p+kZε-~Zhk2pH2p≤ kYε-~Yhk2pS2p，β，a+kZε-~Zhk2pH2p，β，a≤ C1，βΞp，a，βε+XεT+Xy，εT+Xz，εT式中Ξp，a，βε：=EhepβAaT |ξε- Hξ、 hiH | 2pi，XεT：=~Aεt- Hf（t，Yt，Zt），你好2pH2p，β，a，Xy，εT：=~Yht~Ay，εt- 财政年度（t，Yt，Zt）2pH2p，β，a，Xz，εT：=~Zht~Az，εt- fz（t，Yt，Zt）在首先注意，在假设（DsLp，β）（i）和（ii）下，我们有limε→0Ξp，a，βε+XεT= 0.（3.8）我们现在转向Xy，εT。我们有Xy，εT=E“ZTeβAat |Yht|εt- 财政年度（t，Yt，Zt）dt！p#。根据假设（DsLp，β）（iii），存在η>0，从而εt- 财政年度（t，Yt，Zt）2+ηL2+η（[0，T]）=ZTεt- 财政年度（t，Yt，Zt）2+ηdtproba-→ε→因此，使用q>1的H"older不等式，使2q=2+η，并用q的共轭表示，并使用∈ S2，β，a，对于一些常数C>0ZTeβAat |Yht|εt- 财政年度（t，Yt，Zt）dt≤ CZTeqβAat | | Yht | 2qdt！1/qεt- 财政年度（t，Yt，Zt）L2+η（[0，T]）≤ CkYhkS2，βεt- 财政年度（t，Yt，Zt）L2+η（[0，T]）-→ε→00，概率。现在，让η>0足够小，使得2（p+η）∈ (1, 2).

然后，注意到存在一个正常数cεt-财政年度（t，Yt，Zt）≤ crt，自| fy（t，y，z）|≤ rtforany（t，y，z）∈ [0，T]×Rand从（iv）开始，存在一个正常数C，即supε∈（0,1）E中兴βAat | | Yht|εt- 财政年度（t，Yt，Zt）dt！p+η≤ 行政长官“监督”∈[0，T]e（p+η）βAat|Yht|2（p+η）#+∞,因为2（p+η）<2和~Yh∈ S2，β，a。因此，使用德拉瓦莱-普桑准则，我们得出随机变量族（中兴通讯βAat | | Yht|εt- 财政年度（t，Yt，Zt）dt！p） ，ε∈ （0，1），是一致可积的。因此，通过支配收敛定理，我们推导出了thatXy，εT-→ε→00.（3.9）我们现在转向Xz，εT。通过类似的过程，我们得到了Xz，εT=E“ZTeβAat | | | Zht|Az，εt- fz（t，Yt，Zt）在dt！p#。根据假设（DsLp，β）（iii）并使用以下事实：∈ H2，β，awe知道对于任何t∈ [0，T]ZTeβAat | | | Zht|Az，εt- fz（t，Yt，Zt）在dtproba-→ε→00.（3.10）让η>0足够小，使得2（p+η）∈ (1, 2). 然后，我们可以类似地证明存在一个正常数C，比如supε∈（0,1）E中兴通讯βAat |Zht|Az，εt- fz（t，Yt，Zt）在dt！p+η≤ 总工程师中兴通讯βAat | | Zht | dt！p+η< +∞,因为2（p+η）<2和~Zh∈ H2，β，a。因此，利用德拉瓦莱-普桑准则（3.10）和支配收敛定理，我们推导出thatXz，εT-→ε→00.（3.11）最后，从（3.8）、（3.9）和（3.11）中，我们得到p∈, 1.kYε-~Yhk2pS2p+kZε-~Zhk2pH2p-→ε→然后，剩下的证明类似于[30]中定理5.1的证明，通过应用定理2.2，我们推导出Yt∈ D1,2使用[39，引理2.3]，可以证明Zbelongs到L（[t，t]；D1,2）。

此外，我们可以证明（DuYt，DuZt）0的一个版本≤U≤t、 0≤T≤T、 作为有效BSDE的解给出：DuYt=Duξ+ZTt（Duf（s，Ys，Zs）+fy（s，Ys，Zs）DuYs+fz（s，Ys，Zs）ds-ZTtDuZsdWs，根据假设（DsLp，β）和定理3.1，或[16]，承认BSDE（3.1）的S2，β，a×H2，β，a.3.2正则性的唯一解：一种受[2,8]启发的方法，在本节中，我们将使用[8]中发展的理论研究随机Lipschitz情况下BSDE（3.1）的Malliavin可微性。[2]中也提出了一个类似的理论，使用了B理论，但针对特定的随机Lipschitz BSDE（见[2，第4节]中的BSDE（16））。我们回忆起假设A1。A2。从[8]开始。（BC）假设存在一个真实的可预测过程K，其下限为1和常数α∈ （0，1）使得（i）对于每个t∈ [0，T]，（y，z）7-→ f（t，y，z）是连续的，（ii）对于任何（t，y，y，z，z）∈ [0，T]×R×（L（[0，T]），（y）- y） （f（t，y，z）- f（t，y，z））≤ K2αt | y- y |和| f（t，y，z）- f（t，y，z）|≤ Ktkz- zkL（[0，T]）。（iii）存在常数C>0，因此对于任何停止时间τ≤ T:E“ZTτ| Ks | dsFτ#≤ C.我们用N表示满足该陈述的最小常数C。请注意，如果之前的假设（BC）（iii）满足，则任何∈ L（[0，T]），其中1=kukL（[0，T]），Mt:=RtKsusdWsT∈[0，T]是BMO鞅，kM kBMO=N。现在让Φ（p）：=1+扑通一声2p- 12（p- 1)- 1，q？使得Φ（q？=N.然后我们定义了p？q的共轭？，定义byq+p？=1.我们现在回顾假设A3。和A4。共[8]。（BC）存在p？>p？>1.这样|ξ| p+ZT | f（s，0，0）| ds！P< +∞.（BC）存在一个非负的可预测过程ZT | Fs | ds！P< +∞,和（t，y，z）∈ [0，T]×R×R，| f（T，y，z）|≤ Ft+K2αt | y |+Kt | z |，P- a、 然后，我们对BSDE（3.1）的解有以下先验估计。定理3.3（见[8]中的推论3.4和定理3.5]）。

假设（BC）、（BC）和（BC）假设成立。然后，BSDE（3.1）允许一个唯一的解决方案（Y，Z）∈任何p<p？的Sp×Hp？。此外，对于每个p∈ （p？，p？），kY kSp+kZkHp≤ 总工程师|ξ| p+ZT | f（s，0，0）| ds！PP×1+EZTK2αs+Ksds！PP, （3.12）其中P？=p（p？+p）/（p？- p） C是一个正常数。我们现在设定以下假设（sD∞) 对于任何p>1，ξ属于D1，pandω7-→ f（t，ω，y，z）属于L（[0，t]；D1，p）。（sH1，∞) 对于任何p>1和任何h∈ Hlimε→0E“ZTf（s，·+εh，Ys，Zs）- f（s，·，Ys，Zs）ε- hDf（s、·、Ys、Zs），˙hihds！p#=0。（sH2，∞) 设（εk）k∈（0，1）中的一个序列，使得limk→+∞εk=0，设（Yk，Zk）kbe为一个随机变量序列，对于任何p<p*对某些人来说（Y，Z）。那么不管怎样∈ H、 下面的收敛概率为kfy（·，ω+εkh，Yk·，Z·）- fy（·，ω，Y·，Z·）kL（[0，T]）-→K→+∞kfz（·，ω+εkh，Yk·，Zk·）- fz（·，ω，Y·，Z·）kL（[0，T]）-→K→+∞0，（3.13）orkfy（·ω+εkh，Yk·，Zk·）- fy（·，ω，Y·，Z·）kL（[0，T]）-→K→+∞kfz（·，ω+εkh，Y·，Zk·）- fz（·，ω，Y·，Z·）kL（[0，T]）-→K→+∞0.（3.14）备注3.3。注意这个假设（sH1，∞) 这意味着（BC2）和（BC3）对于任何p都是真的*> 1.因此，定理3.3在（BC1）和（sH1）下成立，∞) 不等式（3.12）适用于任何p>1且具有相应p的情况*可以选择大于P的选项*定义人（BC1）。我们现在可以陈述本节的主要结果。定理3.4。假设（BC）-（BC），（D1，∞), （sH1，∞) 和（sH2，∞) 持有然后，对于任何p>1和t∈ [0，T]，Yt∈ D1和Z∈ L（[t，t]；D1，p）。此外，（DuYt，DuZt）0的一个版本≤U≤t、 0≤T≤T、 作为有效BSDE的解给出：DuYt=Duξ+ZTt（Duf（s，Ys，Zs）+fy（s，Ys，Zs）DuYs+fz（s，Ys，Zs）ds-ZTtDuZsdWs。（3.15）证据。这个证明类似于定理3.2。我们只考虑假设（sH1）中（3.13）成立的情况，∞) 因为另一个可以被类似地对待。

首先请注意，假设（sD）∞), （BC）-（BC）并根据定理3.3和备注3.3，对于任何p>1，kY kSp+kZkHp<+∞ . 我们的目标是将定理2.2（见[30]）应用于F=yt和F=RTtZsdWs。这个证明非常接近于[30]中定理5.1的证明，我们在这里回顾了主要思想。设ε>0和h∈ 我们有oτεh=ξoτεh+ZTsf（r，Yr，Zr）oτεhdr-ZTsZroτεhdWr，s∈ [t，t]，P-a、 s.（3.16）因此，简单度yεs的设置：=ε（Yso τεh- Ys），Zεs:=ε（Zso τεh- Zs），ξε：=ε（ξ）o τεh- ξ） ，s∈ [t，t]，我们得到了（Yε，Zε）解BSDE:Yεs=ξε+ZTs（~Aεr+~Ay，εYεr+~Az，εrZεr）dr-ZTsZεrdWr，（3.17）带Ay，εr:=Zfy（r，·+εh，Yr+θ（Yro τεh- Yr），Zr）dθ，~Az，εr:=Zfz（r，·+εh，Yro τεh，Zr+θ（Zro τεh- Zr）dθ，~Aεr:=ε（f（r，·+εh，Yr，Zr）- f（r，·，Yr，Zr））。因此，在假设（BC）-（BC），（sD1，∞), 根据定理3.3，（Yε，Zε）是任意p>1的BSDE（3.16）在Sp×hp中的唯一解。现在考虑一下[t，t]上的以下随机函数BSDE，它允许一个唯一解（~Yh，~Zh）∈ 根据定理3.3，在假设（BC）-（BC），（sD1，∞),~Yhs=hDξ，˙hiL（[0，T]）-ZTsZhrdWr+ZTshDf（r，Yr，Zr），˙hiL（[0，T]）+~Yhrfy（r，Yr，Zr）+~Zhrfz（r，Yr，Zr）博士