非马尔可夫BSDE的密度分析及其在生物学和生物学中的应用

（5.3）假设（DY）-)德维特≤ 0，P- a、 s.（5.4）我们有以下定理，该定理提供了关于数据ξ和f的条件，以确保Zt定律关于Lebesgue测度具有密度，这可以看作是[1，定理4.3]对随机Lipschitz定理5.1的扩展。让（Θ）保持不变，让（Y，Z）成为BSDE（5.1）的唯一解。设ξ在D2,2中，并且假设f对于toy是两次连续可微的。我们为任何0设置以下假设≤ t、 t≤ T:（f+）Dt-fy（T，Yt），（Dt-f）y（T，Yt）≥ 0，（f）-) Dt-fy（t，Yt），（Dt-f）y（t，Yt）≤ 0.假设存在A，使得P（A）>0，使得以下假设之一满足（DZ+）Dt（Dtξ）≥ 0，P- a、 e.，a上的Dt（Dtξ）>0，Dt（Dtf）（t，Yt）≥ 0（5.5）和假设（DY+）和（f+）保持不变，或假设（DY-) 和（f）-) 等等-)Dt（Dtξ）≤ 0，P- a、 在a上，Dt（Dtξ）<0，Dt（Dtf）（t，Yt）≤ 0（5.6）和假设（DY）-) 和（f+）保持，或假设（DY+）和（f-) 持有那么，zt定律对于任何t的Lebesgue测度是绝对连续的∈ （0，T）.证明.设（Y，Z）是BSDE（5.2）在D1,2×L（[0，T]；D1,2）中的唯一解，其中Malliavin导数是BSDE（5.2）的解。假设（DZ+）与假设（DY+）和（f+）一起为真。我们利用克拉克-奥肯公式表示的Z过程，遵循[1，定理4.3]的证明。现在使用一个线性化，并根据ClarkOcone公式，我们得到了zt=EQt“DtξeRTtfy（s，Ys）ds+zttdtdttf（s，Ys）eRstfy（u，Yu）duds#，其中dqdp=expRTθsdWs-RT |θs | ds. 让0≤ 五、≤ t、 我们有dvzt=EQt“Dv（Dtξ）eRTt＠fy（s，Ys）ds+DtξeRTt＠fy（s，Ys）dsZTtDv＠fy（s，Ys）ds+ZTteRst＠fy（u，Yu）duDv，tf（s，Ys）+Dtf（s，Ys）ZstDvfy（u，Yu）duds#。（5.7）因此，利用Dv、tf、不等式（5.3）、假设（f+）和假设（5.5）的定义（2.4），我们推断出≤ v<t≤ T，DvZt>0。

因此，ZT定律对任何t都有密度∈ （0，T]作为定理2.3的结果。假设（DZ+）（DY）下的证明-) 和（f）-) 通过使用（5.7）、不等式（5.4）、假设（ii）和假设（5.5）也类似。关于假设（DZ）-) 我们遵循完全相同的证明，对于任何0≤ 五、≤T≤ T，我们显示DvZt<0，P- a、 s。。备注5.2。定理5.1扩展了[1]中的结果。在本文中，θ被假定为发电机z部分后面的一个确定性映射，不同于[1]中研究的模型，其中z后面的系数是常数。此外，在我们的模型中，f是关于其y变量的随机Lipschitz，而在[1]中它被假定为Lipschitz。最后，我们讨论了BSDE的终端条件和生成器的非马尔可夫情况，而[1]考虑了只有终端条件是非马尔可夫的情况。5.2关于一般随机Lipschitz情形的一些评论研究了马尔可夫情形下二次增长BSDEsin[29]中Z分量密度的存在性。事实上，我们可以将这一证明适用于马尔可夫随机Lipschitz情形，并且可以证明，确保Zt分量定律具有密度的条件与针对马尔可夫二次增长BSDE获得的条件类似（参见[29，第4.3节]）。尽管在后一篇文章中，作者获得了确保Zt允许密度的条件，但我们不能在这里重复证明，因为它基本上是基于马尔可夫过程中的马张表示（见[28，引理2.4]）。

更准确地说，我们考虑以下正反向SDEXt=X+Ztb（s，Xs）ds+Ztσ（s，Xs）dWs，t∈ [0，T]，P- a、 s.Yt=g（XT）+ZTtf（s，Xs，Ys，Zs）ds-ZTtZsdWs，t∈ [0，T]，P- a、 然后，在某些条件下，在这种前后向系统的数据上，用（X，Y，Z）表示（5.8）的解，存在（DuXt，DuYt，DuZt）的一个版本，所有0<u≤ T≤ T其中满足：DuXt=Xt(（徐）-1σ（u，Xu），DuYt=Yt(（徐）-1σ（u，Xu），DuZt=Zt(（徐）-1σ（u，Xu），其中(十、YZ） 是以下FBSDE的解决方案：Xt=Ztbx（s，Xs）Xsds+Ztσx（s，Xs）XsdWs，Yt=g（XT）XT+ZTt（fx（s、Xs、Ys、Zs）Xs+fy（s、Xs、Ys、Zs）Ys+fz（s，Xs，Ys，Zs）Zs）ds-ZTtZsdWs。（5.9）据我们所知，对于依赖路径的SDE，同样的分解仍然是开放的。然而，在依赖路径的框架中，似乎很难获得类似的公式。例如，设YT=ξ=RTBsds。因此，YT∈ D1,2和DrYT=T-r、 为了分离马尔可夫BSDE的Malliavin积分变量r和时间变量T，如[28，引理2.4]中所述，我们可以类似地使用弗雷切特导数计算ξ空间中的梯度，表示为Fξ。设x在C（[0，T]；R）中，即[0，T]的R值连续函数的空间，并设置为任意0≤ t、 s≤ TBt，xs:=x（s）1s≤t+（xt+Bs）- Bt）1s≥t、 其中x（s）表示x到时间s的路径。然后，FBs=1，适用于任何s∈ [0，T]。韦图斯获得Fξ=RTFBsds=T。两者之间的关系Fξ和Drξ是不清楚的，我们不能希望用同样的方法得到与路径相关的SDE的[28，引理2.4]分解。研究Z分量的另一种方法可能包括研究与路径相关BSDE相关的路径相关PDE，参见。

[41, 14, 15, 43].事实上，在后几篇论文中，证明了依赖于磷灰石的BSDE解的Z分量可以通过路径依赖的偏微分方程解的Dupire导数来表示。然后利用这个关系和提升定理[10，定理6.1]来研究Z分量将是有趣的。然而，请注意，在第6节中提出的生物示例中，只有Y分量定律的密度的存在与验证提出的模型有关。在第7节提出的金融例子中，定价研究的模型将简化为求解BSDE（5.1），因此我们将证明YT定律和ZT定律都有关于勒贝格测度的密度。6基因表达模型的应用6。1基因表达的随机模型70年代引入了预测mRNA和蛋白质表达的随机模型（见例[44]）。在过去的几十年里，它已成为蛋白质合成研究的一个前沿领域，被称为“基因表达噪音”。本节是一个生物学问题的数学研究，我们考虑了一个合成一种蛋白质的活性基因，并通过关注机制的主要步骤，对蛋白质降解过程进行了非常简单的解释。有关更多详细信息，请参见示例[40]。第一步：转录。蛋白质合成的第一步是将一段DNA组成的基因翻译成mRNA。由一种酶催化的MRNAI的合成，RNA聚合酶的激活率用byR表示。第二步：翻译。在此步骤中，先前合成的mRNA由核糖体解码。转移RNA将氨基酸带到核糖体，利用遗传密码产生氨基酸链。mRNA的降解率用ρ表示。

在这一步的最后，蛋白质被合成。在这里，我们假设目前的蛋白质浓度是已知的，我们想研究之前的蛋白质浓度，从而得出观察到的浓度。为了说明这种现象，我们考虑了一个坏死细胞模型，在这个模型中，我们想要控制初始蛋白质浓度。文献[46]表明，这个问题可以简化为解决以下问题：BSDEYt=ξ+ZTt（f（Ys）- ρYs）ds-ZTtZsdWs（6.1），其中Yt是时间t的蛋白质浓度，ξ是末端蛋白质浓度，这通常是坏死模型中观察到的数据，f是蛋白质的降解/合成速率，取决于R、ρ和正常数a。在本研究中，在[46]之后，我们假设f是蛋白质的希尔函数，系数为2，即f（Ys）：=RaYs1+days。在生物化学中，f量化受体蛋白质上配体结合位点的分数。希尔系数为2，描述了合作效应。为了验证IR模型，[46]的作者需要将通过求解BSDE（6.1）得到的蛋白质浓度与Gillespie方法得到的数据（见[20]）进行比较。然而，在[46]中，作者含蓄地假设YT存在密度。在本节中，我们建议将第4.2节的结果应用于数学研究[46]中提出的模型，当ξ：=c+WT时，使用Malliavin演算。它可以看作是[46]中开发的模型的数学强化，通过使用努尔迪南德·维恩斯公式来获得密度估计值。提议6.1。设（Y，Z）为BSDE（6.1）的唯一解。假设ξ≥0，P- a、 s.（分别为ξ）≤ 0，P- a、 那么，对于任何t∈ [0，T]，Yt≥ 0，P- a、 s.（分别为Yt）≤ 0，P- a、 美国）。证据

我们在这里重现了[17]中针对BSDE（6.1）介绍的BSDE线性化方法。Yt=ξ+ZTt光线1+天- ρYsds-因此，通过设置Xt:=YteRt光线1+天-ρds，我们从伊藤公式中得到，dXt=dYteRt光线1+天-ρds+YteRt光线1+天-ρdsRaYt1+aYt- ρdt=-伊泰特光线1+天-ρdsRaYt1+aYt- ρdt+ZteRt光线1+天-ρdsdWt+YteRt光线1+天-ρdsRaYt1+aYt- ρ因此，Yt=Et“ξeRTt光线1+天-ρds#，其符号完全由ξ的符号决定。6.2保证高斯尾的模型。我们在本节中扩展了[46]中介绍的模型。我们假设R，ρ是两个实常数，ξ满足以下假设oξ是一个高斯FT可测随机变量，其均值用c表示，方差用σ表示。oξ在D1,2中，存在0<k≤ 对于任何一个r∈ [0，T]，0<k≤ ξ博士≤ k、 根据上述定理4.2和定理4.3，BSDE（6.1）允许一个唯一解（Y，Z），使得对于任何t∈ [0，T]，Yt∈ D1、2和Z∈ L（[t，t]；D1，2）。然后我们有以下建议。提议6.2。BSDE（6.1）溶液的第一组分Y在任何时间t都允许密度用ρyt表示∈ （0，T）。此外，ρYthas高斯估计，满足以下关于任意x的不等式∈ Rfi（x）≤ ρYt（x）≤ fs（x），（6.2），其中fi（x）=CYtkte-2Ca，R，ρ（T）-t） e-E-2Ca，R，ρ（T）-t） （十）-E[Yt]）2kt，fs（x）=CYtkte-2Ca，R，ρ（T）-t） e-E-2Ca，R，ρ（T）-t） （十）-E[Yt]）2kt，其中cyt:=E[|Yt]- E[Yt]|]，Ca，R，ρ：=Rra- ρ、 Ca，R，ρ=-Rra- ρ.证据设（Y，Z）为（6.1）的唯一解。我们从定理4.4推导出，对于任何t∈ （0，T），Yt定律允许用ρYt表示的密度。回想一下，（DY，DZ）满足以下线性BSDEDuYt=Drξ+ZTt2RaYsDuYs（1+days）- ρDuYsds-ZTtDuZsdWs，0≤ U≤ T≤ T、 P- a、 通过线性化，我们得到duyt=Et“DuξeRTt2天（1天以上）-ρds#。注意Ca，R，ρ：=Rpa-ρ是y7的最大值-→ 2日（1+1日）-ρ和Ca，R，ρ：=-Rpa- ρ是它的最小值。

因此，对于任何0≤ U≤ T≤ T，keCa，R，ρ（T-（t）≤ 杜伊特≤ keCa，R，ρ（T）-t） 。使用gYt的定义（2.5），任何t都可以得到∈ （0，T）| k | te2Ca，R，ρ（T）-（t）≤ gYt（x）≤ |k | te2Ca，R，ρ（T）-t） ，x∈ 因此，根据定理2.4，关系式（6.2）成立。6.3示例1:Shamarova Ramos Aguiar的模型为了验证[46]中提出的方法，我们必须分析Ytforany t定律的接近程度∈ （0，T]是吉勒西方法产生的高斯分布（见[46，第三节]）。请注意，在[46]中，Ytis定律是通过一种分配方式强调的，并没有得到严格的证明。为了验证Shamarova-Ramos-Aguiar模型，我们在本节中提出了一个更准确的证明。6.3.1 Yt定律通过使用统计测试，T（Y，Z）是BSDE（6.1）的唯一解，其中ξ具有正态分布。在[46]中，作者通过假设YT为正态分布来研究他们的模型，并将YT的一阶和二阶矩与具有正态分布的基准随机变量生成的矩进行比较。然而，目前尚不清楚该法律是否正常。然而，从统计学的角度来看，我们可以通过统计假设检验来验证这个假设。在本小节中，我们将统计学假设（H）“yth”设置为正态分布，并首先使用[46，a.自我调节基因]的数据进行Jarque-Bera检验。回想一下，Jarque Bera测试包括计算样本数据的样本偏度（用S表示）和样本峰度（用K表示），例如S:=MPMi=1（Yit- Yt）MPMi=1 | Yit- Yt|, K:=MPMi=1（Yit）- Yt）MPMi=1 | Yit- Yt|,其中M表示样本的大小，Yi表示第i个观测数据，Yi表示数据的算术平均值。

然后，我们用以下公式JB:=M定义用JB表示的Jarque Bera变量S+（K）- 3).在（H）项下，JB定律是具有两个自由度的卡方分布。因此，通过选择风险水平α=5%，关键区域为JB>5.99，也就是说，如果JB>5.99，我们拒绝（H）。有关此方法的更多详细信息，请参阅[23]。我们用[46，A.自我调节基因]：M=5000，R=1，ρ=0.001，T=400的数据对Yt进行了检验。结果见表1。表1：假设（H）的Jarque-Bera检验，数据为[46，A.自我调节基因]。时间t JB（H）400 2.62未被拒绝300 7.92拒绝200 5.52拒绝100 19.4拒绝50 11.45拒绝解释Jarque Bera测试不接受风险水平α=0.05的假设（H）。因此，从统计学的角度来看，尚不清楚Ythas是阿加西定律。问题在于模拟的数量必须很高。我们现在选择一些更相关的模拟，取M=100000。我们使用Jarque Bera测试和Kolmogorov-Smirnov测试，以从理论上验证[46]中开发的模型。回想一下，如果我们有一个样本（Yit）1≤我≤在观察数据中，我们设置了与样本对应的Kolmogorov-Smirnov统计量，定义为byKS：=√M supx{FM（x）- F（x）}，其中Fm是观测数据样本的经验分布函数，Fis是正态律的累积分布函数，参数为样本的算术平均值和方差。因此，对于水平α=0.05，通过使用KolmogorovSmirnov检验，我们在KS>1.36时拒绝假设（H）。结果如表2所示。表2：假设（H）的Jarque-Bera检验和Kolmogorov-Smirnov检验，数据为[46，A.自我调节基因]，M=100000。

我们写“不拒绝”代表“不拒绝”。统计测试时间t400 300 200 100 50Jarque Bera testJB 1.91 2.61 2.08 2.31 1.72（H）Not R.Not R.Not R.Not R.Not R.Not R.Kolmogorov-smirnoff testKS 0.501 0.500 0.501 0.501（H）Not R.Not R.Not R.Not R.Not R.Not R.Not R.Not R.解释Jarque Bera test与Kolmogorov-Smirnov test无法验证假设（H），风险水平α=0.05。因此，从统计学角度来看，[46]中开发的模型似乎是相关的。然而，我们在下一节中提出了对该模型的纯数学分析，方法是使用Malliavin演算，并将[29]的结果与第4.6.3.2节中获得的结果结合起来，使用Malliavin演算和Nourdin-Viens公式对模型进行验证，假设ξ=c+σWT，我们可以使用第6.2节的结果，我们推断BSDE（6.1）允许一个唯一的解（Y，Z），这样对于任何t∈ [0，T]，Yt∈ D1、2和Z∈ L（[t，t]；D1，2）。此外，根据命题6.2，对于任何t∈ [0，T]，相对于用ρYt表示的勒贝格测度，Yt表示密度。使得ρYthas为高斯估计，满足以下关于任意x的不等式∈ Rfi（x）≤ ρYt（x）≤ fs（x），其中fi（x）=CYtσte-2Ca，R，ρ（T）-t） e-E-2Ca，R，ρ（T）-t） （十）-E[Yt]）2tσ，fs（x）=CYtσte-2Ca，R，ρ（T）-t） e-E-2Ca，R，ρ（T）-t） （十）-E[Yt]）2tσ。我们在图1中说明了这些结果。图1:T，a，c，σ=1，R=1，ρ=0.001，以及使用Monte Carlo方法（例如参见[6]）计算BSDE（6.1）解的500000个模拟。对于t=0.9,0.75,0.6,0.5，我们表示ρyt。我们使用Nourdin和Viens的公式，以红色（分别以蓝色）表示ρ的上确界“fs”（分别以“fi”表示）。时间t 0.9 0.75 0.6 0.5E[Yt]101.089 101.228 101.357 101.446Var[Yt]0.89847 0.749607 0.599469 0.503076解释t离t越近，使用命题6的近似效果越好。2.

此外，该方法保证高斯尾能够控制极端事件，这是通过将获得的数据与Gillepsie方法得出的数据进行比较来验证[46]中开发的模型的基础（更多细节请参见[46]和[20]）。最后请注意，YT的方差似乎是时间的递减函数。这并不奇怪，因为Yi是确定性的。6.4示例2。非马尔可夫案例中的一个例子我们现在建议将Shamarova、Ramos和Aguiar开发的模型（参见前面的示例1）扩展到非马尔可夫环境。当我们研究某种细胞中蛋白质的合成时，这种扩展可能非常相关（例如参见[7,27,18]）。假设存在α∈ R、 β>0和γ≥ 0，使得ξ=α+βWT+γRTWsds。因此，BSDE（6.1）变成：Yt=α+βWT+γZTWsds+ZTt光线1+天- ρYsds-ZTtZsdWs（6.3）根据定理4.2和定理4.3，BSDE（6.3）允许一个唯一解（Y，Z），使得对于任何∈ [0，T]，Yt∈ D1、2和Z∈ L（[t，t]；D1，2）。根据命题6。2.对于任何t∈ [0，T]，yt允许关于由ρyt表示的勒贝格测度的密度，使得ρyth为高斯估计，满足以下关于anyx的不等式∈ Rfi（x）≤ ρYt（x）≤ fs（x），（6.4），其中fi（x）=CYt（β+γT）te-2Ca，R，ρ（T）-t） e-E-2Ca，R，ρ（T）-t） （十）-E[Yt]）2βt，fs（x）=CYtβte-2Ca，R，ρ（T）-t） e-E-2Ca，R，ρ（T）-t） （十）-E[Yt]）2（β+γT）T.7经典定价问题的应用7。1一般模型和注释使用BSDE进行金融定价的问题最早出现在[17]中。考虑一种金融市场，其中代理人投资于一种无风险资产，用S表示，其动态由市场的短期利率给出，用r表示，以及一种风险资产，用S表示，其动态由一个可预测的过程给出，称为风险溢价，用θ表示。现在让ξ成为一个未定权益。