非马尔可夫BSDE的密度分析及其在生物学和生物学中的应用

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英文标题：
《Density analysis of non-Markovian BSDEs and applications to biology and
  finance》
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作者：
Thibaut Mastrolia (CEREMADE)
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper, we provide conditions which ensure that stochastic Lipschitz BSDEs admit Malliavin differentiable solutions. We investigate the problem of existence of densities for the first components of solutions to general path-dependent stochastic Lipschitz BSDEs and obtain results for the second components in particular cases. We apply these results to both the study of a gene expression model in biology and to the classical pricing problems in mathematical finance.
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中文摘要：
本文给出了随机Lipschitz BSDE允许Malliavin可微解的条件。我们研究了一般路径相关随机Lipschitz盲分离方程解的第一组分的密度存在性问题，并在特殊情况下得到了第二组分的结果。我们将这些结果应用于生物学中基因表达模型的研究和数学金融中的经典定价问题。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Biology        数量生物学
二级分类：Quantitative Methods        定量方法
分类描述：All experimental, numerical, statistical and mathematical contributions of value to biology
对生物学价值的所有实验、数值、统计和数学贡献
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Density_analysis_of_non-Markovian_BSDEs_and_applications_to_biology_and_finance.pdf (1.14 MB)

2022-5-10 20:22:57 上传

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关键词：马尔可夫 BSDE 生物学 SDE Mathematical

非马尔可夫BSDE的密度分析及其在生物学和金融中的应用。Thibaut-Mastrolia*2018年10月8日摘要在本文中，我们提供了确保随机Lipschitz BSDEs可容许Alliavin可微解的条件。我们研究了一般路径依赖随机Lipschitz-BSDES解的第一组分的密度存在性问题，并在特殊情况下得到了第二组分的结果。我们将这些结果应用于生物学中的基因表达模型研究和数学金融中的经典定价问题。关键词：BSDEs，Malliavin演算，努尔丁-维恩斯公式，基因表达，期权定价。AMS 2010学科分类：初级：60H10；中学：60H07、91G30、92D20。1简介随机过程密度的存在性问题，例如随机微分方程（SDE）的解，在过去二十年中一直是一个非常活跃的研究领域，参见[26,35]。证明arandom变量定律允许密度的一个非常有用的标准是Bouleau和Hirsch的标准，参见例[35，定理2.1.2]。密度分析一直是处理随机偏微分方程（SPDs）的几项工作的主题，其中我们可以提到对随机热方程、随机波动方程（例如参见[33]、[36]、[31]）、Navier-Stokes方程[11]以及最近形成Xwellian分子的Landau方程（参见[12]）的研究。

此外，这些论文中的大多数都使用[34]中介绍的Nourdin和Viens公式研究了SPDE解的尾部估计，以便更好地理解这些过程。尽管S（P）DEs的密度存在问题及其尾部的估计一直是一个繁荣的领域，但反向随机微分方程（BSDE）的相应理论在文献中并未受到同样的关注。为了研究系统随机控制问题及其与庞特里亚金最大原理的联系，Bibiut于1973年首次在[5]中引入了BSDE。BSDEs的理论在90年代正式形成并发展起来，发表了开创性的论文[38,39]和[17]。在过去几十年中，BSDE一直是一个不断增长的目标*巴黎多芬大学，Ceremed UMR CNRS 7534，塔西尼广场，75775巴黎Cedex 16，法国，mastrolia@ceremade.dauphine.frinterest，因为这些方程自然出现在金融问题中，例如瞬时定价问题（见[17]）和效用最大化问题（见[45]，[22]）。据我们所知，三篇论文研究了BSDE解的密度存在性。[3]中首次提供了确保LipschitzBSDE溶液的第一组分Y具有密度的条件。在本文中，作者还研究了现有密度的估计及其光滑性。然后，在[1]中获得了确保特定BSDE解的第二分量Z存在密度的结果，其中生成器与其Z变量呈线性关系。最近，在[29]中研究了带二次增长发生器的BSDE解的Y和Z分量的这个问题。

然而，[3,29]只考虑马尔可夫BSDE，即数据ξ和ω7-→ 这类方程的f（s，ω，y，z）仅通过马尔可夫过程是随机的，[1]只考虑了半马尔可夫情形，即只有ω7的情形-→ f（s，ω，y，z）是马尔可夫的。尽管之前的研究从数学角度来看很有趣，但这些结果似乎对应用来说太过局限。例如，考虑一个价格问题，它可以简化为解决以下BSDE（详见[17]）dYt=（rtYt+θtZt）dt+ZtdWt，YT=ξ，其中r表示市场利率，θ表示风险的市场价格，ξ表示风险。正如在[16]中所注意到的，假设r是有界的，例如，是不现实的。这一评论促使[16]的作者定义了一类新的BSDE，其生成器满足所谓的随机Lipschitz条件。在[16]中首次获得了这类BSD的存在性和唯一性结果，然后在[4,48,8]等中进行了扩展。关于随机Lipschitz BSDEs解的组分律的密度存在性问题，目前还没有研究过，更重要的是在非马尔可夫框架下，即当终端条件ξ和ω7都不存在时-→ f（s，ω，y，z）通过马尔可夫过程依赖于随机性。为了解决这些问题，本文给出了ξ和f的条件。此外，尽管众所周知，在数据的适当条件下，非马尔可夫随机Lipschitz BSDEs允许唯一解（见[16,48,4,8]），但在一般情况下，尚未研究此类BSDEs解的Malliavin可微性。

为了应用Bouleau和Hirsch准则（[35，定理2.1.2]）来解决Yand Z定律的密度存在性问题，本文还提供了一些条件，确保非马尔可夫随机Lipschitz BSDE的分量Y和Z解是Malliavin可微的。本文的结构如下。在第2节的一些预备知识和注释之后，我们在第3节中提供了两种方法来研究随机Lipschitz BSDE解的Malliavin微分性。事实上，从经典文献的角度来看，我们区分了两类假设，它们提供了随机Lipschitz BSDE解的存在性和唯一性。一方面，我们有[16,4,48]中关于β空间的假设（见下文S2p，β和H2p，β），另一方面，我们有[8]中关于数据BMO范数的假设（主要）。然后，我们在本文中得到了两种条件，确保随机Lipschitz BSDE的解（Y，Z）的分量是Malliavin可微的。第一个是在第3.1节中研究的，基于文献[16,4,48]。使用[48，命题3.6]中获得的随机Lipschitz BSDE解的先验估计，我们对此类BSDE的数据有条件，这些条件提供了Y和Z的Malliavin可微性（参见假设（DsLp，β））。第二种方法在第3.2节中进行了研究，它基于论文[8,2]。我们给出了与[30]中获得的假设类似的假设，见假设（sH1，∞) 和（sH2，∞) 确保Y和Z是可区分的。然后，我们在第3节中比较这两种方法以及相应的条件。3.利用第3节的结果，我们在第4节讨论了非马尔可夫情形下随机Lipschitz BSDE解的密度存在性问题。

在第4.1节中，我们使用布劳和赫希准则给出了确保随机Lipschitz BSDE解的Y分量定律存在密度的条件。我们在第4.2节中为非马尔可夫Lipschitz BSDE的解的Y分量提供了较弱的条件。然后我们转到第5节中的Z分量。我们首先在第5.1节中提供了条件，以确保ZT分量定律对特定类别的BSDE具有密度，从而扩展了[1]的结果。然后，我们在第5.2节中解释了为什么我们无法将[29]的证明适用于一般非马尔可夫BSDE解的Z分量的非马尔可夫框架，并指出了未来研究的路径。最后，我们将第6节和第7节中的研究分别应用于生物学和金融。在第6节中，我们建议用Malliavin演算对[46]中介绍的蛋白质合成模型进行数学研究。事实上，为了验证他们的模型，[46]的作者需要将通过求解BSDE获得的时间t的蛋白质浓度规律与Gillespie方法产生的数据进行比较（见[20]）。然而，在[46]中，作者含蓄地假设，考虑中的BSDE的第一个分量Y的定律允许相对于勒贝格测度的密度。本文可以被视为对[46]中开发的模型的数学强化，通过使用所谓的努尔丁和维恩斯公式来获得密度的高斯估计。此外，我们建议将他们的模型扩展到非马尔可夫环境，这在我们研究某些模型中的蛋白质合成时可能非常相关（例如参见[7,27,18]）。在第7节中，我们研究了经典的定价问题。如[17]所示，这个问题可以简化为求解随机线性BSDE。

在本节中，我们的目标是将前面几节中获得的结果应用于Vasìcek模型中的亚洲和回望期权，以获得关于价值函数规律性和最优策略规律性的信息。2序言和注释2。1符号用λ表示R上的勒贝格测度。设T>0为固定时间范围。允许Ohm := C（[0，T]，R）是从[0，T]到R的连续函数ω的正则维纳空间，使得ω（0）=0。我们用W:=（Wt）t表示∈[0，T]正则维纳过程，即对于[0，T]中的任何时间T，Wt（ω）：=ωT对于[0，T]中的任何元素ωOhm. Weset Fow的自然过滤。在维纳测度P下，过程W是标准布朗运动，我们用F:=（Ft）t表示∈[0，T]方正P的通常右连续和完全增广。为了简单起见，我们用E表示P下的所有期望，并设置任意T∈ [0，T]Et[·]：=E[·| Ft]。此外，所有关于元素可测性的概念Ohm 我们设置h:=L（[0，T]，R），其中B（[0，T]）是[0，T]上的Borelσ-代数，并考虑hhf，gi上的以下内积：=ZTf（T）g（T）dt，（f，g）∈ h、 与常模k·kh相关。现在让H成为Cameron-Martin空间，这是函数空间Ohm 对于平方可积导数是绝对连续的，从0:H开始：=h:[0，T]-→ R˙h∈ h、 h（t）=Zt˙h（x）dx，T∈ [0，T].对于h中的任何h，我们总是用˙h表示其相对于勒贝格测度的氡Nykodym密度。注意，H是一个Hilbert空间，对于任意（H，H）都有内积hh，hiH:=H˙H，˙hiH∈ H×H，与相关规范khkH:=H˙H，˙hih。让p≥ 1.

将Lp（K）定义为在希尔伯特空间K中取值的所有FT可测量随机变量F的集合，并且kF kLp（K）<+∞,其中kF-kLp（K）：=E[kF-kpK]1/p，其中范数K·kk是内积在K.Wede finelp（[t，t]；K）：=（f:[t，t]-→ K、 Borel可测量，s.t.ZTtkf（s）kpKds<+∞).将BMO（P）设为平方可积连续R值鞅M suchthatkMkBMO:=esssupτ的空间∈TTEτh（MT- Mτ）i∞< +∞,哪里有t∈ [0，T]，T是以[T，T]为单位的F停止时间的集合。因此，HBMOI是R值和F可预测过程的空间Z，因此KZKHBMO：=Z.ZsdWsBMO<+∞.用E（M）表示半鞅M的随机指数，我们得到了以下结果定理2.1。[25，定理2.3]如果M∈ BMO（P）那么E（M）是一致可积的。对于任何非负F适应过程α，我们定义了以下递增且连续的过程aαt:=Ztαsds。设p>，β>0，α为非负F适应过程，我们定义2p，β，α：=Y适应和cádlág，kY k2pS2p，β，α：=Esup0≤T≤TepβAαt | Yt | 2p< +∞.H2p，β，α：=（Y逐步可测量，kY k2pH2p，β，α：=E“中兴βAαs|Ys|ds！p |”+∞).Ha2p，β，α：=（Y逐步可测量，kY k2pHα2p，β，α：=E“ZTαseβAαs|Ys|2pds#+∞).为了与[8]中的符号相匹配，我们定义了任何实p>0的空间Spand HpbySp:=（Y自适应和cádlág过程，kY kSp:=E）sup0≤T≤T|Yt|p1.∧1/p<+∞)惠普：=Z可预测过程，kZkHp:=EZT | Zs | ds！p/21.∧1/p<+∞.特别地，对于任何p>我们有S2p=S2p，0，α和H2p=H2p，0，α。请注意，以下不等式适用于任何p>、β>0和任何非负fadapt过程αkY k2pS2p+kZk2pH2p≤ kY k2pS2p，β，α+kZk2pH2p，β，α。（2.1）2.2 Malliavin演算的元素我们在本节给出了一些关于Malliavin演算的结果，我们将在本文中使用这些结果。

现在让我们来看看圆柱泛函的集合，也就是f=f（W（h）形式的随机变量的集合，W（hn）），（h，…，hn）∈ Hn，f∈ C∞b（Rn），对于某些n≥ 1，（2.2）式中W（h）：=RT˙hsdws对于h中的任何h，式中C∞b（Rn）表示边界映射的空间，这些边界映射与有界导数完全连续可微。对于形式为（2.2）的S中的任何F，Malliavin导数F中的F定义为以下H值随机变量：F:=nXi=1fxi（W（h），W（hn））hi，（2.3）式中fxi:=dfdxi。然后，人们习惯于确认身份F与随机过程(tF）t∈[0，T]。然后用D1表示S关于Malliavin Sobolevsemi范数k·k1，p的闭包，定义为：kF k1，p:=（E[|F | p]+E[kF kpH]）1/p。我们设置D1，∞:=总磷≥2D1，p.我们使用符号DF来表示导数F作为：tF=ZtDsF ds，t∈ [0，T]。为了避免在非马尔可夫情况下出现任何歧义，我们需要立即引入一些进一步的符号。对于从[0，T]×开始的任何映射fOhm x Rinto R，我们假设Df（t，y）是在ω7的点（t，y）处计算的Malliavin导数-→~f（t，ω，y）。如果Df对y是连续可微的，我们用（Df）y对y的导数来表示。现在，y是一个f-逐步可测的实过程，y为y∈ 时间t时的D1,2∈ [0，T]。使用链式规则公式（例如，参见[35]），用Df（t，Yt）表示的Df at（t，Yt）的Malliavin导数由Dv，uf（t，Yt）：=Dv（Duf）（t，Yt）+（Duf）y（t，Yt）DvYt，0给出≤ u、 五≤ t、 （2.4）设h为h，τ为下列移位运算符τh：Ohm -→ Ohm 定义为τh（ω）：=ω+h，ω∈ Ohm.注意，h属于h的事实确保τhis在维纳空间上是可测量的位移。

在本文中，我们将使用Malliavin可微性的特征，作为Lp中差商的收敛，在[30]中介绍，如下所示。定理2.2（文献[30]中的定理4.1]）。设p>1和F∈ Lp（R）。那么F属于D1，pif，且仅当Lp（H）中存在DF且存在q时∈ [1，p）使得对于任何h inHlimε→0EFo τεh- Fε- hDF，嗨Q= 0.在这种情况下，DF=F现在我们回顾一下我们将用来检查随机变量F关于勒贝格测度的绝对连续性的标准。定理2.3（布劳-赫希准则，参见[35]中的定理2.1.2]）。设F为D1，p为p>1。假设kDF kh>0，P-a、 那么F有一个概率分布，它对于R上的勒贝格测度是绝对连续的。让F使得kDF kh>0，P-a、 那么，前面的标准意味着，关于勒贝格测度，定律ofF允许密度ρfw。假设存在一个可测映射ΦF和ΦF:Rh→ h、 使DF=ΦF（W），wethen set:gF（x）：=Z∞E-尤厄*[hΦF（W），FΦuF（W）ih]F- E（F）=西都，x∈ R、 其中FΦuF（W）：=ΦF（e）-uW+√1.- E-2uW*) 和W*概率空间上W定义的独立副本(Ohm*, F*, P*), 还有E*表示P下的期望值*（ΦFbeingextended on）Ohm × Ohm*). 我们回顾了[34]中的以下结果。定理2.4（Nourdin-Viens公式）。关于勒贝格测度，随机变量F的定律有一个密度ρfw，当且仅当随机变量gF（F-E[F]）是正的a.s。