非马尔可夫BSDE的密度分析及其在生物学和生物学中的应用

（3.18）因此，利用定理3.3，我们得到了任意p*> p>1kYε-~YhkSp+kZε-~ZhkHp≤ 总工程师|ξε- hDξ，˙hiL（[0，T]）p+ZT | Xεs+Xy，εs+Xz，εs | ds！PP×1+EZT（K2αs+Ks）ds！P/2.1便士？,式中，xεs:=Aεs- hDf（s，Ys，Zs），˙hiL（[0，T]）Xy，εs:=Yhs（~Ay，εs）- fy（s，Ys，Zs））Xz，εs:=~Zhs（~Az，εs- fz（s，Yr，Zr））。请注意，在（BC1）（iii）项下ZT（K2αs+Ks）ds！P/2.< +∞.因此，在进行了与[30]中定理5.1或上述定理3.2的证明相同的计算之后，我们推导出，对于任何t∈ [0，T]和任何p>1，Yt∈ D1和Z∈ L（[t，t]；D1，p）以及它们的Malliavin导数是（3.15）的解。3.3结果的讨论和比较我们从假设（DsLp，β）和受[48]启发的第一种方法开始。即使根据[48]中的理论，假设（i）没有太大的限制性，但在实践中，我们可能会有一些困难来验证（ii）和（iii）。事实上，在（ii）中，我们必须控制H2p、β、aof 1/at中的范数，并且（iii）需要控制fw相对于z的导数的ess sup。只要r和θ是随机的，这些假设就显著限制了可能的应用范围。如上所述，这些假设与[48]中获得的先验估计密切相关，这建议修改[48]中的证明，尽可能获得较弱的条件。关于第二种方法，先验估计（3.12）似乎更好，因为它们类似于在Lipschitz或二次型情况下得到的估计（见[9]）。然而，请注意，这些先验估计的顺序密切依赖于Lipschitz常数K的Stocstic积分的BMO范数，这在实践中可能很难控制。我们在D1，pf中提供了任何p>1的条件，因为y和Z的范数控制顺序取决于这个BMO范数。

假设（sD）∞) 和（sH1，∞)这并不奇怪，因为它们与[30]中第7节处理二次增长BSDE时获得的条件类似。从现在开始，我们设定以下两个假设。（EKHp，β）让假设（sL1，β）和（DsLp，β）保持不变。（BC）假设（BC）-（BC），（sD）∞), （sH1，∞) 和（sH2，∞) 持有3.4示例：具有无界系数的一个随机Lipschitz BSDE我们现在研究非马尔可夫情形下的一个特殊随机Lipschitz BSDE：Yt=ξ+ZTtf（s，Ys，Zs）ds-ZTtZsdWs，T∈ [0，T]，P- a、 s.（3.19）其中f:[0，T]×Ohm ×R×R-→ R（t，ω，y，z）7-→ λs（ω）+us（ω）y+νs（ω）z，其中ξ是FT可测的随机变量，λ，u，ν：[0，T]×Ohm -→ R是逐步可测量的过程。备注3.4。本节研究的BSDE（3.19）对[2，BSDE（5）]进行了推广，因为（3.19）的生成器在Y和Z中都是有效的。通过在满足[2]中假设（A3）的生成器中添加关于Y和Z的aLipschitz系数，可以证明我们严格扩展了[2，第3节]。此外，我们坚持λ、u和ν是无界的，这也扩展了[30，第6.2节]中的结果。（A） 存在一个常数C>0，使得对于任何停止时间τ≤ T:E“ZTτ|νs | dsFτ#≤ C.（A）对于任何p>1，（i）expR·|us | ds∈ Sp和（ii）Eh |ξ|p+RT |λt | dt圆周率+∞.在进一步讨论之前，请注意（A）相当于说r·νsdWsis是一个BMOmartingale，它对应于[2]中的假设（A2）或假设A1。在[8]中。然而，我们并不认为同样的说法适用于R·uSDW。事实上，在（A）中，我们只是假设过程R·usdsT∈[0，T]具有异序的指数矩。定理3.5。假设假设（A）和（A）成立。然后，BSDE（3.19）允许一个唯一的解决方案（Y，Z）∈ 对于任何p>1的情况，Sp×Hp。此外，估计（3.12）对任何1<p<p*.证据

（A） 和（A）（i）是比（BC）弱的假设，因此我们不能直接应用[8]中的推论3.4和定理3.5。然而，通过复制[8]中的引理3.2、引理3.3、推论3.4和定理3.5的证明，我们注意到，我们只需要对R·νSDW具有BMO性质，因为只有[8]中对应于（a）（i）的关系（2）用于处理依赖于u的项。因此，对于有效的BSDE（3.19），我们可以用假设（a）和（a）替换假设（BC）。然后我们推断BSDE（3.19）允许唯一解（Y，Z）∈ Sp×Hp适用于任何p>1，而（3.12）适用于任何p<1*.在这种特殊情况下，假设（sD∞), （sH1，∞) 和（sH2，∞) 对于任何p>1，ξ都属于D1，且随机过程（t，ω）7-→ λt（ω）、ut（ω）、νt（ω）属于L（[0，t]；D1，p）。（DA）设（εk）k∈（0，1）中的一个序列，使得limk→+∞εk=0，设随机变量的（Yk，Zk）kbea序列，对于任意p>1到某些（Y，Z），该序列收敛于Sp×hpa。那么不管怎样∈ H、 以下收敛概率ku·（ω+εkh）- u·（ω）kL（[0，T]）-→K→+∞0，kν·（ω+εkh）- ν·（ω）kL（[0，T]）-→K→+∞0.定理3.6。假设（A）、（A）、（DA）和（DA）保持不变。然后，通过表示（Y，Z）（3.19）的唯一解，对于任何p>1和t∈ [0，T]，Yt∈ D1，潘兹∈ L（[t，t]；D1，p）。此外，（DuYt，DuZt）0的一个版本≤U≤t、 0≤T≤T、 作为有效BSDE的解给出：DuYt=Duξ+ZTt（Duλs+DuusYs+DuνsZs+usDuYs+νsDuZs）ds-ZTtDuZsdWs，（3.20）证明。在（A）和（A）项下，根据定理3.5，BSDE（3.19）允许一个唯一解（Y，Z）∈ 对于任何p>1的情况，Sp×Hp。现在，假设（sD）∞), （sH1，∞) 和（sH2，∞) 自动满足（DA）和（DA）的要求。

因此，通过应用定理3.4，我们推导出对于任何p>1和t∈ [0，T]，Yt∈ D1和Z∈ L（[t，t]；D1，p）和（DYt，DZt）的一个版本由BSDE（3.20）的解给出。1随机Lipschitz情形我们现在的目标是将Bouleau和Hirsch准则（见定理2.3）应用于BSDE（3.1）解（Y，Z）的Y分量。我们设置了以下假设（Ap，β），让p为in∈, 1., β>最大值{2/（2p）- 1); 3} 假设（ELK）p，β成立，并且假设r·θsdWs∈ BMO（P），其中θ在假设中定义（sL1，β）。注意，在假设（Ap，β）或假设（BC）下，我们已经证明了Yt∈D1和Z∈ L（[0，T]；D1，p）对于一些p>1，并且它们的Malliavin导数（DrYt，DrZt）满足线性BSDE（3.5）（见定理3.2和3.4）。然后，我们得到了以下定理，该定理给出了条件，确保在给定时间t的情况下，非马尔可夫BSDE（3.1）解的第一分量Y的定律允许密度。定理4.1。让（Ap，β）或（BC）保持。用（Y，Z）表示BSDE（3.1）的唯一解。如果存在 Ohm 使得P（A）>0，并且t的以下两个假设之一∈ （0，T]和s∈ [t，t]（sH+）Duξ≥ 0，Duf（s，Ys，Zs）≥ 0，λ（du）- a、 e.，和Duξ>0，λ（Du）- a、 e.关于（sH-）Duξ≤ 0，Duf（s，Ys，Zs）≤ 0，λ（du）- a、 e.，和Duξ<0，λ（Du）- a、 e.在a上，那么Ytis定律对于Lebesgue测度是绝对连续的。证据

在假设（Ap，β）或（BC）下，我们分别从定理3.1和3.2或定理3.3和3.4得知，BSDE（3.3）允许一个唯一解（Y，Z），该解是Malliavin可微的，其Malliavin导数（DuYt，DuZt）为0≤U≤T≤以下线性方程组的解析式为：BSDEDuYt=Duξ+ZTt（Duf（s，Ys，Zs）+fy（s，Ys，Zs）DuYs+fz（s，Ys，Zs）DuZs）ds-ZTtDuZsdWs，0≤ U≤ T≤ T、 P- a、 注意，对于任何（t，y，z）∈ [0，T]×R，| fz（T，y，z）|≤ θtunder假设（Ap，β）或| fz（t，y，z）|≤ 假设下的KT（BC）。因此，我们可以通过dqdp定义一个概率度量：=EZTfz（s，Ys，Zs）dWs！=eRTfz（s，Ys，Zs）dWs-RT | fz（s，Ys，Zs）| ds，其中ER·fz（s，Ys，Zs）dWs是根据[25，定理2.3]的一致可积鞅。根据Girsanov定理改变布朗运动，并使用线性化（见[17]），我们得到任何0≤ U≤ T≤ TDuYt=EQt“DuξeRTtfy（s，Ys，Zs）ds+ZTteRstfy（s，Ys，Zs）duDuf（s，Ys，Zs）ds#≥ 0，杜 数据处理- a、 此外，设a为P（a）>0，且a上的Duξ>0。我们得到duyt≥ EQthADuξeRTtfy（s，Ys，Zs）dsi>0。因此，kDYtkL（[0，T]）>0，P- a、 根据定理2.3，关于勒贝格测度，Ytis定律是绝对连续的。假设下的证明（sH-）类似。4.2非马尔可夫Lipschitz BSDE在本节中，我们研究了一类特殊的随机Lipschitz BSDE（3.1），它的生成元是空间变量中具有非负Lipschitz常数的Lipschitz。我们提供了比条件（sH+）和（sH-）更弱的条件，以确保相应Lipschitz BSDE溶液的组分Y定律具有密度。我们考虑以下非马尔可夫Lipschitz-BSDEYt=ξ+ZTtf（s，Ys，Zs）ds-ZTtZsdWs，T∈ [0，T]，P- a、 s.（4.1），其中ξ是FT可测的随机变量，f:[0，T]×Ohm ×R-→ R是一个渐进可测过程，通常忽略ω依赖性。

我们设定以下假设（L）（i）映射（y，z）7-→ f（·，y，z）是可微分的，其连续偏导数一致地由一个正常数m限定。我们用fy（resp.fz）表示f相对于y（resp.z）的导数。（ii）我们有“|ξ|+ZT | f（s，0，0）| ds#+∞.定理4.2（[17]）。在假设（L）下，存在一对唯一的适应过程（Y，Z），它在S×H中求解BSDE（4.1）。现在我们来讨论BSDE（4.1）的解（Y，Z）的Malliavin可微性。[39]中研究了具有Lipschitz系数（即当数据ξ，f（t，·，y，z）是布朗SDE解的函数）的马尔可夫情形下的这个问题。在[17]中，它扩展到了具有Lipschitz系数的非马尔可夫案例。然后，在[19]中，对于Lévy驱动的BSDE，以及[30]中研究了这个问题，在[17]中，条件改善了这些问题（见[30，第6.3节]）。在本节中，我们回顾了[30]的结果，其中证明了一个确保随机变量在D1,2中的新标准。设置以下假设（lD）–ξ∈ D1,2，对于任何（y，z）∈ R、 （t，ω）7-→ f（t，ω，y，z）在L（[0，t]；D1，2）中，f（·y，z）和Df（·y，z）是f-逐步可测的，并且“ZTkD·f（s，Ys，Zs）khds#+∞.– 存在p∈ （1，2）对于任何h∈ Hlimε→0E“ZTf（s，·+εh，Ys，Zs）- f（s，Ys，Zs）ε- hDf（s，Ys，Zs），˙hihds！p#=0，设（εn）n∈（0，1）中的一个序列，使得limn→+∞εn=0，设（Yn，Zn）nbe为一个随机变量序列，该序列收敛于S×Hto（Y，Z）。那么不管怎样∈ H、 下面的收敛概率为kfy（·，ω+εnh，Yn·，Z·）- fy（·，ω，Y·，Z·）kh-→N→+∞kfz（·，ω+εnh，Yn·，Zn·）- fz（·，ω，Y·，Z·）kh-→N→+∞0，（4.2）orkfy（·ω+εnh，Yn·，Zn·）- fy（·，ω，Y·，Z·）kh-→N→+∞kfz（·，ω+εnh，Y·，Zn·）- fz（·，ω，Y·，Z·）kh-→N→+∞0.（4.3）定理4.3（文献[30]中的定理5.1]）。设（Y，Z）为BSDE（4.1）在假设（L）下的解。

假设（lD）满足，那么对于任何t∈ [0，T]，Yt∈ D1、2和Z∈ L（[t，t]；D1，2）。此外，通过将DYt（分别为DZt）表示为Yt（分别为Zt）的Malliavin导数，这对（DY，DZ）满足以下（线性）BSDEDuYt=Duξ+Zt（Duf（s，Ys，Zs）+fy（s，Ys，Zs）DuYs+fz（s，Ys，Zs）DuZs）ds-ZTtDuZsdWs，0≤ U≤ T≤ T、 P- a、 s.（4.4）我们现在的目标是将Bouleau和Hirsch的标准（见[35]中的定理2.1.2]）应用于BSDE（4.1）解（Y，Z）的Y分量。YTT密度的存在性∈ （0，T]当f在其空间变量中为Lipschitz时，在[3]中对马尔可夫情形进行了求解。我们想将这个结果推广到非马尔可夫情形。下面的定理给出了一些条件，确保在给定时间T的情况下，非马尔可夫BSDE（4.1）解的第一个分量Y允许（L）和（lD）下的密度。这些条件类似于[3，定理3.1]在Lipschitz-Markovian情况下的条件。在[3,1,29]之后，让A是Ohm 使得P（A）>0。我们设定ξ：=max{M∈ R、 杜ξ≥ M、 杜 P- a、 e.}，df（t）：=max{M∈ Rs∈ [t，t]Duf（s，Ys，Zs）≥ M、 杜 P- a、 e.}，dξa:=max{M∈ R、 杜ξ≥ M、 杜- a、 e.在a.}，dξ：=min{M∈ R、 杜ξ≤ M、 杜 P- a、 e.}，df（t）：=min{M∈ Rs∈ [t，t]Duf（s，Ys，Zs）≤ M、 杜 P- a、 e.}，dξa:=min{M∈ R、 杜ξ≤ M、 杜- a、 e.在}上。定理4.4。设（Y，Z）为假设（L）和（lD）下BSDE（4.1）的解。修好一些t∈ （0，T）。如果存在 Ohm 使得P（A）>0且以下两个假设之一成立（H+）dξe-sgn（dξ）m（T）-t） +df（t）ZTte-sgn（df（t））m（s-t） ds≥ 0dξAe-sgn（dξA）m（T）-t） +df（t）ZTte-sgn（df（t））m（s-t） ds>0（H-）dξe-sgn（dξ）m（T）-t） +df（t）ZTte-sgn（df（t））m（s-t） ds≤ 0dξAe-sgn（dξA）m（T）-t） +df（t）ZTte-sgn（df（t））m（s-t） ds<0，那么对于勒贝格测度，它是一个绝对连续的定律。证据该证明与[3，定理3.1]中的证明遵循相同的路线。

假设（H+）成立。我们的目标是应用布劳-赫希准则（文献[35]中的定理2.1.2]）。根据定理4.3，Yt∈ D1、2和Z∈ L（[t，t]；D1，2）。让0≤ U≤ T≤ T，使用BSDE的线性化方法（见[17]），我们有duyt=Duξ+ZTt（Duf（s，Ys，Zs）+fy（s，Ys，Zs）DuYs+fz（s，Ys，Zs）ds-ZTtDuZsdWs，=EQt“DuξeRTtfy（s，Ys，Zs）ds+ZTteRstfy（α，Yα，Zα）dαDuf（s，Ys，Zs）ds#≥ dξEQtheRTtfy（s，Ys，Zs）dsi+df（t）EQt“ZTteRstfy（α，Yα，Zα）dαds#≥ dξe-sgn（dξ）m（T）-t） +df（t）ZTte-sgn（df（s））m（s）-t） ds。因此，杜伊特≥ 0，杜 P- a、 此外，设a为P（a）>0，我们得到duyt≥ dξaeqthaertfy（s，Ys，Zs）dsi+df（t）EQt“ZTteRstfy（α，Yα，Zα）dαds#>0。因此，kDYtkL（[0，t]）>0，P- a、 根据定理2.3，关于勒贝格测度，Ytis定律是绝对连续的。假设（H-）下的证明类似。4.3具有无界系数的BSDE我们研究BSDE溶液的第一组分是否存在密度（3.19）。我们设定λ（t）：=max{M∈ Rs∈ [t，t]Duλs≥ M、 杜 P- a、 e.}，andλ（t）：=min{M∈ Rs∈ [t，t]Duλs≤ M、 杜 P- a、 e.}。我们还设置了以下假设（P+）让（Yt，Zt）成为BSDE（3.19）对任何t的唯一解∈ [0，T]。那么，无论如何∈ [0，t]，DuusYs+DuνsZs≥ 0，杜 P- a、 s.（P）-) 让（Yt，Zt）成为BSDE（3.19）对任何t的唯一解决方案∈ [0，T]。那么，无论如何∈ [0，t]，DuusYs+DuνsZs≤ 0，杜 P- a、 美国评论4.1。注意，如果（Y，Z）是BSDE（3.19）的唯一解，因此使用线性化方法（见[17]）Yt:=EQt“ξeRTtusds+ZTtλseRtsuαdαds#，只要ξ和λ为非负，即为非负，其中dqdp:=eRTνsdWs-RT |νs | ds，只要ER·νsdWs是鞅（参见下面的假设（BMO）和[25，定理2.3]）。因此，只要Y是非负的，如果u是半鞅，我们就可以使用Lamperti变换给出确保Du是非负的条件（参见。

[1，定理3.3证明的步骤1]）。关于Z过程，在[13]中仅在马尔可夫情况下获得了确保Z非负的条件。就我们所知，在非马尔可夫的情况下，这个问题仍然存在。然而，如果ν是确定性的，则条件（P+）和（P-) 可以简化（见第7节）。定理4.5。假设（A），（A），（DA）和（DA）保持并让（Y，Z）成为BSDE（3.19）的解。如果存在 Ohm 使得P（A）>0，并且以下两个假设之一保持（aH+）Duξ≥ 0，λ（du）-a、 e.，Duξ>0，λ（Du）-a、 e.关于a，dλ（t）≥ 0和（P+）保持不变-) 杜ξ≤ 0，λ（du）-a、 e.，Duξ<0，λ（Du）-a、 e.关于a，dλ（t）≤ 0和（P-) 就勒贝格测度而言，这是一个绝对连续的定律。证据我们在假设（aH+）下证明了前面的定理。让我们∈ 从定理3.5和定理3.6可知，BSDE（3.19）允许唯一解（Yt，Zt）T∈[0，T]以至于∈ D1和Z∈ L（[t，t]；D1，p）对于任何p>1且其导数（DYt，DZt）满足以下线性BSDEDuYt=Duξ+ZTt（Duλs+DuusYs+DuνsZs+usDuYs+νsDuZs）ds-ZTtDuZsdWs，0≤ U≤ T≤ T、 P- a、 s.设置由DQDP定义的概率度量：=EZTνsdWs！=eRTνsdWs-RT |νs | ds，其中ER·νsdWs是符合[25，定理2.3]的一致鞅。根据Girsanov定理改变布朗运动，并使用线性化，我们得到任何0≤ U≤ T≤ TDuYt=EQt“DuξeRTtusds+ZTt（Duλs+DuusYs+DuνsZs）eRstudαds#（4.5）。因此，通过重复定理4.4的证明，我们证明了kDYtkL（[0，T]）>0，P-a、 根据定理2.3，Ytis定律对于Lebesgue测度是绝对连续的。（aH-）项下的证据类似。备注4.2。在与前一个定理相同的假设下，假设（aD+）成立（resp.（aD-）成立），证明表明事实上DuYt≥ 0，杜P-a、 e.（分别）。

杜伊特≤ 0，杜 P- a、 5.Z分量密度的存在性：非马尔可夫情形中的一个仍然悬而未决的问题在本节中，我们将讨论确保随机Lipschitz BSDEs解的ZT分量定律存在密度的条件。我们开始研究一类具有线性生成器的随机Lipschitz BSDE关于z分量的这个问题，方法与[1]中的证明相同，并且我们解释了为什么我们不能将[29]中的结果推广到一般的随机Lipschitz BSDE的非马尔可夫情况。5.1关于z的带线性发生器的BSDE的结果考虑以下BSDEYt=ξ+ZTt（~f（s，Ys）+θsZs）ds-ZTtZsdWs，T∈ [0，T]，P- a、 s.（5.1），其中θ是平方可积适应过程。在这种情况下，回想一下在（EKH）p下，任何p的β∈, 1., β>最大值{2/（2p）-1); 3} 或（BC），根据定理3.2或相应的定理3.4，BSDE（5.1）在Sp×hpt和∈ [0，T]，Yt∈ D1、2和Z∈ L（[t，t]；D1，2）。此外，（DuYt，DuZt）0的一个版本≤U≤t、 0≤T≤由有效BSDE的解给出：DuYt=Duξ+ZTtDuf（s，Ys）+fy（s，Ys）DuYs+θsDuZsds-ZTtDuZsdWs。（5.2）如备注4.1所述，为了在没有关于Z过程符号的信息时，获得系数无界的有效BSDE解的Y分量的Malliavin导数的符号，我们必须假设θ对于定理4.5是确定性的。因此，我们设定以下假设（Θ）BSDE（5.1）中定义的过程θ是确定性的。现在让Y成为BSDE（5.2）解决方案的第一个组成部分。我们设定为任何0≤五、≤ T≤ T（DY+）Dvξ≥ 0，Dvf（t，Yt）≥ 0，P-a、 s.，（DY）-) Dvξ≤ 0，Dvf（t，Yt）≤ 0，P-a、 美国评论5.1。与备注4.2类似，注意定理4.1的证明表明，对于任何0≤ 五、≤ s≤ T:假设下（DY+）DvYt≥ 0，P- a、 美国。